解答题突破01：数列求和【8个题型归纳】讲义-2026年高考数学二轮复习

2026年高考二轮复习强化讲义 【解答题突破01：数列求和】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：错位相减求和】 【解题策略】 一、适用场景 通项为等差×等比型即（为常数） 二、标准解题步骤 1写出前项和 2两边同乘公比得 3两式错位相减中间项为等比数列 4合并等比数列求和整理得 三、错位相减大招公式（直接套用秒出结果） 若（） 则前项和 其中 验证公式： 当时退化为纯等比数列完全一致 当时与公式等价 四、常见结论与易错点 错位相减后首项无对应项末项中间项成等比 等比数列求和时公比若直接用等差数列求和 易错：相减时符号错误漏写末项等比数列项数算错（为项） 五、二轮提速技巧 直接用大招公式代入10秒算出 用特殊值验证：令快速检验公式正确性 （2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且.经典例题1例题 (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. （2026·河南许昌·模拟预测）记为等差数列的前项和.已知且.经典例题2例题 (1)求的通项公式； (2)设函数，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据前项和的定义，以及等差数列的性质，转化为的方程组，即可求解； （2）根据等比数列的求和公式，以及导数公式求得，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）设数列的公差为，由可知 ，则 又，令可得 联立解得，，则 （2）当，时， ，当，时，成立， 所以 ，则， （2026·四川成都·二模）已知正项数列的前n项和为，且，．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． （2）由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. （2026·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，．小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质，可证为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项和公差d的值，代入公式，即可得答案. （2）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 设数列的公差为d，且，则，解得， 又，所以，即， 则，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. （2026·广东·一模）在数列中，，，且对任意的，都有．小试牛刀3 (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）先利用等比数列的定义求证数列是等比数列，再构造数列求证其为等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以， 又，则有，所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． （2）设， 则， 两式相减得， 则. 【题型2：裂项相消求和】 【解题策略】 一、适用场景 通项可拆为两项差求和时中间项相互抵消只剩首尾项 二、常见裂项公式（二轮必背） 1分式型（最常考） 2阶乘型 3对数型 三、标准解题步骤 1裂项：将拆为两项差（注意系数） 2写出展开抵消中间项 3整理剩余首尾项得 四、常见结论与易错点 裂项后系数必须匹配如系数为不可漏写 抵消后剩余项数：前项后项（为裂项差的间隔） 易错：裂项系数错误抵消时漏项符号错误 （2026·山东聊城·一模）已知数列满足.经典例题1例题 (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii） 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可求证，再求解通项公式即可； （ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）由， 当时，，即； 当时，，则， 即，则，即， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即. 由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . （2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.经典例题2例题 (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. （2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．小试牛刀1 (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，结合条件化简计算得，即可证明； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ， 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . （2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且是等差数列.小试牛刀2 (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）使用等差中项性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证. 【详解】（1）设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. （2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和.小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. （3）结合放缩法得到，再求和证明即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 也满足上式； 故. 当时，； 当时，， 也满足上式； 综上，. （2）， 故数列的前项和. （3）， 又对任意的：， 所以， 故. 【题型3：分组求和】 【解题策略】 一、适用场景 通项为等差+等比或多个可求和数列的和即（等差等比） 二、标准解题步骤 1分组：将拆为两个（或多个）可求和的子数列 2分别求和：用等差、等比求和公式计算、 3合并结果： 三、常见结论 等差+等比型：（） 周期数列分组：按周期分组先求一个周期的和再乘周期数 四、二轮提速技巧 分组后优先用公式避免逐项相加 周期数列直接用“周期和×周期数+剩余项”快速计算 （2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足．经典例题1例题 (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及能成立求参数的最大值. 【详解】（1）令，则，于是，结合已知有， 所以，即． 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则 ， 令，整理得，而在上单调递增， 且， 所以，的最大值为． （2026·广西北海·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，．经典例题2例题 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的等式，求出首项、公差即可求解；由的关系，通过作差可求通项公式； （2）通过分组求和，分别利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为​，公差为， 由得：，化简得 ； 由得：，化简得 ， 联立方程解得：，， 因此等差数列通项为： ， 对于数列，已知， 当时，，得； 当时，，两式相减得：​， 即， 因此是首项为、公比为的等比数列， 通项为： ； （2）由， 可得：， 又， 得：， 又， 这是首项为、公比为的等比数列， 则 所以. （2026·河北保定·一模）已知等差数列满足．小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． （2026·福建福州·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)设函数，记，求数列的前21项和. 【答案】(1) (2)21 【分析】（1）方法一：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行求解即可； 方法二：利用等差数列的性质和前n项和公式进行求解即可； （2）方法一：利用分组求和法进行求解即可； 方法二：判断函数的对称性，利用函数的对称性进行求解即可. 【详解】（1）方法一：设等差数列的公差为，则 解得 所以. 方法二：设等差数列的公差为， 因为是等差数列，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以. （2）方法一：因为， 所以， 所以 . 方法二：因为， 所以， 所以， 所以曲线关于点中心对称， 因为是等差数列， 所以， 因为的对称中心为， 所以， 同理可得：，, 所以. （2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，．小试牛刀3 (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求首项，再根据等比数列的定义证明为常数； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再根据等差和等比数列的前项和公式，利用分组转化法求和. 【详解】（1）因为，，所以， 再由， 因为，所以，代入上式得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得：， 则 【题型4：奇偶项数列求和】 【解题策略】 一、适用场景 数列通项分奇偶如或 二、标准解题步骤 1分奇偶讨论：分别写出奇数项、偶数项的通项 2分别求和：奇数项成等差/等比偶数项成等差/等比用对应公式 3合并结果： 三、常见结论（型） 相邻两项合并：转化为新数列求和 分为奇偶：为偶数时；为奇数时 四、易错点 分奇偶时项数计算错误（如为奇数奇数项为项偶数项为项） 符号处理错误漏写 （2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，．经典例题1例题 (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【详解】（1），，， ，解得，故； 同理，解得， ． （2）①， 时， ②， 式①减②得， ， 又 符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． （3）， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． （2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．经典例题2例题 (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且 ．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式； （2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和. 【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和： ， 所以. （2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且．小试牛刀2 (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）先根据递推式判断为等差数列，进而根据已知条件列出方程组求出公差和首项，进而得到该数列的通项公式和前项和. （2）先列出的表达式，然后作差比较大小即可. 【详解】（1）因为，所以为等差数列． 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以， （2）由（1）知，， 当为正偶数时，， ， 则当为正奇数时， ， 则在时单调递增， ．所以； ，所以， ，所以， 由的单调性可知，当取大于5的奇数时，， 综上所述，当为小于5的正奇数时，； 当为不小于5的正奇数时，． （2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.小试牛刀3 ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】(1)选择任一条件都有， (2) 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列的基本量，进而求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求出. 【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 【题型5：数列求和与不等式恒成立问题】 【解题策略】 一、适用场景 已知求使（或）对任意恒成立 二、标准解题步骤 1先求：用错位相减/裂项相消/分组求和求出的表达式 2分析的单调性：求判断的增减性 3求的最值：递增数列递减数列 4转化恒成立：恒成立⇨；恒成立⇨ 三、常见结论 裂项相消型若则递增最大值为极限值（如） 错位相减型若则有上界可求极限 四、二轮提速技巧 恒成立问题优先用“最值法”避免放缩法的误差 放缩法仅用于证明不等式求参数范围优先用单调性 （2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．经典例题1例题 (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. （2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且．经典例题2例题 (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【详解】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. （2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，．小试牛刀1 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． （25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足.小试牛刀2 (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，，两式相减求得，得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意恒成立，设，根据，分为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列，且满足，可得， 即，所以数列是以，公差为的等差数列， 所以，所以， 又由数列的前n项和为，满足， 当时，，可得， 当时，， 两式相减，可得，即，所以， 即，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. （2）解：由（1）知：且，所以， 则， 可得， 两式相减，可得 ， 所以. （3）解：由不等式，可得 即对任意恒成立， 设，可得， 当时，可得； 当时，，即，即， 当为偶数时，可得，解得； 当为奇数时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，．小试牛刀3 (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【详解】（1）在正项数列中，， 则，所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 【题型6：数列求和与导数结合】 【解题策略】 一、适用场景 通项为或等幂函数型求和 二、标准解题步骤 1利用导数公式： 2构造等比数列求和：（） 3两边求导：对求导得 4整理得 三、常见结论（二轮必背） 四、易错点 求导时漏项或公式记忆错误 时退化为等差数列求和需单独讨论 （2026·宁夏银川·一模）已知函数.经典例题1例题 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)证明：（）. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在点处的导数就是该点切线的斜率，求出斜率后，再利用点斜式即可写出切线方程； （2）函数在某个区间上单调递减，意味着其导函数在该区间内恒小于等于0，我们先求导，然后分离参数，转化为求新函数的最值问题； （3）对于这类连乘小于的题目，常用的技巧是取自然对数，将乘积转化为求和，然后利用放缩法（如裂项相消）来证明和式小于1. 【详解】（1）当时，， 将代入：， 所以切点坐标为； 求导得：， 将代入导函数：， 所以切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程： ， 因此，所求的切线方程为. （2）对求导得：， 因为在上单调递减， 所以对于任意，都有：， 即：， 因为， 即：，对于任意恒成立， 令，， 对于所有，不等式恒成立， 只需， 对求导：， 当时，，则，所以，函数单调递增， 当时，，则，所以，函数单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围是. （3）设， 对取自然对数，得： ， 又， 于是， 构造函数，其中， 求导得：， 当时，，所以在上单调递增， 则对于任意，有， 即， 而， 所以， 因此， ， 由于，所以， 从而. 原不等式得证. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，且为函数的极值.经典例题2例题 (1)求实数a的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）利用极值点的必要条件（极值点处导数为0），对求导后代入，解方程得到的值，再验证导数在两侧的符号，确认为极值点； （2）构造函数，将恒成立问题转化为在上恒成立，即求的最小值≥0.通过求导分析的单调性，分和两种情况讨论，结合函数最值解关于的不等式，得到的取值范围； （3）利用不等式，得到，对进行放缩，转化为可裂项相消的形式，求和后证明不等式. 【详解】（1）因为，又为函数的极值， 所以，即，解得. 验证极值点：当时，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此是的极小值点，符合题意，故. （2）由(1)得，设， 设， . 当时，，因此在上单调递增，. 情况1： 此时，故，在上单调递增，最小值为. ，解得或，结合，得. 情况2： 在上单调递增，且，时， 故存在唯一，使得，即. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此的最小值为，代入， 化简得， 因，故，解得. 设，， ， 故在上单调递减， 因此， 综上所述，实数的取值范围是或. （3）证明：由(1)得，因此. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以 所以不等式（当且仅当时取等号）， 令，得，且时，故. 因此对，有： ，即 因为， 所以. 因时，故，即，不等式得证. （2026·湖北·一模）已知函数小试牛刀1 (1)当时，求的最小值； (2)当时，，求的取值范围： (3)已知点，按照如下方式依次构造点：过点作曲线的切线与轴交于点，令为过点且斜率为0的直线与曲线的交点，记的面积为，，证明：. 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数后判断其符号，则可得函数的单调性； （2）求出函数的导数，令，求出后先判断时的符号可得原函数的单调性，再求出的二阶导数，就、分类讨论可确定参数的范围，当时可直接判断的单调性后得原函数的单调性，从而判断参数的范围；也可以利用放缩法证明当不等式恒成立，再结合导数证分类明不等式不恒成立即可；另外利用换元法可将原不等式转化为恒成立，同样可结合导数探求参数的范围； （3）先利用导数的几何意义求得，求出的通项公式后可求面积，从而得的通项，结合（2）的结果可得不等式，结合裂项相消法可证不等式，或者证明，同样可得，再结合裂项相消法可证不等式亦可. 【详解】（1）时，，，. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，所以. （2）法一：，， 其中，记，， （i）当时，，所以在上单调递减， 又，所以时，，即， 所以在上单调递减，又，所以恒成立， 故合题意； （ii）当时，设，则， 故在上单调递减， 又，所以时，，同（i）可得恒成立， 故合题意； （iii）当时，因为，所以在上单调递减， 此时，， 所以当时，，所以在单调递增， 又，所以，，即， 所以在单调递增， 又，所以，，不合题意. （iv）当时，显然为上的增函数，又， 所以时，，即，所以在上单调递增， 又，所以恒成立，故不合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 法二：（i）当时，，， 设，，， 所以在上单调递减， 又，所以，当时，，即， 所以恒成立，故合题意； （ii）当时，，（由第（1）问可知）， 故，不合题意； （iii）当时，， 记，， 为减函数，且，， 所以，当时，，所以在单调递增，又， 所以，，即， 所以在单调递增，又， 所以，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 法三：恒成立等价于恒成立. 令，则不等式可化为：， 令，则，且需对恒成立. 求导得，， 令，， 求导得， 故， ①当时，，所以在上递减， 又，所以，即， 所以在上递减，又，从而，不满足条件. ②当且时，在时，， 同上分析可知，在时，，不满足条件. ③当时，，且对，， 由于，，，即恒成立， 故在上为增函数，故， 即，进一步知为增函数，故，合题意. 综上所述，即为所求. （3）法一：由题意，点在曲线上，设，， 已知，即，过的切线方程为：. 与轴交点的坐标为， 过且斜率为0的直线为， 与曲线的交点满足， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 因此，， 所以，的坐标为，的坐标为， 的底边的长度为，高为1，故面积，， 于是，则， 所以要证，即证， 而（2）中时，任意时，有恒成立， 故有时，恒成立， 令，则有， 所以，，…，， 求和得，所以原不等式成立. 法二：令， 求导得， 所以在单调递增，所以， 令可得恒成立，， 对求和得. （2026·河北·一模）已知函数.