专题04 机械振动 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

专题04 机械振动 【基础回顾】 1. 物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动， 简称振动。 2. 例如：钟摆来回摆动、水中浮漂上下起伏、不倒翁左右摆动等。 模型一 弹簧振子及简谐振动 一 弹簧振子 1. 认识弹簧振子 （1）示意图： （2）条件：①弹簧质量可忽略、②无摩擦等阻力、③不超过弹簧弹性限度。 （3）平衡位置：弹簧处于原长处，即小球合力为零处（若为竖直放置的弹簧振子，平衡位置为重力等于弹力处）。 （4）理想化模型：弹簧振子是一个理想化模型，是研究一般性振动的基础。 2. 弹簧振子的图像 （1）原理：记录不同时刻小球的位置，最好是等时间间隔。 （2）记录位置： 利用频闪照相、照相机连拍， 或用摄像机摄像等时性。通过逐帧观察的方式， 可以得到相等时间间隔的不同时刻小球的位置。 （3）弹簧振子的频闪照片： 频闪仪每隔 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮，从而得到闪光时小球的位置， 相邻两个位置之间的时间相隔为 。拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像， 如图甲。 （4）建系：以平衡位置为坐标原点，横轴和纵轴分别表示时间 和小球的位移 。将各点用平滑的曲线连起来即为弹簧振子的振动图像， 如图乙。 二 简谐运动 1. 认识简谐运动 （1）定义： 如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律， 即它的振动图像（x -t 图像）是一条正弦曲线， 这样的振动就叫作简谐运动。 （2）条件：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 （3）简谐振动是最基本的振动。 2. 位移： （1）定义：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段。 （2）物理意义：描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移。 3. 振幅 （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。 （2）物理意义：描述振动的幅度大小和能量的物理量。 （3）说明：振动物体运动的范围是振幅的两倍。 4. 周期与频率 （1）定义：①周期：振动物体完成一次全振动所需的时间； ②频率：振动物体单位时间内完成全振动的次数；单位 （赫兹）。 ③圆频率：与周期成反比、与频率成正比的物理量。 （2）物理意义：描述振动的快慢，三者间满足的关系： 。 5. 相位： 做简谐运动的物体处于一个周期内的某位置，用 表示，其中 表示 时的相位，称为初相。 6. 相位差： 两个频率的相同简谐运动，其初相之差； 。 若 ，即 1 的相位比 2 超前 ，或者说 2 的相位比 1 落后 ; 若 ，即 1 的相位比 2 落后 ，或者说 2 的相位比 1 超前 。 7. 简谐运动的表达式： 为相位， 为初相位， 为圆频率， 。 8. 简谐运动的振动图像：表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线。 （ 1 ）从平衡位置开始计时，函数表达式为 ，图像如图甲所示。 （ 2 ）从最大位移处开始计时，函数表达式为 ，图像如图乙所示。 （3）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。 9. 简谐运动的五大特征 （1）动力学特征：合力满足： ，“”表示回复力的方向与位移方向相反， 是比例系数。（详见回复力） （2）运动学特征：①简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动； ②远离平衡位置时， 、 、、 均增大，、均减小，靠近平衡位置时则相反； ③且 、、均按正弦或余弦规律发生周期性变化（注意 、的变化趋势相反）。 （3）运动的周期性特征： ①相隔 T或nT（n 为正整数）的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。 ②振子一个周期内运动的路程一定为 ；半个周期内运动的路程一定为。 ③振子 1/4 个周期内运动的路程取决于计时起点： 计时起点为最大位移或平衡位置，运动路程为； 计时起点为向着平衡位置运动，运动路程大于； 计时起点为远离平衡位置运动，运动路程小于； （4）对称性特征 ①如图所示，振子经过关于平衡位置 对称的两点 、 时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 ②相隔 或 （ 为正整数）的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等， 方向相反。 ③振子由 到 所用时间等于由 到 所用时间，即 。 ④ 振子往复过程中通过同一段路程（如 段）所用时间相等，即 。 （5）能量特征：振动的能量包括动能 和势能 ，在简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统机械能守恒。 10. 简谐运动的回复力 （1）定义：使物体返回到平衡位置的力。 （2）方向：总是指向平衡位置。 （3）来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 （4） 表达式： , （或 a）的大小与 的大小成正比，方向相反； 是比例系数，非弹簧劲度系数。 （5）如果物体所受的力具有 的形式，物体就做简谐运动，即物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位 置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 （6）平衡位置是物体在振动过程中回复力为零的位置， 并不一定是合力为零的位置。 11. 简谐运动中的能量关系 （1）沿水平方向振动的弹簧振子的势能为弹性势能，简谐振动的能量大小取决于弹簧的形变量； （2）小球运动远离平衡位置时，势能会增大；小球的速度减小，动能减小； （3）小球到达最大位移时，动能为 0 , 势能最大； 小球通过平衡位置时，动能最大，势能为 0 。 （4）理论上，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守机械能守恒定律。 （5）实际的运动都有一定的能量损耗，故简谐运动是一种理想化的模型。 （6）弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统：振幅越大，机械能越大；振幅越小，能量越小。 12. 简谐运动综合 （1） 振动图像可获取的信息 ①振幅 A、周期 T（或频率 f）和初相位 （如图所示）； ②某时刻振动质点离开平衡位置的位移； ③某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小（即此切点的导数）和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向， 速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。 ④某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。 ⑤某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 （2） 分析振动图像的注意事项 ①分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、 势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 ②分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 ③求解简谐运动问题时紧紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子。头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解。 【例题精讲】 1.（2025秋•五华区校级期末）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（　　） A．M、N间距离为5cm B．振子的运动周期是0.4s C．t＝0时，振子位于M点 D．t＝0时，振子具有最大位移 2.（2025秋•潍坊期末）如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿水平方向在a、b间做简谐运动、O为平衡位置。取a向b方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t＝1.5s时，小球位移为5cm B．t＝1.5s时，小球由b向O运动 C．小球在a、b位置时，动能为零，加速度也为零 D．小球从a经O到b的过程中，回复力先做负功、后做正功。 3.（2025秋•莎车县期末）如图所示为某弹簧振子在0～5s内的振动图像，下列说法中正确的是（　　） A．振幅为8cm B．振动周期为4s C．第1s末振子的速度为零 D．从第1s末到第2s末振子在做加速运动 4.（2025秋•青岛期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在相距0.2m的B、C两点间做简谐运动。小球经过C点时开始计时，0.5s时首次到达B点，则1.25s内小球的路程为（　　） A．0.25m B．0.5m C．1.0m D．1.25m 5.（2025秋•深圳期末）如图所示，轻质弹簧下端挂一小球，处于静止状态，现将小球沿竖直方向向下拉动一段距离A，然后由静止释放，并以释放瞬间为计时起点。小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。下列说法正确的是（　　） A．在时，小球的动能最小 B．在与时，小球的速度相同 C．在时，弹簧的弹性势能最大 D．在时间内，小球向上运动的距离等于A 6.（2025秋•禹王台区校级期末）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在光滑水平地面上的A、B两点间做简谐运动，该弹簧振子的振动图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数k＝400N/m，则t＝0.5s时振子受到的回复力大小为（　　） A．5N B．10N C． D． （多选）7．（2026•柳州二模）一振子做简谐运动，在振子远离平衡位置的过程中，振子的（　　） A．加速度增大 B．速度增大 C．位移增大 D．回复力减小 （多选）8．（2025秋•向阳区校级期末）一质点作简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。下列说法正确的是（　　） A．振幅为4cm B．第2s末到第3s末这段时间内，质点的加速度减小，方向沿x负方向 C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的速度减小，方向沿x正方向 D．质点的振动方程为 （多选）9．（2025秋•吴忠校级期末）甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在t＝0.2s时，振子的速度为正向最大 B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，振子在同一位置 C．从t＝0.2s到t＝0.4s时间内，振子的速度增大 D．在t＝0.6s时，振子有最小的位移 模型二 单摆 1. 定义： 如果细线的长度不可改变， 细线的质量与小球相比可以忽略， 球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆。 2. 简谐运动的条件： （1）最大摆角小于 ； （2）忽略空气等阻力； （3）摆线为不可伸缩的轻细线，且球的直径远小于细线长度。 3. 平衡位置：最低点。 4. 回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力。 5. 周期公式： （1）为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离； （2）g为当地重力加速度。 6. 单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长和重力加速度，与振幅和摆球质量无关。 7. 单摆的受力特征 （1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力， , 负号表示回复力 与位移的方向相反，故单摆做简谐运动。 （2）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力， 。 （3）两点说明 ①当摆球在最高点时， ; ②当摆球在最低点时， ， 最大， 。 8 等效重力加速度 （1）对于不同星球表面： ， 与 分别为星球的质量与半径； （2）其他情形分析如下 图例 等效重力加速度 g 等效 g 等效 说明 等效重力加速度为当单摆在平衡位置“停摆”时，摆线拉力与摆球质量之比。 9 等效摆长 等效摆长的理解 图例 等效摆长 左侧： 右侧： 等效 等效 说明 垂直纸面小角度摆动 垂直纸面摆动 纸面内摆 纸面内摆动 当半径 远大于小球位 移 时，小球做单摆运动。 【例题精讲】 1.（2025秋•苏州期末）如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑圆弧面上A、B之间来回运动（，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在A点加速度为0 B．小球经过同一位置速度一定相同 C．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力 D．增大半径R，小球运动的周期不变 2.（2025秋•湖南期末）某小组为研究单摆的振动规律，利用智能手机的加速度传感器测量单摆小角度摆动过程中摆球的切向加速度，得到切向加速度随时间变化的a﹣t图像如图所示，图像中纵轴表示切向加速度a（单位m/s2），横轴表示时间t（单位s）。已知当地重力加速度g＝9.8m/s2，且单摆满足小角度摆动条件。下列说法正确的是（　　） A．该单摆的振动周期为0.3s B．若仅将摆长缩短为原来的，则振动周期变为原来的 C．t＝0.3s时，摆球位于单摆振动的最大位移处 D．若增大单摆的摆角（仍为小角度），该单摆的振动周期会显著缩短 3.（2026•龙华区校级二模）荡秋千是一项有趣的运动。如图所示，一秋千悬挂在O点，某同学蹲在秋千上从M点由静止出发，在其运动至最低点N点时突然站立，并保持姿势到N点左侧的最高点P点。已知人在N点站起前后速度不变，秋千摆动的角度很小，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．∠MON<∠NOP B．∠MON=∠NOP C．该同学从M点到N点的时间小于从N点到P点的时间 D．该同学从M点到N点的时间等于从N点到P点的时间 4.（2025秋•红山区期末）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．t＝0.5s时，摆球所受回复力最大，方向向左 B．t＝1s时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．从t＝0.5s到t＝1.0s过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．t＝1s，摆球在O点回复力为零 5.（2025秋•佳木斯校级期末）如图所示为一位同学正在荡秋千的简图，当秋千荡至最高点时绳与竖直方向的夹角为θ。忽略运动中空气对人的阻力，人可视为质点，人在秋千上摆动时可以简化为单摆。下列说法正确的是（　　） A．当秋千荡至最高点时，绳中的张力为0 B．当秋千经过最低点时，人处于平衡状态 C．增大θ，秋千摆动的周期也将增大 D．换另一位质量更大的同学荡秋千时，秋千摆动的周期不变 6.（2025秋•辽宁期末）中国吴桥杂技闻名世界，观赏价值颇高，深受观众喜爱。假设两位杂技运动员站在秋千上，自某一高度由静止开始下摆（运动员视为质点，荡秋千运动看成简谐运动，且绳子始终保持伸直，秋千的质量忽略不计）。当秋千摆至最低点时，其中一人脱落（下方设有安全网）。之后，另一个人与秋千组成的单摆所涉及的物理量发生变化的是（　　） A．周期 B．振幅 C．最低点时绳子的拉力 D．最低点时运动员的速率 7（2025秋•拱墅区校级月考）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回小角度摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．单摆的周期为0.2πs B．单摆的摆长为0.1m C．摆球质量为0.05kg D．摆球运动过程中的最大速度约为2.8m/s （多选）8．（2025秋•齐齐哈尔期末）图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，α小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母以及重力加速度g均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法中正确的是（　　） A．该单摆的周期为2t0 B．该单摆的摆长为 C．可以求出摆球质量 D．不可以求出单摆的最大速度 （多选）9．（2025秋•江门期末）如图甲，某同学做单摆实验，O是摆球的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，单摆的振动图像如图乙，设图中单摆向右振动为正方向，摆球可以视作质点，下列选项正确的有（　　） A．此单摆的振动频率是2Hz B．单摆的摆长约为1.0m C．仅改变摆球质量，单摆周期不变 D．t＝0时刻，摆球位于B点 （多选）10．（2024秋•怀化期末）某实验小组用如图甲所示的装置研究单摆的运动规律，通过实验测出当地重力加速度g＝π2m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示，则下列选项正确的是（　　） A．此单摆的摆长为1.0m B．摆球在速度减小的过程中回复力一定增大 C．图乙中摆球在P点的运动方向沿x轴正方向 D．若把此单摆放在月球上，其摆动周期将变小 模型三 受迫振动与共振 1. 阻尼振动：实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小，称为阻尼振动。 2. 阻尼振动的原因： （1）振动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐渐转化为内能； （2）振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去，从而自身机械能减少。 3. 注意：系统受到的阻尼恒定时，阻尼振动的周期恒定，等于该系统做简谐运动的周期；反之，阻尼变化时， 周期也变化。 4. 受迫振动 （1）概念：系统在驱动力作用下的振动。 （2）振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期（或频率）等于驱动力的周期（或频率），而与物体的固有周期（或频率）无关。 （3）受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 5. 共振现象 （1）概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。 （2）共振曲线：如图，横坐标为驱动力频率，纵坐标为振幅，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为 的振动系统做受迫振动时振幅的影响。 （3） 由图可知，与越接近，振幅 越大；当时，振幅最大。 6. 自由振动、受迫振动和共振的关系比较 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期 或频率 由系统本身性质决定， 即固有周期 或固有频率 由驱动力的周期或频率决定， 即 或 或 振动能量 振动物体的机械能不变 由驱动力提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 【例题精讲】 1.（2025秋•潍坊期末）如图是一个单摆的共振曲线，若摆长增大，则共振曲线振幅最大值所对应的横坐标值变化情况为（　　） A．减小 B．不变 C．增大 D．无法确定 2.（2025秋•贵州期末）把一些长度不同的钢片安装在同一个支架上，可以制作转速计。把这样的转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，此时各个钢片的振幅与它们的固有频率之间的关系如图所示。下列说法正确的是（　　） A．各个钢片的振动频率一定是各自的固有频率 B．f0等于机器的振动频率 C．f0一定是最短钢片的固有频率 D．若机器的振动频率减小，则出现最大振幅的钢片对应的固有频率大于f0 3.（2025•哈尔滨校级开学）如图甲所示，竖直圆盘转动时，可带动固定在圆盘上的T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球，共同组成一个振动系统。当圆盘静止时，小球可稳定振动。现使圆盘匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定。改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图乙所示，则（　　） A．圆盘匀速转动时，振动小球的频率与圆盘转动的频率无关 B．此振动小球的固有频率约为3Hz C．若圆盘匀速转动的周期增大，振动小球的振幅减小 D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向右移动 4.（2025秋•禅城区月考）某场篮球比赛中，看台上的球迷随着助威歌曲同步跳动，导致看台发生振动。经检测，该看台固有频率为1.8Hz，关于该现象，下列说法正确的是（　　） A．跳动的球迷越多，看台振动的幅度一定越大 B．球迷跳动频率增大，看台振动幅度一定会增大 C．球迷将跳动频率从1.8Hz增大到2.5Hz后，看台振动幅度会减小 D．现场广播引导球迷改为非同步跳跃，主要是为了降低助威音量 5.（2024秋•哈尔滨校级期末）共振碎石化是修补混凝土路面的一种技术手段，用来破碎的机器产生振动，破除旧的混凝土的同时要保护旧路面的地基，为实现这样的目的，破碎机器的振动应该（　　） A．与要破碎的混凝土的振幅相同 B．与旧路面地基的振幅相同 C．与要破碎的混凝土的振动频率相同 D．与旧路面地基的频率相同 6.（2025春•天津校级月考）如图所示为两个单摆在同一地点进行受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．单摆Ⅰ受迫振动的频率总是0.2Hz B．单摆Ⅰ和单摆Ⅱ的摆长之比L1：L2＝25:4 C．单摆Ⅰ和单摆Ⅱ的固有周期之比为2:5 D．当驱动力的频率从0.2Hz增大到0.5Hz时，两个单摆的振幅都在增加 7.（2024秋•黑龙江期末）减速带是在行车道上设置的一种突起设施，当汽车通过减速带时，减速带可以被视为周期性的激励源。如果激励的周期与汽车的固有周期接近，就可能发生共振现象，导致振动加剧使人产生不舒服的感觉，从而提示并促使驾驶员自觉、主动地降低车速。如图所示，汽车的车身与轮胎间装有弹簧和减震器，某种型号的汽车车身—弹簧系统的固有频率为1.5Hz，当汽车匀速通过水平路面上间距为6m的减速带区域时，下列说法正确的是（　　） A．汽车行驶的速度越大，颠簸得越厉害 B．汽车行驶的速度越小，颠簸得越厉害 C．当汽车以4m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害 D．当汽车以9m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害 （多选）8．（2025秋•东湖区校级期末）据史书记载：晋朝初期，京城有户人家挂着的铜盘每天早晚轻轻自鸣两次，人们十分惊恐。当时的学者判断，这是铜盘与皇宫早晚的钟声共鸣（共振）所致。后来把铜盘磨薄一些，它就不再自鸣了。在机械振动中，关于共振现象，以下说法错误的是（　　） A．在图1中，A、B、C三个小球，其中A球的固有频率最小，C球的固有频率最大 B．在图1中，若把A球拉开较小角度，A球释放后较短时间内，三个小球的振幅和周期都相等 C．在图2中，若把两单摆放在同一地点，则甲乙两单摆的摆长之比为4:1 D．图2中，若两单摆长相同，放在不同的星球上，则甲乙两单摆所处星球的重力加速度之比为4:1 （多选）9．（2025秋•福田区校级期末）有一项专利叫作次声共振灭虫技术，是为了克服农药污染问题而研发的，该技术利用次声波杀灭害虫及有害动物，下列说法中正确的是（　　） A．灭虫过程中，害虫的振动频率与次声波的频率相同 B．次声波频率逐渐加大的过程中，害虫的振动幅度也逐渐加大 C．对于不同的害虫，灭虫效果最好的次声波频率可能不同 D．未加次声波时，各害虫自由振动的频率相同 （多选）10．（2025秋•让胡路区校级期末）如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架仅在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的弹簧振子，当圆盘静止时，小球可稳定振动。改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图乙所示。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动已达到稳定，则下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子的振动频率为0.25Hz B．弹簧振子的振动频率为3Hz C．若圆盘匀速转动的周期减小，弹簧振子的振动频率变大 D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向左移动 模型四 机械振动综合 1. 弹簧振子运动特性满足简谐振动的运动特性； 2. 弹簧振子运动周期满足： ; 故振子质量改变时，周期、频率、振幅会发生变化。 3. 弹簧振子系统机械能守恒：水平方向弹簧振子动能与弹性势能相互转化；竖直方向弹簧振子弹性势能，动能和重力势能相互转化。 4. 振子为叠加型连接体时，连接体内力变化规律与振子回复力变化规律相同。 【例题精讲】 1.（2025秋•江西期末）如图所示，光滑水平面左侧的墙上固定一轻质弹簧，弹簧右端连接一个小球，构成水平弹簧振子。O点为振子的平衡位置，小球在A、B两点间做简谐运动，小球运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球经过同一点，位移一定相同 B．小球经过关于O点对称的两个位置，速度一定相同 C．小球从O点出发到再次到达O点，回复力的冲量一定为零 D．小球从O点出发向右运动到B点过程，动量变化率变小 2.（2025秋•松山区期末）如图所示为某一弹簧振子在水平方向上做简谐运动的图像，在0～1.6s范围内下列说法正确的是（　　） A．物体简谐运动的周期为0.4s B．物体在0.9s时和1.5s时受到的回复力相同 C．物体在0.9s时和1.5s时的瞬时速度相等 D．物体在0.6～0.9s时间段内加速度一直增加 3.（2025秋•南昌校级期末）如图所示为沿竖直方向振动的弹簧振子，振子做简谐振动过程中，轻弹簧的最大压缩量为最大伸长量的一半。弹簧的劲度系数为k，小球的质量为m，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．在振动过程中，弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能越大 B．振子在最高点和最低点时，弹簧的弹性势能相等 C．振子在最高点和最低点时，振子的加速度大小相等 D．弹簧振子振动的振幅为 4.（2025秋•海南期末）如图1所示，竖直悬挂的弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达A点开始计时，规定竖直向上为正方向。图2是弹簧振子做简谐运动的x﹣t图像（部分），则（　　） A．振子从A点单向运动到B点的时间为1s B．t＝0.3s时刻，弹簧对振子的弹力小于振子的重力 C．t＝0.25s时刻，振子的速度最小 D．振子在任意0.5s内的路程均为0.2m 5.（2025秋•安达市期末）如图所示，某弹簧振子的位移x随时间t的变化图像，下列说法正确的是（　　） A．t＝0.2s时，振子的位移为5cm B．t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度相同 C．0.4s到1.2s内，振子的速度先增大后减小 D．0.4s到1.6s内，振子通过的路程为10cm 6.（2025秋•即墨区校级月考）如图所示，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，原点O为平衡位置，a、b是x轴上相距15cm的两点（图中未画出）。沿x轴向右为正方向，振子经过a点时，加速度为2m/s2到达b点时，加速度为﹣3m/s2，速度为零。则（　　） A．a点坐标为x0＝﹣3am B．b点坐标为xb＝﹣9cm C．振子的振幅A＝9cm D．a点在平衡位置O的右侧 （多选）7．（2025秋•桂林期末）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由O向B运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由A向O运动过程中，回复力的方向一直为由O指向A （多选）8．（2025秋•吉林期末）一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s，则（　　） A．弹簧振子的振幅为0.1m B．弹簧振子的周期为0.8s C．在t＝0.2s时，振子的运动速度最大 D．在任意0.2s时间内，振子的路程均为0.1m （多选）9．（2025春•北京校级月考）如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一竖直悬挂的弹簧振子，在竖直平面内装有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，激光笔在记录纸上留下如图所示的书写印迹，图中相邻竖直虚线的间距均为x0（未标出），印迹上P、Q两点的纵坐标为y0和﹣y0，忽略空气阻力，重力加速度为g，则（　　） A．该弹簧振子的振幅为y0 B．该弹簧振子的振动周期为 C．激光笔在留下P、Q两点时加速度相同 D．激光笔在留下PQ段印迹的过程中，弹簧弹力对激光笔做功为﹣2mgy0 课时精练 1、 选择题（共10小题） 1.（2025秋•六盘水期末）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中写道：“欲知其应者，先调诸弦令声和，乃剪纸人加弦上，鼓其应弦，则纸人跃，他弦即不动。”大意是：要判断各琴弦的共振关系，先将各琴弦音调调准，再把纸人放在某根琴弦上，拨动与这根琴弦共振的琴弦时，纸人就会跳跃颤动，拨动其他琴弦时，纸人则不动。共振的两琴弦一定相同的物理量为（　　） A．长短 B．粗细 C．频率 D．振幅 2.（2025秋•天宁区校级月考）如图为港珠澳大桥，为保障大桥安全，需加装一种工程减震装置，叫作调谐质量阻尼器，该装置是一个由弹簧、阻尼器和质量块组成的振动控制系统，附加在需要振动控制的主结构上。主结构在外界作用下产生振动时，能带动减振装置一起振动，当满足一定条件时，能最大限度地降低主结构的振动，达到减振的效果。关于该调谐质量阻尼器下列说法正确的是（　　） A．工作时减震装置与主结构振动周期一定相同 B．调谐质量阻尼器和主结构固有频率相等时，减震效果最好 C．减震质量越大减震效果越好 D．主结构振动时调谐质量阻尼器和主结构振动频率相等 3.（2025秋•广东期末）如图甲所示，芒果随树枝小幅度上下振动，可视为竖直方向的简谐运动。在t＝0时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化的图像如图乙所示。取竖直向上为正方向，下列说法正确的是（　　） A．t1时刻，芒果的速度最小 B．t2时刻，芒果受到的回复力最小 C．从t1到t2，芒果的加速度逐渐增大 D．t＝0时刻与t1时刻，芒果的速度相同 4.（2025秋•连云港期末）如图所示，一根劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂质量为2m铁块A，其下方吸引一质量为m磁铁B，磁铁对铁块的吸引力恒为2mg。若使A和B能一起沿竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．A、B做简谐运动的最大振幅为 B．铁块A的最大加速度为g C．铁块A在最高点时，A、B之间的弹力可能为零 D．铁块A从最低点至最高点过程中，其重力势能变化量最大值为 5.（2025秋•连云港期末）如图所示，粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一小段距离后放手，同时开始计时，木筷的振动方程。则（　　） A．木筷振动周期为1s B．木筷的回复力由浮力提供 C．0～0.5s内，木筷的机械能减小 D．0.25～0.75s内，木筷的路程为2cm 6.（2025秋•东湖区校级期末）在水平光滑杆上的弹簧振子沿x轴在A、B两点之间做简谐运动，取平衡位置O为坐标原点，A点在x轴正方向上，A、B两点之间距离为16cm。从振子向右经过平衡位置O开始计时，经过0.3s时，振子第一次经过OA之间的C点，又经过了0.2s，振子第二次经过C点，下列正确的是（　　） A．在A点时，质点具有正向的最大加速度和位移 B．振子还需1.2s第三次经过C点 C．振子从开始计时经6.8s经过的路程为136cm，位移为8cm D．改变该弹簧振子的振幅，振子的周期和系统的机械能均发生改变 7.（2025秋•江门期末）如图所示，弹簧振子在相距20cm的B、C两点间做简谐运动，O点为BC中点。从振子经过O点向左运动开始计时，经过0.5s第一次到达C点。取向左为正方向，则（　　） A．周期为0.5s B．振幅为0.2m C．3s末的位移为0.1m D．振动方程为x＝0.1sin（πt）（m） 8.（2025秋•宁波期末）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，弹簧的形变在弹性限度内，A球做周期为T的振动，振幅为d，下列说法正确的是（　　） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为g C．小球A从最低点运动到最高点的过程中，弹簧弹力的冲量大小为mgT D．小球A运动到最低点时，弹簧的弹性势能为4mgd 9.（2025秋•慈溪市期末）如图甲所示，某鱼漂原来静止在平静的水面上，某时刻受到小鱼的拱饵而上下浮动。若将鱼漂在竖直方向上的运动看作做简谐运动，设原来静止的位置为其平衡位置，向上为正方向，其位移x与时间t的关系图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．t＝1s时，鱼漂的振幅为零 B．t＝2s时，鱼漂的加速度为零 C．t＝3s时，鱼漂的速度方向向上 D．0～2s内，鱼漂的位移先增大后减小 10.（2025秋•博望区校级期末）如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与一质量为m的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于O点。现使小球以O点为平衡位置，在A、B两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中正确的是（　　） A．小球从O位置向B位置运动过程中合外力变小 B．小球每次通过同一位置时的速度一定相同 C．小球从A位置向B位置运动过程中，回复力冲量为零 D．小球先后经过关于O点对称的两个位置的过程中，弹力做正功 2、 多选题（共5小题） （多选）11．（2026•沙坪坝区校级一模）重庆长江索道被誉为“万里长江第一条空中走廊”和“山城空中公共汽车”。风力持续作用于轿厢形成周期性驱动力，轿厢在驱动力作用下做近似简谐运动的横向摆动。设某次摆动中，轿厢重心相对于平衡位置的位移x随时间t变化的关系为。已知索道系统的固有频率为0.8Hz，下列说法正确的是（　　） A．轿厢在驱动力作用下摆动的周期为1.0s B．若风速变化导致驱动力频率变为0.8Hz，轿厢摆动幅度增大 C．t＝0时，轿厢正处于平衡位置且向正方向运动 D．轿厢在摆动中任意四分之一周期内通过的路程一定为5cm （多选）12．（2026•哈尔滨模拟）如图所示，A点和B点位于地球直径的两侧，假设两点间存在一细直隧道。飞船甲从A点由静止开始仅在引力作用下在隧道内运动，经时间t1后第一次到达B点。飞船乙从A点沿近地轨道环绕地球运动，经时间t2后也第一次到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，不计一切阻力，则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0，简谐振动周期T＝2π，m为振动物体质量，k为回复力系数）（　　） A．时间t1内，飞船甲中的人先失重，再超重 B．当甲到地心的距离为x时，其受合力为，式中m为其质量 C．飞船甲的最大速度vmax D．两飞船从A到B的时间t1＝t2 （多选）13．（2025秋•临川区校级期末）如图甲所示，一单摆做小角度（θ＜5°）摆动。从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。忽略空气阻力不计，取π2≈10，重力加速度g＝10m/s2，对于这个摆球的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆做简谐运动时，摆长约为1.0m B．t＝1.0s时，摆球运动的位移为零，速度为零 C．t＝1.0s时，摆球运动的速度最大，加速度为零 D．从t＝1.0s到t＝1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大，摆线上的拉力逐渐减小 （多选）14．（2025秋•乐平市校级期末）如图所示，将一轻质弹簧左端固定在墙上，右端连接质量为m的小球静置于光滑水平面上。以弹簧原长时小球的位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立坐标轴Ox，给小球一向右的初速度，小球沿x轴做往复运动，作出小球运动过程中动量p随位置坐标x变化的图像。小球的运动状态可用图像上各点的坐标表示，其中A状态的坐标为（0，a），B状态的坐标为（b，0），C、D状态的横坐标均为。已知弹簧的弹性势能Epkx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量。下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中的最大动能为 B．弹簧的劲度系数为 C．小球从C状态经B状态到D状态所经历的时间是其运动周期的四分之一 D．小球在C状态的动量大小为a （多选）15．（2025秋•宝安区期末）如图甲，O为单摆的悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。下列说法正确的有（　　） A．0.2πs时小球第一次摆到C点 B．单摆的周期为0.2πs C．小球质量为0.051kg D．单摆的摆长为0.4m 三、解答题（共5小题） 16.（2025秋•苏州期末）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在斜面底端挡板上，另一端连接质量为m的物体A，系统初始处于静止状态，现将质量也为m的物体B从斜面上某处由静止释放，B与A碰撞后以共同速度向下运动（不粘连），此后，A、B一起运动的周期为T，且在最高点恰好不分离，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，求： （1）A、B一起运动到最高点时加速度的大小a； （2）A、B一起运动的速度最大位置到最低点的距离x； （3）从碰撞时刻起，第一次运动到最低点的时间t。 17.（2025秋•安徽期末）如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C之间的距离为20cm，P是OB的中点。t＝0时刻，振子位于O点，t＝1.0s时振子刚好第一次回到O点。求： （1）t＝10s时振子的位移大小和0～10s内振子通过的路程； （2）振子在P点和C点的加速度大小之比。 18.（2025秋•东湖区校级期末）如图所示，滑块1、2的质量分别为m1＝1kg和m2＝4kg，滑块1在半径R＝1.7m的光滑四分之一圆弧轨道AB的最高点A处，滑块2静止于粗糙水平轨道BC的右端C处，B、C两点间的距离L＝2m，滑块1与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.225。C点正下方O处固定一劲度系数k＝100N/m的水平轻弹簧，弹簧右端固定一质量M＝6kg的滑块3，静止于光滑水平地面上。由静止释放滑块1，滑块1与滑块2发生弹性正碰后滑块1恰好停在B点。滑块2被碰后做平抛运动的同时给滑块3一个水平向右、大小v0＝3m/s的初速度，一段时间后滑块2与正好回到平衡位置向左运动的滑块3相碰（滑块2底部与滑块3顶部碰撞）后滑块2竖直向上运动至与C点等高的D点。 已知所有的碰撞时间极短，滑块3与弹簧构成的弹簧振子的振动周期T＝2π，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内，三个滑块均可视为质点，取重力加速度大小g＝10m/s2，π2＝10。 （1）求滑块1与滑块2弹性正碰之后滑块2的速度； （2）求C点与滑块3的高度差的最小值hmin； （3）滑块2与滑块3第二次碰撞后瞬间水平方向速度相同，滑块2离开滑块3后立即撤去滑块2，求此后滑块3做简谐运动的振幅A。 19.（2025秋•张掖期末）如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动的图像如图乙所示，完成以下问题： （1）写出该振子简谐运动的振动方程； （2）该振子在前40s内运动的路程是多少？ 20.（2025秋•松山区期末）如图1所示，O点为单摆的固定悬点。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。细线对摆球的拉力大小F随时t的变化关系如图2所示，t＝0时，摆球从A点开始运动，重力加速度为g。求： （1）单摆的摆长L； （2）摆球的质量m。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 机械振动 【基础回顾】 1. 物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动， 简称振动。 2. 例如：钟摆来回摆动、水中浮漂上下起伏、不倒翁左右摆动等。 模型一 弹簧振子及简谐振动 一 弹簧振子 1. 认识弹簧振子 （1）示意图： （2）条件：①弹簧质量可忽略、②无摩擦等阻力、③不超过弹簧弹性限度。 （3）平衡位置：弹簧处于原长处，即小球合力为零处（若为竖直放置的弹簧振子，平衡位置为重力等于弹力处）。 （4）理想化模型：弹簧振子是一个理想化模型，是研究一般性振动的基础。 2. 弹簧振子的图像 （1）原理：记录不同时刻小球的位置，最好是等时间间隔。 （2）记录位置： 利用频闪照相、照相机连拍， 或用摄像机摄像等时性。通过逐帧观察的方式， 可以得到相等时间间隔的不同时刻小球的位置。 （3）弹簧振子的频闪照片： 频闪仪每隔 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮，从而得到闪光时小球的位置， 相邻两个位置之间的时间相隔为 。拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像， 如图甲。 （4）建系：以平衡位置为坐标原点，横轴和纵轴分别表示时间 和小球的位移 。将各点用平滑的曲线连起来即为弹簧振子的振动图像， 如图乙。 二 简谐运动 1. 认识简谐运动 （1）定义： 如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律， 即它的振动图像（x -t 图像）是一条正弦曲线， 这样的振动就叫作简谐运动。 （2）条件：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 （3）简谐振动是最基本的振动。 2. 位移： （1）定义：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段。 （2）物理意义：描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移。 3. 振幅 （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。 （2）物理意义：描述振动的幅度大小和能量的物理量。 （3）说明：振动物体运动的范围是振幅的两倍。 4. 周期与频率 （1）定义：①周期：振动物体完成一次全振动所需的时间； ②频率：振动物体单位时间内完成全振动的次数；单位 （赫兹）。 ③圆频率：与周期成反比、与频率成正比的物理量。 （2）物理意义：描述振动的快慢，三者间满足的关系： 。 5. 相位： 做简谐运动的物体处于一个周期内的某位置，用 表示，其中 表示 时的相位，称为初相。 6. 相位差： 两个频率的相同简谐运动，其初相之差； 。 若 ，即 1 的相位比 2 超前 ，或者说 2 的相位比 1 落后 ; 若 ，即 1 的相位比 2 落后 ，或者说 2 的相位比 1 超前 。 7. 简谐运动的表达式： 为相位， 为初相位， 为圆频率， 。 8. 简谐运动的振动图像：表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线。 （ 1 ）从平衡位置开始计时，函数表达式为 ，图像如图甲所示。 （ 2 ）从最大位移处开始计时，函数表达式为 ，图像如图乙所示。 （3）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。 9. 简谐运动的五大特征 （1）动力学特征：合力满足： ，“”表示回复力的方向与位移方向相反， 是比例系数。（详见回复力） （2）运动学特征：①简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动； ②远离平衡位置时， 、 、、 均增大，、均减小，靠近平衡位置时则相反； ③且 、、均按正弦或余弦规律发生周期性变化（注意 、的变化趋势相反）。 （3）运动的周期性特征： ①相隔 T或nT（n 为正整数）的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。 ②振子一个周期内运动的路程一定为 ；半个周期内运动的路程一定为。 ③振子 1/4 个周期内运动的路程取决于计时起点： 计时起点为最大位移或平衡位置，运动路程为； 计时起点为向着平衡位置运动，运动路程大于； 计时起点为远离平衡位置运动，运动路程小于； （4）对称性特征 ①如图所示，振子经过关于平衡位置 对称的两点 、 时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 ②相隔 或 （ 为正整数）的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等， 方向相反。 ③振子由 到 所用时间等于由 到 所用时间，即 。 ④ 振子往复过程中通过同一段路程（如 段）所用时间相等，即 。 （5）能量特征：振动的能量包括动能 和势能 ，在简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统机械能守恒。 10. 简谐运动的回复力 （1）定义：使物体返回到平衡位置的力。 （2）方向：总是指向平衡位置。 （3）来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 （4） 表达式： , （或 a）的大小与 的大小成正比，方向相反； 是比例系数，非弹簧劲度系数。 （5）如果物体所受的力具有 的形式，物体就做简谐运动，即物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位 置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 （6）平衡位置是物体在振动过程中回复力为零的位置， 并不一定是合力为零的位置。 11. 简谐运动中的能量关系 （1）沿水平方向振动的弹簧振子的势能为弹性势能，简谐振动的能量大小取决于弹簧的形变量； （2）小球运动远离平衡位置时，势能会增大；小球的速度减小，动能减小； （3）小球到达最大位移时，动能为 0 , 势能最大； 小球通过平衡位置时，动能最大，势能为 0 。 （4）理论上，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守机械能守恒定律。 （5）实际的运动都有一定的能量损耗，故简谐运动是一种理想化的模型。 （6）弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统：振幅越大，机械能越大；振幅越小，能量越小。 12. 简谐运动综合 （1） 振动图像可获取的信息 ①振幅 A、周期 T（或频率 f）和初相位 （如图所示）； ②某时刻振动质点离开平衡位置的位移； ③某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小（即此切点的导数）和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向， 速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。 ④某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。 ⑤某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 （2） 分析振动图像的注意事项 ①分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、 势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 ②分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 ③求解简谐运动问题时紧紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子。头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解。 【例题精讲】 1.（2025秋•五华区校级期末）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（　　） A．M、N间距离为5cm B．振子的运动周期是0.4s C．t＝0时，振子位于M点 D．t＝0时，振子具有最大位移 【答案】D 【解析】解：A、由振动方程可以看出振子的振幅为5cm，则M、N间距离为两个振幅的距离，为10cm，故A错误； B.由振动方程可以得到振子的周期，故B错误； CD、将t＝0代入振动方程可得x＝5cm，此时振子位于正向位移最大处，即N点，故C错误，D正确。 故选：D。 2.（2025秋•潍坊期末）如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿水平方向在a、b间做简谐运动、O为平衡位置。取a向b方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t＝1.5s时，小球位移为5cm B．t＝1.5s时，小球由b向O运动 C．小球在a、b位置时，动能为零，加速度也为零 D．小球从a经O到b的过程中，回复力先做负功、后做正功。 【答案】B 【解析】解：A、由图乙可知小球的振动周期T＝4s，则小球的振动方程为x＝Asin10sint（cm）＝10sint（cm），所以t＝1.5s时小球的位移为y＝10sin（）cm＝5cm，故A错误； B.由图乙可知，在t＝1.5s时，小球由b向O运动，故B正确； C.小球在a、b位置时，动能为零，加速度最大，故C错误； D.小球从a经O到b的过程中，小球的速度先增大后减小，则回复力先做正功、后做负功，故D错误。 故选：B。 3.（2025秋•莎车县期末）如图所示为某弹簧振子在0～5s内的振动图像，下列说法中正确的是（　　） A．振幅为8cm B．振动周期为4s C．第1s末振子的速度为零 D．从第1s末到第2s末振子在做加速运动 【答案】B 【解析】解：A、由图可知，振幅为8cm，故A错误； B.由图可知，振动周期为4s，故B正确； C.第1s末振子的位移为0，说明振子在平衡位置，速度最大，故C错误； D.从第1s末到第2s末振子从平衡位置运动到负向最大位移处，速度逐渐减小，做减速运动，故D错误。 故选：B。 4.（2025秋•青岛期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在相距0.2m的B、C两点间做简谐运动。小球经过C点时开始计时，0.5s时首次到达B点，则1.25s内小球的路程为（　　） A．0.25m B．0.5m C．1.0m D．1.25m 【答案】B 【解析】解：已知B、C两点相距0.2m，且关于平衡位置O对称，所以振幅A＝0.1m，小球从C点（最大位移处）到B点（另一侧最大位移处）用时0.5s，正好是半个周期，因此周期T＝1.0s，又因为t＝1.25T，简谐运动一个周期内的路程为4A，所以在1.25个周期走的路程为5个振幅，即5A＝5×0.1m＝0.5m，故B正确，ACD错误。 故选：B。 5.（2025秋•深圳期末）如图所示，轻质弹簧下端挂一小球，处于静止状态，现将小球沿竖直方向向下拉动一段距离A，然后由静止释放，并以释放瞬间为计时起点。小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。下列说法正确的是（　　） A．在时，小球的动能最小 B．在与时，小球的速度相同 C．在时，弹簧的弹性势能最大 D．在时间内，小球向上运动的距离等于A 【答案】D 【解析】解：A、在时，小球处于平衡位置，此时小球动能最大，故A错误； B.在与时，小球的速度大小相等，方向相反，故B错误； C.在时，小球位移最大，弹簧振子势能最大，但弹簧弹性势能与弹簧形变量有关，只有当小球位移为﹣A时，弹簧的弹性形变最大，故C错误； D.在0～时间内，小球位移从﹣A变成0，所以小球向上运动的距离等于A，故D正确； 故选：D。 6.（2025秋•禹王台区校级期末）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在光滑水平地面上的A、B两点间做简谐运动，该弹簧振子的振动图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数k＝400N/m，则t＝0.5s时振子受到的回复力大小为（　　） A．5N B．10N C． D． 【答案】C 【解析】解：图乙可知振幅A＝5.0cm＝0.05m，周期T＝0.8s 则角速度为 则简谐运动方程x＝Asinωt（m）＝0.05sin2.5πt（m） 将t＝0.5s代入方程，则知t＝0.5s时振子的位移大小 故回复力大小 故C正确，ABD错误。 故选：C。 （多选）7．（2026•柳州二模）一振子做简谐运动，在振子远离平衡位置的过程中，振子的（　　） A．加速度增大 B．速度增大 C．位移增大 D．回复力减小 【答案】AC 【解析】解：根据简谐运动的特点可知，在振子远离平衡位置的过程中，振子的位移增大，回复力和加速度增大，速度在减小，故AC正确，BD错误。 故选：AC。 （多选）8．（2025秋•向阳区校级期末）一质点作简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。下列说法正确的是（　　） A．振幅为4cm B．第2s末到第3s末这段时间内，质点的加速度减小，方向沿x负方向 C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的速度减小，方向沿x正方向 D．质点的振动方程为 【答案】CD 【解析】解：A．质点作简谐振动，根据x﹣t曲线可知质点的振幅为2cm，故A错误； B．第2s末到第3s末这段时间内，位移为负方向减小，根据回复力公式F＝﹣kx可知，回复力为正方向减小，所以质点的加速度减小，方向沿x正方向，故B错误； C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的位移沿x正方向增大，所以质点的速度减小，方向沿x正方向，故C正确； D．由图像可知，周期为T＝4s 则角速度为 振动方程为，故D正确。 故选：CD。 （多选）9．（2025秋•吴忠校级期末）甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在t＝0.2s时，振子的速度为正向最大 B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，振子在同一位置 C．从t＝0.2s到t＝0.4s时间内，振子的速度增大 D．在t＝0.6s时，振子有最小的位移 【答案】BC 【解析】解：A．根据简谐运动图像可知在t＝0.2s时，振子的位移为正向最大，此时瞬时速度为零，故A错误； B．根据简谐运动图像可知在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，振子的位移相同，说明振子在同一位置，故B正确； C．根据简谐运动图像可知从t＝0.2s到t＝0.4s时间内，振子从最大位移向平衡位置运动，弹力做正功，速度增大，故C正确； D．在t＝0.6s时，振子的位移为负向最大，故D错误。 故选：BC。 模型二 单摆 1. 定义： 如果细线的长度不可改变， 细线的质量与小球相比可以忽略， 球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆。 2. 简谐运动的条件： （1）最大摆角小于 ； （2）忽略空气等阻力； （3）摆线为不可伸缩的轻细线，且球的直径远小于细线长度。 3. 平衡位置：最低点。 4. 回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力。 5. 周期公式： （1）为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离； （2）g为当地重力加速度。 6. 单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长和重力加速度，与振幅和摆球质量无关。 7. 单摆的受力特征 （1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力， , 负号表示回复力 与位移的方向相反，故单摆做简谐运动。 （2）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力， 。 （3）两点说明 ①当摆球在最高点时， ; ②当摆球在最低点时， ， 最大， 。 8 等效重力加速度 （1）对于不同星球表面： ， 与 分别为星球的质量与半径； （2）其他情形分析如下 图例 等效重力加速度 g 等效 g 等效 说明 等效重力加速度为当单摆在平衡位置“停摆”时，摆线拉力与摆球质量之比。 9 等效摆长 等效摆长的理解 图例 等效摆长 左侧： 右侧： 等效 等效 说明 垂直纸面小角度摆动 垂直纸面摆动 纸面内摆 纸面内摆动 当半径 远大于小球位 移 时，小球做单摆运动。 【例题精讲】 1.（2025秋•苏州期末）如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑圆弧面上A、B之间来回运动（，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在A点加速度为0 B．小球经过同一位置速度一定相同 C．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力 D．增大半径R，小球运动的周期不变 【答案】C 【解析】解：A.小球在A点时，速度为0，此时回复力（重力沿圆弧切线方向的分力）不为0，根据牛顿第二定律F＝ma，加速度a≠0，故A错误； B.速度是矢量，既有大小又有方向，小球在同一位置时，速度大小可能相同，但方向可能不同（如从A到B经过某点与从B到A经过同一点时，速度方向相反），故B错误； C.小球在A点的回复力由重力与支持力的合力提供，合力沿切线方向指向平衡位置，故C正确； D.因，小球运动可视为等效单摆，其周期公式为，增大半径R周期会改变，故D错误。 故选：C。 2.（2025秋•湖南期末）某小组为研究单摆的振动规律，利用智能手机的加速度传感器测量单摆小角度摆动过程中摆球的切向加速度，得到切向加速度随时间变化的a﹣t图像如图所示，图像中纵轴表示切向加速度a（单位m/s2），横轴表示时间t（单位s）。已知当地重力加速度g＝9.8m/s2，且单摆满足小角度摆动条件。下列说法正确的是（　　） A．该单摆的振动周期为0.3s B．若仅将摆长缩短为原来的，则振动周期变为原来的 C．t＝0.3s时，摆球位于单摆振动的最大位移处 D．若增大单摆的摆角（仍为小角度），该单摆的振动周期会显著缩短 【答案】B 【解析】解：A、由图可得单摆的振动周期为T＝0.6s，故A错误； B.根据单摆周期公式T可知，若仅将摆长缩短为原来的，则振动周期变为原来的，故B正确； C.由图可以看出t＝0.3s时，摆球位于单摆振动的平衡位置处，故C错误； D.根据单摆周期公式T可知，单摆的振动周期与摆角的大小无关，故D错误。 故选：B。 3.（2026•龙华区校级二模）荡秋千是一项有趣的运动。如图所示，一秋千悬挂在O点，某同学蹲在秋千上从M点由静止出发，在其运动至最低点N点时突然站立，并保持姿势到N点左侧的最高点P点。已知人在N点站起前后速度不变，秋千摆动的角度很小，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．∠MON<∠NOP B．∠MON=∠NOP C．该同学从M点到N点的时间小于从N点到P点的时间 D．该同学从M点到N点的时间等于从N点到P点的时间 【答案】A 【解析】解：A.该同学运动至最低点N时突然站立后，速度不变，可知其动能大小不变，重心升高，重力势能变大，故其机械能增大，由动能定理可知，该同学会上升到更高的位置，由几何关系可知∠MON＜∠NOP，故A正确，B错误； CD.由于秋千的摆动角度很小，因此秋千的运动可等效为单摆，由单摆的周期公式 可知，该同学站立后，摆长l变小，故周期变小，该同学从M点到N点的时间大于从N点到P点的时间，故CD错误。 故选：A。 4.（2025秋•红山区期末）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．t＝0.5s时，摆球所受回复力最大，方向向左 B．t＝1s时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．从t＝0.5s到t＝1.0s过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．t＝1s，摆球在O点回复力为零 【答案】D 【解析】解：A.由乙图可知在t＝0.5s时，摆球的位移在负的最大位置处，根据 F＝﹣kx 可知，此时摆球所受的回复力最大，方向向右，故A错误； B.t＝1s时，摆球的位移为0，此时在平衡位置，摆球的速度最大，故B错误； C.从t＝0.5s到t＝1.0s的过程中，摆球的位移逐渐减小为零，则摆球的位置不断减低，摆球的重力势能减小，动能增大，故C错误； D.t＝1s，摆球在最低点回复力为零，故D正确。 故选：D。 5.（2025秋•佳木斯校级期末）如图所示为一位同学正在荡秋千的简图，当秋千荡至最高点时绳与竖直方向的夹角为θ。忽略运动中空气对人的阻力，人可视为质点，人在秋千上摆动时可以简化为单摆。下列说法正确的是（　　） A．当秋千荡至最高点时，绳中的张力为0 B．当秋千经过最低点时，人处于平衡状态 C．增大θ，秋千摆动的周期也将增大 D．换另一位质量更大的同学荡秋千时，秋千摆动的周期不变 【答案】D 【解析】解：A．当秋千荡至最高点时，人的速度为零，在沿绳方向上 ，即 T＝mgcosθ，故A错误； B．当秋千经过最低点时，人具有最大的速度，合力指向圆心，加速度也不为零，不是平衡状态，故B错误； CD．简化为单摆，，周期与摆角θ无关，故C错误，D正确。 故选：D。 6.（2025秋•辽宁期末）中国吴桥杂技闻名世界，观赏价值颇高，深受观众喜爱。假设两位杂技运动员站在秋千上，自某一高度由静止开始下摆（运动员视为质点，荡秋千运动看成简谐运动，且绳子始终保持伸直，秋千的质量忽略不计）。当秋千摆至最低点时，其中一人脱落（下方设有安全网）。之后，另一个人与秋千组成的单摆所涉及的物理量发生变化的是（　　） A．周期 B．振幅 C．最低点时绳子的拉力 D．最低点时运动员的速率 【答案】C 【解析】解：A、设摆长为L，则单摆的周期T，可知周期与质点的质量无关，所以周期不变，故A错误； BD、秋千摆至最低点时其中一人脱落，由于惯性，则另一个人的速度未发生变化，根据机械能守恒可知 可得h 单摆上升的最大高度与质量无关，可知单摆上升的最大高度不变，则振幅不变，故BD错误； C.人在最低点时受到绳子的拉力与重力的合力提供向心力，可得 其中FT是单根绳子的拉力，可知 其中一人脱落后总质量m减小，则绳子的拉力减小，故C正确。 故选：C。 7（2025秋•拱墅区校级月考）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回小角度摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．单摆的周期为0.2πs B．单摆的摆长为0.1m C．摆球质量为0.05kg D．摆球运动过程中的最大速度约为2.8m/s 【答案】C 【解析】解：AB．在单摆的一个周期内绳子的拉力完成两个周期性的变化，结合图可知单摆的周期为0.4πs，根据单摆周期公式T 代入数据得单摆的摆长为L＝0.4m，故AB错误； CD．由图像可知小球在最高点时0.495N＝mgcosθ 小球在最低点时 从最高点到最低点过程中，根据机械能守恒定律 代入数据得m＝0.05kg，v＝0.283m/s，故C正确，D错误。 故选：C。 （多选）8．（2025秋•齐齐哈尔期末）图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，α小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母以及重力加速度g均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法中正确的是（　　） A．该单摆的周期为2t0 B．该单摆的摆长为 C．可以求出摆球质量 D．不可以求出单摆的最大速度 【答案】ABC 【解析】解：A．小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律可知该单摆的周期为2t0，故A正确； B．根据 得，故B正确； CD．当摆球在最高点时，沿绳方向根据平衡条件Fmin＝mgcosα 在最低点，由最高点到最低点过程，由动能定理 联立解得，同时，根据以上也可以求出最大速度v，故C正确，D错误； 故选：ABC。 （多选）9．（2025秋•江门期末）如图甲，某同学做单摆实验，O是摆球的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，单摆的振动图像如图乙，设图中单摆向右振动为正方向，摆球可以视作质点，下列选项正确的有（　　） A．此单摆的振动频率是2Hz B．单摆的摆长约为1.0m C．仅改变摆球质量，单摆周期不变 D．t＝0时刻，摆球位于B点 【答案】BCD 【解析】解：A、由图乙可知，此单摆的周期为T＝2s，则此单摆的振动频率为f，代入数据解得f＝0.5Hz，故A错误； BC、根据单摆周期公式T＝2π，可得单摆的摆长为L，代入数据解得L＝1.0m，仅改变摆球质量，单摆周期不变，故BC正确； D.t＝0 时刻，由图乙可知，摆球位于负向最大位移处，图中单摆向右振动为正方向，则摆球位于B点，故D正确。 故选：BCD。 （多选）10．（2024秋•怀化期末）某实验小组用如图甲所示的装置研究单摆的运动规律，通过实验测出当地重力加速度g＝π2m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示，则下列选项正确的是（　　） A．此单摆的摆长为1.0m B．摆球在速度减小的过程中回复力一定增大 C．图乙中摆球在P点的运动方向沿x轴正方向 D．若把此单摆放在月球上，其摆动周期将变小 【答案】AB 【解析】解：A．由图乙可知，此单摆的周期为T＝2s。 根据单摆周期公式 代入数据可得单摆的摆长为L＝1.0m 故A正确； B．摆球做简谐运动，摆球在速度减小的过程中，逐渐远离平衡位置，回复力一定增大，故B正确； C．图乙中摆球在P点的运动方向靠近平衡位置，沿x轴负方向，故C错误。 D．根据单摆的周期公式 可知若把该单摆放在月球上，g值变小，则其摆动周期T变大，故D错误； 故选：AB。 模型三 受迫振动与共振 1. 阻尼振动：实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小，称为阻尼振动。 2. 阻尼振动的原因： （1）振动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐渐转化为内能； （2）振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去，从而自身机械能减少。 3. 注意：系统受到的阻尼恒定时，阻尼振动的周期恒定，等于该系统做简谐运动的周期；反之，阻尼变化时， 周期也变化。 4. 受迫振动 （1）概念：系统在驱动力作用下的振动。 （2）振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期（或频率）等于驱动力的周期（或频率），而与物体的固有周期（或频率）无关。 （3）受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 5. 共振现象 （1）概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。 （2）共振曲线：如图，横坐标为驱动力频率，纵坐标为振幅，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为 的振动系统做受迫振动时振幅的影响。 （3） 由图可知，与越接近，振幅 越大；当时，振幅最大。 6. 自由振动、受迫振动和共振的关系比较 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期 或频率 由系统本身性质决定， 即固有周期 或固有频率 由驱动力的周期或频率决定， 即 或 或 振动能量 振动物体的机械能不变 由驱动力提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 【例题精讲】 1.（2025秋•潍坊期末）如图是一个单摆的共振曲线，若摆长增大，则共振曲线振幅最大值所对应的横坐标值变化情况为（　　） A．减小 B．不变 C．增大 D．无法确定 【答案】A 【解析】解：单摆的固有周期为 因此固有频率为，可见，摆长L与固有频率f成负相关，共振发生在驱动力频率等于单摆的固有频率时，此时振幅最大，当摆长L增大，由公式可知，单摆的固有频率f会减小，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2.（2025秋•贵州期末）把一些长度不同的钢片安装在同一个支架上，可以制作转速计。把这样的转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，此时各个钢片的振幅与它们的固有频率之间的关系如图所示。下列说法正确的是（　　） A．各个钢片的振动频率一定是各自的固有频率 B．f0等于机器的振动频率 C．f0一定是最短钢片的固有频率 D．若机器的振动频率减小，则出现最大振幅的钢片对应的固有频率大于f0 【答案】B 【解析】解：A．各个钢片的振动频率等于机器振动频率，故A错误； BC．固有频率为f0的钢片接触机器时发生共振，则f0等于机器驱动力频率，故B正确，C错误； D．若机器振动频率减小，最大振幅对应的固有频率会向f0靠近，故D错误。 故选：B。 3.（2025•哈尔滨校级开学）如图甲所示，竖直圆盘转动时，可带动固定在圆盘上的T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球，共同组成一个振动系统。当圆盘静止时，小球可稳定振动。现使圆盘匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定。改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图乙所示，则（　　） A．圆盘匀速转动时，振动小球的频率与圆盘转动的频率无关 B．此振动小球的固有频率约为3Hz C．若圆盘匀速转动的周期增大，振动小球的振幅减小 D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向右移动 【答案】B 【解析】解：A、根据题意分析可知，振动系统的振动频率是由驱动力的频率决定的，振动小球的频率由圆盘转动的频率决定，故A错误； B.根据题意分析可知，由振子的共振曲线可得，此振动系统的固有频率约为3Hz，故B正确； C.根据题意分析可知，若圆盘匀速转动的周期增大，频率减小，因不知道初始频率与固有频率的关系，无法判断振幅变化，故C错误； D.根据题意分析可知，共振曲线的峰值表示振子的固有频率，它是由振动系统本身的性质决定的，与驱动力的频率无关，故D错误。 故选：B。 4.（2025秋•禅城区月考）某场篮球比赛中，看台上的球迷随着助威歌曲同步跳动，导致看台发生振动。经检测，该看台固有频率为1.8Hz，关于该现象，下列说法正确的是（　　） A．跳动的球迷越多，看台振动的幅度一定越大 B．球迷跳动频率增大，看台振动幅度一定会增大 C．球迷将跳动频率从1.8Hz增大到2.5Hz后，看台振动幅度会减小 D．现场广播引导球迷改为非同步跳跃，主要是为了降低助威音量 【答案】C 【解析】解：A.振幅不仅与人数有关，还与驱动力频率是否接近固有频率相关，若频率远离固有频率，人数增多振幅也不一定增大，故A错误； B.当驱动力频率从低于固有频率向固有频率靠近时振幅增大，若超过固有频率继续增大，振幅会减小，故B错误； C.看台固有频率为1.8Hz，跳动频率从共振点1.8Hz增大到2.5Hz，偏离固有频率，振幅会减小，故C正确； D.非同步跳跃是为了分散驱动力频率，避免共振，减小看台振动幅度，并非单纯降低音量，故D错误。 故选：C。 5.（2024秋•哈尔滨校级期末）共振碎石化是修补混凝土路面的一种技术手段，用来破碎的机器产生振动，破除旧的混凝土的同时要保护旧路面的地基，为实现这样的目的，破碎机器的振动应该（　　） A．与要破碎的混凝土的振幅相同 B．与旧路面地基的振幅相同 C．与要破碎的混凝土的振动频率相同 D．与旧路面地基的频率相同 【答案】C 【解析】解：当驱动力的频率等于物体的固有频率时物体的振幅达到最大值即发生共振现象，所以应使破碎机器的振动与要破碎的混凝土的振动频率相同，从而损坏混凝土，而与地基频率相差较大，可以不损坏路面的地基，故C正确，ABD错误。 故选：C。 6.（2025春•天津校级月考）如图所示为两个单摆在同一地点进行受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．单摆Ⅰ受迫振动的频率总是0.2Hz B．单摆Ⅰ和单摆Ⅱ的摆长之比L1：L2＝25:4 C．单摆Ⅰ和单摆Ⅱ的固有周期之比为2:5 D．当驱动力的频率从0.2Hz增大到0.5Hz时，两个单摆的振幅都在增加 【答案】B 【解析】解：A．单摆Ⅰ发生共振时的频率为0.2Hz，当驱动力频率不等于共振频率时，单摆I受迫振动的频率不是0.2Hz，故A错误； BC．根据单摆周期公式（l为摆长，g为重力加速度） 代入数据得 题图可知单摆Ⅰ的固有频率为f1＝0.2Hz，单摆Ⅱ的固有频率为f2＝0.5Hz，则单摆Ⅰ和单摆Ⅱ的固有周期之比 代入数据得 代入数据得单摆Ⅰ和单摆Ⅱ的摆长之比，故B正确，C错误； D．当驱动力的频率从0.2Hz增大到0.5Hz时，单摆I的振幅减小，单摆Ⅱ的振幅增加，故D错误。 故选：B。 7.（2024秋•黑龙江期末）减速带是在行车道上设置的一种突起设施，当汽车通过减速带时，减速带可以被视为周期性的激励源。如果激励的周期与汽车的固有周期接近，就可能发生共振现象，导致振动加剧使人产生不舒服的感觉，从而提示并促使驾驶员自觉、主动地降低车速。如图所示，汽车的车身与轮胎间装有弹簧和减震器，某种型号的汽车车身—弹簧系统的固有频率为1.5Hz，当汽车匀速通过水平路面上间距为6m的减速带区域时，下列说法正确的是（　　） A．汽车行驶的速度越大，颠簸得越厉害 B．汽车行驶的速度越小，颠簸得越厉害 C．当汽车以4m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害 D．当汽车以9m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害 【答案】D 【解析】解：AB、汽车过减速带的频率与汽车的固有频率相同，发生共振，汽车颠簸得最厉害，所以并不是车速越快或者越慢就越颠簸，故AB错误； CD、根据汽车的固有周期为，则汽车的速度9m/s，可得当汽车以9m/s的速度行驶时，过减速带的频率与汽车的固有频率相同，发生共振，汽车颠簸得最厉害，故C错误，D正确。 故选：D。 （多选）8．（2025秋•东湖区校级期末）据史书记载：晋朝初期，京城有户人家挂着的铜盘每天早晚轻轻自鸣两次，人们十分惊恐。当时的学者判断，这是铜盘与皇宫早晚的钟声共鸣（共振）所致。后来把铜盘磨薄一些，它就不再自鸣了。在机械振动中，关于共振现象，以下说法错误的是（　　） A．在图1中，A、B、C三个小球，其中A球的固有频率最小，C球的固有频率最大 B．在图1中，若把A球拉开较小角度，A球释放后较短时间内，三个小球的振幅和周期都相等 C．在图2中，若把两单摆放在同一地点，则甲乙两单摆的摆长之比为4:1 D．图2中，若两单摆长相同，放在不同的星球上，则甲乙两单摆所处星球的重力加速度之比为4:1 【答案】ABD 【解析】解：A.单摆周期T＝2π，固有频率，所以摆长越长，固有频率越小。因此C球固有频率最小，A球固有频率最大，B球居中，故A错误； B.在图1中，若把A球拉开较小角度释放，A球作为驱动力源，其振动频率为自身固有频率，B球和C球做受迫振动，振动频率等于A球的固有频率，故三者周期相等。但A振幅最大，B、C振幅较小，故B错误； C.在图2中，甲乙两单摆的共振频率（即固有频率）分别为f0和2f0。 根据在同一地点g相同，故，代入，解得，故C正确； D.在图2中，若两单摆摆长相同，固有频率f甲＝f0，f乙＝2f0。根据摆长L相同，故代入， 解得，故D错误。 本题选错误的选项，故选：ABD。 （多选）9．（2025秋•福田区校级期末）有一项专利叫作次声共振灭虫技术，是为了克服农药污染问题而研发的，该技术利用次声波杀灭害虫及有害动物，下列说法中正确的是（　　） A．灭虫过程中，害虫的振动频率与次声波的频率相同 B．次声波频率逐渐加大的过程中，害虫的振动幅度也逐渐加大 C．对于不同的害虫，灭虫效果最好的次声波频率可能不同 D．未加次声波时，各害虫自由振动的频率相同 【答案】AC 【解析】解：A.次声波作为驱动力，害虫做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力（次声波）的频率，故A正确； B.只有当次声波频率等于害虫的固有频率时，害虫的振动幅度才最大；在频率逐渐加大的过程中，振幅先增大后减小，故B错误； C.不同害虫的固有频率可能不同，因此对应的共振频率（灭虫效果最好的频率）也可能不同，故C正确； D.不同害虫的固有频率存在差异，因此未受次声波驱动时，自由振动的频率也不相同，故D错误。 故选：AC。 （多选）10．（2025秋•让胡路区校级期末）如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架仅在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的弹簧振子，当圆盘静止时，小球可稳定振动。改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图乙所示。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动已达到稳定，则下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子的振动频率为0.25Hz B．弹簧振子的振动频率为3Hz C．若圆盘匀速转动的周期减小，弹簧振子的振动频率变大 D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向左移动 【答案】AC 【解析】解：AB.由图乙振动图像可知，此弹簧振子的固有频率约为3Hz，而弹簧振子做受迫振动，对应的频率为fHz＝0.25Hz，故A正确，B错误； C.因弹簧振子的振动频率等于驱动力的频率，根据，若圆盘匀速转动的周期减小，弹簧振子的振动频率变大，故C正确； D.因共振曲线的峰值与弹簧振子的固有频率有关，弹簧振子的固有频率不变，若圆盘匀速转动的周期增大，弹簧振子的振动频率变小，但是共振曲线的峰值不变，故D错误。 故选：AC。 模型四 机械振动综合 1. 弹簧振子运动特性满足简谐振动的运动特性； 2. 弹簧振子运动周期满足： ; 故振子质量改变时，周期、频率、振幅会发生变化。 3. 弹簧振子系统机械能守恒：水平方向弹簧振子动能与弹性势能相互转化；竖直方向弹簧振子弹性势能，动能和重力势能相互转化。 4. 振子为叠加型连接体时，连接体内力变化规律与振子回复力变化规律相同。 【例题精讲】 1.（2025秋•江西期末）如图所示，光滑水平面左侧的墙上固定一轻质弹簧，弹簧右端连接一个小球，构成水平弹簧振子。O点为振子的平衡位置，小球在A、B两点间做简谐运动，小球运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球经过同一点，位移一定相同 B．小球经过关于O点对称的两个位置，速度一定相同 C．小球从O点出发到再次到达O点，回复力的冲量一定为零 D．小球从O点出发向右运动到B点过程，动量变化率变小 【答案】A 【解析】解：A、小球经过同一个点，初末位置相同，位移相同，故A正确； B.小球经过关于O点对称的两个位置，由对称性可知速度大小一定相同，但方向可能相同可能相反，故B错误； C.小球从O点出发到再次到达O点，初末速度大小相等，方向相反，以初速度方向为正方向，由动量定理可知回复力的冲量I＝﹣mv﹣mv＝﹣2mv，故C错误； D.动量变化率，小球从O点出发向右运动到B点过程，回复力变大，加速度变大，则动量变化量变大，故D错误。 故选：A。 2.（2025秋•松山区期末）如图所示为某一弹簧振子在水平方向上做简谐运动的图像，在0～1.6s范围内下列说法正确的是（　　） A．物体简谐运动的周期为0.4s B．物体在0.9s时和1.5s时受到的回复力相同 C．物体在0.9s时和1.5s时的瞬时速度相等 D．物体在0.6～0.9s时间段内加速度一直增加 【答案】C 【解析】解：A、由振动图像可知，振子完成一次全振动所需的时间即为周期，从波峰到波谷的时间间隔可得周期满足T＝2（t2﹣t1），解得：T＝0.8s，故A错误。 B.振子所受回复力满足F＝﹣kx，由图可知，0.9s时刻的位移为正，而1.5s时刻的位移为负，解得：两时刻回复力方向相反，故B错误。 C.振子的瞬时速度满足v＝ωAcos（ωt+ϕ0），依据简谐运动的对称性及相位关系分析可知，在0.9s和1.5s两个时刻，振子均处于向正方向运动的状态，解得：瞬时速度大小相等，故C正确。 D.振子的加速度满足，在0.6s至0.9s的时间段内，振子先从负向最大位移处向平衡位置运动，之后继续朝正向运动，其位移的绝对值先减小后增大，解得：加速度的大小先减小后增大，故D错误。 故选：C。 3.（2025秋•南昌校级期末）如图所示为沿竖直方向振动的弹簧振子，振子做简谐振动过程中，轻弹簧的最大压缩量为最大伸长量的一半。弹簧的劲度系数为k，小球的质量为m，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．在振动过程中，弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能越大 B．振子在最高点和最低点时，弹簧的弹性势能相等 C．振子在最高点和最低点时，振子的加速度大小相等 D．弹簧振子振动的振幅为 【答案】C 【解析】解：A．在振动过程中，若弹簧处于压缩状态，弹簧的长度越长，则压缩量越小，弹簧的弹性势能越小，故A错误； D．振子处在平衡位置时，根据受力平衡可得kx0＝mg 设振幅为A，轻弹簧的最大压缩量为最大伸长量的一半，则有 联立解得，故D错误； B．由题知，振子在最高点时的压缩量是在最低点时伸长量的一半，因此弹簧的弹性势能不相等，故B错误； C．振子在最高点和最低点时，根据简谐振动的对称性，振子的加速度大小相等，方向相反，故C正确。 故选：C。 4.（2025秋•海南期末）如图1所示，竖直悬挂的弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达A点开始计时，规定竖直向上为正方向。图2是弹簧振子做简谐运动的x﹣t图像（部分），则（　　） A．振子从A点单向运动到B点的时间为1s B．t＝0.3s时刻，弹簧对振子的弹力小于振子的重力 C．t＝0.25s时刻，振子的速度最小 D．振子在任意0.5s内的路程均为0.2m 【答案】D 【解析】解：由振子的x﹣t图像可得，简谐运动的周期T＝1.0s，振幅A＝0.1m。 A.振子从A点运动至B点，完成半个周期，所需时间，解得：t＝0.5s，故A错误； B.取竖直向上为正方向，在t＝0.3s时，振子位移x＜0，表明其位于平衡位置下方，此时回复力方向向上，因此弹簧弹力大于重力，故B错误； C.当t＝0.25s时，振子位移为零，即经过平衡位置，此时速度达到最大值，故C错误； D.在简谐运动中，半个周期内振子的路程恒为2A；由于0.5s恰为半个周期，故任意0.5s内的路程均为2×0.1m，解得：s＝0.2m，故D正确。 故选：D。 5.（2025秋•安达市期末）如图所示，某弹簧振子的位移x随时间t的变化图像，下列说法正确的是（　　） A．t＝0.2s时，振子的位移为5cm B．t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度相同 C．0.4s到1.2s内，振子的速度先增大后减小 D．0.4s到1.6s内，振子通过的路程为10cm 【答案】C 【解析】解：A、由图可知该振子的周期为T＝1.6s，振幅为A＝10cm，则该振子的位移随时间的变化关系式为x＝Asint，代入数字可得x＝10sint（cm），则t＝0.2s时，振子的位移为x＝10sin（cmcm，故A错误； B.由图可知在t＝0.4s时振子在正的最大位移处，加速度方向沿y轴负方向；在t＝1.2s时，振子处在负的最大位移处，加速度方向沿y轴正方向，故B错误； C.由图可知，在0.4s到1.2s内，振子的位移先减小后增大，在平衡位置处速度最大，则振子的速度先增大后减小，故C正确； D.由图可知在0.4s到1.6s内，振子通过的路程为3A＝3×10cm＝30cm，故D错误。 故选：C。 6.（2025秋•即墨区校级月考）如图所示，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，原点O为平衡位置，a、b是x轴上相距15cm的两点（图中未画出）。沿x轴向右为正方向，振子经过a点时，加速度为2m/s2到达b点时，加速度为﹣3m/s2，速度为零。则（　　） A．a点坐标为x0＝﹣3am B．b点坐标为xb＝﹣9cm C．振子的振幅A＝9cm D．a点在平衡位置O的右侧 【答案】C 【解析】解：根据简谐运动的回复力为F＝﹣kx，根据牛顿第二定律有 解得 振子在a点的加速度，振子在b点的加速度，所以有 由题意可知|xa|+|xb|＝15cm 又由于加速度的方向与位移方向相反，联立解得xa＝﹣6cm，xb＝9cm 由于振子在b点的速度为0，即b点在最大位移处，所以振幅A＝9cm，a点在平衡位置左侧，故C正确，ABD错误。 故选：C。 （多选）7．（2025秋•桂林期末）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由O向B运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由A向O运动过程中，回复力的方向一直为由O指向A 【答案】AC 【解析】解：AB、对于弹簧振子的简谐运动，其遵循动力学规律与能量守恒定律。在运动过程中，小球所受的力包括重力、支持力以及弹簧的弹力。回复力是根据合力效果定义的物理量，由弹力提供，分析受力时不能重复计数，故A正确，B错误； C.在平衡位置O处，系统的势能最小，动能达到最大。当小球从O点向B点运动时，其位移x逐渐增大，根据能量守恒关系式可知，动能逐渐减小，故C正确； D.简谐运动的回复力表达式为F＝﹣kx，其方向始终指向平衡位置O。当小球由A点向O点运动时，回复力的方向指向平衡位置O，即由A指向O，故D错误。 故选：AC。 （多选）8．（2025秋•吉林期末）一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s，则（　　） A．弹簧振子的振幅为0.1m B．弹簧振子的周期为0.8s C．在t＝0.2s时，振子的运动速度最大 D．在任意0.2s时间内，振子的路程均为0.1m 【答案】AB 【解析】解：A、根据题意分析可知，质点做简谐运动，振动方程为y＝0.1sin（2.5πt）m可读出振幅A＝0.1m，故A正确； B.根据题意分析可知，质点做简谐运动，振动方程为y＝0.1sin（2.5πt）m，可读出角速度为ω＝2.5πrad/s 故周期，故B正确； C.根据题意分析可知，在t＝0.2s时，振子的位移最大，故速度为零，故C错误； D.根据题意分析可知，由可知，在任意0.2s时间内，若振子处于平衡位置或最大位移时，振子通过的路程为0.1m，振子在其他位置时路程不是0.1m，故D错误。 故选：AB。 （多选）9．（2025春•北京校级月考）如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一竖直悬挂的弹簧振子，在竖直平面内装有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，激光笔在记录纸上留下如图所示的书写印迹，图中相邻竖直虚线的间距均为x0（未标出），印迹上P、Q两点的纵坐标为y0和﹣y0，忽略空气阻力，重力加速度为g，则（　　） A．该弹簧振子的振幅为y0 B．该弹簧振子的振动周期为 C．激光笔在留下P、Q两点时加速度相同 D．激光笔在留下PQ段印迹的过程中，弹簧弹力对激光笔做功为﹣2mgy0 【答案】AD 【解析】解：A.由图可知，弹簧振子的振幅为y0，故A正确； B.记录纸匀速运动，振子振动的周期等于记录纸运动位移2x0所用的时间，则周期为，故B错误； C.加速度是矢量，激光笔在留下P、Q两点时加速度大小相等，方向相反，故C错误； D.在激光笔留下PQ段印迹的过程中，根据动能定理可知合外力做功为零，即 WG+W弹＝0，但重力做正功为2mgy0，故弹力对物块做负功为﹣2mgy0，故D正确。 故选：AD。 课时精练 1、 选择题（共10小题） 1.（2025秋•六盘水期末）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中写道：“欲知其应者，先调诸弦令声和，乃剪纸人加弦上，鼓其应弦，则纸人跃，他弦即不动。”大意是：要判断各琴弦的共振关系，先将各琴弦音调调准，再把纸人放在某根琴弦上，拨动与这根琴弦共振的琴弦时，纸人就会跳跃颤动，拨动其他琴弦时，纸人则不动。共振的两琴弦一定相同的物理量为（　　） A．长短 B．粗细 C．频率 D．振幅 【答案】C 【解析】解：当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振，所以共振的两琴弦一定相同的物理量是频率，故ABD错误，C正确。 故选：C。 2.（2025秋•天宁区校级月考）如图为港珠澳大桥，为保障大桥安全，需加装一种工程减震装置，叫作调谐质量阻尼器，该装置是一个由弹簧、阻尼器和质量块组成的振动控制系统，附加在需要振动控制的主结构上。主结构在外界作用下产生振动时，能带动减振装置一起振动，当满足一定条件时，能最大限度地降低主结构的振动，达到减振的效果。关于该调谐质量阻尼器下列说法正确的是（　　） A．工作时减震装置与主结构振动周期一定相同 B．调谐质量阻尼器和主结构固有频率相等时，减震效果最好 C．减震质量越大减震效果越好 D．主结构振动时调谐质量阻尼器和主结构振动频率相等 【答案】D 【解析】解：A、调谐质量阻尼器与主结构构成耦合振动系统，两者的振动周期（或频率）较为接近，但未必完全一致。实际上，为达到最佳的减震效果，调谐质量阻尼器的固有频率通常需要略偏离主结构的固有频率（考虑阻尼影响后的最优调谐条件），故A错误。 B.当调谐质量阻尼器的固有频率与主结构的振动频率相等时，阻尼器将发生共振，此时其吸收的能量最多，减震效果最佳。然而，主结构的振动频率不一定等于其固有频率，故B错误。 C.减震质量若过大，反而会增加主结构的负担，因此需选取合适的质量比，并非质量越大越好，故C错误。 D.调谐质量阻尼器做受迫振动，其振动频率等于驱动力频率，即主结构的振动频率，故D正确。 故选：D。 3.（2025秋•广东期末）如图甲所示，芒果随树枝小幅度上下振动，可视为竖直方向的简谐运动。在t＝0时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化的图像如图乙所示。取竖直向上为正方向，下列说法正确的是（　　） A．t1时刻，芒果的速度最小 B．t2时刻，芒果受到的回复力最小 C．从t1到t2，芒果的加速度逐渐增大 D．t＝0时刻与t1时刻，芒果的速度相同 【答案】C 【解析】解：A、由x﹣t图像可知，t1时刻，芒果位于平衡位置，此时芒果的位移为0，势能为0，则速度最大，故A错误； B.t2时刻，芒果位于最大位移处，由回复力公式F＝﹣kx可知，受到的回复力最大，故B错误； C.从t1到t2，芒果的位移逐渐增大，受到的回复力逐渐增大，由牛顿第二定律可知，加速度逐渐增大，故C正确； D.t＝0时刻与t1时刻，芒果的速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选：C。 4.（2025秋•连云港期末）如图所示，一根劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂质量为2m铁块A，其下方吸引一质量为m磁铁B，磁铁对铁块的吸引力恒为2mg。若使A和B能一起沿竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．A、B做简谐运动的最大振幅为 B．铁块A的最大加速度为g C．铁块A在最高点时，A、B之间的弹力可能为零 D．铁块A从最低点至最高点过程中，其重力势能变化量最大值为 【答案】B 【解析】解：AB、当A、B静止时，由平衡条件可得kx0＝2mg+mg，解得：。 在振幅最大处，回复力与加速度最大，形变量也最大，设为xm。 对整体，根据牛顿第二定律有kxm﹣（2m+m）g＝（2m+m）amax， 对磁铁B，根据牛顿第二定律有2mg﹣mg＝mamax，解得：amax＝g，。A、B做简谐运动的最大振幅为，故A错误，B正确； C.铁块A在最高点时，根据简谐运动的对称性，磁铁B的加速度为g，方向竖直向下。对磁铁B，由牛顿第二定律得FN﹣2mg+mg＝mg，解得：FN＝2mg＞0，故C错误； D.铁块A从最低点运动到最高点的竖直高度差为Δh＝2A，其重力势能的变化量为，故D错误。 故选：B。 5.（2025秋•连云港期末）如图所示，粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一小段距离后放手，同时开始计时，木筷的振动方程。则（　　） A．木筷振动周期为1s B．木筷的回复力由浮力提供 C．0～0.5s内，木筷的机械能减小 D．0.25～0.75s内，木筷的路程为2cm 【答案】C 【解析】解：A、木筷的振动周期为，代入ω＝πrad/s，解得：T＝2 s，故A错误； B.木筷做简谐运动的回复力由浮力与重力的合力提供，故B错误； C.在0～0.5 s时间内，木筷向下运动，浮力方向与位移方向相反，浮力做负功，因此木筷的机械能减小，故C正确； D.在t1＝0.25 s时刻，木筷的位移为cm，计算得cm；在t2＝0.75 s时刻，木筷的位移为cm，计算得cm；从t1到t2过程中，木筷通过的路程为s＝|x2﹣x1|，代入数据解得：cm，故D错误。 故选：C。 6.（2025秋•东湖区校级期末）在水平光滑杆上的弹簧振子沿x轴在A、B两点之间做简谐运动，取平衡位置O为坐标原点，A点在x轴正方向上，A、B两点之间距离为16cm。从振子向右经过平衡位置O开始计时，经过0.3s时，振子第一次经过OA之间的C点，又经过了0.2s，振子第二次经过C点，下列正确的是（　　） A．在A点时，质点具有正向的最大加速度和位移 B．振子还需1.2s第三次经过C点 C．振子从开始计时经6.8s经过的路程为136cm，位移为8cm D．改变该弹簧振子的振幅，振子的周期和系统的机械能均发生改变 【答案】C 【解析】解：A、在A点（正向最大位移处），根据可知，加速度方向指向平衡位置，即负方向，故A错误； B.根据题意，振子从O点运动到C点所用时间为t1＝0.3s，从C点经A点再回到C点所用时间为t2＝0.2s。由对称性可知，振子从C点运动到A点的时间为。由此可得，振子运动的四分之一周期为，解得：，故周期T＝1.6s。振子第三次经过C点对应的时刻为t3＝t1+T，解得：t3＝1.9s，距离其第二次经过C点还需的时间间隔为Δt＝1.9s﹣0.5s，解得：Δt＝1.4s，故B错误； C.从计时开始经过的时间t＝6.8s，可表示为。该时间内振子运动的总路程为s＝4×4A+A，解得：s＝17A。由已知条件2A＝16cm，解得振幅A＝8cm，代入得总路程s＝136cm。经过4T后振子回到平衡位置O点，再经过后振子到达正向最大位移处A点，此时位移x＝8cm，故C正确； D.弹簧振子的振动周期公式为，其值与振幅大小无关；而振动系统的机械能表达式为，其值随振幅改变，故D错误。 故选：C。 7.（2025秋•江门期末）如图所示，弹簧振子在相距20cm的B、C两点间做简谐运动，O点为BC中点。从振子经过O点向左运动开始计时，经过0.5s第一次到达C点。取向左为正方向，则（　　） A．周期为0.5s B．振幅为0.2m C．3s末的位移为0.1m D．振动方程为x＝0.1sin（πt）（m） 【答案】D 【解析】解：A、振子从O到C经过的时间为四分之一个周期，所以振子的周期为T＝4t＝4×0.5s＝2.0s，故A错误； B.振幅为OB间的距离，即A＝10cm＝0.1m，故B错误； CD、振子的圆频率为，所以振子的振动方程为x＝Asinωt＝0.1sin（πt）m，则3s末的位移为x＝0.1sin（π×3）m＝0，故C错误，D正确。 故选：D。 8.（2025秋•宁波期末）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，弹簧的形变在弹性限度内，A球做周期为T的振动，振幅为d，下列说法正确的是（　　） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为g C．小球A从最低点运动到最高点的过程中，弹簧弹力的冲量大小为mgT D．小球A运动到最低点时，弹簧的弹性势能为4mgd 【答案】C 【解析】解：A、小球A在平衡位置处速度最大，此时弹簧处于拉伸状态，故A错误； B.开始时弹簧上的弹力大小为F＝（2m+m）g＝3mg，剪断细线瞬间，弹簧的弹力不变，根据牛顿第二定律可得A的加速度为a，故B错误； C.小球A从最低点运动到最高点的过程中，所经历的时间为t，规定向下的方向为正方向，弹簧弹力的冲量大小I，设对小球根据动量定理有2mgt﹣I＝0﹣0，解得I＝mgT，故C正确； D.小球A运动到最低点时，弹簧的弹性势能为重力势能的增加量，即EP＝2mgd，故D错误。 故选：C。 9.（2025秋•慈溪市期末）如图甲所示，某鱼漂原来静止在平静的水面上，某时刻受到小鱼的拱饵而上下浮动。若将鱼漂在竖直方向上的运动看作做简谐运动，设原来静止的位置为其平衡位置，向上为正方向，其位移x与时间t的关系图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．t＝1s时，鱼漂的振幅为零 B．t＝2s时，鱼漂的加速度为零 C．t＝3s时，鱼漂的速度方向向上 D．0～2s内，鱼漂的位移先增大后减小 【答案】C 【解析】解：A.振幅是简谐运动的最大位移，是定值，不随时间变化，故A错误； B.t＝2s时，鱼漂位于最大位移处，加速度最大，故B错误； C.t＝3s时，鱼漂处于平衡位置，速度最大斜率为正，速度方向向上，加速度为零，故C正确； D.0～2s内，鱼漂的位移先减小再增大，并非先增大后减小，故D错误。 故选：C。 10.（2025秋•博望区校级期末）如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与一质量为m的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于O点。现使小球以O点为平衡位置，在A、B两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中正确的是（　　） A．小球从O位置向B位置运动过程中合外力变小 B．小球每次通过同一位置时的速度一定相同 C．小球从A位置向B位置运动过程中，回复力冲量为零 D．小球先后经过关于O点对称的两个位置的过程中，弹力做正功 【答案】C 【解析】解：A．小球在光滑水平面上运动，从O位置向B位置运动过程中弹簧弹力逐渐增大，则合外力变大，故A错误； B．小球每次通过同一位置时的速度大小一定相等，但方向可能不同，方向不同，则速度不同，故B错误； C．小球从 A位置向B位置运动过程中，动量变化为0，根据动量定理可知，回复力冲量为零，故C正确； D．小球先后经过两个对称位置的过程中，弹性势能相等，弹性势能变化为0，则弹力做功为0，故D错误。 故选：C。 2、 多选题（共5小题） （多选）11．（2026•沙坪坝区校级一模）重庆长江索道被誉为“万里长江第一条空中走廊”和“山城空中公共汽车”。风力持续作用于轿厢形成周期性驱动力，轿厢在驱动力作用下做近似简谐运动的横向摆动。设某次摆动中，轿厢重心相对于平衡位置的位移x随时间t变化的关系为。已知索道系统的固有频率为0.8Hz，下列说法正确的是（　　） A．轿厢在驱动力作用下摆动的周期为1.0s B．若风速变化导致驱动力频率变为0.8Hz，轿厢摆动幅度增大 C．t＝0时，轿厢正处于平衡位置且向正方向运动 D．轿厢在摆动中任意四分之一周期内通过的路程一定为5cm 【答案】AB 【解析】解：A.由振动方程，角频率ω＝2π，故周期Ts＝1.0s，故A正确； B.驱动力频率等于系统固有频率时发生共振，振幅显著增大，故B正确； C.t＝0时，由方程可得x＝2.5cm，轿厢不在平衡位置，故C错误； D.简谐运动中，仅从平衡位置或最大位移处开始计时的四分之一周期内路程才等于振幅，否则不等于，故D错误。 故选：AB。 （多选）12．（2026•哈尔滨模拟）如图所示，A点和B点位于地球直径的两侧，假设两点间存在一细直隧道。飞船甲从A点由静止开始仅在引力作用下在隧道内运动，经时间t1后第一次到达B点。飞船乙从A点沿近地轨道环绕地球运动，经时间t2后也第一次到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，不计一切阻力，则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0，简谐振动周期T＝2π，m为振动物体质量，k为回复力系数）（　　） A．时间t1内，飞船甲中的人先失重，再超重 B．当甲到地心的距离为x时，其受合力为，式中m为其质量 C．飞船甲的最大速度vmax D．两飞船从A到B的时间t1＝t2 【答案】CD 【解析】解：A.飞船甲中的人和飞船甲的加速度相同，时间t1内，飞船甲中的人对飞船甲有压力，一直处于完全失重状态，故A错误； B.若m为甲的质量，结合上述可知，当甲到地心的距离为x时，其受合力为 在地球表面有 解得，故B错误； C.由于均匀球壳内部引力处处为0，则飞船甲在地心时所受引力为0，令飞船甲相对于地心的位移大小为x，地球质量为M，则有，其中 解得，引力大小与x成正比，方向与位移方向相反，即飞船甲做简谐运动，其在平衡位置O点的速度达到最大值，由于引力与位移成线性关系，根据动能定理有 在地球表面有 解得，故C正确； D.结合上述，对甲有，根据简谐运动的规律有k，甲做简谐运动的周期T甲，飞船乙从A点沿近地轨道环绕地球运动，则有 解得，根据题意有 代入数据得解得t1＝t2，故D正确。 故选：CD。 （多选）13．（2025秋•临川区校级期末）如图甲所示，一单摆做小角度（θ＜5°）摆动。从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。忽略空气阻力不计，取π2≈10，重力加速度g＝10m/s2，对于这个摆球的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆做简谐运动时，摆长约为1.0m B．t＝1.0s时，摆球运动的位移为零，速度为零 C．t＝1.0s时，摆球运动的速度最大，加速度为零 D．从t＝1.0s到t＝1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大，摆线上的拉力逐渐减小 【答案】AD 【解析】解：A、由题图乙可得单摆的周期为T＝2.0s。依据单摆周期公式，解得摆长。代入数值g＝10m/s2，可得，故A正确。 B.当t＝1.0s时，振子位移x＝0，表明摆球恰好经过平衡位置，此时其速度达到最大值。在平衡位置，摆球存在指向悬点的向心加速度，该值不为零，因此其合加速度不为零，故B错误。 C.由B项分析可知，t＝1.0s时摆球具有向心加速度，合加速度不为零，故C错误。 D.在t＝1.0s至t＝1.5s时间段内，摆球从平衡位置运动至左侧最大位移处。此过程中位移大小|x|逐渐增大，回复力F回＝mgsinθ随之增大。同时，速度v减小而摆角θ增大，根据牛顿第二定律沿法向的分量式可知，摆线拉力F拉逐渐减小，故D正确。 故选：AD。 （多选）14．（2025秋•乐平市校级期末）如图所示，将一轻质弹簧左端固定在墙上，右端连接质量为m的小球静置于光滑水平面上。以弹簧原长时小球的位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立坐标轴Ox，给小球一向右的初速度，小球沿x轴做往复运动，作出小球运动过程中动量p随位置坐标x变化的图像。小球的运动状态可用图像上各点的坐标表示，其中A状态的坐标为（0，a），B状态的坐标为（b，0），C、D状态的横坐标均为。已知弹簧的弹性势能Epkx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量。下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中的最大动能为 B．弹簧的劲度系数为 C．小球从C状态经B状态到D状态所经历的时间是其运动周期的四分之一 D．小球在C状态的动量大小为a 【答案】AD 【解析】解：A．小球运动到平衡位置（即A状态）动能最大，由，p＝a，解得， 可知小球运动过程中的最大动能为，故A正确； B．小球由B到A的过程，根据能量守恒得 解得，故B错误； C．由题意可知，振幅A＝b 故小球的振动方程为 小球由A到C的过程有 解得 又因为 故 所以小球从C状态经B状态到D状态所经历的时间为 是其运动周期的三分之一，故C错误； D．小球由B到C的过程，根据能量守恒有 又 联立可得，故D正确。 故选：AD。 （多选）15．（2025秋•宝安区期末）如图甲，O为单摆的悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。下列说法正确的有（　　） A．0.2πs时小球第一次摆到C点 B．单摆的周期为0.2πs C．小球质量为0.051kg D．单摆的摆长为0.4m 【答案】AD 【解析】解：A.t＝0时摆球在最高点A，拉力为0.495N。t＝0.2πs时，摆球到达另一侧最高点C（拉力再次出现最小值），故A正确； B.观察图乙，拉力最大值对应最低点，最小值对应最高点。从t＝0到t＝0.4πs，摆球完成一次全振动（A→B→C→B→A），故周期T＝0.4πs。故B错误； C.在最高点，拉力Fmin＝mgcosθ在最低点，拉力， 机械能守恒 消去cosθ后可解质量m≈0.05kg，故C错误； D.由单摆周期公式，代入 T＝0.4 π s、g＝10m/s2，解得 L＝0.4m，故D正确。 C.在最高点，拉力Fmin＝mgcosθ；在最低点，拉力。结合机械能守恒 （1﹣cosθ），消去cosθ后可解质量m≈0.05kg，故C错误。 故选：AD。 三、解答题（共5小题） 16.（2025秋•苏州期末）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在斜面底端挡板上，另一端连接质量为m的物体A，系统初始处于静止状态，现将质量也为m的物体B从斜面上某处由静止释放，B与A碰撞后以共同速度向下运动（不粘连），此后，A、B一起运动的周期为T，且在最高点恰好不分离，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，求： （1）A、B一起运动到最高点时加速度的大小a； （2）A、B一起运动的速度最大位置到最低点的距离x； （3）从碰撞时刻起，第一次运动到最低点的时间t。 【答案】（1）A、B一起运动到最高点时加速度的大小a为gsinθ； （2）A、B一起运动的速度最大位置到最低点的距离x为； （3）从碰撞时刻起，第一次运动到最低点的时间t为。 【解析】解：（1）A、B在最高点恰好不发生分离，此时A、B之间的弹力为零。对物体B，根据牛顿第二定律得： mgsinθ=ma 解得：a＝gsinθ （2）根据简谐运动的对称性可知，A、B在最低点时的加速度大小为a＝gsinθ。设此时弹簧的形变量为x1，由牛顿第二定律得： kx1﹣2mgsinθ＝2ma，解得： 由（1）的解答可知，A、B在最高点时弹簧处于原长，可得简谐运动的振幅等于x1，即Ax1，则速度最大位置到最低点的距离为： x＝A （3）设A、B碰撞时弹簧的压缩量为x2，则有： kx2＝mgsinθ，解得： 以沿斜面向上为正方向，以第一次向上经过平衡位置为0时刻，可得振动方程为： 设从平衡位置到碰撞位置所用的最短时间为t1，则有： ，解得： 可得A、B第一次到最低点的时间为： 答：（1）A、B一起运动到最高点时加速度的大小a为gsinθ； （2）A、B一起运动的速度最大位置到最低点的距离x为； （3）从碰撞时刻起，第一次运动到最低点的时间t为。 17.（2025秋•安徽期末）如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C之间的距离为20cm，P是OB的中点。t＝0时刻，振子位于O点，t＝1.0s时振子刚好第一次回到O点。求： （1）t＝10s时振子的位移大小和0～10s内振子通过的路程； （2）振子在P点和C点的加速度大小之比。 【答案】（1）t＝10s时振子的位移大小为0，0～10s内振子通过的路程为200cm。 （2）振子在P点和C点的加速度大小之比为1:2。 【解析】解：（1）由BC＝20cm可知振幅；振子从O点出发并首次返回O点用时1.0s，对应半个周期，即，解得：T＝2.0s。 当t＝10s时，有t＝5T，振子恰好位于平衡位置O，故其位移大小为0。在0～10s时间内，振子经历5个完整周期，通过的路程为s＝5×4A，解得s＝200cm。 （2）简谐运动中，加速度大小与位移大小成正比，关系式为，因此有。 已知C点位移为xC＝A，P点位移为，代入比例式，解得：aP：aC＝1:2。 答：（1）t＝10s时振子的位移大小为0，0～10s内振子通过的路程为200cm。 （2）振子在P点和C点的加速度大小之比为1:2。 18.（2025秋•东湖区校级期末）如图所示，滑块1、2的质量分别为m1＝1kg和m2＝4kg，滑块1在半径R＝1.7m的光滑四分之一圆弧轨道AB的最高点A处，滑块2静止于粗糙水平轨道BC的右端C处，B、C两点间的距离L＝2m，滑块1与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.225。C点正下方O处固定一劲度系数k＝100N/m的水平轻弹簧，弹簧右端固定一质量M＝6kg的滑块3，静止于光滑水平地面上。由静止释放滑块1，滑块1与滑块2发生弹性正碰后滑块1恰好停在B点。滑块2被碰后做平抛运动的同时给滑块3一个水平向右、大小v0＝3m/s的初速度，一段时间后滑块2与正好回到平衡位置向左运动的滑块3相碰（滑块2底部与滑块3顶部碰撞）后滑块2竖直向上运动至与C点等高的D点。 已知所有的碰撞时间极短，滑块3与弹簧构成的弹簧振子的振动周期T＝2π，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内，三个滑块均可视为质点，取重力加速度大小g＝10m/s2，π2＝10。 （1）求滑块1与滑块2弹性正碰之后滑块2的速度； （2）求C点与滑块3的高度差的最小值hmin； （3）滑块2与滑块3第二次碰撞后瞬间水平方向速度相同，滑块2离开滑块3后立即撤去滑块2，求此后滑块3做简谐运动的振幅A。 【答案】（1）滑块1与滑块2弹性正碰之后滑块2的速度大小为2m/s。 （2）C点与滑块3的高度差的最小值为3m。 （3）此后滑块3做简谐运动的振幅为m。 【解析】解：取水平向右为正方向。 （1）滑块1从A点运动至B点，由机械能守恒定律可得，代入数据解得：m/s。 滑块在BC段滑行时，根据动能定理有，代入数据解得滑块1与滑块2碰撞前的速度v1＝5m/s。 滑块1与滑块2发生弹性正碰，设碰后速度分别为v'1和v2，依据动量守恒与机械能守恒，有m1v1＝m1v'1+m2v2与，联立解得：v2＝2m/s。 （2）滑块3作为弹簧振子，其振动周期为，代入数据解得：s。 滑块2离开C点后做平抛运动，为使滑块2与回到平衡位置向左运动的滑块3相碰，所需最短时间为半个周期，即，解得：s。 由平抛运动竖直方向位移公式，并取π2＝10，解得高度差最小值：hmin＝3m。 （3）滑块2与滑块3第一次碰撞后竖直向上运动至D点，依据运动的对称性，其反弹的竖直分速度大小为，解得：m/s。 滑块2从离开滑块3到发生第二次碰撞的时间间隔为，代入数据解得：s。 由于Δt＝T，表明第二次碰撞时滑块3再次回到平衡位置向左运动，此时其速度为v3＝﹣v0，解得：v3＝﹣3m/s。 第二次碰撞过程中，滑块2与滑块3在水平方向动量守恒，有m2v2+Mv3＝（m2+M）v'，解得共同速度：v'＝﹣1m/s。 撤去滑块2后，滑块3的总能量满足，代入数据解得振幅：m。 答：（1）滑块1与滑块2弹性正碰之后滑块2的速度大小为2m/s。 （2）C点与滑块3的高度差的最小值为3m。 （3）此后滑块3做简谐运动的振幅为m。 19.（2025秋•张掖期末）如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动的图像如图乙所示，完成以下问题： （1）写出该振子简谐运动的振动方程； （2）该振子在前40s内运动的路程是多少？ 【答案】（1）（1）该振子简谐运动的振动方程为； （2）该振子在前40s内运动的路程是0.8m。 【解析】解：（1）由图乙可知，振幅A＝2cm，周期T＝4s ω 解得ωrad/s 弹簧振子的振动方程为 （2）因 而振子在一个周期内通过的路程是4A，所以振子在前40s内运动的总路程s＝n×4A 解得s＝0.8m 答：（1）该振子简谐运动的振动方程为x＝2sin（t+π）cm； （2）该振子在前40s内运动的路程是0.8m。 20.（2025秋•松山区期末）如图1所示，O点为单摆的固定悬点。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。细线对摆球的拉力大小F随时t的变化关系如图2所示，t＝0时，摆球从A点开始运动，重力加速度为g。求： （1）单摆的摆长L； （2）摆球的质量m。 【答案】（1）单摆的摆长大小为。 （2）摆球的质量大小为。 【解析】解：（1）由图2可知单摆的周期T＝t，根据单摆的周期公式，解得：。 （2）设摆球最大摆角为θ，当摆球在A点时，细线拉力大小为F2，摆球速度为零。细线的拉力与重力的合力提供回复力，根据力的合成与分解有：。 摆球从A点运动到B点，根据动能定理有：。摆球在B点时，细线拉力与重力的合力提供向心力，有：。联立解得：。 答：（1）单摆的摆长大小为。 （2）摆球的质量大小为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $