第3讲：单摆【七大考点+七大题型】-2025-2026学年高二上学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦高中物理单摆核心知识点，系统梳理单摆模型条件、回复力来源、周期公式、运动图像、等效模型、重力加速度测量实验及综合计算，构建从基础概念到实验应用再到综合问题解决的学习支架。 该资料通过模型建构（单摆理想化模型）、科学探究（重力加速度测量实验设计与数据处理）及科学思维（典例与变式题递进训练），助力学生形成运动与相互作用观念，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升分析解决问题能力。

第3讲：单摆 · 考点一：单摆模型及其条件 · 考点二：分析单摆运动物理量 · 考点三：单摆的周期公式 · 考点四：单摆运动图像问题 · 考点五：等效单摆模型 · 考点六：用单摆测量重力加速度探究实验 · 考点七：单摆模型综合计算 知识点一、单摆及单摆的回复力 1．单摆的组成：由细线和小球组成． 2．理想化模型 (1)细线的质量与小球相比可以忽略． (2)小球的直径与线的长度相比可以忽略． 知识点二：单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力． (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动． 知识点三、单摆的周期 1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(填“越大”“越小”或“不变”)． 2．周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的． (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关． 知识点四、实验原理 由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度． 二、实验器材 铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺． 三、实验步骤 1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆． 2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记． 3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋. 4．把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期． 5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格． 四、数据处理 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 2．图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图1所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. 图1 五、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球． 2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小． 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆． 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间 技巧归纳：单摆的回复力 (1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用． (2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力． (3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力． 2．单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动． 题型一：单摆模型及其条件 【典例1】．（24-25高二上·上海闵行·期中）关于单摆，以下说法不正确的是（　　） A．单摆装置是研究机械振动的物理模型 B．用细线悬挂一个小球，细线要质量很轻，且不可伸长；小球要质量较大，体积较小 C．将细线的上端缠绕在铁架台上的水平横杆上，这样单摆装置就架设完成了 D．单摆在摆角小于5°的情况，它的机械振动可以看作简谐振动 【变式1】．（23-24高二上·江西宜春·期末）单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　） A．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B．单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定 C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D．单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 【变式2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．经过平衡位置时所受的合力为零 B．经过平衡位置时所受的回复力不为零 C．回复力是重力和摆线拉力的合力 D．回复力是重力沿圆弧斜线方向的分量 【变式3】．（22-23高一下·重庆万州·月考）如图所示，细绳的上端固定，下端挂一小球，现将小球拉到A点由静止释放，小球在竖直平面内沿曲线ABC摆动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用 B．在B位置小球处于平衡状态 C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大 D．在A位置小球受拉力与重力作用，处于非平衡状态 题型二：分析单摆运动物理量 【典例2】．（24-25高二下·河北沧州·期末）光滑圆弧面上有一个小球，小球静止时位于C点，把小球从C点移至A点由静止释放，放手后小球开始在A、E之间来回运动，B、D分别为圆弧AC、CE的中点，圆弧AE远小于圆弧半径，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球在B点的速度一定与其在D点的速度等大同向 B．小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度等大反向 C．小球由A点运动到B点的时间可能与其由B点运动到C点的时间相同 D．小球运动到C点时的加速度大小不为0 【变式1】．（24-25高二下·辽宁锦州·期中）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，最大摆角小于，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球摆动时的回复力来源为重力和绳拉力的合力 B．若小球质量变大，摆动周期将会减小 C．从到的过程中，摆球的回复力先减小后增大 D．2.1s末和2.9s末，小球的势能和速度均相同 【变式2】．（24-25高二下·安徽合肥·期中）荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动。秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为“摆球”，如图所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．“摆球”所受重力和绳的拉力的合力提供“摆球”做简谐运动的回复力 B．远离最低点运动的过程中，“摆球”的动能逐渐增大 C．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”相对最低点的位移最大 【变式3】．（24-25高二上·江西上饶·期末）如图甲所示，单摆固定悬点为O，将摆球拉至A点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角，B点为运动中的最低位置。从A点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．该单摆摆长约为1m B．摆球受到重力、拉力、向心力三个力的作用 C．摆球在B点处，向心加速度最大，回复力也最大 D．在的时间内，摆球从B点向A点运动 题型三：单摆的周期公式 【典例3】．（25-26高二上·山东潍坊·月考）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，其中F的最大值。已知摆球质量，重力加速度取，取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为0.8s B．单摆摆长为0.54m C．F的最小值 D．若仅将摆球质量变为200g，单摆周期变小 【变式1】．（25-26高二上·山东枣庄·期末）如图所示，轻绳下端系一小球（可看作质点），上端固定在点。在点正下方点有一根钉子，两点的距离为轻绳长度的倍。现将小球向左拉开微小角度，由静止释放，此后运动过程中轻绳与竖直方向的夹角始终小于，从小球第1次通过最低点开始计时，至第41次经过最低点用时30s。不计空气阻力，当地重力加速度，则轻绳的长度约为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·湖北十堰·期末）在同一地点做简谐运动的甲、乙两个单摆，其摆长相同，甲单摆的质量是乙单摆质量的，甲摆球经过平衡位置的速度是乙摆球经过平衡位置的速度的，则以下说法正确的是（　　） A．甲、乙做简谐运动的周期之比为3：2 B．甲、乙做简谐运动的周期之比为1：1 C．甲、乙做简谐运动的振幅之比为1：1 D．甲、乙做简谐运动的振幅之比为3：2 【变式3】．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图所示，在悬点的下方有一个光滑的销钉，摆线。质量为的小球从点由静止释放后在之间摆动，与竖直方向的夹角小于5°（图示做了放大处理），重力加速度为，忽略空气阻力，则小球摆动的周期为（　　） A． B． C． D． 题型四：单摆运动图像问题 【典例4】．（25-26高二上·广东东莞·期末）同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，结合图像可知（    ） A．两摆球的质量相等 B．两单摆的摆长相等 C．在0~8s内，两摆球通过的路程相等 D．若单摆甲的振幅变小，则单摆甲周期变小 【变式1】．（25-26高二上·河南·月考）摆球质量相等的甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动，其振动图像如图所示，则由图可知（　　） A．甲、乙两单摆的振动周期之比是3：4 B．甲、乙两单摆的摆长之比是2：3 C．甲、乙两单摆的摆长之比是4：9 D．甲、乙两单摆运动到最低点时的动能一定相等 【变式2】．（25-26高二上·湖北·期中）如图是用传感器和计算机描绘的甲、乙两个单摆的振动图像。关于两个单摆运动的描述，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的摆长之比为3∶4 B．甲、乙的周期之比为3∶4 C．任意0.2s内，乙经过的路程均为2cm D．0.2s~0.3s内，甲的动能增加，乙的动能减小 【变式3】．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图甲所示，有一根较长的细线和一个较小的沙漏．当沙漏小角度摆动时，分别以不同速度匀速拉动沙漏下方的木板，漏出的沙在板上会形成一条曲线，如图乙所示．已知，则（    ） A．木板1中曲线上各位置处堆积的细沙一样多 B．木板1、2中的A、两位置处堆积的细沙一样多 C．木板1拉动的速度比木板2拉动的速度大 D．木板1移动距离OA与木板2移动距离的时间相等 题型五：等效单摆模型 【典例5】．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，长度均为的两细绳下端系在长木板两端，细绳上端系在水平横梁上，木板上坐有小孩，系统静止时细绳与横梁的夹角为，现向内推两小孩一小段距离后由静止释放，重力加速度为，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．向内推动距离越大，摆动周期越大 B．木板上坐小孩人数越多，摆动周期越大 C．若小孩视为质点，摆动周期为 D．若小孩视为质点，摆动周期为 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图所示，利用一半径为R的光滑圆弧面测定本地的重力加速度。把小球移到A点由静止释放，小球在A、B之间振动，圆弧面弧长。下列说法正确的是（　　） A．为较精确测量小球振动周期，计时起始位置应为A点或B点 B．为减小系统误差，应多次由静止释放小球测出各次的振动周期，然后求出振动周期的平均值 C．释放小球的位置越高振动周期越大 D．若将圆弧面的半径R作为摆长，则求得的重力加速度总比当地的重力加速大 【变式2】．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图所示一个光滑圆弧体固定在水平面上，圆弧长度远小于圆的半径，A、B是圆弧上的两点，O是圆弧的圆心，P、Q是圆弧竖直直径上的两点，让甲球从A、B两点中的任一点由静止释放，同时让乙球从P、Q、O三点中某一点由静止释放，甲球第一次到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，甲、乙两球均可以看成质点，空气阻力不计，则甲、乙两球释放的位置可能是（　　） A．甲球在A点释放，乙球在Q点释放 B．甲球在B点释放，乙球在P点释放 C．甲球在A点释放，乙球在O点释放 D．甲球在B点释放，乙球在O点释放 【变式3】．（24-25高二下·广东清远·期末）如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 题型六：用单摆测量重力加速度探究实验 【典例6】．（25-26高二上·江苏·期末）某实验小组利用智能手机及单摆测定当地的重力加速度。将一个直径为d的小球用不可伸长的细线竖直悬挂，小球下方吸住一小块磁铁，手机放在悬点正下方水平面上，实验装置如图甲所示。 (1)用游标卡尺测量摆球的直径d如图乙所示，则____________mm。 (2)打开手机的磁传感器，让小球在竖直面内做小角度摆动，手机记录了竖直方向上磁感应强度的大小随时间t变化的图像如图丙所示，则单摆的周期为____________s。（结果保留3位有效数字） (3)将细线的长度加上小球半径后作为摆长l，多次改变摆长，重复实验，得到多组摆长l及小球摆动的周期T，作出相应的关系图像如图丁所示，并测出图线的斜率k和横截距b。 ①根据图像可求出当地重力加速度____________。 ②用上述方法求重力加速度，____________（选填“能”或“不能”）消除因磁铁质量导致摆长l测量不准确带来的误差，理由是___________________________________________________。 ③小球与磁铁组成的整体的重心到球心的高度差____________。 【变式1】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）关于“用单摆测定重力加速度”的实验，回答下列问题： (1)小组同学用游标卡尺测量了摆球直径，如图甲所示，小球直径为d=_________cm。 (2)若用秒表测得多次全振动的时间，如图乙所示，则其读数t=_________s。 (3)让刻度尺的零刻度对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，其下端局部如图丙所示，那么单摆的摆长L=_________cm。 (4)多次改变摆长L，分别记为L1、L2…Ln；测得相应的周期分别为T1、T2…Tn；为减小误差，下列数据处理方法中正确的是 ；（多选） A．根据分别求得g1、g2…gn，然后求平均 B．根据，先分别求得以及，然后求得 C．以历次测量的L为横轴、以相应的T为纵轴建立坐标系作图像，根据图像斜率求g D．以历次测量的L求得为横轴、以相应的T为纵轴建立坐标系作图像，根据图像斜率求g (5)若某次实验中根据求得的g比当地实际的重力加速度值偏大，则下列原因可能的是 。（单选） A．摆线是微有弹性的细线 B．开始计时时过早按下秒表 C．摆动次数多计了一次 【变式2】．（25-26高二上·广东惠州·期末）某同学用图所示装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)以下实验操作，合理且必要的是_____。 A．需要控制摆角不超过5° B．需要用天平称出摆球的质量 C．需要测量出摆球的直径 D．用刻度尺测量摆线的长度，作为单摆的摆长 (2)在安装实验装置的过程中，下列有关器材的选择和安装最合理的是_____。 A． B． C． D． (3)在摆球经过________位置时开始计时，实验测出单摆完成n次全振动的时间为t，摆长为L，则计算重力加速度的表达式为g＝________（用n、t、L表示） 【变式3】．（25-26高二上·山东青岛·期末）某同学利用如图甲所示的装置来完成“用单摆测量重力加速度”实验，其部分实验步骤如下： ①取一根不可伸长的轻质细线，一端连接一小球，另一端用夹子固定在铁架台上； ②用毫米刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，求出摆长l； ③将小球拉离平衡位置一较小角度后由静止释放，用停表记录单摆做N次全振动的时间t，计算出周期T； ④改变细线长度，多次重复实验，测得多组摆长l与对应的周期T的数据，并在坐标纸上作出l-T2的图像如图丙所示。 回答下列问题： (1)由图乙可读出小球的直径D=___________mm； (2)由图丙可得重力加速度g=___________m/s2（结果保留三位有效数字）； (3)某次实验中，小球没有严格在同一竖直平面内运动，由此求出的重力加速度数值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 题型七：单摆模型综合计算 【典例7】．（25-26高二上·河南商丘·月考）如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道固定在水平面上，O为圆弧的圆心，C为轨道的最低点，A、B两点关于C点对称，圆弧AB所对应的圆心角为，可视为质点的小球由A点静止释放，此后小球在AB间往复运动。已知小球质量为m，重力加速度为g。求： (1)小球经C点受弹力大小； (2)小球从A点第一次运动到B点的时间和受弹力的冲量大小。 【变式1】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图1所示，O点为单摆的固定悬点。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。细线对摆球的拉力大小F随时间t的变化关系如图2所示，时，摆球从A点开始运动，重力加速度为g。求： (1)单摆的摆长L； (2)摆球的质量m。 【变式2】．（25-26高二上·山东日照·期中）如图所示，一圆心为，半径为的固定光滑圆弧轨道，最低点为。将一质量为的小球从轨道上的点由静止释放，在轨道上做往复运动。已知与的夹角为，重力加速度为，弧的长度远小于半径，小球可视为质点。求： (1)小球对轨道压力的最大值； (2)小球从释放到第10次经过点所经历的时间。 【变式3】．（25-26高二上·甘肃天水·月考）如图所示，长为L的轻质细线上端固定在水平天花板上，下端连接着小球1，小球2用质量可忽略的橡皮泥粘在小球1下方。将小球1、2拉至细线与竖直方向的夹角为处由静止释放，小球1、2运动至最低点时分离（不影响小球速度），小球1第一次返回最低点时小球2恰好落至水平地面（图中未画出）。已知小球1、2的质量均为m且均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求： (1)小球1、2分离前瞬间细线上的拉力大小F； (2)小球2从分离到落至水平地面的水平位移大小x； (3)地面到水平天花板的距离H。 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图所示，一单摆在AB之间做简谐运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（　　） A．在O点合外力为零 B．从A到B的过程，摆线拉力的冲量为零 C．任意半个周期内，合力的冲量可能为零 D．任意半个周期内，合力做的功可能不为零 2．（25-26高二上·山东枣庄·月考）如图甲所示，一力传感器固定在天花板上，将单摆悬绳一端固定在传感器上的O点。时刻将摆球拉到A点由静止释放，让其在A、C之间来回摆动（摆角小于），其中B点为最低点。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，忽略空气阻力，取。下列说法正确的是（   ） A．单摆的周期为 B．根据所给数据不能求出摆球的质量 C．摆球所受合力提供其回复力 D．单摆的摆长为 3．（25-26高二上·山东烟台·期末）如图所示，一个质量为的带正电小球，用长为的绝缘细线悬挂起来，构成一个单摆。把小球向右拉高一个小角度由静止释放，测得单摆周期为，若在空间中施加一个竖直向下的匀强电场，测得单摆周期为，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．时，摆球所受回复力最大，方向向左 B．时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．从到过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．，摆球在O点回复力为零 5．（25-26高二上·江苏徐州·期末）如图所示，小球在半径为的光滑弧面上的之间往复运动。若弧长，下面说法正确的是（　　） A．小球在之间的运动可看作简谐运动 B．小球从运动到的时间为 C．小球从运动到的过程中回复力先变大后变小 D．降低小球释放的高度，运动周期将变小 6．（25-26高二上·湖北随州·期末）如图所示，是甲、乙两个单摆的振动图像，可得甲、乙的摆长之比为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山东泰安·期末）图甲为一单摆其固定于悬点，点连接一力传感器，现将小摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的、、之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置，，小于5°且是未知量。图乙表示力传感器得到摆线的拉力大小随时间变化的曲线，且图中时刻为摆球从点开始运动的时刻（取）。则下列正确的是（　　） A．单摆的振动周期 B．单摆的摆长 C．摆球的质量 D．运动过程中的最大速度 二、多选题 8．（25-26高二下·全国·随堂练习）关于单摆，下列说法中正确的是（　　） A．单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，其中是摆线与竖直方向之间的夹角 B．单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C．单摆的摆球在平衡位置时（最低点）的加速度为零 D．单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图甲，O为单摆的悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，为摆球从A点开始运动的时刻，取。下列说法正确的有（　　） A．时小球第一次摆到C点 B．单摆的周期为 C．小球质量为 D．单摆的摆长为 10．（25-26高二上·四川南充·期末）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度为。单摆的振动过程中，下列说法正确的是（    ） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移随时间变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从到的过程中，摆球所受回复力为正且逐渐增大 11．（25-26高二上·湖北十堰·期中）有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置时，摆线上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从一边最高点摆到另一端最高点过程的闪光照片如图所示（悬点和小钉未被摄入），P点为摆动的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知（　　） A．P点左方为摆线碰到钉子后的摆动 B．P点右方为摆线碰到钉子后的摆动 C．小钉与悬点的距离为 D．每相邻两次闪光的时间间隔为 12．（25-26高二·全国·假期作业）学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中正确的是（　　） A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是 B．甲、乙两单摆的摆长之比是 C．时，两摆球的加速度方向相反 D．3-4s内，两摆球的势能均减少 13．（25-26高二上·山东枣庄·期中）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将摆球拉到A点由静止释放并计时，摆球在A、C之间小角度来回摆动，力传感器测出摆线上的拉力随时间变化的规律如图乙所示。已知，选向右为正方向，取重力加速度大小。（　　） A．单摆的周期为 B．单摆的摆长 C．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 D．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 三、实验题 14．（25-26高二上·湖南永州·期末）某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 (1)该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径为d = __________cm。 (2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙所示，则小球摆动的周期为T = __________。 (3)根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为g = __________（用d、t0、R表示）。 (4)另一同学将光滑圆弧球面半径R当做小球等效单摆长度测得重力加速度，则测得的重力加速度的值__________（选填“大于”、“小于”或“等于”）当地重力加速度的真实值。 15．（25-26高二上·广东韶关·月考）某实验小组利用单摆测当地的重力加速度，实验装置如图甲所示。 (1)实验时用螺旋测微器测量小球直径，示数如图乙所示，则读数为________mm。 (2)关于该实验，下列说法正确的是________。 A．摆线要选择细些的、伸缩性大些的，并且适当长一些 B．测量摆长时应将摆线长加上小球半径作为摆长 C．为了使单摆的周期大一些，方便测量，开始时要拉开摆球，使摆角较大 D．摆球振动稳定后，当摆球运动至最低点处开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期 (3)实验中，若直接使用公式计算重力加速度，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是________。 A．摆线具有弹性，摆动时绳子伸长 B．以摆线的长度作为摆长来进行计算 C．把次全振动时间误当成n次全振动时间 D．在加速上升的电梯中做此实验 (4)通过改变摆线的长度，该小组测得多组摆长L和对应的周期的平方，画出的图像如图丙所示，若图像的斜率为k，纵截距为b，可得当地的重力加速度大小为________。 四、解答题 16．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图所示，一质量为m的小钢球，用长为l的细丝线悬挂在水平天花板上（l远大于小钢球的半径），初始时，摆线和竖直方向的夹角为（）。静止释放小球后，小球做单摆运动，摆到最低点的速度大小为v，求：（不计空气阻力，重力加速度为g） (1)释放瞬间小球回复力F的大小； (2)小球从释放到第一次运动到最低点的时间t； (3)从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量Ia大小及拉力的冲量大小。 17．（21-22高二下·青海西宁·月考）将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲中O点为单摆的悬点，现将小球（可视为质点）拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置。∠AOB=∠COB=α，α小于10°且是未知量，图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，据力学规律和题中信息（g取10m/s2），求： （1）单摆的周期和摆长； （2）摆球质量及摆动过程中的最大速度。 18．（25-26高二上·贵州遵义·期中）如图所示，半径相同的小球甲、乙用长度均为L（远大于小球的半径）的细线1、2并排悬挂在水平天花板上。将小球甲拉至细线1与竖直方向的夹角为处，细线绷直，再将小球甲由静止释放。小球甲、乙发生弹性碰撞且碰撞时间极短。已知小球甲、乙的质量分别为m、2m且均可视为质点，重力加速度大小为g。求： (1)小球甲第一次碰撞前瞬间细线1对小球甲的拉力大小F； (2)第一次碰撞后瞬间小球乙的速度大小； (3)小球甲从释放到第二次碰撞（碰撞时间不计）所用的时间t。 19．（25-26高二上·江苏徐州·月考）如图所示，光滑圆槽的半径远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时乙球的位置低于甲球位置，甲球与圆槽圆心连线和竖直方向夹角为，丙球释放位置为圆槽的圆心，为圆槽最低点；重力加速度为。若甲、乙、丙三球不相碰。 (1)证明甲球在做简谐运动 (2)通过计算分析，甲、乙、丙三球谁先第一次到达点 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲：单摆 · 考点一：单摆模型及其条件 · 考点二：分析单摆运动物理量 · 考点三：单摆的周期公式 · 考点四：单摆运动图像问题 · 考点五：等效单摆模型 · 考点六：用单摆测量重力加速度探究实验 · 考点七：单摆模型综合计算 知识点一、单摆及单摆的回复力 1．单摆的组成：由细线和小球组成． 2．理想化模型 (1)细线的质量与小球相比可以忽略． (2)小球的直径与线的长度相比可以忽略． 知识点二：单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力． (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动． 知识点三、单摆的周期 1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(填“越大”“越小”或“不变”)． 2．周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的． (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关． 知识点四、实验原理 由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度． 二、实验器材 铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺． 三、实验步骤 1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆． 2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记． 3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋. 4．把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期． 5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格． 四、数据处理 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 2．图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图1所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. 图1 五、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球． 2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小． 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆． 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间 技巧归纳：单摆的回复力 (1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用． (2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力． (3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力． 2．单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动． 题型一：单摆模型及其条件 【典例1】．（24-25高二上·上海闵行·期中）关于单摆，以下说法不正确的是（　　） A．单摆装置是研究机械振动的物理模型 B．用细线悬挂一个小球，细线要质量很轻，且不可伸长；小球要质量较大，体积较小 C．将细线的上端缠绕在铁架台上的水平横杆上，这样单摆装置就架设完成了 D．单摆在摆角小于5°的情况，它的机械振动可以看作简谐振动 【答案】C 【详解】A．单摆运动是机械振动，所以单摆装置是研究机械振动的物理模型，故A正确不符合题意； B．用细线悬挂一个小球，细线要质量很轻，且不可伸长；小球要质量较大，体积较小，可以有效减小空气阻力的影响，故B正确不符合题意； C．将细线的上端缠绕在铁架台上的水平横杆上，是错误的，这样会导致摆动过程中，摆长发生变化，故C错误符合题意； D．单摆在摆角小于5°的情况，它的机械振动可以看作简谐振动，故D正确不符合题意。 故选C。 【变式1】．（23-24高二上·江西宜春·期末）单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　） A．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B．单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定 C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D．单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 【答案】C 【详解】A．由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误； B．由单摆做简谐运动的周期公式 即振动周期与摆球的质量和摆角无关，故B错误； C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是单摆的向心力不为零，所受合力不为零，故C正确； D．单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简简谐运动的规律，故D错误。 故选C。 【变式2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．经过平衡位置时所受的合力为零 B．经过平衡位置时所受的回复力不为零 C．回复力是重力和摆线拉力的合力 D．回复力是重力沿圆弧斜线方向的分量 【答案】D 【详解】AB．经过平衡位置时回复力为零，但是合力不为零，合力指向圆心提供向心力，故AB错误； CD．单摆做简谐运动时回复力是重力沿圆弧斜线方向的分力，故C错误，D正确。 故选D。 【变式3】．（22-23高一下·重庆万州·月考）如图所示，细绳的上端固定，下端挂一小球，现将小球拉到A点由静止释放，小球在竖直平面内沿曲线ABC摆动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用 B．在B位置小球处于平衡状态 C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大 D．在A位置小球受拉力与重力作用，处于非平衡状态 【答案】D 【详解】A．小球在运动过程中只受到重力和绳子的拉力，向心力和回复力都是效果力，故A错误； B．在B位置小球受到重力和绳子的拉力，且 故在B位置小球不处于平衡状态，故B错误； C．小球从C到B的过程中，小球做加速运动，则在B位置速度最大，向心力最大，故C错误； D．在A位置小球受拉力与重力作用，它们的合力提供向心力，故小球处于非平衡状态，故D正确。 故选D。 题型二：分析单摆运动物理量 【典例2】．（24-25高二下·河北沧州·期末）光滑圆弧面上有一个小球，小球静止时位于C点，把小球从C点移至A点由静止释放，放手后小球开始在A、E之间来回运动，B、D分别为圆弧AC、CE的中点，圆弧AE远小于圆弧半径，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球在B点的速度一定与其在D点的速度等大同向 B．小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度等大反向 C．小球由A点运动到B点的时间可能与其由B点运动到C点的时间相同 D．小球运动到C点时的加速度大小不为0 【答案】D 【详解】A．圆弧AE远小于圆弧半径，小球可以看作简谐运动，根据运动的对称性可知小球在B点的速度与其在D点的速度大小一定相等，方向不相同（沿圆轨迹切线方向），故A错误； B．小球圆弧AE中做变速圆周运动，根据对称性可知，小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度大小相等、方向不同（不共线），故B错误； C．小球从A点到C点的过程中，小球做加速运动，所以小球由A点运动到B点的时间大于由B点运动到C点的时间，故C错误； D．小球做圆周运动，运动到C点时，有向心加速度，所以加速度大小不为0，故D正确。 故选D。 【变式1】．（24-25高二下·辽宁锦州·期中）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，最大摆角小于，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球摆动时的回复力来源为重力和绳拉力的合力 B．若小球质量变大，摆动周期将会减小 C．从到的过程中，摆球的回复力先减小后增大 D．2.1s末和2.9s末，小球的势能和速度均相同 【答案】C 【详解】A．重力沿切线方向的分力提供小球摆动时的回复力，故A错误； B．根据周期表达式可知，若小球质量变大，摆动周期保持不变，故B错误； C．由题图可知，从到的过程中，小球从负向最大位移处运动到平衡位置，再运动到正向最大位移处，则摆球的回复力先减小后增大，故C正确； D．由题图根据对称性可知，2.1s末和2.9s末，小球的势能相同，速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选C。 【变式2】．（24-25高二下·安徽合肥·期中）荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动。秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为“摆球”，如图所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．“摆球”所受重力和绳的拉力的合力提供“摆球”做简谐运动的回复力 B．远离最低点运动的过程中，“摆球”的动能逐渐增大 C．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”相对最低点的位移最大 【答案】D 【详解】A．“摆球”所受重力在垂直摆线方向的分力提供“摆球”做简谐运动的回复力，故A错误； B．远离最低点运动的过程中，动能减小，故B错误； C．经过最低点时“摆球”有向心加速度，不是处于平衡状态，故C错误； D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”到达最大位移处，相对最低点的位移最大，故D正确。 故选D。 【变式3】．（24-25高二上·江西上饶·期末）如图甲所示，单摆固定悬点为O，将摆球拉至A点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角，B点为运动中的最低位置。从A点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．该单摆摆长约为1m B．摆球受到重力、拉力、向心力三个力的作用 C．摆球在B点处，向心加速度最大，回复力也最大 D．在的时间内，摆球从B点向A点运动 【答案】A 【详解】A．根据图乙可知，周期为2s，根据周期公式有 解得 故A正确； B．摆球受到重力、拉力两个力的作用。向心力是一种效果力，在实际受力分析中不存在，故B错误； C．最低位置B是单摆做简谐运动的平衡位置，摆球在B点处，速度最大，向心加速度最大，但回复力最小，故C错误； D．从A点刚释放开始计时，根据图乙可知，在的时间内，摆球从C点向B点运动，故D错误。 故选A。 题型三：单摆的周期公式 【典例3】．（25-26高二上·山东潍坊·月考）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，其中F的最大值。已知摆球质量，重力加速度取，取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为0.8s B．单摆摆长为0.54m C．F的最小值 D．若仅将摆球质量变为200g，单摆周期变小 【答案】C 【详解】A．单摆在最低点时速度最大，所需向心力最大，力传感器示数最大，且摆球在相邻两次通过最低点的时间间隔为半个周期，则由图乙可知单摆周期为，故A错误； B．根据单摆周期公式可得，单摆的摆长为，故B错误； C．摆球在最低点时，根据牛顿第二定律有 设单摆的摆角为，则摆球从最低点运动至最高点的过程中，根据机械能守恒定律有 联立解得 摆球在最高点时，有，故C正确； D．单摆周期与摆球质量无关，若仅将摆球质量变为200g，单摆的周期不变，故D错误。 故选C。 【变式1】．（25-26高二上·山东枣庄·期末）如图所示，轻绳下端系一小球（可看作质点），上端固定在点。在点正下方点有一根钉子，两点的距离为轻绳长度的倍。现将小球向左拉开微小角度，由静止释放，此后运动过程中轻绳与竖直方向的夹角始终小于，从小球第1次通过最低点开始计时，至第41次经过最低点用时30s。不计空气阻力，当地重力加速度，则轻绳的长度约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从小球第一次通过最低点开始计时，小球第41次经过最低点用时30s，所以有 根据题意 解得 故选C。 【变式2】．（25-26高二上·湖北十堰·期末）在同一地点做简谐运动的甲、乙两个单摆，其摆长相同，甲单摆的质量是乙单摆质量的，甲摆球经过平衡位置的速度是乙摆球经过平衡位置的速度的，则以下说法正确的是（　　） A．甲、乙做简谐运动的周期之比为3：2 B．甲、乙做简谐运动的周期之比为1：1 C．甲、乙做简谐运动的振幅之比为1：1 D．甲、乙做简谐运动的振幅之比为3：2 【答案】B 【详解】AB．根据单摆的周期公式，由题干可知，甲、乙两单摆的摆长相同，且在同一地点相同，因此周期相同，故周期之比为，故A错误，B正确； CD．简谐振动的能量为，其中 则根据能量关系得 可得 给出甲摆球在平衡位置的速度是乙的，即 所以振幅之比，故CD错误。 故选B。 【变式3】．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图所示，在悬点的下方有一个光滑的销钉，摆线。质量为的小球从点由静止释放后在之间摆动，与竖直方向的夹角小于5°（图示做了放大处理），重力加速度为，忽略空气阻力，则小球摆动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据单摆的周期公式 可得此单摆的周期为 故选D。 题型四：单摆运动图像问题 【典例4】．（25-26高二上·广东东莞·期末）同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，结合图像可知（    ） A．两摆球的质量相等 B．两单摆的摆长相等 C．在0~8s内，两摆球通过的路程相等 D．若单摆甲的振幅变小，则单摆甲周期变小 【答案】B 【详解】A．从图像上可得出振幅，单摆周期，与质量无关，所以无法得到两球的质量关系，故A错误； B．从图上知，又由可得，两单摆的摆长相等，故B正确； C．由于，在0~8s时间内，两摆球通过的路程，故C错误； D．单摆的周期与振幅无关，所以若单摆甲的振幅变小，则单摆甲周期不变，故D错误。 故选B。 【变式1】．（25-26高二上·河南·月考）摆球质量相等的甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动，其振动图像如图所示，则由图可知（　　） A．甲、乙两单摆的振动周期之比是3：4 B．甲、乙两单摆的摆长之比是2：3 C．甲、乙两单摆的摆长之比是4：9 D．甲、乙两单摆运动到最低点时的动能一定相等 【答案】C 【详解】A．由图可知甲、乙两单摆的振动周期之比是2：3，A错误； BC．根据 可得 可得甲、乙两单摆的摆长之比是4：9，B错误，C正确； D．设单摆的摆角为θ，因摆角很小，则 摆球到达最低点的动能为 因甲乙两摆球质量相等，且振幅分别为2cm和1cm，摆长之比为4:9，代入可知甲、乙两单摆运动到最低点时的动能不相等，D错误。 故选C。 【变式2】．（25-26高二上·湖北·期中）如图是用传感器和计算机描绘的甲、乙两个单摆的振动图像。关于两个单摆运动的描述，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的摆长之比为3∶4 B．甲、乙的周期之比为3∶4 C．任意0.2s内，乙经过的路程均为2cm D．0.2s~0.3s内，甲的动能增加，乙的动能减小 【答案】B 【详解】AB．由图知，，所以甲、乙的周期之比为3∶4 而，故甲、乙的摆长之比为9∶16,故A错误，B正确； C．，但其在经过的路程可能大于振幅A、也可能小于振幅A、还可能等于振幅A，因其做变速运动，故C错误； D．0.2s~0.3s内, 甲位移增大，向负的最大位置运动，速率减小，动能减小，故D错误； 故选B。 【变式3】．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图甲所示，有一根较长的细线和一个较小的沙漏．当沙漏小角度摆动时，分别以不同速度匀速拉动沙漏下方的木板，漏出的沙在板上会形成一条曲线，如图乙所示．已知，则（    ） A．木板1中曲线上各位置处堆积的细沙一样多 B．木板1、2中的A、两位置处堆积的细沙一样多 C．木板1拉动的速度比木板2拉动的速度大 D．木板1移动距离OA与木板2移动距离的时间相等 【答案】D 【详解】A．木板1中曲线上，摆线经过各位置处时的瞬时速率不相等，所以漏出的细沙不是一样多的，故A错误； B．木板1、2中的曲线A、两处的位置时，摆线的运动速率大小相等，但拉动木板的速度不等，故漏出的细沙不是一样多的，故B错误； C．在摆线运动一个周期内木板1前进的距离较短，故木板1的速度较小，故C错误； D．木板1移动距离OA与木板2移动距离的时间都是摆线运动的一个周期，故时间相等，故D正确。 故选D。 题型五：等效单摆模型 【典例5】．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，长度均为的两细绳下端系在长木板两端，细绳上端系在水平横梁上，木板上坐有小孩，系统静止时细绳与横梁的夹角为，现向内推两小孩一小段距离后由静止释放，重力加速度为，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．向内推动距离越大，摆动周期越大 B．木板上坐小孩人数越多，摆动周期越大 C．若小孩视为质点，摆动周期为 D．若小孩视为质点，摆动周期为 【答案】D 【详解】AB．根据单摆的周期公式，单摆的周期与振幅以及摆球的质量无关，该装置可等效为单摆，则周期与向内推动距离以及木板上坐小孩人数均无关，AB错误； CD．若小孩视为质点，等效摆长为，则摆动周期为，C错误，D正确。 故选D。 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图所示，利用一半径为R的光滑圆弧面测定本地的重力加速度。把小球移到A点由静止释放，小球在A、B之间振动，圆弧面弧长。下列说法正确的是（　　） A．为较精确测量小球振动周期，计时起始位置应为A点或B点 B．为减小系统误差，应多次由静止释放小球测出各次的振动周期，然后求出振动周期的平均值 C．释放小球的位置越高振动周期越大 D．若将圆弧面的半径R作为摆长，则求得的重力加速度总比当地的重力加速大 【答案】D 【详解】A．为较精确测量小球振动周期且便于观测，计时起始位置应为平衡位置O点，故A错误； B．求出振动周期的平均值，这种方法求周期可以减小偶然误差，不是系统误差，故B错误； C．由单摆周期公式可得，小球的振动周期为，可知，释放小球的位置越高振动周期不变，故C错误； D．若将圆弧面的半径R作为摆长，未考虑小球半径，代入计算时圆弧摆的摆长偏大，则求得的重力加速度总比当地的重力加速大，故D正确。 故选D。 【变式2】．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图所示一个光滑圆弧体固定在水平面上，圆弧长度远小于圆的半径，A、B是圆弧上的两点，O是圆弧的圆心，P、Q是圆弧竖直直径上的两点，让甲球从A、B两点中的任一点由静止释放，同时让乙球从P、Q、O三点中某一点由静止释放，甲球第一次到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，甲、乙两球均可以看成质点，空气阻力不计，则甲、乙两球释放的位置可能是（　　） A．甲球在A点释放，乙球在Q点释放 B．甲球在B点释放，乙球在P点释放 C．甲球在A点释放，乙球在O点释放 D．甲球在B点释放，乙球在O点释放 【答案】A 【详解】由于圆弧长度远小于圆的半径，所以甲球在圆弧体上运动可视为单摆，由单摆周期公式 甲球从A、B两点中的任一点由静止释放，到达圆弧最低点的时间近似为 若乙球从O点由静止释放，根据自由落体运动规律 可得 由于 所以要使甲球第一次到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，乙球应该在Q点释放。 故选A。 【变式3】．（24-25高二下·广东清远·期末）如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 【答案】B 【详解】A．双线摆可等效为单摆，在摆角较小时，根据周期公式有 可知周期与摆角大小无关，故A错误； B．当计数器显示计数次数为时，小球经过平衡位置次，则有 解得单摆的周期，故B正确； C．双线摆的等效摆长为，故C错误； D．由静止释放瞬间，小球偏离平衡位置，即小球相对于平衡位置的位移不等于0，则回复力不为零，故D错误。 故选B。 题型六：用单摆测量重力加速度探究实验 【典例6】．（25-26高二上·江苏·期末）某实验小组利用智能手机及单摆测定当地的重力加速度。将一个直径为d的小球用不可伸长的细线竖直悬挂，小球下方吸住一小块磁铁，手机放在悬点正下方水平面上，实验装置如图甲所示。 (1)用游标卡尺测量摆球的直径d如图乙所示，则____________mm。 (2)打开手机的磁传感器，让小球在竖直面内做小角度摆动，手机记录了竖直方向上磁感应强度的大小随时间t变化的图像如图丙所示，则单摆的周期为____________s。（结果保留3位有效数字） (3)将细线的长度加上小球半径后作为摆长l，多次改变摆长，重复实验，得到多组摆长l及小球摆动的周期T，作出相应的关系图像如图丁所示，并测出图线的斜率k和横截距b。 ①根据图像可求出当地重力加速度____________。 ②用上述方法求重力加速度，____________（选填“能”或“不能”）消除因磁铁质量导致摆长l测量不准确带来的误差，理由是___________________________________________________。 ③小球与磁铁组成的整体的重心到球心的高度差____________。 【答案】(1)18.75 (2)2.02 (3) 能 图像的斜率与摆长无关 kb 【详解】（1）20分度的游标卡尺的精度为，则读数为 （2）竖直方向上磁感应强度最强时，说明小球离手机最近，即小球运动到最低点，则时间内共有5个周期，故 （3）[1]由单摆周期公式 可得 考虑到磁铁对重心的影响，则 则有 结合图像可得 解得 [2][3]本实验是利用图像的斜率来计算重力加速度，而因磁铁质量导致摆长l测量不准确不会影响斜率，故能消除实验误差。 [4]由横轴截距可得 解得 【变式1】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）关于“用单摆测定重力加速度”的实验，回答下列问题： (1)小组同学用游标卡尺测量了摆球直径，如图甲所示，小球直径为d=_________cm。 (2)若用秒表测得多次全振动的时间，如图乙所示，则其读数t=_________s。 (3)让刻度尺的零刻度对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，其下端局部如图丙所示，那么单摆的摆长L=_________cm。 (4)多次改变摆长L，分别记为L1、L2…Ln；测得相应的周期分别为T1、T2…Tn；为减小误差，下列数据处理方法中正确的是 ；（多选） A．根据分别求得g1、g2…gn，然后求平均 B．根据，先分别求得以及，然后求得 C．以历次测量的L为横轴、以相应的T为纵轴建立坐标系作图像，根据图像斜率求g D．以历次测量的L求得为横轴、以相应的T为纵轴建立坐标系作图像，根据图像斜率求g (5)若某次实验中根据求得的g比当地实际的重力加速度值偏大，则下列原因可能的是 。（单选） A．摆线是微有弹性的细线 B．开始计时时过早按下秒表 C．摆动次数多计了一次 【答案】(1)1.14 (2)131.6 (3)87.78 (4)AD (5)C 【详解】（1）根据游标卡尺的读数规则，小球的直径为 （2）根据秒表读数原理，时间为 （3）小球的最下端所处刻线读数为，单摆摆长应为摆线长度与小球半径的和，所以摆长为 （4）A．根据每一组周期与摆长的关系计算出每一次的，再求平均值，可以减小偶然误差，测量更加准确，故A正确； B．根据公式可知L与成线性关系，而不是L与T的平均值直接相关，如此处理会引入系统误差，故B错误； CD．根据公式可知，画出的图像会是一条过原点的倾斜直线，可以通过求解斜率来得到重力加速度g；图像会是一条曲线，无法直接求解，故C错误，D正确。 故选AD。 （5）A．根据单摆周期公式 可变形为 若重力加速度的测量值偏大，可能是摆长的测量值偏大，或周期测量值偏小。若使用弹性绳，在进行实验的过程中摆长会变长，使得测量值比实际值偏小，故A错误； B．过早按下计时器时，测出的N个全振动的总时间变长，使得周期的测量值变大，故B错误； C．若摆动计数多了一次，会使得周期的测量值偏小，故C正确。 故选C。 【变式2】．（25-26高二上·广东惠州·期末）某同学用图所示装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)以下实验操作，合理且必要的是_____。 A．需要控制摆角不超过5° B．需要用天平称出摆球的质量 C．需要测量出摆球的直径 D．用刻度尺测量摆线的长度，作为单摆的摆长 (2)在安装实验装置的过程中，下列有关器材的选择和安装最合理的是_____。 A． B． C． D． (3)在摆球经过________位置时开始计时，实验测出单摆完成n次全振动的时间为t，摆长为L，则计算重力加速度的表达式为g＝________（用n、t、L表示） 【答案】(1)AC (2)D (3) 最低点 【详解】（1）A．需要控制摆角不超过5°，否则就不是简谐振动，A正确； B．不需要用天平称出摆球的质量，B错误； CD．需要测量出摆球的直径，再用刻度尺测量摆线的长度，摆线长加小球的半径作为单摆的摆长，C正确，D错误。 故选AC。 （2）应该用细丝线做摆线，用质量较大体积较小的铁球做摆球，将摆线上端用夹子固定，以防摆长变化，故选D。 （3）在摆球经过最低点位置时开始计时；实验测出单摆完成n次全振动的时间为t，则振动周期 根据 可得计算重力加速度的表达式为 【变式3】．（25-26高二上·山东青岛·期末）某同学利用如图甲所示的装置来完成“用单摆测量重力加速度”实验，其部分实验步骤如下： ①取一根不可伸长的轻质细线，一端连接一小球，另一端用夹子固定在铁架台上； ②用毫米刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，求出摆长l； ③将小球拉离平衡位置一较小角度后由静止释放，用停表记录单摆做N次全振动的时间t，计算出周期T； ④改变细线长度，多次重复实验，测得多组摆长l与对应的周期T的数据，并在坐标纸上作出l-T2的图像如图丙所示。 回答下列问题： (1)由图乙可读出小球的直径D=___________mm； (2)由图丙可得重力加速度g=___________m/s2（结果保留三位有效数字）； (3)某次实验中，小球没有严格在同一竖直平面内运动，由此求出的重力加速度数值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【答案】(1)18.85 (2)9.86 (3)偏大 【详解】（1）此游标卡尺的游标只有20个刻度，则其精确度为0.05mm，由游标卡尺的读数规则可知，小球的直径 （2）根据单摆周期公式 可得 图像斜率 得 由丙图可得图像斜率 故 （3）设摆线与竖直方向夹角为，则有 整理得 可知g测量值偏大。 题型七：单摆模型综合计算 【典例7】．（25-26高二上·河南商丘·月考）如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道固定在水平面上，O为圆弧的圆心，C为轨道的最低点，A、B两点关于C点对称，圆弧AB所对应的圆心角为，可视为质点的小球由A点静止释放，此后小球在AB间往复运动。已知小球质量为m，重力加速度为g。求： (1)小球经C点受弹力大小； (2)小球从A点第一次运动到B点的时间和受弹力的冲量大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从A点到C点由机械能守恒有 分析小球在C点受力，由牛顿第二定律有 解得小球经C点受弹力大小 （2）由于圆弧AB所对应的圆心角，小球在圆弧AB间做简谐运动，摆长即为半径R，由周期公式有 小球从A点到B点的时间 小球在A、B点速度均为0，取竖直向上为正方向，小球从A点到B点由动量定理有 解得 【变式1】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图1所示，O点为单摆的固定悬点。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。细线对摆球的拉力大小F随时间t的变化关系如图2所示，时，摆球从A点开始运动，重力加速度为g。求： (1)单摆的摆长L； (2)摆球的质量m。 【答案】(1)，其他表达式正确也可 (2) 【详解】（1）由图2可知单摆的周期 根据单摆的周期公式 联立解得，其他表达式正确也可。 （2）设摆球最大摆角为，当摆球在A点时，细线拉力大小为，摆球速度为0。细线的拉力与重力的合力提供回复力，根据力的合成和分解则有 摆球从A点运动到B点，根据动能定理可得 摆球在B点时，细线拉力与重力合力提供向心力，则有 联立解得 【变式2】．（25-26高二上·山东日照·期中）如图所示，一圆心为，半径为的固定光滑圆弧轨道，最低点为。将一质量为的小球从轨道上的点由静止释放，在轨道上做往复运动。已知与的夹角为，重力加速度为，弧的长度远小于半径，小球可视为质点。求： (1)小球对轨道压力的最大值； (2)小球从释放到第10次经过点所经历的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可得，在最低点时小球对轨道压力最大； 在最低点时，对小球受力分析得 小球从点到点过程，由动能定理得 联立可得 根据牛顿第三定律得 （2）由题意知，小球的运动为单摆模型，周期 从点释放，第1次经点需，之后每经点一次，总时间 代入解得 【变式3】．（25-26高二上·甘肃天水·月考）如图所示，长为L的轻质细线上端固定在水平天花板上，下端连接着小球1，小球2用质量可忽略的橡皮泥粘在小球1下方。将小球1、2拉至细线与竖直方向的夹角为处由静止释放，小球1、2运动至最低点时分离（不影响小球速度），小球1第一次返回最低点时小球2恰好落至水平地面（图中未画出）。已知小球1、2的质量均为m且均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求： (1)小球1、2分离前瞬间细线上的拉力大小F； (2)小球2从分离到落至水平地面的水平位移大小x； (3)地面到水平天花板的距离H。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球1、2从释放到运动至最低点，有 解得 小球1、2分离前瞬间，对小球1、2整体受力分析有 解得 （2）小球1、2分离后小球2做平抛运动，小球1做单摆运动， 从小球1、2分离到小球1第一次返回最低点的时间 小球2的水平位移大小 解得 （3）小球2做平抛运动下落的高度 地面到水平天花板的距离 解得 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图所示，一单摆在AB之间做简谐运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（　　） A．在O点合外力为零 B．从A到B的过程，摆线拉力的冲量为零 C．任意半个周期内，合力的冲量可能为零 D．任意半个周期内，合力做的功可能不为零 【答案】C 【详解】A．在O点合外力提供向心力，故A错误； B．冲量等于力与时间的乘积，摆线拉力的冲量不为零，故B错误； D．任意半个周期内，速度大小不变。动能不变，合力做功一定为零，故D错误； C．最大位移处，速度均为零，则动量不变，合力冲量可能为零，故C正确。 故选C。 2．（25-26高二上·山东枣庄·月考）如图甲所示，一力传感器固定在天花板上，将单摆悬绳一端固定在传感器上的O点。时刻将摆球拉到A点由静止释放，让其在A、C之间来回摆动（摆角小于），其中B点为最低点。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，忽略空气阻力，取。下列说法正确的是（   ） A．单摆的周期为 B．根据所给数据不能求出摆球的质量 C．摆球所受合力提供其回复力 D．单摆的摆长为 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，时刻小球处于A点，，小球处于C点，，小球第一次回到A点，则单摆的周期为，故A错误；D．根据单摆周期公式 可得单摆的摆长为，故D正确； C．摆球所受重力沿切线方向的分力提供其回复力，故C错误； B．设小球在最高点时，细线与竖直方向的夹角为，此时有 小球在最低点时，根据牛顿第二定律可得 其中；小球从最高点到最低点过程，根据动能定理可得 联立以上式子可得小球的质量为，故B错误。 故选D。 3．（25-26高二上·山东烟台·期末）如图所示，一个质量为的带正电小球，用长为的绝缘细线悬挂起来，构成一个单摆。把小球向右拉高一个小角度由静止释放，测得单摆周期为，若在空间中施加一个竖直向下的匀强电场，测得单摆周期为，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【详解】当单摆所处系统中无竖直向下的匀强电场时，单摆的周期为 当单摆处于竖直向下的匀强电场中时，其等效重力加速度为 则单摆的周期 故选A。 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．时，摆球所受回复力最大，方向向左 B．时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．从到过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．，摆球在O点回复力为零 【答案】D 【详解】A．图乙可知t=0.5s时，摆球的位移最大且为，可知摆球此时位于最左端，根据可知，此时回复力最大且方向向右，故A错误； BD．图乙可知t=1s时，摆球位于平衡位置O点，即位移为0，回复力为0，故B错误，D正确； C．从t=0.5s到t=1.0s过程中，摆球向平衡位置移动，重力做正功，摆球的重力势能逐渐减小，故C错误。 故选D。 5．（25-26高二上·江苏徐州·期末）如图所示，小球在半径为的光滑弧面上的之间往复运动。若弧长，下面说法正确的是（　　） A．小球在之间的运动可看作简谐运动 B．小球从运动到的时间为 C．小球从运动到的过程中回复力先变大后变小 D．降低小球释放的高度，运动周期将变小 【答案】A 【详解】A C．设小球偏离平衡位置的位置为x,此时的偏角为，重力沿切线方向的分力充当回复力为 故小球从运动到的过程中回复力先变小后变大 因，故很小，有 又 故（） 故小球在之间的运动可看作简谐运动，故A正确，B错误； B．小球从运动到的时间是周期的一半为，故C错误； D．在的情况下，周期与偏角或者振幅无关，降低小球释放的高度，运动周期不变，故D错误。 故选A。 6．（25-26高二上·湖北随州·期末）如图所示，是甲、乙两个单摆的振动图像，可得甲、乙的摆长之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由振动图像可知，甲的周期 乙的周期 根据单摆周期公式 解得 因此甲乙摆长之比 1：4。 故选 A。 7．（25-26高二上·山东泰安·期末）图甲为一单摆其固定于悬点，点连接一力传感器，现将小摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的、、之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置，，小于5°且是未知量。图乙表示力传感器得到摆线的拉力大小随时间变化的曲线，且图中时刻为摆球从点开始运动的时刻（取）。则下列正确的是（　　） A．单摆的振动周期 B．单摆的摆长 C．摆球的质量 D．运动过程中的最大速度 【答案】C 【详解】AB．小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，则小球的周期为 由单摆的周期公式为 解得单摆的摆长，故AB错误； CD．摆球在点和点受力分析如图所示 在最高点有 在最低点设小球的速度为，有 从到，由机械能守恒定律得 联立代入数据可得，，故C正确，D错误。 故选C。 二、多选题 8．（25-26高二下·全国·随堂练习）关于单摆，下列说法中正确的是（　　） A．单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，其中是摆线与竖直方向之间的夹角 B．单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C．单摆的摆球在平衡位置时（最低点）的加速度为零 D．单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关 【答案】AD 【详解】AB．单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受重力和摆线的拉力两个力的作用，提供回复力的是重力沿圆弧切线方向的分力，而不是重力和摆线拉力的合力，故A正确，B错误； C．摆球在平衡位置时有向心加速度，加速度不为零，故C错误； D．通常情况下单摆的振动不是简谐运动，只有在偏角很小的情况下才可近似为简谐运动，单摆做简谐运动的条件下，周期与振幅无关，故D正确。 故选AD。 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图甲，O为单摆的悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，为摆球从A点开始运动的时刻，取。下列说法正确的有（　　） A．时小球第一次摆到C点 B．单摆的周期为 C．小球质量为 D．单摆的摆长为 【答案】AD 【详解】A．单摆从A点（最高点）释放，t=0时拉力最小（），到最低点B时拉力最大，再到C点（另一最高点）时拉力再次最小。由图乙知，t=0.2πs时第一次摆到C点，A正确； B．由A分析，t=0.2πs为半个周期，故周期T=0.4πs，B错误； C．设最低点最大拉力为，此时小球处于圆周运动最低点，故绳子拉力大于重力。小球的质量应小于0.051kg，C错误： D．由单摆周期公式 代入T=0.4πs，g=10m/s2，解得L=0.4m，D正确。 故选AD。 10．（25-26高二上·四川南充·期末）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度为。单摆的振动过程中，下列说法正确的是（    ） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移随时间变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从到的过程中，摆球所受回复力为正且逐渐增大 【答案】AD 【详解】A．由题图乙可知单摆的周期 根据单摆的周期公式 解得单摆的摆长约为1.0m，故A正确； B．由 则单摆的位移随时间变化的关系式为 故B错误； C．由题图乙可知，从到的过程中，摆球偏离平衡位置的位移逐渐变小，重力势能逐渐减小，故C错误； D．由题图乙可知，从到的过程中，摆球偏离平衡位置的位移为负值，且大小逐渐变大，所受回复力 故回复力为正且逐渐增大，故D正确。 故选AD。 11．（25-26高二上·湖北十堰·期中）有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置时，摆线上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从一边最高点摆到另一端最高点过程的闪光照片如图所示（悬点和小钉未被摄入），P点为摆动的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知（　　） A．P点左方为摆线碰到钉子后的摆动 B．P点右方为摆线碰到钉子后的摆动 C．小钉与悬点的距离为 D．每相邻两次闪光的时间间隔为 【答案】AD 【详解】AB．每相邻两次闪光的时间间隔相等，可知P点左方单摆的周期小于右方单摆的周期，根据，可知P点左方单摆的摆长较短，可知P点左方为摆线碰到钉子后的摆动，故A正确，B错误； CD．假设相邻两次闪光的时间间隔为t，在P点左方运动的摆长设为L1，在P点右方运动的摆长设为L2，则， 所以，钉与悬点的距离为 每相邻两次闪光的时间间隔为，故C错误，D正确。 故选AD。 12．（25-26高二·全国·假期作业）学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中正确的是（　　） A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是 B．甲、乙两单摆的摆长之比是 C．时，两摆球的加速度方向相反 D．3-4s内，两摆球的势能均减少 【答案】BD 【详解】A．单摆的周期与振幅与摆球的质量无关，无法判断质量关系，故A错误； B．由图像可知甲、乙两单摆的周期之比为，根据单摆的周期公式 所以甲、乙两单摆的摆长之比是，故B正确； C．由可得时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，故C错误； D．内，两摆球向平衡位置运动，摆球的势能均减少，故D正确。 故选BD。 13．（25-26高二上·山东枣庄·期中）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将摆球拉到A点由静止释放并计时，摆球在A、C之间小角度来回摆动，力传感器测出摆线上的拉力随时间变化的规律如图乙所示。已知，选向右为正方向，取重力加速度大小。（　　） A．单摆的周期为 B．单摆的摆长 C．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 D．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 【答案】BC 【详解】A．单摆的周期为，A错误； B．根据，可得单摆的摆长，B正确； CD．因振幅，初相位，可知单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式，C正确，D错误。 故选BC。 三、实验题 14．（25-26高二上·湖南永州·期末）某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 (1)该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径为d = __________cm。 (2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙所示，则小球摆动的周期为T = __________。 (3)根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为g = __________（用d、t0、R表示）。 (4)另一同学将光滑圆弧球面半径R当做小球等效单摆长度测得重力加速度，则测得的重力加速度的值__________（选填“大于”、“小于”或“等于”）当地重力加速度的真实值。 【答案】(1)1.050 (2) (3) (4)大于 【详解】（1）由游标卡尺读数有，小球的直径 （2）小球从运动到，再到，返回最后运动到，运动的时间为一个周期，当小球运动到点时，压力传感器示数最大，所以一个周期内压力传感器示数出现两次最大，由图丙可知，小球摆动的周期为。 （3）由题意可知周期，摆长为 根据单摆周期公式，可得 解得 （4）由（3）可知 若将光滑圆弧球面半径当做小球等效单摆长度测得重力加速度，显然等效摆长变大，所以重力加速度g的测量值大于当地重力加速度的真实值。 15．（25-26高二上·广东韶关·月考）某实验小组利用单摆测当地的重力加速度，实验装置如图甲所示。 (1)实验时用螺旋测微器测量小球直径，示数如图乙所示，则读数为________mm。 (2)关于该实验，下列说法正确的是________。 A．摆线要选择细些的、伸缩性大些的，并且适当长一些 B．测量摆长时应将摆线长加上小球半径作为摆长 C．为了使单摆的周期大一些，方便测量，开始时要拉开摆球，使摆角较大 D．摆球振动稳定后，当摆球运动至最低点处开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期 (3)实验中，若直接使用公式计算重力加速度，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是________。 A．摆线具有弹性，摆动时绳子伸长 B．以摆线的长度作为摆长来进行计算 C．把次全振动时间误当成n次全振动时间 D．在加速上升的电梯中做此实验 (4)通过改变摆线的长度，该小组测得多组摆长L和对应的周期的平方，画出的图像如图丙所示，若图像的斜率为k，纵截距为b，可得当地的重力加速度大小为________。 【答案】(1)11.700/11.699/11.701 (2)BD (3)CD (4) 【详解】（1）读数为。 （2）A．摆线不能有伸缩性，应适当细些、长些，故A错误； B．摆长为摆线长加小球半径，故B正确； C．单摆测重力加速度的前提是摆角小于5°，故C错误； D．当摆球运动至最低点处开始计时，误差最小，50次全振动所用的时间t，则单摆周期，故D正确。 故选BD。 （3）根据，得 A．摆线具有伸缩性，则摆长测量值偏小，则g的测量值偏小，故A错误； B．以摆线的长度作为摆长来进行计算，摆长测量值偏小，则g的测量值偏小，故B错误； C．把次全振动时间误当成n次全振动时间，T的测量值偏小，则g的测量值偏大，故C正确； D．在加速上升的电梯中做此实验，等效重力加速度大于g，则g的测量值偏大，故D正确。 故选CD。 （4）[1][2]图丙中，图像交纵轴于正半轴，这是由于把摆线长当成摆长造成的，但这并不会改变图像的斜率，由，得 则 得 四、解答题 16．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图所示，一质量为m的小钢球，用长为l的细丝线悬挂在水平天花板上（l远大于小钢球的半径），初始时，摆线和竖直方向的夹角为（）。静止释放小球后，小球做单摆运动，摆到最低点的速度大小为v，求：（不计空气阻力，重力加速度为g） (1)释放瞬间小球回复力F的大小； (2)小球从释放到第一次运动到最低点的时间t； (3)从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量Ia大小及拉力的冲量大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）释放时小球回复力的大小 （2）单摆周期 小球从释放到第一次运动到最低点的时间 （3）从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量大小 重力的冲量方向竖直向下。 从小球释放到第一次运动到最低点过程中，动量变化，方向向左。 由动量定理 拉力的冲量 17．（21-22高二下·青海西宁·月考）将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲中O点为单摆的悬点，现将小球（可视为质点）拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置。∠AOB=∠COB=α，α小于10°且是未知量，图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，据力学规律和题中信息（g取10m/s2），求： （1）单摆的周期和摆长； （2）摆球质量及摆动过程中的最大速度。 【答案】（1）0.4πs，0.4m；（2）， 【详解】（1）摆球受力分析如图所示： 小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律 T=0.4πs 由单摆的周期公式为 解得 （2）在最高点A，有 在最低点B，有 从A到B，机械能守恒，由机械能守恒定律得 联立三式并代入数据得 18．（25-26高二上·贵州遵义·期中）如图所示，半径相同的小球甲、乙用长度均为L（远大于小球的半径）的细线1、2并排悬挂在水平天花板上。将小球甲拉至细线1与竖直方向的夹角为处，细线绷直，再将小球甲由静止释放。小球甲、乙发生弹性碰撞且碰撞时间极短。已知小球甲、乙的质量分别为m、2m且均可视为质点，重力加速度大小为g。求： (1)小球甲第一次碰撞前瞬间细线1对小球甲的拉力大小F； (2)第一次碰撞后瞬间小球乙的速度大小； (3)小球甲从释放到第二次碰撞（碰撞时间不计）所用的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）甲从释放到第一次碰撞前 在最低点 解得 （2）碰撞是弹性碰撞，所以， 解得碰后甲乙速度 （3）因为碰后乙的速度小于，则乙的摆角小于，两者均做单摆运动，经过半个周期相碰，则 甲从释放到第一次碰撞前经过周期 所以 19．（25-26高二上·江苏徐州·月考）如图所示，光滑圆槽的半径远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时乙球的位置低于甲球位置，甲球与圆槽圆心连线和竖直方向夹角为，丙球释放位置为圆槽的圆心，为圆槽最低点；重力加速度为。若甲、乙、丙三球不相碰。 (1)证明甲球在做简谐运动 (2)通过计算分析，甲、乙、丙三球谁先第一次到达点 【答案】(1)见解析 (2)丙球最先到达点，甲、乙两球同时到达点 【详解】（1）设甲球偏离平衡位置O点的位移为x，圆槽半径为L。将甲球所受重力沿圆槽切线方向和径向分解，切线方向的分力提供回复力F。重力沿切线方向的分力大小为 由于圆槽的半径L远大于小球运动的弧长，所以很小，所以有 由于位移x的方向与回复力的方向相反，所以有 因为回复力F与位移x大小成正比，方向相反，符合简谐运动的回复力特征 这里 所以甲球在做简谐运动。 （2）丙球做的是自由落体运动，根据自由落体运动规律有 解得丙球第一次到达点的时间为 将甲、乙两球的运动可看成类似单摆的简谐运动，其运动周期为 甲、乙两球第一次到达点O时需运动周期，则有 由于，所以丙球最先到达点，甲、乙两球同时到达点。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $