微专题04 整式乘除的化简求值（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

**基本信息** 本专项聚焦整式乘除化简求值，通过“直接代入-整体代入-公式变形-几何结合”四阶题型构建方法体系，以步骤化策略串联运算规则与公式应用，体现数学思维的逻辑性与几何直观的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接代入求值|6题|化简（运算规则+公式展开）→代入计算|整式运算规则→代数式化简→数值计算，基础能力培养| |整体代入求值|6题|化简→关联已知等式→整体代换|代数式化简进阶，渗透转化思想，培养推理意识| |完全平方公式变形|6题|公式变形（3类）→代入计算|公式正向应用→逆向变形，强化运算能力与模型意识| |几何图形结合|6题|图形面积分析→建立代数等式→化简求值|数形结合，通过几何直观理解代数关系，发展空间观念|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题04整式乘除的化简求值 先化简再直接代入求值 先化简再整体代入求值 整式乘除的化简求值 运用完全平方公式的变形求值 结合几何图形的化简求值 /00 德点型破 题型1先化简再直接代入求值 啸方法 题目给出明确的代数式（含整式乘除、乘方运算）和变量的具体数值，要求先化简代数式，再代入数值计 算结果： 1. 化简代数式：根据整式运算规则（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内），利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式(a±b2=a2±2ab+b2等展开式子，合并同类项。 2. 代入数值计算：将变量的具体数值代入化简后的式子，计算结果。 1.(25-26七年级下.安徽准北期中)先化简，再求值：（2a-3b)(a+2b)-a2a-b),其中a=-2,b=-1. 2.(25-26七年级下河北石家庄期中)先化简，再求值：(x+22-xx-2,其中x=-3. 3.(25-26七年级下江苏镇江期中)化简：(-x-2y)(2y-x)-(2x-y)+(3x-y)(2x-5y),其中x=-1, y=-2. 4.(25-26七年级下安徽池州期中)先化简，再求值：(a+2b)(2a+b)-2(a-b2,其中a=-2,b=】 2 5.(25-26七年级下河北秦皇岛期中)先化简，再求值.（x-4)(x-2)-6x(x-1),其中，x=-3. 6.(25-26七年级下四川成都期中)先化简，再求值：(a+b)2-(a-b)2-3ab,其中a=3,b=-2. 题型2先化简再整体代入求值 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 题目不直接给出变量的具体数值，而是给出一个关于变量的等式，要求先化简代数式，再利用已知条件将 化简后的式子转化为含已知等式的形式，整体代入求值： 1. 化简代数式：同“直接代入求值”的第一步，将代数式化简为最简形式（如多项式或单项式）。 2. 关联已知条件：观察已知条件，将化简后的式子变形为含已知等式的形式。 3. 整体代入计算：将己知等式的值代入变形后的式子，计算结果。 a b 1.(25-26七年级下·江苏苏州期中)若规定符号 a b 的意义是： =ad-bc,则当m3-7m-3=0时， c d c d m2 m-3 的值为() 1-2mm-2 A.-9 B.-4 C.-8 D.6 2.(25-26七年级下江西抚州期中)已知x(x+2)=2022,则代数式2(x+4)(x-2)-2002的值为(). A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 3.(25-26七年级下.四川成都期中)己知m-n=2-a,mn=a,则(m-1(n+1的值为 4.(25-26七年级下.安微安庆期中)己知2x2+3x-1=0,则代数式3x(x+2)+(x-4)(x+4)的值为 5.(25-26七年级下陕西西安期中)先化简，再求值：求(a-4)+(a-1)(a+3)的值，其中a2-3a+1=0. 6.(25-26七年级下.甘肃白银期中)先化简，再求值： (1)已知x2-x-2=0,求代数式(x-3)(x+5+x-3)(x-1的值. (2先化简，再求值：(a+2b1(a-2b-(a-2b2,其中a=7,6=-1. 题型3运用完全平方公式的变形求值 啸方法 题目给出完全平方公式的两种形式，要求利用公式变形求中间量或其他代数式的值： 1.回忆完全平方公式的变形： (1)a2+b2=(a+b2-2ab=(a-b2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab; ③)ab=4a+b2-(a-b] 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.代入已知条件计算：将已知的值代入变形后的公式，求目标量。 1.(25-26七年级下湖南常德期中)若(x+2y)2=10,(x-2y)2=26,则y=（) A.-2 B.2 D. 2.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期中)用4块相邻两边长分别为α，b的小长方形，拼成如图所示的“回形” 正方形. (1)根据图形，请你用等式表示(a+b),(a-b),ab之间的数量关系（直接写出结论）； (2)结合(1)中的结论，如果a+b=6,ab=-16,求a2-b的值. 3.(25-26七年级下·福建漳州期中)数形结合： m n m m n 图1 图2 (1)知识背景：图1是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然 后按图2拼成一个正方形. ①图2中，阴影部分的正方形的边长为· ②请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积. 方法一一；方法二· ③观察图2，写出三个代数式(m+n)2,(m-n)2,m之间的等量关系. (2)拓展应用： ①若p+2g=7,p9=6,求p-2g的值； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②已知(2025-a(2027-a=1,求(2027-a)2+(2025-a)2的值. 4.(25-26七年级下·江西抚州·期中)如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对 称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空 的). m n m 图① 图② (①)图②中画有阴影的小正方形的边长等于一； (②)观察图②，代数式(m+n)2,(m-n)2与m之间的等量关系为： (3)思维迁移： (i)若m+n=7,mn=5,求(m-n的值. (i)若m-1=1,求m+1 1 的值 m 5.(25-26七年级下·河北石家庄·期中)【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积， 可以得到一个恒等式. a a a 图1 图2 图3 图4 【操作】 (1)如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形a>b).把余下的部分沿虚线剪开拼成 一个长方形（如图2）.图1中阴影部分面积可表示为：①，图2中阴影部分面积可表示为②，因为 两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：③_· 【拓展】 (2)图3是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式④； 【迁移】 (3)若a+b=5,ab=5,求(a-b)2与a2+b的值. 6.(25-26七年级下江苏徐州期中)完全平方公式：(a±b)=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的 数学问题 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：因为a+b=3,ab=1,所以(a+b2=9,2ab=2, 所以a2+b2+2ab=9,得a2+b2=7. 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若x+y=6,x2+y2=30,求y的值； (2)若3a+b=7,ab=2,求3a-b的值； (3)若x-3)(x-5)=8,求(x-32+(x-5)的值. 题型4结合几何图形的化简求值 啸方法 题目以几何图形（如正方形、长方形）为背景，通过图形的面积关系（如拼接后的面积等于各部分面积之和） 建立代数等式，要求化简代数式并求值： 1. 分析图形面积：根据图形的拼接方式（如用多个小长方形拼成一个大正方形），写出图形面积的两种表 达式（如大正方形面积等于小长方形面积之和）。 2. 建立代数等式：将图形面积的表达式转化为代数等式； 3. 化简求值：利用代数等式化简目标代数式，再代入已知条件（如边长）求值。 1.(25-26七年级下·河北邯郸期中)如图，小佳同学用四个边长为α的正方形、两个长和宽分别为2a和b 的长方形拼成图1和图2.则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是() ①a=2b;②(2a-b)2=4a2-4ab+b2: ③4a(a+b)=(2a+b)2-b2；④(2a+b)2>4aa+b a ☐b 图1 图2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 2.(25-26七年级下·广东佛山期中)如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a,b.如果 a-b=3,ab=3,那么阴影部分的面积为 3.(24-25八年级上·吉林长春期中)在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题.比如，运用两数和的 完全平方公式(a+b2=a2+2ab+b2,能够在三个代数式a+b,ab,a2+b2中，已知其中任意两个代数 式的值时，求出第三个代数式的值.例如：已知a+b=3,ab=2,求a+b2的值。 a ←b 解：将a+b=3两边同时平方，得(a+b)2=32, 即a2+2ab+b2=9, 因为ab=2, 等量代换，得a2+b2+2×2=9, 所以a2+b2=5 请根据以上信息，解答下列问题. (1)已知a-b=1,a2+b2=17,求ab的值； (2)如图，己知两个正方形的边长分别为a,b,若a+b=7,ab=9,求图中阴影部分的面积： (3)若2025-x)x-2024)=-6,则(2025-x)2+(x-2024)的值为多少？ 4.(25-26七年级下·四川成都阶段检测)数学活动课上，刘老师准备了若干张如图①的三种纸片，A种纸 片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为α的长方形，并用A 种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形， 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b ① ② (1)观察图②，请写出下列三个代数式：(a+b)2,a2+b,ab之间的等量关系 (2)若要拼出一个面积为a+2b)(a+b)的长方形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片 张 (3)根据(1)中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b=6,a2+b2=26,求ab的值： ②已知(x-2024)2+(x-20262=4·求(x-2025)2的值. 5.(25-26七年级下·河北石家庄·期中)如图①，从边长为α的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形， 将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形. -a- -a- hb, 业 3 图① 图② (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)： 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m-n=3,2m+n=4,则4m2-n2的值为 ②计算：(x-3)(x+3)x2+9: 【拓展】 (4)用(2)得到的乘法公式计算：(a+3b-c)(a-3b+c) 6.(25-26七年级下·河南郑州·期中)【公式探究】 / 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，边长为Q的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如 图2所示)，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用含Q,b的等式表 示) 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知m2=16+9n2，m+3n=2,则m-3n的值为； ②计算：20262-2025×2027（使用乘法公式简便计算）. 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： --x-s小2s 微专题04 整式乘除的化简求值 题型1 先化简再直接代入求值​ 题目给出明确的代数式（含整式乘除、乘方运算）和变量的具体数值，要求先化简代数式，再代入数值计算结果： 1. 化简代数式：根据整式运算规则（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内），利用平方差公式、完全平方公式等展开式子，合并同类项。 2. 代入数值计算：将变量的具体数值代入化简后的式子，计算结果。 1．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ； 将代入得，原式． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）化简：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 4．（25-26七年级下·安徽池州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 5．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）先化简，再求值．，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ； 当时， 原式． 题型2 先化简再整体代入求值​ 题目不直接给出变量的具体数值，而是给出一个关于变量的等式，要求先化简代数式，再利用已知条件将化简后的式子转化为含已知等式的形式，整体代入求值： 1. 化简代数式：同“直接代入求值”的第一步，将代数式化简为最简形式（如多项式或单项式）。 2. 关联已知条件：观察已知条件，将化简后的式子变形为含已知等式的形式。 3. 整体代入计算：将已知等式的值代入变形后的式子，计算结果。 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据定义可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．（25-26七年级下·江西抚州·期中）已知，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，，则的值为_____ 【答案】1 【分析】先展开整理所求代数式，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 4．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）已知，则代数式的值为_____________． 【答案】 【分析】先根据整式混合运算法则化简所求代数式，再利用已知等式得到，整体代入化简后的结果计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：求的值，其中． 【答案】，11 【详解】解： ∵， ∴， 原式． 6．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）先化简，再求值： (1)已知 ，求代数式的值． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先结合多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，得，根据，得，再代入计算，即可作答． （2）先结合完全平方公式，平方差公式的运算法则展开，再合并同类项，再把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， 原式． （2）解：原式 ∵， ∴原式． 题型3 运用完全平方公式的变形求值​ 题目给出完全平方公式的两种形式，要求利用公式变形求中间量或其他代数式的值： 1. 回忆完全平方公式的变形： (1) ； (2) ； (3) 。 2. 代入已知条件计算：将已知的值代入变形后的公式，求目标量。 1．（25-26七年级下·湖南常德·期中）若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两个已知等式按完全平方公式展开，两式相减消去无关项，即可计算出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， ①②得：， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）用4块相邻两边长分别为a，b的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系（直接写出结论）； (2)结合（1）中的结论，如果，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各部分的面积之间的关系，即可得出答案； （2）通过完全平方公式即可推出的值，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积， ∴ （2）解：∵，，， ∴ ∴或． ， ∴当时，； 当时，， 又∵ ∴的值为或． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）数形结合： (1)知识背景：图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形． ①图中，阴影部分的正方形的边长为_． ②请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积． 方法一_； 方法二_． ③观察图，写出三个代数式，，之间的等量关系． (2)拓展应用： ①若，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①；②，；③ (2)①；②． 【分析】（1）①②根据图形作答即可；③根据②所得式子即可得到等量关系； （2）①结合（1）所得等量关系求解即可； ②令，，则，，再结合（1）所得等量关系求解即可． 【详解】（1）解：①图中，阴影部分的正方形的边长为； ②方法一，用正方形面积公式表示为， 方法二，用大正方形面积减四个小长方形面积表示为； ③由②可知，， 即； （2）解：①由（1）可知，， ， ，， ， ； ②令，， 则，， ， ， ， ． 4．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____； (2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____； (3)思维迁移： （i）若，求的值． （ii）若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)（i）；（ii）5 【分析】（1）根据图形之间的关系即可得到答案； （2）图②中画有阴影的小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，又等于其边长的平方，据此分别表示出图②中画有阴影的小正方形的面积即可得到答案； （3）（i）根据（2）的结论代入求值即可；（ii）根据（2）的结论可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图②中画有阴影的小正方形的边长等于； （2）解：图②中画有阴影的小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，即其面积为， ∵图②中画有阴影的小正方形的面积为， ∴； （3）解：（i）由（2）可得， ∵， ∴； （ii）∵，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】 (1)如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_，图2中阴影部分面积可表示为_，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_． 【拓展】 (2)图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式_； 【迁移】 (3)若，，求与的值． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】（1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可，再根据面积相等列式即可； （2）用两种方法分别用代数式表示图4中阴影部分的面积列式即可； （3）根据（2）所得结论将已知代数式代入计算即可得到，再根据完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分面积可表示为：， 图2中阴影部分面积可表示为：， 两个图中的阴影部分面积是相同的， 可得到等式：； （2）解：图4中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图4中阴影部分的面积也可以看作大正方形与个空白长方形的面积差，即， 可得到等式：； （3）解：，， ； ． 6．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （3）根据多项式乘多项式求得，再将原式利用完全平方公式展开，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ，即， ； （2）解：，， ，即， ， ， ， ，即， ； （3）解：， ， ， ． 题型4 结合几何图形的化简求值 题目以几何图形（如正方形、长方形）为背景，通过图形的面积关系（如拼接后的面积等于各部分面积之和）建立代数等式，要求化简代数式并求值： 1. 分析图形面积：根据图形的拼接方式（如用多个小长方形拼成一个大正方形），写出图形面积的两种表达式（如大正方形面积等于小长方形面积之和）。 2. 建立代数等式：将图形面积的表达式转化为代数等式； 3. 化简求值：利用代数等式化简目标代数式，再代入已知条件（如边长）求值。 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可判断③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，②不符合题意； ③图1的面积可表示为，图2的面积可表示为， 图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，③符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b．如果，那么阴影部分的面积为______． 【答案】 6 【分析】阴影部分的面积等于的面积加上正方形的面积，再减去的面积，据此结合已知条件列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴阴影部分的面积 ， ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 4．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）数学活动课上，刘老师准备了若干张如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片______张； (3)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ① 已知，，求的值： ② 已知 ．求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①5；②1 【分析】（1）根据图②大正方形的面积，从整体和部分两种角度表示，从而得出三个代数式之间的等量关系． （2）先将展开，根据展开式中各项的系数确定种纸片的数量，再画出草图． （3）①将两边平方，再结合，利用（1）中的等量关系求出的值．②设，将转化为关于的式子，再利用（1）中的等量关系求解． 【详解】（1）解：∵图②大正方形的边长为 ∴其面积为 又∵大正方形由个边长为的正方形、个边长为的正方形和个长为、宽为的长方形组成 ∴其面积也为， ∴． （2）解：∵， 又∵种纸片对应，种纸片对应，种纸片对应， ∴需要种纸片3张． （3）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； ②设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①_________，图②_________ (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为_________； ②计算：； 【拓展】 (4)用（2）得到的乘法公式计算： 【答案】(1)图①：；图②： (2) (3)①12；② (4) 【分析】（1）观察图形，图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，图②阴影部分是长为、宽为的矩形，据此求解即可； （2）由于图②是由图①的阴影部分剪拼而成的，则在拼接过程中面积没有发生变化，根据图①和图②的阴影面积相等，列出乘法公式即可； （3）利用乘法公式计算； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即； 图②阴影部分是长为、宽为的矩形，其面积为； （2）解：由于图②是由图①的阴影部分剪拼而成的， 则在拼接过程中面积没有发生变化，这意味着图①和图②的阴影面积相等， 因此，可以得到乘法公式：； （3）解：①； ②； （4）解： ． 6．（25-26七年级下·河南郑州·期中）【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_（用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为_； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】(1) (2)①8；② (3) 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； （3）解：原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $