第4讲：受迫振动 共振【五大考点+五大题型】-2025-2026学年高二上学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦“受迫振动与共振”核心知识点，系统梳理固有振动、阻尼振动的规律，深入解析受迫振动的频率特性及共振条件，构建从基础振动模型到力学综合应用的学习支架，衔接简谐运动知识，形成完整知识脉络。 资料通过对比表格清晰呈现简谐运动、阻尼振动、受迫振动的差异，结合典例与变式题培养科学推理能力，融入上海中心大厦阻尼器等实际案例渗透科学态度与责任，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第4讲：受迫振动　共振 · 考点一：阻尼振动的问题 · 考点二：受迫振动 · 考点三：共振条件和曲线 · 考点四：受迫振动与共振交汇 · 考点五：机械振动和力学的综合问题 知识点一、固有振动、阻尼振动 1．固有振动和固有频率 (1)固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动． (2)固有频率：固有振动的频率． 2．阻尼振动 (1)阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼． (2)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图所示． (3)振动系统能量衰减的两种方式 ①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能． ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去． 知识点二、受迫振动 1．驱动力 作用于振动系统的周期性的外力． 2．受迫振动 (1)定义：系统在驱动力作用下的振动． (2)受迫振动的频率(周期) 物体做受迫振动达到稳定后，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关． 知识点三、共振 1．定义 驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振． 2．共振曲线(如图2所示) 图2 技巧归纳：三种振动 (1)简谐运动：一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑． (2)阻尼振动：考虑阻力的影响，是更实际的一种运动． (3)受迫振动：物体做阻尼振动时在驱动力作用下的振动． 2．三种振动的比较 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 有固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 振动图像 形状不确定 常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 题型一：阻尼振动的问题 【典例1】．（25-26高二下·全国·随堂练习）关于阻尼振动，以下说法中不正确的是（　　） A．动能与势能之和不断减小 B．动能不断减小 C．振幅不断减小 D．一定不是简谐运动 【变式1】．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图所示，为某秋千的阻尼振动的图像，根据图像分析下列说法正确的是（　　） A．摆球在M点和N点时对绳子的拉力大小相等 B．摆球在M点和N点时重力势能相同 C．摆球在M点和N点时的速度相同 D．单摆振动的周期明显逐渐变长 【变式2】．（2025·广东深圳·二模）上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图所示。关于阻尼器的说法正确的是（　　） A．振动周期越来越小 B．t=4s时的动能为零 C．t=8s时沿x轴负方向运动 D．t=10s时加速度沿x轴负方向 【变式3】．（24-25高二下·河南·期中）如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移一时间图像，、、是图像上的三个点，其中、两点在同一条水平线上，、两点到平衡位置的距离相等，下列说法正确的是（　　） A．摆球在时刻的机械能等于在时刻的机械能 B．摆球在时刻的势能大于在时刻的势能 C．摆球在时刻做减速运动 D．摆球在时刻高度正在降低 题型二：受迫振动 【典例2】．（25-26高二上·湖北·期末）一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子驱动力，使弹簧振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给弹簧振子一向下的初速度，弹簧振子便做简谐运动，振动图像如图乙所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，弹簧振子的振动图像如图丙所示。若用表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，y表示受迫振动达到稳定后弹簧振子振动的振幅，则（　　） A．由乙图线可知 B．由乙图线可知 C．当时，弹簧振子做受迫振动的振幅最小 D．当时，弹簧振子做受迫振动的振幅最大 【变式1】．（25-26高二上·江苏无锡·期末）如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率约为0.3Hz。现使圆盘以频率匀速转动，待小球振动达到稳定后记录数据。改变圆盘转动频率，记录小球的振幅A与圆盘的频率之间关系如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．圆盘的频率只能为0.3Hz B．振动系统的固有频率约为0.3Hz C．增大圆盘的转动频率，小球的振幅变大 D．增大圆盘的转动频率，小球的振幅变小 【变式2】．（25-26高二上·江苏淮安·期末）如图所示为某同学用轻质细线悬挂小球做成的单摆，在周期性推力作用下使小球做受迫振动，则（　　） A．推力频率越大，单摆振幅越大 B．推力频率越小，单摆振幅越小 C．小球做受迫振动的频率由推力频率决定 D．小球做受迫振动的频率由自身固有频率决定 【变式3】．（25-26高二上·湖北十堰·期末）一个有固定转动轴的竖直圆盘如图甲所示，圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。当圆盘静止时，让小球振动，其振动图像如图乙所示。现使圆盘匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，下列说法正确的是（　　） A．小球振动时的周期一定是4s B．圆盘转动越快，小球振幅越大 C．若圆盘以60r/min匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为2s D．若圆盘以10r/min匀速转动，欲使小球振幅增加则可使圆盘转速适当增大 题型三：共振条件和曲线 【典例3】．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）把一些长度不同的钢片安装在同一个支架上，可以制作转速计。把这样的转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，此时各个钢片的振幅与它们的固有频率之间的关系如图所示。下列说法正确的是（　　） A．各个钢片的振动频率一定是各自的固有频率 B．等于机器的振动频率 C．一定是最短钢片的固有频率 D．若机器的振动频率减小，则出现最大振幅的钢片对应的固有频率大于 【变式1】．（25-26高二上·陕西榆林·期末）如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），则下列说法正确的是（    ） A．此单摆的摆长约为0.5m B．此单摆的固有周期约为0.5s C．若摆长变小，共振曲线的峰将右移 D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将右移 【变式2】．（25-26高二上·江西宜春·月考）一个单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，重力加速度g=10m/s2，则（　　） A．此单摆的固有周期约为0.5s B．此单摆的摆长约为10m C．若摆球质量增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动 【变式3】．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线Ⅱ表示月球上单摆的共振曲线 B．若两次受迫振动都是在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比l1:l2＝4:25 C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1m D．若摆长约为1m，则图线Ⅰ有可能是在地球上完成的 题型四：受迫振动与共振交汇 【典例4】．（25-26高二上·广西河池·期末）如图所示，绷紧的水平绳子上悬挂着A、B、C、D四个摆长不同的摆球，若让摆球A在垂直于水平绳的竖直平面内先摆动起来，摆球B、C、D也摆动起来，待稳定时，下列说法正确的是（　　） A．摆球D的周期最小 B．四个摆球的周期相同 C．摆球B、C、D的振幅相同 D．摆球B、C、D中，摆球B经过最低点时速度最小 【变式1】．（25-26高二·全国·假期作业）如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，a和d的摆长相等，a的摆球质量大于其他各摆。让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动，接着其余各摆也开始振动。各摆球振动稳定后（　　） A．d摆的振幅最大，周期最大 B．c摆的振幅最大，周期最大 C．d摆的振幅最大，各摆的周期相同 D．c摆的振幅最大，各摆的周期相同 【变式2】．（25-26高二·全国·假期作业）某同学利用如图所示的装置做多个单摆实验。在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，当驱动摆A摆动起来后，摆B、C、D、E也跟着摆动起来。已知摆长，在振动稳定后，下列说法正确的是（　　） A．驱动摆A只是把振动形式传递给其他单摆，并不传递能量 B．摆球C的振幅小于摆球D C．摆球B、C、D、E的摆动周期满足 D．摆球C摆动过程中多次通过同一位置时，加速度一定相同 【变式3】．（25-26高二上·浙江·月考）如图所示，张紧的水平绳上吊着四个小球，两球的悬线长度相等，球的悬线最长，球的悬线最短。球的质量较小，其余三球质量相同。现让球在垂直水平绳的方向摆动，之后观察到其余各球也开始摆动。则（　　） A．球的振幅最大 B．球的振幅最大 C．球的频率最大 D．球的频率最大 题型五：机械振动和力学的综合问题 【典例5】．（25-26高二上·江苏连云港·月考）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅与驱动力频率的关系如图1所示，如图2是在驱动力作用下做受迫振动的振动图像，求 (1)该单摆的摆长（，取）； (2)写出图2的振动方程（用正弦函数表示），并求出时摆球的位移。 【变式1】．（24-25高二上·全国·单元测试）如图甲所示，T形支架的下面系着一个弹簧和小球，小球浸没在水中，固定在竖直圆盘上的小圆柱带动T形支架在竖直方向振动。当圆盘静止时，让小球在水中振动，小球将做阻尼振动。当圆盘以不同的频率转动时，测得小球振动的振幅与圆盘转动频率的曲线如图乙所示。（重力加速度g取9.86m/s2，） (1)圆盘以0.4s的周期匀速转动时，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？ (2)若一个单摆的摆动周期与该小球做阻尼振动的周期相同，则该单摆的摆长为多少？（结果保留三位有效数字） 【变式2】．（22-23高二下·河南·期中）某物理学习小组制作了一个实验装置，如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，求： （1）开始时不转动把手，用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在20s内完成50次全振动，其固有周期和固有频率各是多少？ （2）某同学若以转速5r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，其周期和频率各是多少？ 【变式3】．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）在弹性横梁上悬挂四个小球M、N、O、P，当其中一个摆振动起来后，其他的摆也随之开始振动。 (1)在组装实验装置时，我们可以在下列器材中选择用___________和________________。 A．长度为40cm的细线 B．长度为1m的橡皮绳 C．直径为1cm的塑料球 D．直径为1cm的小钢球 (2)当摆自由振动时，M、N、O、P四个摆的振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是( ) A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s C． 若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s (3)其中一个摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，O为单摆的固定悬点，摆线与竖直方向的最大夹角为θ。摆线上拉力的大小随时间的变化如图所示，重力加速度为g。 求：①该单摆的周期； ②该单摆的摆长； ③摆球在最低点B处的速度大小。 一、单选题 1．（25-26高二上·河北衡水·月考）铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过钢轨接缝处时，车轮就会受到一次冲击，列车受到周期性的冲击做受迫振动，设计列车运行速度时应考虑尽量防止列车发生共振。某条平直铁路上每根钢轨的长度为，列车的固有频率为，随着列车从车站由静止逐渐加速开出车站，下列说法正确的是（　　） A．列车做受迫振动的振幅与列车速度大小无关 B．为了防止列车发生共振，列车的运行速率应为 C．加速开出车站的过程中，列车的固有频率保持不变 D．加速开出车站的过程中，列车做受迫振动的振幅一定一直增大 2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅与驱动力频率的关系）如图所示，重力加速度，则（　　） A．驱动力周期约为0.25s B．此单摆的摆长约为1m C．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向右移动 D．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向左移动 3．（25-26高二上·广东梅州·期末）人拿装有水的水杯走路时，有时杯里的水会荡得厉害，甚至从杯中溅出来.如图所示，人拿水杯（含水）走路时的固有频率约，下列说法正确的是（   ） A．无论走路快慢，都会出现水剧烈晃动的现象 B．当走路的步伐频率接近时，易引发共振，使水的晃动幅度增大 C．水溅出是因为水杯的固有频率远大于走路的频率 D．若加快走路速度，步伐频率降低，更易与固有频率匹配引发共振 4．（26-27高二上·浙江杭州·期末）四个弹簧支撑的共振筛如图甲所示，筛子上装一个电动偏心轮，每转一周给筛子一个驱动力，共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子上农作物的质量，可增大筛子的固有周期。某时刻，偏心轮的转速是60r/min，则（　　） A．此刻筛子做受迫振动的频率是0.8Hz B．适当提高转速，筛子的振幅会增大 C．逐渐增大电压，筛子的振幅逐渐减小 D．随着农作物的漏出，筛子的振幅逐渐减小 5．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（　　） A．在时刻处于失重状态 B．在时刻向下运动 C．在时刻速度为零 D．木筷（含铁丝）振动过程中，机械能保持不变 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）生活中端着装满水的茶杯走路时水会洒出，挑装满水的桶走路时水会洒出，如图所示为某人挑水，水桶和扁担系统的固有频率为2Hz，人走路的步距为0.6m，下列说法正确的是（　　） A．人走路的速度越大，水洒得越多 B．当人走路的频率为2Hz时水不会洒出 C．当人走路的速度为1.2m/s时水洒出得最多 D．当人走路的速度为0.3m/s时水洒出得最多 7．（25-26高二上·全国·课前预习）如图所示的装置可用于研究受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给轻弹簧和砝码组成的系统提供驱动力，使其做受迫振动。已知该系统的固有频率为f0，改变把手的转动速度可以调整驱动力的频率。则以下说法中正确的是（　　） A．改变把手的转动速度，系统做受迫振动的频率保持不变 B．系统做受迫振动的频率总等于驱动力的频率 C．匀速转动把手的速度越大，系统的振幅也越大 D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0 8．（25-26高二上·河北沧州·期中）市政单位经常使用共振破碎机来破碎旧水泥路面，破碎机有专用传感器感应路面的振动。某次破碎机工作时获得水泥路面的振幅A随锤头击打水泥路面的频率f变化的图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．为使得破碎效果最佳，锤头击打水泥路面的频率应为f0 B．水泥路面的振动频率与锤头击打水泥路面的频率无关 C．只要增大锤头击打水泥路面的频率，水泥路面的振幅就一定增大 D．破碎机停止击打路面，水泥路面也立即停止振动 9．（25-26高二上·山东烟台·期中）如图所示，在一根张紧的绳子上静止悬挂几个摆长不同的摆球a、b、c、d，且悬线长，现使a摆偏离平衡位置小角度后释放，a摆在振动中通过细绳对其他几个摆施加周期性的驱动力。在振动稳定后，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．d摆的振动周期最短 B．a、b、c、d的振动周期不同 C．c摆振动的振幅最大 D．b摆摆长最长，振动的振幅最大 10．（25-26高二上·河北邯郸·期中）振动送料机是工业中常用的物料输送设备，其简化模型如图所示：水平料槽通过两根轻弹簧与固定支架连接，料槽下方安装有电动偏心轮，偏心轮转动时给料槽提供水平周期性驱动力。已知料槽的固有频率与总质量m成反比（质量越大，固有频率越小）。某次调试中，料槽空载时固有频率Hz，偏心轮转速调至n=120r/min时料槽振幅较小。忽略弹簧质量及摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　） A．当前驱动力频率为1.0Hz B．仅向料槽内添加物料（增大总质量），料槽振幅增大 C．仅降低偏心轮转速至60r/min，料槽振幅增大 D．关闭电源后，料槽振动的周期随振幅减小而增大 二、多选题 11．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）为了能观察到某玻璃杯在声波驱动下发生的振动，一同学在杯中放入一根如图所示的质量很小的吸管并靠近杯子拉动特制琴弦，发现吸管会发生明显的摆动，逐渐改变琴弦振动的频率，该玻璃杯会破碎。关于此现象，下列分析正确的是（　　） A．吸管的摆动属于受迫振动 B．该玻璃杯振动的频率比琴弦振动的频率大 C．增大琴弦振动的频率，该玻璃杯的振幅一定变大 D．该玻璃杯破碎时不一定发生了共振 12．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架仅在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的弹簧振子，当圆盘静止时，小球可稳定振动。改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图乙所示。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动已达到稳定，则下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子的振动频率为0.25Hz B．弹簧振子的振动频率为3Hz C．若圆盘匀速转动的周期减小，弹簧振子的振动频率变大 D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向左移动 13．（25-26高二上·甘肃白银·月考）下列说法中正确的有（　　） A．阻尼振动的振幅不断减小 B．物体做阻尼振动时，随着振幅的减小，频率也不断减小 C．阻尼振动的振幅逐渐减小，所以周期也逐渐减小 D．阻尼过大时，系统将不能发生振动 14．（25-26高二·全国·假期作业）如图甲所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，其振动曲线如图乙所示；然后以某一转速匀速转动摇把，当振子振动稳定后，其振动图像如图丙所示。下列说法正确的是（　　） A．匀速转动摇把，振子振动稳定后的振动周期为0.4s B．把手匀速转动的转速为 C．为了增大振子振动的振幅，应增大把手的转速 D．当把手匀速转动的频率为2.5Hz时，振子振动的振幅最大 15．（25-26高二上·广东中山·月考）二段考前复习时小艾在课本中选取了几幅图片进行了知识回顾，如图所示。她的以下复述正确的是（　　）     A．图甲中装有墨汁的注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，在木板上的墨汁图样，大致表示注射器末端运动规律图像 B．研究受迫振动的实验如图乙所示，原来静止的四个小球，当a摆起来以后，其余三个小球会逐渐摆动起来，c的振幅最大，b的振幅最小，a、d的振幅相等 C．图丙是阻尼振动的位移—时间图，由图像可知随着时间的增加振子的振幅不断减小，周期不断增大 D．图丁是共振筛的原理图，偏心轮每转动一周，对筛板施加一个驱动力，当驱动力频率等于筛子的固有频率时，筛子振幅明显增大 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）工业上筛选矿石的筛子可以简化为如图所示的模型，筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子（连同筛子里边的矿石）的质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是30r/min。为了使筛子的振幅增大，可以（　　） A．增大电压 B．减小电压 C．增加筛子（连同筛子里边的矿石）质量 D．减小筛子（连同筛子里边的矿石）质量 17．（25-26高二下·全国·随堂练习）铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过钢轨接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为12.6m，列车固有振动周期为0.315s。下列说法正确的是（　　） A．列车的危险速率为40m/s B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象 C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的 D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行 18．（25-26高二上·贵州·期中）如图甲为研究单摆共振现象的装置，其中、、三个小球质量相等，且均可视为质点。球和球的摆长相同，球的摆长不同。图乙为球做受迫振动时振幅随驱动力频率变化的图像。初始时所有小球静止，将球向后拉开一个小角度释放，球做简谐运动。一段时间后，球和球也开始振动。关于此实验，下列哪些说法正确的是（　　） A．球和球做受迫振动，驱动力来自球的振动。 B．球的振幅最大，因为球的固有频率与球的振动频率相同。 C．球的振幅大于球的振幅，因为球的质量与球相同。 D．图乙中，共振峰对应的频率等于球的固有频率。 三、解答题 19．（24-25高二下·青海海南·期末）如图所示为某单摆的共振曲线，取． (1)该单摆的摆长为多少米？（保留两位有效数字） (2)增大摆长，共振曲线振幅最大值的横坐标如何变化？ 20．（21-22高二下·广东佛山·期末）如图所示，在张紧的绳子上挂、、、四个摆，其中、摆长相同。将摆拉离平衡位置一定距离后释放，摆开始摆动，并通过绳子给摆、、施加驱动力，使、、做受迫振动，忽略其他能量损耗。试解答以下问题： （1）比较四个摆的周期大小，并简要说明理由； （2）、、三个摆中谁的摆幅最大？为什么？ （3）分析摆摆动过程中机械能是否守恒，并简要说明理由。 21．（21-22高二上·全国·单元测试）如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，球将做阻尼振动。现使圆盘以不同的频率振动，测得共振曲线如图乙所示。（g=9.86m/s2，π=3.14） （1）当圆盘以0.4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？ （2）若一个单摆的摆动周期与球做阻尼振动的周期相同，该单摆的摆长约为多少？（结果保留三位有效数字） 22．（20-21高二·全国·课后作业）如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。问： （1）开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？ （2）在振子正常振动过程中，以转速4r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？ （3）若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？为什么？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲：受迫振动　共振 · 考点一：阻尼振动的问题 · 考点二：受迫振动 · 考点三：共振条件和曲线 · 考点四：受迫振动与共振交汇 · 考点五：机械振动和力学的综合问题 知识点一、固有振动、阻尼振动 1．固有振动和固有频率 (1)固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动． (2)固有频率：固有振动的频率． 2．阻尼振动 (1)阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼． (2)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图所示． (3)振动系统能量衰减的两种方式 ①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能． ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去． 知识点二、受迫振动 1．驱动力 作用于振动系统的周期性的外力． 2．受迫振动 (1)定义：系统在驱动力作用下的振动． (2)受迫振动的频率(周期) 物体做受迫振动达到稳定后，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关． 知识点三、共振 1．定义 驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振． 2．共振曲线(如图2所示) 图2 技巧归纳：三种振动 (1)简谐运动：一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑． (2)阻尼振动：考虑阻力的影响，是更实际的一种运动． (3)受迫振动：物体做阻尼振动时在驱动力作用下的振动． 2．三种振动的比较 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 有固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 振动图像 形状不确定 常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 题型一：阻尼振动的问题 【典例1】．（25-26高二下·全国·随堂练习）关于阻尼振动，以下说法中不正确的是（　　） A．动能与势能之和不断减小 B．动能不断减小 C．振幅不断减小 D．一定不是简谐运动 【答案】B 【详解】ACD．阻尼振动是振幅不断减小的振动，故阻尼振动一定不是简谐运动，而振幅是振动能量的标志，故阻尼振动中机械能也不断减小，故ACD正确，不符合题意； B．在阻尼振动中，动能会随振动过程周期性变化（如在平衡位置动能最大，在最大位移处动能为零），并非单调减小；虽然每个周期的最大动能因振幅减小而降低，但整体上动能并非“不断减小”，故B错误，符合题意。 本题选不正确的，故选B。 【变式1】．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图所示，为某秋千的阻尼振动的图像，根据图像分析下列说法正确的是（　　） A．摆球在M点和N点时对绳子的拉力大小相等 B．摆球在M点和N点时重力势能相同 C．摆球在M点和N点时的速度相同 D．单摆振动的周期明显逐渐变长 【答案】B 【详解】BC．由于单摆在运动过程中要克服阻力做功，振幅逐渐减小，摆球的机械能逐渐减少，所以摆球在M点所对应时刻的机械能大于在N点所对应的机械能。由于在M、N两点，摆球的位移大小相同，故在这两点摆球相对零势能点的高度相同，重力势能也相同，但由于M点的机械能大于N点的机械能，所以M点对应时刻的动能大于在N点对应时刻的动能，根据动能的公式 可得摆球在M点的速度大于在N点时的速度，故B正确，C错误； A．摆球在M点和N点时位移的大小相同，细线与竖直方向的夹角也相同，设拉力为，由牛顿第二定律 可得摆球在M点对绳子的拉力大于在N点对绳子的拉力，故A错误； D．由图可得，单摆振动的周期没有明显变化，单摆的周期与摆长有关，故周期不变，故D错误。 故选B。 【变式2】．（2025·广东深圳·二模）上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图所示。关于阻尼器的说法正确的是（　　） A．振动周期越来越小 B．t=4s时的动能为零 C．t=8s时沿x轴负方向运动 D．t=10s时加速度沿x轴负方向 【答案】D 【详解】A．由图可知，振动周期不变，故A错误； B．t=4s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误； C．t=8s时图线切线的斜率为正，则沿x轴正方向运动，故C错误； D．由图可知，t=10s时位移达到正向最大，则加速度最大，方向沿x轴负方向，故D正确。 故选D。 【变式3】．（24-25高二下·河南·期中）如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移一时间图像，、、是图像上的三个点，其中、两点在同一条水平线上，、两点到平衡位置的距离相等，下列说法正确的是（　　） A．摆球在时刻的机械能等于在时刻的机械能 B．摆球在时刻的势能大于在时刻的势能 C．摆球在时刻做减速运动 D．摆球在时刻高度正在降低 【答案】D 【详解】A．由于振幅逐渐减小，故摆球的机械能逐渐减小，摆球在时刻的机械能大于在时刻的机械能，故A错误； B．摆球在与时刻位移相等，即单摆所处高度相同，则重力势能相同，故B错误； C．由图可知摆球在点时正在靠近平衡位置，速度在增大，即摆球在点时做加速运动，故C错误； D．摆球在点时也正在靠近平衡位置，高度在降低，故D正确。 故选D。 题型二：受迫振动 【典例2】．（25-26高二上·湖北·期末）一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子驱动力，使弹簧振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给弹簧振子一向下的初速度，弹簧振子便做简谐运动，振动图像如图乙所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，弹簧振子的振动图像如图丙所示。若用表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，y表示受迫振动达到稳定后弹簧振子振动的振幅，则（　　） A．由乙图线可知 B．由乙图线可知 C．当时，弹簧振子做受迫振动的振幅最小 D．当时，弹簧振子做受迫振动的振幅最大 【答案】A 【详解】AB．由乙图线可知，A正确，B错误； CD．当驱动力的频率等于振子的固有频率时会产生共振，此时弹簧振子的振幅最大，即当时，弹簧振子做受迫振动的振幅最大，CD错误。 故选A。 【变式1】．（25-26高二上·江苏无锡·期末）如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率约为0.3Hz。现使圆盘以频率匀速转动，待小球振动达到稳定后记录数据。改变圆盘转动频率，记录小球的振幅A与圆盘的频率之间关系如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．圆盘的频率只能为0.3Hz B．振动系统的固有频率约为0.3Hz C．增大圆盘的转动频率，小球的振幅变大 D．增大圆盘的转动频率，小球的振幅变小 【答案】B 【详解】A．圆盘带动T形支架，为振动系统提供驱动力，其转动频率f是驱动力的频率。根据图乙可知，驱动力频率f是变化的，并非只能为0.3Hz，故A错误； B．图乙是受迫振动的共振曲线。当驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅A最大，发生共振。从图中可以看出，当驱动力的频率约为0.3Hz时，振幅最大，说明振动系统的固有频率约为0.3Hz，故B正确； C．从图乙中可以看出，当驱动力频率f小于固有频率时，增大圆盘的转动频率，小球的振幅变大；当驱动力频率f大于固有频率时，增大圆盘的转动频率，小球的振幅变小，故C错误； D．从图乙中可以看出，当驱动力频率f小于固有频率时，增大圆盘的转动频率，小球的振幅变大，故D错误。 故选B。 【变式2】．（25-26高二上·江苏淮安·期末）如图所示为某同学用轻质细线悬挂小球做成的单摆，在周期性推力作用下使小球做受迫振动，则（　　） A．推力频率越大，单摆振幅越大 B．推力频率越小，单摆振幅越小 C．小球做受迫振动的频率由推力频率决定 D．小球做受迫振动的频率由自身固有频率决定 【答案】C 【详解】CD．小球做受迫振动，振动的频率等于驱动力的频率，即由推力的频率决定，故C正确，D错误； AB．当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动系统发生共振现象，此时振动系统的振幅最大，当驱动力的频率小于固有频率时，随着驱动力频率增大，振幅变大；当驱动力的频率大于固有频率时，随着驱动力频率增大，振幅变小，故AB错误。 故选C。 【变式3】．（25-26高二上·湖北十堰·期末）一个有固定转动轴的竖直圆盘如图甲所示，圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。当圆盘静止时，让小球振动，其振动图像如图乙所示。现使圆盘匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，下列说法正确的是（　　） A．小球振动时的周期一定是4s B．圆盘转动越快，小球振幅越大 C．若圆盘以60r/min匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为2s D．若圆盘以10r/min匀速转动，欲使小球振幅增加则可使圆盘转速适当增大 【答案】D 【详解】A．小球做受迫振动时，小球的周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4s，故A错误； B．当驱动频率接近固有频率时，振幅增大；当驱动频率等于固有频率时，发生共振，振幅最大。当驱动频率远离固有频率时，振幅减小。因此圆盘转动越快（驱动频率越大），小球振幅越大的说法不一定正确，故B错误； C．若圆盘以60r/min匀速转动，则驱动力周期 小球稳定后做受迫振动，其周期等于驱动力周期，即为1s，故C错误； D．题意可知系统固有周期为4s，固有频率为0.25Hz，若圆盘以10r/min匀速转动，则驱动力频率 此时驱动力频率小于系统的固有频率，适当增大转速，驱动力频率会更接近固有频率，振幅会增大（向共振靠近），故D正确。 故选D。 题型三：共振条件和曲线 【典例3】．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）把一些长度不同的钢片安装在同一个支架上，可以制作转速计。把这样的转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，此时各个钢片的振幅与它们的固有频率之间的关系如图所示。下列说法正确的是（　　） A．各个钢片的振动频率一定是各自的固有频率 B．等于机器的振动频率 C．一定是最短钢片的固有频率 D．若机器的振动频率减小，则出现最大振幅的钢片对应的固有频率大于 【答案】B 【详解】A．各个钢片的振动频率等于机器的振动频率，选项A错误； BC．固有频率为的钢片接触机器时发生了共振，说明等于机器的振动频率，选项B正确、C错误； D．若机器的振动频率减小，则出现最大振幅的钢片对应的固有频率小于，选项D错误。 故选B。 【变式1】．（25-26高二上·陕西榆林·期末）如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），则下列说法正确的是（    ） A．此单摆的摆长约为0.5m B．此单摆的固有周期约为0.5s C．若摆长变小，共振曲线的峰将右移 D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将右移 【答案】C 【详解】AB．共振时振幅最大，对应驱动力的频率等于单摆的固有频率，可知 根据 单摆的周期 解得，故AB错误； C．根据周期公式可知：若摆长变小，则单摆的周期变小，则单摆的固有频率增大。可知共振曲线的峰将右移，故C正确； D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，重力加速度减小，则固有周期变大，则固有频率变小，可知共振曲线的峰将左移，故D错误。 故选C。 【变式2】．（25-26高二上·江西宜春·月考）一个单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，重力加速度g=10m/s2，则（　　） A．此单摆的固有周期约为0.5s B．此单摆的摆长约为10m C．若摆球质量增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动 【答案】D 【详解】AB．当驱动力频率等于固有频率时，发生共振，振幅最大；由题图可知，此单摆的固有频率为，则固有周期为 根据，可得此单摆的摆长约为，故AB错误； C．根据，若摆球质量增大，单摆的固有频率不变，故C错误； D．若摆长增大，根据可知，固有周期变大，固有频率变小，则共振曲线的峰将向左移动，故D正确。 故选D。 【变式3】．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线Ⅱ表示月球上单摆的共振曲线 B．若两次受迫振动都是在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比l1:l2＝4:25 C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1m D．若摆长约为1m，则图线Ⅰ有可能是在地球上完成的 【答案】C 【详解】A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，因为图线Ⅰ单摆的固有频率较小，则固有周期较大，根据 可知周期大的重力加速度小，则图线Ⅰ是月球上单摆的共振曲线，故A错误； B．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则重力加速度相等，由图可知固有频率比为2:5，则固有周期比为5:2，根据 可知摆长比为l1:l2＝25:4，故B错误； CD．图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，则固有频率为0.5Hz，则固有周期为T=2s，根据 代入数据解得，故C正确，D错误。 故选C。 题型四：受迫振动与共振交汇 【典例4】．（25-26高二上·广西河池·期末）如图所示，绷紧的水平绳子上悬挂着A、B、C、D四个摆长不同的摆球，若让摆球A在垂直于水平绳的竖直平面内先摆动起来，摆球B、C、D也摆动起来，待稳定时，下列说法正确的是（　　） A．摆球D的周期最小 B．四个摆球的周期相同 C．摆球B、C、D的振幅相同 D．摆球B、C、D中，摆球B经过最低点时速度最小 【答案】B 【详解】AB．若让A摆先摆动起来，其余摆则是做受迫振动，受迫振动中的周期相同，四个摆球的周期和频率都相同，故A错误，B正确； CD．单摆的周期为，因此B的固有周期和驱动力的周期更接近，振幅更大，摆角更大，经过最低点的速度更大，故CD错误。 故选B。 【变式1】．（25-26高二·全国·假期作业）如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，a和d的摆长相等，a的摆球质量大于其他各摆。让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动，接着其余各摆也开始振动。各摆球振动稳定后（　　） A．d摆的振幅最大，周期最大 B．c摆的振幅最大，周期最大 C．d摆的振幅最大，各摆的周期相同 D．c摆的振幅最大，各摆的周期相同 【答案】C 【详解】a摆摆动，其余各摆也摆动起来，它们均做受迫振动，则它们的振动频率（周期）均等于a摆的摆动频率（周期），而由于a、d摆长相同，所以这两个摆的固有频率相同，则d摆出现共振现象，振幅达到最大。 故选C。 【变式2】．（25-26高二·全国·假期作业）某同学利用如图所示的装置做多个单摆实验。在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，当驱动摆A摆动起来后，摆B、C、D、E也跟着摆动起来。已知摆长，在振动稳定后，下列说法正确的是（　　） A．驱动摆A只是把振动形式传递给其他单摆，并不传递能量 B．摆球C的振幅小于摆球D C．摆球B、C、D、E的摆动周期满足 D．摆球C摆动过程中多次通过同一位置时，加速度一定相同 【答案】D 【详解】A．在受迫振动中，驱动摆A不仅传递振动形式，还传递能量，这样才能使其他单摆获得振动的能量而摆动起来，故A错误； B．根据共振条件，当受迫振动的单摆固有频率与驱动摆的频率越接近时，振幅越大；由题知，根据单摆周期公式有 可知摆球C的固有周期与驱动摆A的周期相等，即两者频率相等，故摆球C会发生共振，振幅最大；摆球D的固有周期与驱动摆A的周期相差较大，即两者频率相差较大，故摆球D不会发生共振，振幅相对较小，故摆球C的振幅大于摆球D，故B错误； C．受迫振动的特点是，振动稳定后，受迫振动的周期等于驱动摆的周期，与单摆自身的固有周期无关。所以摆球 B、C、D、E 的摆动周期都等于驱动摆 A 的周期，即，故C错误； D．摆球C摆动过程中多次通过同一位置时，位移相同。根据牛顿第二定律 可得 可知摆球C摆动过程中多次通过同一位置时，加速度一定相同，故D正确。 故选D。 【变式3】．（25-26高二上·浙江·月考）如图所示，张紧的水平绳上吊着四个小球，两球的悬线长度相等，球的悬线最长，球的悬线最短。球的质量较小，其余三球质量相同。现让球在垂直水平绳的方向摆动，之后观察到其余各球也开始摆动。则（　　） A．球的振幅最大 B．球的振幅最大 C．球的频率最大 D．球的频率最大 【答案】B 【详解】A．a球摆动，通过水平绳对b、c、d三个球产生周期性的驱动力，使它们做受迫振动。当驱动力的频率等于（或接近）摆球的固有频率时，摆球发生共振，振幅最大。根据公式 可知，单摆的固有频率由摆长决定，b球的摆长与a球不同，其固有频率与驱动频率（即a球的固有频率）相差较大，因此振幅较小。故A错误； B．因为a、c两球的悬线长度相等，所以它们的固有频率相等。a球的振动频率（驱动频率）等于c球的固有频率，c球发生共振，因此c球的振幅最大。故B正确； CD．b球的频率不是最大。b、c、d三个球都在a球的驱动下做受迫振动，受迫振动的频率由驱动力的频率决定，与自身的固有频率无关。因此b、c、d三个球的振动频率都等于a球的振动频率。故CD错误。 故选B。 题型五：机械振动和力学的综合问题 【典例5】．（25-26高二上·江苏连云港·月考）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅与驱动力频率的关系如图1所示，如图2是在驱动力作用下做受迫振动的振动图像，求 (1)该单摆的摆长（，取）； (2)写出图2的振动方程（用正弦函数表示），并求出时摆球的位移。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由图像可知，此单摆的固有频率为，由频率和周期之间的关系可得周期为 根据周期公式 可得单摆的摆长 （2）图2的周期为，振幅为，可得振动方程为 初始时刻位移为，代入可得 可得振动方程为 时摆球的位移为 【变式1】．（24-25高二上·全国·单元测试）如图甲所示，T形支架的下面系着一个弹簧和小球，小球浸没在水中，固定在竖直圆盘上的小圆柱带动T形支架在竖直方向振动。当圆盘静止时，让小球在水中振动，小球将做阻尼振动。当圆盘以不同的频率转动时，测得小球振动的振幅与圆盘转动频率的曲线如图乙所示。（重力加速度g取9.86m/s2，） (1)圆盘以0.4s的周期匀速转动时，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？ (2)若一个单摆的摆动周期与该小球做阻尼振动的周期相同，则该单摆的摆长为多少？（结果保留三位有效数字） 【答案】(1)2.5Hz (2)2.78m 【详解】（1）小球振动达到稳定时的周期为0.4s，由可得小球振动的频率为2.5Hz； （2）由题图乙可以看出小球做阻尼振动的频率为0.3Hz，可得单摆的摆动频率为0.3Hz，周期为 由单摆的周期公式，可得该单摆的摆长为 【变式2】．（22-23高二下·河南·期中）某物理学习小组制作了一个实验装置，如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，求： （1）开始时不转动把手，用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在20s内完成50次全振动，其固有周期和固有频率各是多少？ （2）某同学若以转速5r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，其周期和频率各是多少？ 【答案】（1），2.5Hz；（2）0.2s，5Hz 【详解】（1）用手往下拉振子使振动系统获得一定能量，放手后，在不计空气阻力和摩擦的情况下，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，故它做简谐运动，其周期和频率是由它本身的性质决定的，称固有周期T固和固有频率f固，根据题意可得 （2）由于把手转动的转速为5r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为 驱动力周期为 故振子做受迫振动，振动达到稳定状态后，其振动的频率 振动的周期为 【变式3】．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）在弹性横梁上悬挂四个小球M、N、O、P，当其中一个摆振动起来后，其他的摆也随之开始振动。 (1)在组装实验装置时，我们可以在下列器材中选择用___________和________________。 A．长度为40cm的细线 B．长度为1m的橡皮绳 C．直径为1cm的塑料球 D．直径为1cm的小钢球 (2)当摆自由振动时，M、N、O、P四个摆的振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是( ) A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s C． 若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s (3)其中一个摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，O为单摆的固定悬点，摆线与竖直方向的最大夹角为θ。摆线上拉力的大小随时间的变化如图所示，重力加速度为g。 求：①该单摆的周期； ②该单摆的摆长； ③摆球在最低点B处的速度大小。 【答案】(1)AD (2)D (3)①；②；③ 【详解】（1）在组装实验装置时，摆球要选择小且重的，摆线要细、轻、不易伸长的绳子。 故选AD。 （2）若使M振动起来，其他单摆的振动周期与M的相同，都是2s，P的固有周期与M的相同，故P振动的幅度最大；同理，若使O振动起来，其他单摆的振动周期与O的相同，都是3s； 若使P振动起来，P的固有周期与M的相同，故稳定时M比N的振幅大。 故选D。 （3）①由图像可知，该单摆的周期为 ②根据单摆的周期公式可知 ③由动能定理可知 解得 一、单选题 1．（25-26高二上·河北衡水·月考）铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过钢轨接缝处时，车轮就会受到一次冲击，列车受到周期性的冲击做受迫振动，设计列车运行速度时应考虑尽量防止列车发生共振。某条平直铁路上每根钢轨的长度为，列车的固有频率为，随着列车从车站由静止逐渐加速开出车站，下列说法正确的是（　　） A．列车做受迫振动的振幅与列车速度大小无关 B．为了防止列车发生共振，列车的运行速率应为 C．加速开出车站的过程中，列车的固有频率保持不变 D．加速开出车站的过程中，列车做受迫振动的振幅一定一直增大 【答案】C 【分析】列车受钢轨接缝冲击的驱动力频率为（为列车速度）；固有频率由物体本身性质决定，与外界条件无关；当驱动力频率等于固有频率时发生共振，振幅最大。 【详解】A．受迫振动的振幅由驱动力频率和固有频率的差值决定，速度变化时变化，差值变化，振幅随之改变，故A错误； B．当时，，此时驱动力频率等于固有频率，发生共振，是需要避免的运行速率，故B错误； C．固有频率是列车的固有属性，与运动速度无关，加速过程中保持不变，故C正确； D．加速过程中，列车速度从0开始逐渐增大，驱动力频率也从0开始逐渐增大。当从0逐渐增大并接近固有频率时，受迫振动的振幅逐渐增大；当时，振幅达到最大；当继续增大并远离固有频率时，振幅逐渐减小。因此，加速开出车站的过程中，列车做受迫振动的振幅是先增大后减小，并非一直增大，故D错误。 故选C。 2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅与驱动力频率的关系）如图所示，重力加速度，则（　　） A．驱动力周期约为0.25s B．此单摆的摆长约为1m C．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向右移动 D．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向左移动 【答案】C 【详解】A．当驱动力频率等于单摆固有频率时，单摆振幅最大，由图像可知当驱动力频率为0.250Hz时单摆振幅最大，故单摆固有频率为0.250Hz，故，故A错误； B．又因为，联立可得摆长为，故B错误； CD．由单摆周期公式可知，故若摆长适当减小，则固有频率变大，共振曲线的峰将向右移动，故C正确，D错误。 3．（25-26高二上·广东梅州·期末）人拿装有水的水杯走路时，有时杯里的水会荡得厉害，甚至从杯中溅出来.如图所示，人拿水杯（含水）走路时的固有频率约，下列说法正确的是（   ） A．无论走路快慢，都会出现水剧烈晃动的现象 B．当走路的步伐频率接近时，易引发共振，使水的晃动幅度增大 C．水溅出是因为水杯的固有频率远大于走路的频率 D．若加快走路速度，步伐频率降低，更易与固有频率匹配引发共振 【答案】B 【详解】AB．当人走路时，水杯做受迫振动，当走路的步伐频率接近水杯的固有频率时，易引发共振，使水的晃动幅度增大，出现水剧烈晃动的现象，A错误，B正确； C．水杯的固有频率远大于走路的频率时，水杯中的水不会发生共振，水不会溅出，C错误； D．若加快走路速度，步伐频率降低，远离水杯的固有频率，反而不易与固有频率匹配引发共振，D错误。 故选B。 4．（26-27高二上·浙江杭州·期末）四个弹簧支撑的共振筛如图甲所示，筛子上装一个电动偏心轮，每转一周给筛子一个驱动力，共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子上农作物的质量，可增大筛子的固有周期。某时刻，偏心轮的转速是60r/min，则（　　） A．此刻筛子做受迫振动的频率是0.8Hz B．适当提高转速，筛子的振幅会增大 C．逐渐增大电压，筛子的振幅逐渐减小 D．随着农作物的漏出，筛子的振幅逐渐减小 【答案】C 【详解】A．此刻偏心轮的转速是60r/min=1r/s，偏心轮的频率为1Hz，可知筛子做受迫振动的频率是1Hz，A错误； BC．筛子的固有频率为0.8Hz，若逐渐增大电压，则可提高转速，筛子做受迫振动的频率变大，从而远离筛子的固有频率，则筛子的振幅会减小，B错误，C正确； D．随着农作物的漏出质量较小，筛子的固有周期减小，固有频率变大，从而更加接近受迫振动的频率，则振幅逐渐增加，D错误。 故选C。 5．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（　　） A．在时刻处于失重状态 B．在时刻向下运动 C．在时刻速度为零 D．木筷（含铁丝）振动过程中，机械能保持不变 【答案】A 【详解】A．在时刻，振动物体处于正的最大位移处，加速度方向竖直向下，物体处于失重状态，故A正确； BC．图像可知在时刻，物体处于平衡位置，加速度为零，合力为零，且向上运动，速度不为零，故BC错误； D．由于物体做减幅振动，所以运动过程中，机械能一直减小，故D错误。 故选A。 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）生活中端着装满水的茶杯走路时水会洒出，挑装满水的桶走路时水会洒出，如图所示为某人挑水，水桶和扁担系统的固有频率为2Hz，人走路的步距为0.6m，下列说法正确的是（　　） A．人走路的速度越大，水洒得越多 B．当人走路的频率为2Hz时水不会洒出 C．当人走路的速度为1.2m/s时水洒出得最多 D．当人走路的速度为0.3m/s时水洒出得最多 【答案】C 【详解】AB．当人走路的步频和扁担与木桶（含水）的固有频率（2Hz）相等时会发生共振，此时水晃动得最剧烈，则人走路的步频越快或越慢不一定会使桶里的水晃动得越剧烈，AB错误； CD．做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以人走路时扁担与木桶（含水）上下振动的频率等于人的步频，当人的步频等于水桶和扁担系统的固有频率时水洒出得最多，则此时人走路的速度为v=λf=0.6×2m/s=1.2m/s，故C正确，D错误。 故选C。 7．（25-26高二上·全国·课前预习）如图所示的装置可用于研究受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给轻弹簧和砝码组成的系统提供驱动力，使其做受迫振动。已知该系统的固有频率为f0，改变把手的转动速度可以调整驱动力的频率。则以下说法中正确的是（　　） A．改变把手的转动速度，系统做受迫振动的频率保持不变 B．系统做受迫振动的频率总等于驱动力的频率 C．匀速转动把手的速度越大，系统的振幅也越大 D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0 【答案】B 【详解】AB．振动系统稳定时，系统做受迫振动的频率等于驱动力的频率，当把手的转动速度改变，即驱动力的频率改变时，系统做受迫振动的频率改变，故A错误，B正确； C．匀速转动把手的速度越大，驱动力的频率越大，由于不能判断驱动力的频率与固有频率的大小关系，则不能确定系统振幅的变化，故C错误； D．稳定时系统的频率等于驱动力的频率，故D错误。 故选B。 8．（25-26高二上·河北沧州·期中）市政单位经常使用共振破碎机来破碎旧水泥路面，破碎机有专用传感器感应路面的振动。某次破碎机工作时获得水泥路面的振幅A随锤头击打水泥路面的频率f变化的图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．为使得破碎效果最佳，锤头击打水泥路面的频率应为f0 B．水泥路面的振动频率与锤头击打水泥路面的频率无关 C．只要增大锤头击打水泥路面的频率，水泥路面的振幅就一定增大 D．破碎机停止击打路面，水泥路面也立即停止振动 【答案】A 【详解】A．根据共振发生的条件可知，当锤头的振动频率等于水泥路面的固有频率时，水泥路面发生共振，振幅最大，破碎效果最佳，所以锤头击打水泥路面的频率应为，故A正确； B．不管系统的固有频率如何，它做受迫振动的频率总等于周期性驱动力的频率，所以水泥路面的振动频率与锤头击打水泥路面的频率相等，B错误； C．由图像可知，锤头击打水泥路面的频率等于水泥路面的固有频率时，水泥路面的振幅最大，锤头击打水泥路面的频率大于水泥路面的固有频率后，振幅减小，所以增大锤头击打水泥路面的频率，水泥路面的振幅不一定增大，C错误； D．破碎机停止击打路面，水泥路面不能立即停止振动，需要经过一段时间振动才会停止，故D错误。 故选A。 9．（25-26高二上·山东烟台·期中）如图所示，在一根张紧的绳子上静止悬挂几个摆长不同的摆球a、b、c、d，且悬线长，现使a摆偏离平衡位置小角度后释放，a摆在振动中通过细绳对其他几个摆施加周期性的驱动力。在振动稳定后，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．d摆的振动周期最短 B．a、b、c、d的振动周期不同 C．c摆振动的振幅最大 D．b摆摆长最长，振动的振幅最大 【答案】C 【详解】AB．所有摆的振动频率都等于驱动频率，所以振动周期都相同，故AB错误； CD．所有摆的振动都是受迫振动，当驱动力频率与固有频率相等，振幅最大，c摆与a摆摆长相同，固有周期相等，所以振动的振幅最大，故C正确，D错误。 故选C。 10．（25-26高二上·河北邯郸·期中）振动送料机是工业中常用的物料输送设备，其简化模型如图所示：水平料槽通过两根轻弹簧与固定支架连接，料槽下方安装有电动偏心轮，偏心轮转动时给料槽提供水平周期性驱动力。已知料槽的固有频率与总质量m成反比（质量越大，固有频率越小）。某次调试中，料槽空载时固有频率Hz，偏心轮转速调至n=120r/min时料槽振幅较小。忽略弹簧质量及摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　） A．当前驱动力频率为1.0Hz B．仅向料槽内添加物料（增大总质量），料槽振幅增大 C．仅降低偏心轮转速至60r/min，料槽振幅增大 D．关闭电源后，料槽振动的周期随振幅减小而增大 【答案】C 【详解】A．偏心轮转速调至时，驱动力频率为，故A错误； B．仅向料槽内添加物料（增大总质量），固有频率变小，驱动力频率和固有频率相差更大，料糟振幅减小，故B错误； C．仅降低偏心轮转速至，驱动力频率为，等于固有频率，此时达到共振，料槽振幅增大，故C正确； D．关闭电源后，驱动力消失，料槽做阻尼振动。对于一个振动系统（如弹簧振子），其振动周期（即固有周期）由系统本身的性质（质量和劲度系数）决定，与振幅无关。因此，料槽振动的周期不随振幅的减小而改变，故D错误。 故选C。 二、多选题 11．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）为了能观察到某玻璃杯在声波驱动下发生的振动，一同学在杯中放入一根如图所示的质量很小的吸管并靠近杯子拉动特制琴弦，发现吸管会发生明显的摆动，逐渐改变琴弦振动的频率，该玻璃杯会破碎。关于此现象，下列分析正确的是（　　） A．吸管的摆动属于受迫振动 B．该玻璃杯振动的频率比琴弦振动的频率大 C．增大琴弦振动的频率，该玻璃杯的振幅一定变大 D．该玻璃杯破碎时不一定发生了共振 【答案】AD 【详解】A．吸管在外界驱动力的作用下发生摆动，属于受迫振动，故A正确； B．受迫振动的物体振动的频率等于驱动力的频率，因此玻璃杯振动的频率等于琴弦振动的频率，故B错误； C．当琴弦振动的频率等于玻璃杯的固有频率时，玻璃杯的振幅最大，增大琴弦的振动频率，若偏离玻璃杯的固有频率，则玻璃杯的振幅会减小，故C错误； D．当驱动力的频率接近或等于玻璃杯的固有频率时，玻璃杯可能会因为振幅较大而导致破碎，也可能振动频率未达到完全共振时，由于声波强度足够大的原因导致玻璃杯破碎，故D正确。 故选AD。 12．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架仅在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的弹簧振子，当圆盘静止时，小球可稳定振动。改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图乙所示。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动已达到稳定，则下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子的振动频率为0.25Hz B．弹簧振子的振动频率为3Hz C．若圆盘匀速转动的周期减小，弹簧振子的振动频率变大 D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向左移动 【答案】AC 【详解】A．弹簧振子做受迫振动，其振动频率与外界驱动力频率相同。圆盘转动的频率为 所以弹簧振子的频率也是0.25Hz，故A正确，B错误； C．若圆盘匀速转动的周期减小，圆盘的频率会增大，所以弹簧振子做受迫振动的频率也增大，故C正确； D．根据图乙可知弹簧振子的固有频率是3Hz，共振曲线的峰值出现在驱动力频率与固有频率相等时，是不会变的，故D错误。 故选AC。 13．（25-26高二上·甘肃白银·月考）下列说法中正确的有（　　） A．阻尼振动的振幅不断减小 B．物体做阻尼振动时，随着振幅的减小，频率也不断减小 C．阻尼振动的振幅逐渐减小，所以周期也逐渐减小 D．阻尼过大时，系统将不能发生振动 【答案】AD 【详解】ABC．振幅越来越小的振动叫做阻尼振动，阻尼导致能量的耗散，但其周期和频率不变，故A正确，BC错误； D．阻尼过大时，能量耗散过大，则系统将不能发生振动，D正确。 故选AD。 14．（25-26高二·全国·假期作业）如图甲所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，其振动曲线如图乙所示；然后以某一转速匀速转动摇把，当振子振动稳定后，其振动图像如图丙所示。下列说法正确的是（　　） A．匀速转动摇把，振子振动稳定后的振动周期为0.4s B．把手匀速转动的转速为 C．为了增大振子振动的振幅，应增大把手的转速 D．当把手匀速转动的频率为2.5Hz时，振子振动的振幅最大 【答案】CD 【详解】A．弹簧振子振动稳定时的频率和周期与自身的固有周期和频率无关，等于受迫振动时驱动力的频率和周期，而匀速转动摇把施加驱动力的周期为，故A错误； B．由图知，摇把匀速转动的周期为0.8s，转动频率为 转速为，故B错误； C．弹簧振子自由振动时的周期为，振动    频率为 由于此时摇把匀速转动的周期为0.8s，转动频率为1.25Hz，要增大振子振动的振幅，必须使摇把的转动频率向弹簧振子的固有频率靠近，因此应增大摇把的转速，故C正确； D．匀速转动摇把，当振子振动的振幅最大时，驱动力的频率应该和弹簧振子的固有频率相同。弹簧振子上下自由振动时的周期为0.4s，振动频率为2.5Hz，故当摇把匀速转动的频率为2.5Hz时，振子振动的振幅最大，故D正确。 故选CD。 15．（25-26高二上·广东中山·月考）二段考前复习时小艾在课本中选取了几幅图片进行了知识回顾，如图所示。她的以下复述正确的是（　　）     A．图甲中装有墨汁的注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，在木板上的墨汁图样，大致表示注射器末端运动规律图像 B．研究受迫振动的实验如图乙所示，原来静止的四个小球，当a摆起来以后，其余三个小球会逐渐摆动起来，c的振幅最大，b的振幅最小，a、d的振幅相等 C．图丙是阻尼振动的位移—时间图，由图像可知随着时间的增加振子的振幅不断减小，周期不断增大 D．图丁是共振筛的原理图，偏心轮每转动一周，对筛板施加一个驱动力，当驱动力频率等于筛子的固有频率时，筛子振幅明显增大 【答案】AD 【详解】A．图甲中，装有墨汁的注射器做简谐运动，木板沿垂直摆动方向匀速拖动时，墨汁在木板上的图样是简谐运动的振动图像（x−t图像），因为木板的匀速运动将 “时间” 转化为 “空间位移”，能直观呈现注射器末端的位移随时间的变化规律，故A正确； B．图乙是受迫振动实验：a摆动后，通过悬线给d、b、c施加驱动力。受迫振动中，驱动力频率与固有频率越接近，振幅越大。a的摆长与d相等，固有频率与驱动力频率（a的振动频率）相等，会发生共振，d振幅最大；b的摆长与a差异最大，固有频率与驱动力频率相差最大，b振幅最小；c的摆长介于b、d之间，故c的振幅介于b和d之间，故B错误； C．图丙是阻尼振动的x−t图像。阻尼振动中，振幅随时间减小，但周期由振动系统本身决定，即周期保持不变（因为振动系统的固有周期不变），故C错误； D．图丁是共振筛原理图：偏心轮每转一周，给筛板一个驱动力。根据共振条件，当驱动力频率等于筛子的固有频率时，筛子发生共振，振幅会明显增大，故D正确。 故选AD。 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）工业上筛选矿石的筛子可以简化为如图所示的模型，筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子（连同筛子里边的矿石）的质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是30r/min。为了使筛子的振幅增大，可以（　　） A．增大电压 B．减小电压 C．增加筛子（连同筛子里边的矿石）质量 D．减小筛子（连同筛子里边的矿石）质量 【答案】AC 【详解】在某电压下偏心轮的转速是，即周期为 所以驱动力的频率 由乙图可知筛子的固有频率 由于驱动力的频率小于固有频率，要使振幅变大，应增大驱动力的频率或减小筛子的固有频率，即可以增大偏心轮电压或增加筛子的质量。 故选AC。 17．（25-26高二下·全国·随堂练习）铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过钢轨接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为12.6m，列车固有振动周期为0.315s。下列说法正确的是（　　） A．列车的危险速率为40m/s B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象 C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的 D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行 【答案】AD 【详解】A．对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率，故A正确； B．列车过桥需要减速，从而降低车轮与铁轨接缝撞击的频率，防止桥梁发生共振现象，保护桥梁安全，故B错误； C．振动频率由驱动力的频率决定。做受迫振动的物体，其振动频率总等于驱动力的频率.与物体的固有频率无关，故C错误； D．根据可知由于列车固有频率不变，增加钢轨的长度时，列车固有频率对应的周期不变，故有利于列车高速运行，故D正确。 故选AD。 18．（25-26高二上·贵州·期中）如图甲为研究单摆共振现象的装置，其中、、三个小球质量相等，且均可视为质点。球和球的摆长相同，球的摆长不同。图乙为球做受迫振动时振幅随驱动力频率变化的图像。初始时所有小球静止，将球向后拉开一个小角度释放，球做简谐运动。一段时间后，球和球也开始振动。关于此实验，下列哪些说法正确的是（　　） A．球和球做受迫振动，驱动力来自球的振动。 B．球的振幅最大，因为球的固有频率与球的振动频率相同。 C．球的振幅大于球的振幅，因为球的质量与球相同。 D．图乙中，共振峰对应的频率等于球的固有频率。 【答案】ABD 【详解】A．a球通过横梁对b球和c球施加周期性作用力，使其发生受迫振动，驱动力来自a球的振动，故A正确； B．c球振幅最大，因为c球和a球的摆长相同，c球的固有频率与驱动力频率相同，c球发生共振，故B正确； C．受迫振动振幅大小取决于驱动力频率与固有频率的接近程度，与质量无关。b球与a球摆长不同，b球固有频率与驱动力频率不同，振幅小于c球，故C错误； D．图乙是a球受迫振动的共振曲线，共振峰对应的频率等于a球的固有频率，故D正确。 故选ABD。 三、解答题 19．（24-25高二下·青海海南·期末）如图所示为某单摆的共振曲线，取． (1)该单摆的摆长为多少米？（保留两位有效数字） (2)增大摆长，共振曲线振幅最大值的横坐标如何变化？ 【答案】(1) (2)向左移动 【详解】（1）由图可知，此单摆振动固有频率为，则周期为 根据单摆的周期公式 解得 （2）若将摆长增大，由单摆的周期公式 可知，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动。 20．（21-22高二下·广东佛山·期末）如图所示，在张紧的绳子上挂、、、四个摆，其中、摆长相同。将摆拉离平衡位置一定距离后释放，摆开始摆动，并通过绳子给摆、、施加驱动力，使、、做受迫振动，忽略其他能量损耗。试解答以下问题： （1）比较四个摆的周期大小，并简要说明理由； （2）、、三个摆中谁的摆幅最大？为什么？ （3）分析摆摆动过程中机械能是否守恒，并简要说明理由。 【答案】（1）四个摆的周期相同，理由见解析；（2）B的振幅最大，理由见解析；（3）摆摆动过程中机械能不守恒，理由见解析。 【详解】（1）四个摆的周期相同，、、做受迫振动其振动的频率由驱动力的频率决定，与驱动力的频率相同，即、、做受迫振动的周期与A的固有周期相同； （2）受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，根据固有周期与摆长的关系可知 、摆长相同则固有周期、固有频率相同，可知发生共振，振幅最大。 （3）摆开始摆动，并通过绳子给摆、、施加驱动力，使、、做受迫振动，忽略其他能量损耗，由能量转化和守恒规律可知，摆A的机械能转化为整个系统的机械能，则摆摆动过程中机械能不守恒。 21．（21-22高二上·全国·单元测试）如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，球将做阻尼振动。现使圆盘以不同的频率振动，测得共振曲线如图乙所示。（g=9.86m/s2，π=3.14） （1）当圆盘以0.4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？ （2）若一个单摆的摆动周期与球做阻尼振动的周期相同，该单摆的摆长约为多少？（结果保留三位有效数字） 【答案】（1）2.5Hz；（2）2.78m 【详解】（1）小球振动达到稳定时周期为0.4s，频率 （2）由题图乙可以看出单摆的固有频率为0.3Hz，由单摆的周期公式 解得 22．（20-21高二·全国·课后作业）如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。问： （1）开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？ （2）在振子正常振动过程中，以转速4r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？ （3）若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？为什么？ 【答案】（1）简谐运动，0.5s，2Hz，阻尼振动；（2）受迫振动，0.25 s；（3）2 r/s，见解析 【详解】（1）用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反（F＝－kx），所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构性质决定的，称固有周期（T固）和固有频率（f固），根据题意 T固＝＝s＝0.5 s f固＝＝Hz＝2 Hz 由于摩擦力和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动。 （2）由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动。振动达稳定状态后，其频率（或周期）等于驱动力的频率（或周期），而跟固有频率（或周期）无关。即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s。 （3）要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使其驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱＝f固＝2 Hz，故把手的转速应为n＝2 r/s。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $