高中数学教师备课必备系列（点线面的位置关系）：专题八 二面角求法

求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题. 总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事. 1 定义法 即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！. 例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1= 。 将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为 . 在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos∠A1OC1= 例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE： EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连 接A1B、A1P. (Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值。 分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△ PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P= ，QM=FM= ，在△QMF中，由余弦定理得c