小试牛刀2 (1)求函数的最小值； (2)设，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，进而求出单调区间即得最小值. （2）由（1）的结论可得，取并变形不等式，再借助裂项法求和及不等式性质推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2）由（1）得， 则当时，，当时，取， 可得， 即， 则 ， 所以. （2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数（）．小试牛刀3 (1)设是曲线的任意一条切线，若，求的值； (2)证明：存在，对任意，且，都有； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设切点再根据点斜式结合不等式计算得出参数； （2）构造函数，结合函数单调性计算证明； （3）由（2）知 ，结合应用错位相减法计算证明即可. 【详解】（1）设直线与曲线切点横坐标为，因为， 所以切线方程为：， 所以， 即对任意都成立， 因为，所以在上递增且存在唯一正的零点， 又在上递减，所以也是它的零点. 所以；解得. （2）因为的定义域为，，， 当时，，递减； 当时，，递增. 取，设，代入得，， 所以， 设，， 因为，所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以时，存在，对任意，且，都有；. （3）取，，，， 则，， 由（2）知，，即， 因为，， 所以， 设， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 【题型7：数列求和与圆锥曲线结合】 【解题策略】 一、适用场景 圆锥曲线中点列、弦长、面积等构成数列求数列和 二、标准解题步骤 1先求数列通项：结合圆锥曲线方程求出的表达式（如弦长、面积） 2判断数列类型：等差/等比/等差×等比/裂项型 3选择对应求和方法：错位相减/裂项相消/分组求和 4整理结果结合圆锥曲线范围验证 三、常见结论 抛物线焦点弦长构成等差数列求和用等差公式 椭圆/双曲线中点列横坐标成等比纵坐标成等差求和用分组求和 四、二轮提速技巧 优先用坐标法求通项再用数列求和公式 圆锥曲线中常出现裂项型通项（如）直接裂项求和 （2026·广东广州·二模）已知函数.经典例题1例题 (1)直线过点且与曲线相切，求直线方程； (2)已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点可得，即可得结果； （2）根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，结合裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 代入点可得，解得， 所以直线方程为. （2）由（1）可知：，则， 由题意可知：的圆心为，半径， 因为与外切，则， 可得，且， 整理可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 则，即， 则， 所以. （2026·河南开封·模拟预测）已知函数.经典例题2例题 (1)若数列，求数列的前n项和； (2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将数列拆分为等比数列和等差数列，分别求和后相加得到前项和. （2）先求函数在处的切线方程，令得到截距，再用错位相减法求的和，最后结合的和得到. 【详解】（1）因为，所以 . （2）， 直线的方程为， 令， 得， 所以， 令数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得，故， 又数列的前项和为， 所以数列的前项和. （2026·四川巴中·一模）若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为．小试牛刀1 (1)设为坐标原点，若，求的面积． (2)对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)求数列的前项和；若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)是，定值为 (3)， 【分析】（1）根据题意，求得抛物线的方程为，得到的方程为，联立方程组，求得，得到，再求得点到的距离为，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）把代入，两式相减得， 得到和，再由，进而化简得到，即可求解； （3）由（2）得到，得到是等差数列，求得，再由（2）得到，得到，结合裂项法求和，求得，结合对单调递增，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线的方程为， 因为，是斜率相关的，点，且，所以的方程为， 联立方程组，解得或，设，所以， 又因为在上，所以，解得，则， 所以， 又因为点到的距离为， 所以的面积为. （2）解：根据斜率相关的定义可知，的斜率为， 把，代入，可得， 两式相减，则， 所以①，同理可得，，即②， 由①②消去，可得，所以③， 所以，所以对任意的正整数，是定值. （3）解：由（2）中①②消去，可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 由（2）知， 所以， 所以 ， 所以 因为对单调递增，且对任意的正整数，都有， 所以， 又因为，原式化简为，解得， 所以实数的取值范围为. （25-26高三上·山东烟台·期末）已知点均在抛物线上，，，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆外切，.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)设圆的面积为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据两圆的位置关系列式，可得数列的递推公式，再根据数列的递推公式求通项公式. （2）利用放缩法，结合裂项求和法进行证明. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以且， 因为圆和圆外切且圆均与轴相切， 所以， 所以， 整理得， 因为，所以， 即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. （2）由（1）知，， 因为， 所以， 即，原题得证. （2026·河北·一模）如图所示，已知抛物线 被两组首尾相接的平行线段所截，其中一组平行线 …的斜率为，一组平行线. 与x轴垂直，将两组平行线与抛物线C在x轴上方的交点从左到右依次记为 x轴下方的交点从左到右依次记为 若点 的横坐标为1，且点 到抛物线C的准线的距离为小试牛刀3 (1)求p的值； (2)求 的面积； (3)设 当 时， 数列 的前n项和为 ，若对任意的，恒有 求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出抛物线 的准线方程，建立关于 的方程，求解即可； （2）根据（1）求出点 的坐标，进而求出直线 的方程，并与抛物线方程联立，得到 间的关系，再求 的坐标，进而得 及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式即可求得结果； （3）先求出数列 的通项公式，进而分类讨论求出， 通过参变分离，将不等式恒成立问题转化为二次函数最值问题，即可求的取值范围. 【详解】（1）由题意知抛物线 的准线方程为 ， 则由题意得 ， 整理得 ，即 ，得 . （2）由（1）知抛物线 的方程为 ，则 ， 因为点 在抛物线 上，则 ， 因为点 与 关于 轴对称， 所以当 时，易知 ， 所以过 且斜率为 的直线 的方程为： ， 联立，得 ， 消去 ，得 ， 解得 或 ， 所以 ，即 . 所以 ，则 ， 又直线 的方程为 ，即 ， 则点 到直线 的距离 ， 所以 （3）由 (2) 知数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列， 所以 ， 代入抛物线方程得 ， 又因为当 时， 所以， 当 为偶数时， . 当 为奇数时， 所以， 因为对任意的 恒成立， 所以当 为偶数时， ，即 恒成立， 又 ， 所以当 时， 取得最小值，且最小值为， 所以 ， 当 为奇数时， 即 恒成立， 又 ， 所以当 时， 取得最小值，且最小值为，所以 . 综上可得 的取值范围为 . 【题型8：数列求和与概率统计结合】 【解题策略】 一、适用场景 概率分布列、期望、方差中涉及数列求和（如二项分布、超几何分布的期望） 二、标准解题步骤 1先求概率通项：结合概率模型求出 2利用期望公式： 3用数列求和方法计算：错位相减/分组求和/裂项相消 4整理得期望/方差 三、常见结论（二轮必背） 二项分布：（由用错位相减推导） 超几何分布： 几何分布：（由用导数法推导） 四、易错点 概率求和时漏项或项数错误 期望公式记忆错误混淆分布列类型 （2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，.经典例题1例题 (1)求. (2)设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列. (3)若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案； （2）首先分析出的可能取值为0，1，2，再分别写出其对应的概率； （3）根据题意得到方程组，变形后构造得数列为等比数列，求出其通项公式，再利用分组求和法即可得到期望值. 【详解】（1）已知每一步沿平行于的方向移动的概率为， 沿平行于的方向移动的概率为，两次移动后回到处有两种情况， 沿着或方向来回，故. （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 （3）注意到掷偶数次时，该点不可能停在处或处，故． 由第一问，故掷两次后停在处的概率为， 由题意得， 两式相减得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 又因为，所以． 将该点出现在处记为1，出现在处记为0，故随机变量服从两点分布， ， 故． （2026·海南儋州·一模）如图，已知一个质点每隔相等时长，按随机方向，等可能地沿着正方体的棱从1个顶点移动到另1个顶点．设一个质点从顶点出发，第次运动后，质点回到点的概率为．经典例题2例题 (1)求和； (2)设第次运动后，质点移动到点的概率分别为、、． ①证明：，； ②求． 【答案】(1)；； (2)①证明见详解；②. 【分析】（1）通过质点在不同时间的移动路径来确定回到点的概率； （2）①利用正方体的对称性以及质点移动的概率关系即可证明等式； ②通过质点到达各点的概率关系，化简可得，通过对的取值进行奇偶讨论，即可求得. 【详解】（1）质点从出发，第1次运动有3个方向，即、、，概率均为， 第2次要回到，必须从第1次到达的顶点（、、）沿原路返回，每个顶点返回的概率为， 所以； 第3次运动要回到，第二次必须在与相邻的顶点（、、）， 但第2次运动质点不可能出现在顶点、、，所以； （2）①设第次到达，其概率为，则第次一定出现在与相邻的、、，每个顶点到达的概率均为， 因为质点从出发，顶点与顶点为其对称点， 所以第次到达顶点的概率与第次到达顶点的概率相同，均为， 又质点第次到达顶点的概率为, 所以； 同理，设第次到达，其概率为，则第次一定出现在与相邻的、、，每个顶点到达的概率均为， 因为质点从出发，顶点与顶点为其对称点， 所以第次到达顶点的概率与第次到达顶点的概率相同，均为， 又质点第次到达顶点的概率为, 所以； ②根据①的计算，可得，，与，联立， 可得，化简整理得，即， 所以， 又，，，，， 所以，， ， 当为偶数时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以        ， 当为奇数时，，，，，，， 所以， 即，所以， 所以当为偶数时， ， 所以当为奇数时， ， 综上所述，. （2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下：小试牛刀1 ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 【答案】(1)， (2) 1 2 3 … … (3) 【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可. （2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. （3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . （2）（，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … （3）由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 （2026·山东德州·模拟预测）甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片．规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．小试牛刀2 (1)已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和．对于正整数，求，并根据== ，求． (2)记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）由题意可得，进而计算可解； （2）（ⅰ）由计算可解；（ⅱ）由可得，根据题意可得，分为奇数与为偶数结合等差数列通项公式求法计算可解. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 令， 则， 所以，即， 所以， 所以== ， （2）（ⅰ）由题意可知当时，甲有，乙有； 甲第一次抽中的概率 (甲胜)；抽中的概率， 此时甲有，乙有，后续甲获胜概率为， 所以，所以； （ⅱ）同理当时，，所以， 当时，①若甲先抽，则甲、乙手中卡片的状态互换， 接下来乙抽，乙胜的概率为，所以甲胜概率为， ②若甲先抽中一张之后，甲有张卡片， 乙有张卡片（含有和甲手中卡片相同数字的所有卡片）， 后续乙抽后，状态必然变为甲有张卡片， 乙有张卡片（包含与甲手中卡片数字相同的所有卡片），则后续甲胜概率为， 所以， 所以，所以， 所以数列的奇数项与偶数项都是公差为1的等差数列， 又因为， 所以当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以， 综上：. （2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为．小试牛刀3 (1)求和； (2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，C，D），第2秒要回到A，每个方向的概率都是，从而可得，时，质点不可能返回到A，故； （2）（i）由正方体的对称性可知秒后质点到三点的概率相同，都为；质点恰好到三点的概率也相同，都为；从而可得及，进而可证明结论；（ii）由题意可得，进而可得，再进一步可得，再由累乘法可得为偶数时，为奇数时.再通过分组求和可得及所证不等式. 【详解】（1）当时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，D，C）， 第2秒要回到A，必须从这3个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3条棱，返回A的概率是. 所以. 当时，第2秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为. 从这三点出发，第3秒无法回到A（因为它们与A距离为1，第3秒移动后距离为2），所以. 故，. （2）（i）由对称性可知第秒后质点恰好走到三点的概率相同，都为； 第秒后质点恰好走到三点的概率也相同，都为； 第秒后质点恰好走到点的概率为．记第秒后质点的位置为， 则， 即， 再由，即． 于是存在常数，使得． （ii）由可知， 由可知， 于是——①，——②，——③，——④. 由①②得，即——⑤， 再由①③④得——⑥，由⑤得，代入⑥ ，化简得. 因为， 则． 由，于是．所以. 所以当为奇数时，，，……， ，上述个式子相乘得． 又由，即可知． 所以，解得， 即当为奇数时，，所以当为偶数时， 当为偶数时，，， ，上述个式子相乘得,即. 又由可知．解得，即当为奇数时，． 因此，当为奇数时，；当为偶数时，． 当时，， 则． 当时，， 即． 所以存在常数，使得． 真题模拟检测 一、解答题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 4．（2005·山东·高考真题）已知数列的首项，前n项和为，且． (1)证明数列是等比数列； (2)令，求函数在点处的导数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用时，将原式变形为，最后根据等比数列定义给以证明； （2）先求导数得，根据分组求和法以及错位相消法化简. 【详解】（1）由已知可得，， 两式相减得，即，从而， 当时，，所以， 又，所以，从而． 故总有，， 又，，从而， 即数列是以6为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，整理得， 因为，所以， 从而①， ②， ①-②得： ， 所以. 5．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设，    ⑧ 则．     ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以 ， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 6．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. (Ⅲ)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 7．（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. (1)在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； (2)在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； (3)比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附:当时，). 【答案】(1)； (2)；；；； (3)分布列见解析 【分析】（1）利用独立重复试验的性质结合独立事件概率公式求解即可. （2）结合题意求出对应概率，再求出，最后得到甲获胜的概率即可. （3）结合题意求出对应情况的概率，最后列出分布列即可. 【详解】（1）由题意得甲得分的概率为，乙得分的概率为， 则，. （2）由题意得，， ，， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 则甲获胜的概率为 ， 当时，，则甲获胜的概率为. （3）由已知得甲获胜的概率为，且的取值为， 而， ， . 可得分布列如下， 3 4 5 8．（2026·宁夏银川·一模）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明. （2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式. （3）利用“裂项相消法”求和. 【详解】（1）因为 . 又， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 所以，，，…，. 以上各式相加得： . 所以. （3） ， 所以， 所以 . 9．（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由结合等比数列的定义并验证首项即可求解. （2）迭代原式并相减后得到，使用累加法结合等比数列的前项和即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 则，整理得， ，解得， ，解得，故， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则. （2）因为，迭代得， 两式相减得，即， 令，则， 当时，（常数），且， 故是以4为首项，3为公比的等比数列， 取，共7个奇数，可得 ， ， ， 将以上各式相加，可得， 易得是以4为首项，为公比的等比数列的前7项和， 则有，其中， 则. 10．（2026·湖南郴州·三模）已知圆外有一点. (1)当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，求解即可； （2）记点关于轴的对称点为，设反射光线所在直线，由点到直线的距离得，进而由根与系数的关系可得，利用裂项相消法可求证结论. 【详解】（1）圆，圆心，半径. 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由于直线与圆相切，所以，解得或， 所以直线的方程为或； （2）记点关于轴的对称点为，则. 由于反射光线所在直线经过点，且斜率存在， 设反射光线所在直线，即. 又圆的圆心为，半径，直线与圆相切，则， 整理得， 则两条切线的斜率之积. 所以， . 11．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，，，，设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，证明数列为等差数列即可； （2）根据等差数列的概念，求出数列通项公式，根据裂项求和法，求出结果即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）因为，，，， 所以， 所以， 所以. 12．（2006·辽宁朝阳·一模）已知函数，记为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记的反函数为，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用直接求出，再验证是否满足即可； （2）先对求导，得到，再代入（1）中的求出； （3）先根据条件算出数列的通项公式，再利用裂项求和法得到前项和，最后构造函数，利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）由题意，得，则， 所以当时，， 又因为，所以. （2）对求导，得，所以. （3）由题意可得，从而，，所以， 得到， 设，则当时，单调递减， 当时，单调递增，得， 因此，即，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考二轮复习强化讲义 【解答题突破01：数列求和】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：错位相减求和】 【解题策略】 一、适用场景 通项为等差×等比型即（为常数） 二、标准解题步骤 1写出前项和 2两边同乘公比得 3两式错位相减中间项为等比数列 4合并等比数列求和整理得 三、错位相减大招公式（直接套用秒出结果） 若（） 则前项和 其中 验证公式： 当时退化为纯等比数列完全一致 当时与公式等价 四、常见结论与易错点 错位相减后首项无对应项末项中间项成等比 等比数列求和时公比若直接用等差数列求和 易错：相减时符号错误漏写末项等比数列项数算错（为项） 五、二轮提速技巧 直接用大招公式代入10秒算出 用特殊值验证：令快速检验公式正确性 （2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且.经典例题1例题 (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. （2026·河南许昌·模拟预测）记为等差数列的前项和.已知且.经典例题2例题 (1)求的通项公式； (2)设函数，，求数列的前项和. （2026·四川成都·二模）已知正项数列的前n项和为，且，．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． （2026·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，．小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． （2026·广东·一模）在数列中，，，且对任意的，都有．小试牛刀3 (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【题型2：裂项相消求和】 【解题策略】 一、适用场景 通项可拆为两项差求和时中间项相互抵消只剩首尾项 二、常见裂项公式（二轮必背） 1分式型（最常考） 2阶乘型 3对数型 三、标准解题步骤 1裂项：将拆为两项差（注意系数） 2写出展开抵消中间项 3整理剩余首尾项得 四、常见结论与易错点 裂项后系数必须匹配如系数为不可漏写 抵消后剩余项数：前项后项（为裂项差的间隔） 易错：裂项系数错误抵消时漏项符号错误 （2026·山东聊城·一模）已知数列满足.经典例题1例题 (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． （2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.经典例题2例题 (1)求 (2)若，求数列的前n项和. （2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．小试牛刀1 (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． （2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且是等差数列.小试牛刀2 (1)求； (2)证明：. （2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和.小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 【题型3：分组求和】 【解题策略】 一、适用场景 通项为等差+等比或多个可求和数列的和即（等差等比） 二、标准解题步骤 1分组：将拆为两个（或多个）可求和的子数列 2分别求和：用等差、等比求和公式计算、 3合并结果： 三、常见结论 等差+等比型：（） 周期数列分组：按周期分组先求一个周期的和再乘周期数 四、二轮提速技巧 分组后优先用公式避免逐项相加 周期数列直接用“周期和×周期数+剩余项”快速计算 （2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足．经典例题1例题 (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． （2026·广西北海·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，．经典例题2例题 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． （2026·河北保定·一模）已知等差数列满足．小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． （2026·福建福州·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)设函数，记，求数列的前21项和. （2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，．小试牛刀3 (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【题型4：奇偶项数列求和】 【解题策略】 一、适用场景 数列通项分奇偶如或 二、标准解题步骤 1分奇偶讨论：分别写出奇数项、偶数项的通项 2分别求和：奇数项成等差/等比偶数项成等差/等比用对应公式 3合并结果： 三、常见结论（型） 相邻两项合并：转化为新数列求和 分为奇偶：为偶数时；为奇数时 四、易错点 分奇偶时项数计算错误（如为奇数奇数项为项偶数项为项） 符号处理错误漏写 （2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，．经典例题1例题 (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． （2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．经典例题2例题 (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且 ．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． （2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且．小试牛刀2 (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． （2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.小试牛刀3 ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【题型5：数列求和与不等式恒成立问题】 【解题策略】 一、适用场景 已知求使（或）对任意恒成立 二、标准解题步骤 1先求：用错位相减/裂项相消/分组求和求出的表达式 2分析的单调性：求判断的增减性 3求的最值：递增数列递减数列 4转化恒成立：恒成立⇨；恒成立⇨ 三、常见结论 裂项相消型若则递增最大值为极限值（如） 错位相减型若则有上界可求极限 四、二轮提速技巧 恒成立问题优先用“最值法”避免放缩法的误差 放缩法仅用于证明不等式求参数范围优先用单调性 （2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．经典例题1例题 (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． （2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且．经典例题2例题 (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． （2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，．小试牛刀1 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． （25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足.小试牛刀2 (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. （2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，．小试牛刀3 (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【题型6：数列求和与导数结合】 【解题策略】 一、适用场景 通项为或等幂函数型求和 二、标准解题步骤 1利用导数公式： 2构造等比数列求和：（） 3两边求导：对求导得 4整理得 三、常见结论（二轮必背） 四、易错点 求导时漏项或公式记忆错误 时退化为等差数列求和需单独讨论 （2026·宁夏银川·一模）已知函数.经典例题1例题 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)证明：（）. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，且为函数的极值.经典例题2例题 (1)求实数a的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围； (3)证明：当时，． （2026·湖北·一模）已知函数小试牛刀1 (1)当时，求的最小值； (2)当时，，求的取值范围： (3)已知点，按照如下方式依次构造点：过点作曲线的切线与轴交于点，令为过点且斜率为0的直线与曲线的交点，记的面积为，，证明：. （2026·河北·一模）已知函数.小试牛刀2 (1)求函数的最小值； (2)设，求证：. （2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数（）．小试牛刀3 (1)设是曲线的任意一条切线，若，求的值； (2)证明：存在，对任意，且，都有； (3)证明：． 【题型7：数列求和与圆锥曲线结合】 【解题策略】 一、适用场景 圆锥曲线中点列、弦长、面积等构成数列求数列和 二、标准解题步骤 1先求数列通项：结合圆锥曲线方程求出的表达式（如弦长、面积） 2判断数列类型：等差/等比/等差×等比/裂项型 3选择对应求和方法：错位相减/裂项相消/分组求和 4整理结果结合圆锥曲线范围验证 三、常见结论 抛物线焦点弦长构成等差数列求和用等差公式 椭圆/双曲线中点列横坐标成等比纵坐标成等差求和用分组求和 四、二轮提速技巧 优先用坐标法求通项再用数列求和公式 圆锥曲线中常出现裂项型通项（如）直接裂项求和 （2026·广东广州·二模）已知函数.经典例题1例题 (1)直线过点且与曲线相切，求直线方程； (2)已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. （2026·河南开封·模拟预测）已知函数.经典例题2例题 (1)若数列，求数列的前n项和； (2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. （2026·四川巴中·一模）若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为．小试牛刀1 (1)设为坐标原点，若，求的面积． (2)对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)求数列的前项和；若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． （25-26高三上·山东烟台·期末）已知点均在抛物线上，，，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆外切，.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)设圆的面积为，求证：. （2026·河北·一模）如图所示，已知抛物线 被两组首尾相接的平行线段所截，其中一组平行线 …的斜率为，一组平行线. 与x轴垂直，将两组平行线与抛物线C在x轴上方的交点从左到右依次记为 x轴下方的交点从左到右依次记为 若点 的横坐标为1，且点 到抛物线C的准线的距离为小试牛刀3 (1)求p的值； (2)求 的面积； (3)设 当 时， 数列 的前n项和为 ，若对任意的，恒有 求实数m的取值范围. 【题型8：数列求和与概率统计结合】 【解题策略】 一、适用场景 概率分布列、期望、方差中涉及数列求和（如二项分布、超几何分布的期望） 二、标准解题步骤 1先求概率通项：结合概率模型求出 2利用期望公式： 3用数列求和方法计算：错位相减/分组求和/裂项相消 4整理得期望/方差 三、常见结论（二轮必背） 二项分布：（由用错位相减推导） 超几何分布： 几何分布：（由用导数法推导） 四、易错点 概率求和时漏项或项数错误 期望公式记忆错误混淆分布列类型 （2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，.经典例题1例题 (1)求. (2)设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列. (3)若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求. （2026·海南儋州·一模）如图，已知一个质点每隔相等时长，按随机方向，等可能地沿着正方体的棱从1个顶点移动到另1个顶点．设一个质点从顶点出发，第次运动后，质点回到点的概率为．经典例题2例题 (1)求和； (2)设第次运动后，质点移动到点的概率分别为、、． ①证明：，； ②求． （2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下：小试牛刀1 ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. （2026·山东德州·模拟预测）甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片．规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．小试牛刀2 (1)已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和．对于正整数，求，并根据== ，求． (2)记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）求． （2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为．小试牛刀3 (1)求和； (2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 真题模拟检测 一、解答题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．（2005·山东·高考真题）已知数列的首项，前n项和为，且． (1)证明数列是等比数列； (2)令，求函数在点处的导数． 5．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 6．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 7．（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. (1)在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； (2)在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； (3)比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附:当时，). 8．（2026·宁夏银川·一模）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和． 9．（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 10．（2026·湖南郴州·三模）已知圆外有一点. (1)当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：. 11．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，，，，设，求数列的前项和. 12．（2006·辽宁朝阳·一模）已知函数，记为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记的反函数为，数列的前项和为，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $