精品解析：陕西西安市第八十五中学2025-2026学年度第二学期高一年级第一次月考数学试题

西安市第八十五中学 2025--2026学年度第二学期高一年级第一次月考数学试题 命题人：王耀武 一、单项选择题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 已知向量，若，则 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式，求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 2. 已知复数,则的共轭复数 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数 故选A项. 【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题. 3. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果. 【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反， ，充分性成立； 当时，的夹角可能为钝角，此时不存在负数，使得，必要性不成立； “存在负数，使得”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在中， ，则a等于（ ） A. B. C. 或 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值． 【详解】∵b=，c=3，B=30°， ∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：（）2=a2+32-3a， 整理得：a2-3a+6=0，即（a-）（a-2）=0， 解得：a=或a=2， ∴a=或2． 故选C． 【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．本题a有两解，注意不要漏解． 5. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多项选择题：(全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共12分) 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若，则不能推出，C错误； 根据平面向量相等的定义，D正确． 8. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 与能作为一组基底 B. 与同向的单位向量的坐标为 C. 与的夹角的正弦值为 D. 若满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A两个不共线的向量可以作为平面的一组基底；对于B与向量同向的单位向量为；对于C可以用夹角公式先求夹角的余弦，再用平方关系求正弦；对于D代模长公式计算即可. 【详解】对于A，因为，所以不存在实数使得， 所以与能作为一组基底，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以与同向的单位向量的坐标为，故B错误； 对于C，因为， 所以与的夹角的正弦值为，故C正确； 对于D，因为， 所以，解得，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：（本大题共4小题，共16分) 9. 平面向量与的夹角为，，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】平面向量与的夹角为，，， ，，， . 10. 已知是虚数单位，则复数的实部是_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数 ∴ ∴复数的实部为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 11. 在中，内角的对边分别为，，且，则外接圆的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理及降幂角公式可求得角的余弦值，进而求得角的正弦值以及外接圆半径，故可得解. 【详解】由正弦定理得：则 设外接圆的半径为，则 外接圆的面积为． 故答案为：. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 12. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 四、解答题：(本大题共4小题，共48分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中13题11分，14题11分，15题12分，16题14分) 13. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【小问1详解】 由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； 【小问2详解】 若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 14. 已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点. （1）求实数，的值； （2）设的重心为，且，求的值. 【答案】（1），或.（2） 【解析】 【分析】（１）依据题设运用向量的垂直与平行建立方程组求解；（２）借助题设及向量的数量积公式分析求解： 【详解】解：（1）因为三点，，在一条直线上，所以， 又，，所以，① 因为 ，所以，即，② 由①、②解得，或. （2）因为为的重心，且，所以点为线段的中点， 所以，. 所以，， 因此. 15. 某海轮以60 n mile/h的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达点B，测得油井P在南偏东30°，海轮改为沿北偏东60°的航向再行驶80 min到达点C，求P，C间的距离. 【答案】40 n mile. 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理计算可得； 【详解】解：由题意知AB=40 n mile，∠BAP=120°，∠ABP=30°， 所以∠APB=30°，所以AP=40 n mile， 所以BP2=AB2+AP2-2AP·AB·cos 120°=402+402-2×40×40×（-）=402×3， 所以BP=40 n mile. 因为∠PBC=90°，BC=80 n mile， 所以PC2=BP2+BC2=(40)2+802=11 200， 所以PC=40 n mile， 即P，C间的距离为40 n mile. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知D为AB边上的一点，且． ①若，，求AB； ②求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①3；②. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）①由（1）的结论，利用余弦定理求解；②利用正弦定理，结合三角恒等变换求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得，整理得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 ①在中，由余弦定理得， 则，而，则， 所以. ②在中，由正弦定理，得， 在中，，则，即， 而，则，， 因此 ，而，于是，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第八十五中学 2025--2026学年度第二学期高一年级第一次月考数学试题 命题人：王耀武 一、单项选择题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 已知向量，若，则 （ ） A. B. C. D. 1 2. 已知复数,则的共轭复数 A. B. C. D. 3. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中， ，则a等于（ ） A. B. C. 或 D. 2 5. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多项选择题：(全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共12分) 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 与能作为一组基底 B. 与同向的单位向量的坐标为 C. 与的夹角的正弦值为 D. 若满足，则 三、填空题：（本大题共4小题，共16分) 9. 平面向量与的夹角为，，，则__________. 10. 已知是虚数单位，则复数的实部是_____. 11. 在中，内角的对边分别为，，且，则外接圆的面积为_________． 12. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 四、解答题：(本大题共4小题，共48分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中13题11分，14题11分，15题12分，16题14分) 13. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，试求的值． 14. 已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点. （1）求实数，的值； （2）设的重心为，且，求的值. 15. 某海轮以60 n mile/h的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达点B，测得油井P在南偏东30°，海轮改为沿北偏东60°的航向再行驶80 min到达点C，求P，C间的距离. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知D为AB边上的一点，且． ①若，，求AB； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $