安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2026届高三下学期数学周练三

参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】B 【详解】因为，则，则.故选：B 2. 【答案】C 【详解】，∵为斜边的中点，∴， ∴，∴， 在直角中，，∴，∴.故选：C 3. 【答案】A 【详解】．故选：A 4. 【答案】C 【详解】，，，，， 是锐角，，，， ， ，，，， .故选：C. 5. 【答案】B 【详解】由题意知，由为等腰三角形，且，得，过作垂直轴于，如图所示，则在中，，故，， 所以，即，代入直线的方程， 得，即，所以所求的椭圆离心率为.故选：B. 6. 【答案】D 【详解】过作与平面平行的截面，截面直径为，如图， ，取中点，过作平行线交球与， 则点在以为直径的小圆上，当在点时，过作与垂直的直径交球于， 则点在以为直径的大圆运动，当位于点时，到平面距离最大， 设，则，，所以到距离最大值为，故选：D 7. 【答案】D 【详解】令，，，，，A错；，B错； ，C错；一般情况，时，，，， ，此时；时，， 左边， 右边左边，D对； 故选：D． 8. 【答案】B 【详解】，且在[0，1]上单调递减，因为，所以，故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 【答案】BCD 【详解】对于A，∵， ∴，∴， 当且仅当，即时，取得最大值，故A错误； 对于B，，当且仅当， 时，取到最小值为，故B正确； 对于C，.当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，当，且时，，∴， 当且仅当，取最大值，故D正确.故选：BCD 10. 【答案】ACD 【详解】对于A，在正方体中，平面平面， 则点P到平面距离为定值，的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，， 不垂直，因此不存在点P，使，B错误； 对于C，连接，平面，平面，则，而， 又平面，则平面，又平面，则. 同理得，又平面，则平面， 由，得平面，又平面，因此点轨迹为平面 与底面交线，即为线段，又，C正确； 对于D，取中点为，连接，平面， 由平行于，平面，得，又，则平面， 又取中点为，则，有四点共面，则平面平面. 平面即为平面，设平面分别与交于， 由平面平面，平面，平面， 则，又都是中点，则是中点，同理是中点， 于是平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则， 所以截面面积为，D正确. 故选：ACD 11. 【答案】ACD 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，则，即，故A正确；因为是奇函数，所以，即， 所以，则，令，所以，所以，即的图象关于直线对称，则，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，，解得， 所以圆的方程为，即.故答案为：（或）（两种形式均正确）. 13. 【答案】13 【详解】令，则为有理数，又因为，，即，， 要使为有理数，则必须是整数，令，则，因为，所以，则，解得，所以的可能取值有共个，所以的次数为，则的所有值之和为. 14.【答案】 【详解】设圆锥的母线长，底面半径，因为圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，所以，，解得，所以中，，设圆锥外接圆的圆心为G，半径为R，由圆锥外接圆的性质可知，点G在线段上，在中，，即，解得，故圆锥外接球的表面积为. 在平面内过点P作直线，取中点M，连接，则，且，因为顶点为的圆锥有且仅有一条母线在平面内，所以平面平面,又平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，过作垂线，分别交，于点和，连接，，即,又,平面，所以平面,又平面，所以，即到的距离为，所以，所以，因为，所以，所以，在中，，在中，设与圆锥底面所成角为，则，则,即与圆锥底面所成角的余弦值为.故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） (1) (2) 【详解】（1）因为，，所以， 又△ABC的面积，所以，所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又△ABC的面积，解得，即边上的高为. 16.（15分） (1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接DO、AO、EO， 因为，，都是等边三角形，所以， 又在平面内交于点O，在平面内交于点O， 所以平面，平面，因为过O只有一个平面与垂直，且平面与平面有公共点O，所以平面与平面是同一平面，即A，D，O，E四点共面； （2）连接DO、AO、EO，AD，以OA，OB分别为x、y轴，以过点O且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系， 则，因为是等边三角形，边长，点为中点，所以，所以又， 设，所以，解得，所以， 因为是等边三角形，边长，点为中点， 所以，又，设， 所以，解得，由(1)得为二面角平面角， 设，则点，故，设平面的法向量为，则，取得，所以，设直线与平面所成角为， 则， 其中，当时，取得最大值为，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. 17.（15分） (1) (2)（i）；（ii）证明见解析； 【详解】（1）设切点为，，所以，所以， 所以函数在处的切线为，将代入得，解得， （2）（ⅰ）当时，原问题有两个不等实根． ，，令， 则，在上递增， ，使得，当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增，， 又，设，则，当时，，当时，，，． （ⅱ）设，，不妨设 则，即，，令， 则，是方程两个根． 又 欲证，只需证 ，设 则 ∴当时，；当时，； 在递减，递增，设，下面证明，， 设，，则 故．在递增，，，， 又在递减，，故． 18.（17分） (1) (2)（i）;（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题意可设，则，根据椭圆的定义可知的周长为 ，所以，即椭圆方程为； （2）设点在椭圆上，易知， 所以，即，当且仅当时取得等号，即椭圆上有且仅有一点在直线上，所以过椭圆上一点的切线方程为：； （i）由上知，可设l方程为，，而直线斜率存在且不为0及椭圆的对称性可知，则分别为，联立可得是定值，又作差可得，整理得，即，所以M点在定直线上； （ii）易知，联立得， 所以，则 ，是定值，证毕. 19.（17分） (1) (2) (3) 【详解】（1）解：由变量生成的函数为， 可得，所以， 所以当为奇数时，可得. （2）证明：由分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率， 故，即，所以， 所以生成的函数为，可得，则， 所以，因为， 所以，故，因为， 所以，所以. （3）解：由方程的自然数中等可能地随机选取一组解， 可得有序三元组的总数的组合数为种， 由随机变量，所以随机变量的可能取值为， 当时，即数组中，有1个0或2个0，可得； 当时，即数组中，有1个1或2个1，可得； 当时，即数组中，有1个2或2个2，可得； 当时，即数组中，三个数都是3，可得， 则变量的分布列为 0 1 2 3 所以，可得， 则，令，即，解得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以，当是函数的极小值点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届安师大附中高三下数学周练三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2. 在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3. 列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（    ） A． B． C． D． 4. 已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 5. 已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点满足，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 7. 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8. 已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，则的最小值为 C．函数的最小值为 D．若，且，则 10. 如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为 D．若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 11. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．为偶函数 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 过，，三点圆的方程为____________. 13. 存在狄利克雷函数，若，，则的所有值之和为_______. 14. 如图，圆锥有且仅有一条母线在平面内，圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则圆锥外接球的表面积为 ；若是中点，，且点到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的余弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，若，且△ABC的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 16.（15分）如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点. (1)求证：A，D，O，E四点共面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 17.（15分）已知函数． (1)若函数过原点的切线为，求实数的值； (2)若函数的图象与相交于两个不同点，，记直线的斜率为． （i）当时，求实数取值范围； （ii）当时，证明：． 18.（17分）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 19.（17分）已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 其中，且.由生成的函数为. (1)若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值； (2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率. 请判断与的大小关系； (3)从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点. 第 学科网（北京）股份有限公司 $