精品解析：2026年江苏无锡宜兴市部分校九年级数学中考一模数学试题

2026年九年级第一次模拟考试 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】原式． 2. 若正方形的边长为3，则它的对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的四边相等，每个角都是直角以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴它的对角线长为． 3. 下列图形中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项符合题意． 4. 已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 5. 下列事件中，确定事件为（ ） A. 在北半球看，太阳从西边升起 B. 未来三天会下雨 C. 打开电视，正在播放广告 D. 任意两个等腰三角形是相似三角形 【答案】A 【解析】 【详解】解：A 、在北半球，太阳一定从东边升起，太阳从西边升起一定不会发生，属于不可能事件，是确定事件； B 、未来三天是否下雨无法确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件； C 、打开电视播放内容不确定，正在播放广告可能发生也可能不发生，属于随机事件； D 、任意两个等腰三角形可能相似也可能不相似，该事件是随机事件. 6. 如图，，在边上，，，交于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，求出和的度数，得出计算即可； 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ． 7. 年月日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长公里，测试列车以的速度跑完全程，比预定时间快了分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长，普通高铁以的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 磁悬浮试验线的全长为公里 B. 磁悬浮试验线的预定运行时间为分钟 C. 传统高铁线路的运行时间为分钟 D. 测试列车实际运行时间为分钟 【答案】A 【解析】 【分析】设预定运行时间为小时，根据题意列方程求出，进而求出磁悬浮试验线的全长、传统高铁线路的运行时间及测试列车实际运行时间即可判断求解． 【详解】解：设预定运行时间为小时， ∵测试列车跑完全程比预定时间快分钟， ∴， 整理得， ①， ∵传统高铁线路长为公里，跑完比预定时间多分钟， ∴， 整理得，② 联立①②，得， 解得小时，即预定运行时间为分钟， 代入①，得 公里，即磁悬浮试验线全长公里， 测试列车实际运行时间为 分钟， 传统高铁运行时间为 分钟， ∴正确，错误． 8. 某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图： 根据以上数据，下列推断错误的是（ ） A. 周岁人群理财人数最多 B. 周岁人群理财总费用最少 C. 理财产品更受理财人青睐 D. 年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形统计图判断人数比例，根据折线统计图判断人均费用变化及计算总费用，根据条形统计图判断理财产品受欢迎程度，逐一分析选项即可． 【详解】解：A、由扇形统计图可知，周岁人群理财人数占比为，在所有年龄段中占比最大，故该选项推断正确； B、设理财总人数为， 则周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：； 周岁人群理财总费用为：.，， 周岁人群理财总费用最少，故该选项推断错误； C、由条形统计图可知，选择B理财产品的人数比例为，占比最高，说明B理财产品更受理财人青睐，故该选项推断正确； D、由折线统计图可知，随着年龄段的增大，人均理财费用依次为3500元、4500元、5500元、6200元，呈上升趋势，故该选项推断正确． 9. 菱形的三个顶点，，在双曲线上，其中，在第一象限，在的左侧，且经过原点．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴，在上取点、，使,过点作，垂足为，过点作，垂足为,设点,表示出点、的坐标，、、、、的长，证明，表示出、、、的长，表示出点的坐标，代入得的值，最后利用平移的性质得点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴，在上取点、，使, 过点作，垂足为，过点作，垂足为． 设点，由经过原点可得， 则， ∴，， ∵，， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵四边形是菱形， ∴, 在和中， , ∴, ∴,， ∵， ∴,, ∴，， ∴， ∴， 代入得，， 解得， ∴,，, 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，平移的性质，解直角三角形，通过添加辅助线构造“一线三等角”全等模型是解决本题的关键． 10. 无锡市锡惠公园有一座龙光塔，具有悠久的历史底蕴．数学兴趣小组在清明假期进行社会实践，利用激光测距仪和手机（能测量长度和角度）测量塔高．如图所示，因路段原因，小组无法到达塔底进行测高，于是选择在离塔一定距离的公路上测距．如图所示，将塔简化为线段，他们在这条路上选取了两个点和，设的长为，根据下列数据，能测出塔高的有（ ） ①，，， ②，，， ③，，， ④，，， A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】三角形的三个内角和三条边称为三角形的六要素，解一个三角形需要知道其中三个要素，且至少要知道一条边长，据此逐项判断即可． 【详解】解：①在中，已知，，，可以解这个三角形得到，再利用，解直角得到的值； ②在中，已知，，无法解此三角形，在中，已知，，无法解此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，故不能计算出的值； ③在中，已知，，，可以解这个三角形得到，再利用，解直角得到的值； ④在中，， 在中，， ∴， 已知，，则的值为定值， 在中，已知，，结合的值为定值，可求出，再利用，解直角得到的值， 故能测出塔高的有①③④． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．无需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的指定位置． 11. 表现无锡市近几年人均变化趋势应选用______统计图． 【答案】折线 【解析】 【分析】根据不同统计图的特征，结合题干要求体现数据变化趋势的需求，即可选出对应统计图． 【详解】解：表现无锡市近几年人均变化趋势应选用折线统计图． 12. 2026年春节，无锡地铁客运量达932.8万人次．用科学记数法表示数据932.8万为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：932.8万． 13. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 14. 使用圆锥做一顶生日帽，测得高为，底面半径为2，则生日帽的外表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】解：判断生日帽无底面，所求外表面积为圆锥侧面积，先利用勾股定理求出圆锥母线长，再代入圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，由题意得，. 根据勾股定理可得： 圆锥侧面积公式为，代入得： 15. 已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，确定的外接圆直径为斜边，连接，，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，且为直角， ∴， 作的外接圆如图，连接，，交于点 ，则为直径，， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与轴的交点，得，根据点在线段上，即，则，展开整理可得，解出，即可． 【详解】解：∵二次函数与轴交于，两点， ∴，即， 整理得：， 设、且， 由韦达定理得：，； ∵点在线段上，即， ∴， 展开可得：， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，恒成立， ∴的取值为：， 故答案为：． 17. 如图，是圆的内接三角形，且，是圆直径．在圆外，且．，． （1）的长为______；（2）的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设与圆相交于点E，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，解直角三角形求出，，然后在中根据勾股定理即可求出；在右侧，过C作，并截取，连接，，过D作于G，证明，得出，，则可求出，进而求出，解直角三角形求出，，根据勾股定理求出，最后在中，根据余弦的定义求出即可． 【详解】解：设与圆相交于点E，连接， ∵圆直径， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴； 在右侧，过C作，并截取，连接，，过D作于G， 则，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 18. 在正方形中，在边上，在上，以为边作等边三角形，使点落在边上．点是的中点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长，连接，证明四点共圆，得出，根据含度角的直角三角形的性质以及垂线段最短，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长，如图，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴，，则， ∴ ∴四点共圆， ∴ ∴在射线上运动， ∴当时，最小， ∴ 因为，故的最小值为 三、解答题：本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点． （1）求的取值范围； （2）若，求这两个交点纵坐标之差的绝对值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）联立解析式，利用根的判别式列出不等式进行求解即可； （2）求出交点坐标，然后进行求解． 【小问1详解】 解：联立解析式得， 整理得，， ∴， 解得， 根据反比例函数得，， ∴的取值范围为且； 【小问2详解】 解：当时， 联立解析式得，， 解得， 当时，， 当时，， ∴． 20. 已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）运用切线长定理和切线的性质得出，，，从而证明； （2） 由可得，继而得到，于是求出，． 【小问1详解】 解：证明：∵，是圆的切线， ∴，，， 又∵， ∴， 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 2026米兰冬奥会吉祥物是两只雪貂，名字分别叫“蒂娜”和“米洛”．某商店出售这两种吉祥物的毛绒玩具，每种玩具的售价相同．现有2个蒂娜和2个米洛混放在一个展示箱中，这些玩具除造型外都相同． （1）从箱中任意摸出1个玩具，摸到米洛的概率是______． （2）从箱中任意摸出1个玩具，记录造型后不放回，再从中任意摸出1个玩具，记录造型，求两次摸到玩具是同一造型的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：从放2个蒂娜和2个米洛的展示箱中，任意摸出1个玩具是米洛的概率是； 【小问2详解】 解：记2个蒂娜为、，2个米洛为， 列表如下： —— —— —— —— ∴共有12种可能结果，其中两次摸到的玩具是同一造型的有4种， ∴两次摸到的玩具是同一造型的概率． 22. 某数学兴趣小组对九年级（）班的学生的视力进行了调查，统计数据如图所示．请根据表格提示，完成数据的统计与分析．表格第列的数据是班里组的视力情况． （1）根据表中数据，补全条形统计图； （2）扇形统计图中，视力在及以上区域所占圆心角约为_______（保留位有效数字）：各组中极差最大的组是________；前三组中视力标准差最大的组为_______； （3）某同学经常熬夜打游戏，结合数据与两幅统计图，从熬夜、打游戏危害与戴眼镜的不便等角度，对他进行合理劝说． 【答案】（1）图见解析 （2）；第组和第组；第组 （3）见解析 【解析】 【分析】（）统计表格中各视力分组的人数，确定总人数，补全条形统计图； （）及以上区域的圆心角，所以用该分组的占比乘以；因为要找极差最大的组，所以分别计算每组的最大值与最小值的差再比较；因为要找前三组中标准差最大的组，所以根据标准差反映数据离散程度的性质，判断数据波动最大的组； （）对于劝说内容，因为要结合数据，所以从统计出的视力不良人数占比、视力差的影响等角度组织语言． 【小问1详解】 解：统计各视力段的人数： ，共 人 ； ，共人 ； 根据人数补全条形统计图： ：对应高度格 ； ：对应高度格；如图： 【小问2详解】 解：总共有名学生， 及以上共人， ∴视力在及以上区域所占圆心角约为：， 各组中的极差是： 第组：； 第组：； 第组： ； 第组：； 第组：； 第组：； 第组：； ∵； ∴各组中极差最大的组是：第组和第组： 第组数据： ， 和是， 平均数 ， 方差：， 第组数据：， 和：， 平均数， 方差：， 第组数据：， 和：， 平均数， 方差：， 方差越大标准差越大， ∵， ∴前三组中标准差最大的是第组； 【小问3详解】 同学，从统计结果能看出来，咱们班九成同学视力都不到，大多和不良用眼习惯有关．长期熬夜打游戏非常损伤视力，一旦视力下降变成近视，日常运动、生活都会很不方便，戴眼镜也会带来很多额外的不便，还会影响未来的升学和职业选择；所以一定要控制打游戏的时间，早睡作息规律，好好保护自己的视力呀！ 23. 无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销量/千克 储存和损耗费用/元 （1）因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为_______． （2）求销售利润随的函数表达式； （3）这14天中日销售利润不低于930元的有______天． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为a，根据题意可列出关于a的一元二次方程，解出a的值即得出答案； （2）根据利润（标价进价）销量储存和损耗费，即可得(元)，进而可求出与之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可； （3）依题意可列出关于的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图像法解一元二次不等式，分别求出的解集，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为a，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 即每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：结合（1）得，第一次降价后的价格为（元）， 当时， ， 当时， ， 综上可知：， 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 此时为天利润不低于元， 当时，， 解得， ，， ， 此时第到天利润不低于元， （天）， 综上所述，共有天利润不低于元． 24. 如图，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，，求面积的最大值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作与的延长线交于点，，，然后根据相似三角形的性质以及三角形的中线的性质证明即可； （2）可得，则，故当最大时，面积最大，而则点在以为直径的圆上运动，过点作于点，那么，即可求解面积的最大值，即可求解面积的最大值． 【小问1详解】 证明：过点作与的延长线交于点， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，面积最大， ∵，是边上的中线， ∴ ∴点在以为直径的圆上运动， 过点作于点， ∴， ∴的面积最大值为， ∴面积的最大值为． 25. 综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为． （1）当时，证明：，并据此完成填空； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析，等大 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）记左边点F为，右边点F为，则，过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为，四边形是矩形，，故，，，，继而得出，从而得到，则，再用证明，从而得到，可知在两倍焦距处成倒立等大的实像； （2）由（1）得，则，再两边取倒数并除以即可证明． 【小问1详解】 解：记左边点F为，右边点F为，则， 过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为， 则四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∴， ∴在两倍焦距处成倒立等大的实像； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ∴， ∴两边取倒数得：， ∴两边同时除以得：，即． 26. 如图为三条平行线，在上，在上，． （1）若，为等腰直角三角形，则直线与所成锐角的余弦值为_______； （2）若为等边三角形，请用无刻度的直尺与圆规在图中作出； （3）若为等边三角形，直线与所成锐角为，求关于的函数表达式． 【答案】（1）或或； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分三种情况，根据平行线的性质，三角形全等的判定和性质，余弦函数的定义求解即可； （2）根据多边形三角形的判定和性质，画图即可； （3）设交于点M，过点A作于点E，过点B作于点G，过点C作于点F，设，得，，，， 直线与所成锐角是，． 【小问1详解】 解：当时，此时， 过点A作于点D，交于点E， ∵， ∴ ∴， ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， 设则， ∴，， 过点B作于点G， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，此时， 过点B作于点M，交于点T，过点A作于点N， ∴， ∵， ∴ ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， 设则， ∴， 根据题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，此时， 过点C作于点Q，交于点H，过点A作于点R， ∴， ∵， ∴ ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， 设则， ∴， 根据题意，四边形是矩形， ∴， ∴， 设直线与所成锐角是， ∵， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：作等边，， 作直线，交于点C，交于点， 相当于把直线逆时针旋转， 连接， 以为边作等边， 则即为所求； 【小问3详解】 解：设交于点M，过点A作于点E，过点B作于点G，过点C作于点F， ， ， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 直线与所成锐角是， ∵， ∴ ∴． 27. 已知函数交轴于点． （1）若该函数的图象与轴只有一个交点，求； （2）若当且仅当，求该函数在时的最小值； （3）若该函数的图象交轴于，，通过计算说明是否存在正数，使得． 【答案】（1）0或 （2）当时，最小值为；当时最小值为；当时，最小值为 （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）先根据当且仅当得出当时，，然后根据待定系数法求出函数解析式，然后分，，三种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可； （3）设，，则，，根据根与系数的关系和根的定义得出，，，由，化简得出，把代入求出，结合，求出，结合，得出，令，当时，；当时，，故在之间，存在正数a，使，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，原函数为，此时与轴有一个交点为，故符合题意； 当时， ∵函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得， 综上，a的值为0或； 【小问2详解】 解：∵当且仅当， ∴当时，， 代入，得， 解得， ∴， ∴对称轴直线， ∵抛物线的开口向上， ∴当，即时，y随x的增大而减小， 又， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当，即时，函数在处取最小值，最小值为； 当时，y随x的增大而增大， 又， ∴当时，y有最小值，最小值为； 综上，当时，最小值为；当时最小值为；当时，最小值为； 【小问3详解】 解：令，则， ∴， 设，， ∴，， 令，则， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 令， 当时，；当时，， ∴在之间，存在正数a，使， ∴存在正数a，使得． 28. 按要求完成下面各题． （1）如图1，在锐角中，是边上的中线，是边上的高． ①若，，，则_________； ②若，证明：． （2）如图2，在中，，，是，边上的动点，且，在，运动的过程中，始终满足．若，求的取值范围． 【答案】（1）①；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①勾股定理求得，等面积法求得，进而在中，勾股定理，即可求解； ②和，根据勾股定理得出，，进而根据线段的代换，即可得证； （2）设，，设，根据勾股定理建立方程，得出，进而根据，求得的最大值，结合图形重合时，，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，，是中线， ∴，， ∴， 由， 得， 解得， 在中，； ②过点作于， ∵， ∴， ∴， 又∵是中点， ∴， ∴， 和， ，， 两式相减得 ，  ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，，设，， ∴ ． ∵，， 设 ∵， ∴ ∴ 即 由 设，则 解得：（取较小的解），则，即 又∵，， ∴ ∴是方程的两个根， 设为较小根，则 又∵， ∴ 解得：， ∴， ∵即， ∴， ∴当为较小边时，取得最大值， ∴当时，，，， 当重合时，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第一次模拟考试 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若正方形的边长为3，则它的对角线长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 8 5. 下列事件中，确定事件为（ ） A. 在北半球看，太阳从西边升起 B. 未来三天会下雨 C. 打开电视，正在播放广告 D. 任意两个等腰三角形是相似三角形 6. 如图，，在边上，，，交于，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 年月日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长公里，测试列车以的速度跑完全程，比预定时间快了分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长，普通高铁以的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 磁悬浮试验线的全长为公里 B. 磁悬浮试验线的预定运行时间为分钟 C. 传统高铁线路的运行时间为分钟 D. 测试列车实际运行时间为分钟 8. 某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图： 根据以上数据，下列推断错误的是（ ） A. 周岁人群理财人数最多 B. 周岁人群理财总费用最少 C. 理财产品更受理财人青睐 D. 年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 9. 菱形的三个顶点，，在双曲线上，其中，在第一象限，在的左侧，且经过原点．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 无锡市锡惠公园有一座龙光塔，具有悠久的历史底蕴．数学兴趣小组在清明假期进行社会实践，利用激光测距仪和手机（能测量长度和角度）测量塔高．如图所示，因路段原因，小组无法到达塔底进行测高，于是选择在离塔一定距离的公路上测距．如图所示，将塔简化为线段，他们在这条路上选取了两个点和，设的长为，根据下列数据，能测出塔高的有（ ） ①，，， ②，，， ③，，， ④，，， A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ②④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．无需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的指定位置． 11. 表现无锡市近几年人均变化趋势应选用______统计图． 12. 2026年春节，无锡地铁客运量达932.8万人次．用科学记数法表示数据932.8万为_____． 13. 因式分解x3－9x=__________． 14. 使用圆锥做一顶生日帽，测得高为，底面半径为2，则生日帽的外表面积为______． 15. 已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 16. 二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为______． 17. 如图，是圆的内接三角形，且，是圆直径．在圆外，且．，． （1）的长为______；（2）的长为______． 18. 在正方形中，在边上，在上，以为边作等边三角形，使点落在边上．点是的中点，则的最小值为_____． 三、解答题：本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点． （1）求取值范围； （2）若，求这两个交点纵坐标之差的绝对值． 20. 已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． （1）求证：； （2）若，求的长度． 21. 2026米兰冬奥会吉祥物是两只雪貂，名字分别叫“蒂娜”和“米洛”．某商店出售这两种吉祥物毛绒玩具，每种玩具的售价相同．现有2个蒂娜和2个米洛混放在一个展示箱中，这些玩具除造型外都相同． （1）从箱中任意摸出1个玩具，摸到米洛概率是______． （2）从箱中任意摸出1个玩具，记录造型后不放回，再从中任意摸出1个玩具，记录造型，求两次摸到玩具是同一造型的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22. 某数学兴趣小组对九年级（）班的学生的视力进行了调查，统计数据如图所示．请根据表格提示，完成数据的统计与分析．表格第列的数据是班里组的视力情况． （1）根据表中数据，补全条形统计图； （2）扇形统计图中，视力在及以上区域所占圆心角约为_______（保留位有效数字）：各组中极差最大的组是________；前三组中视力标准差最大的组为_______； （3）某同学经常熬夜打游戏，结合数据与两幅统计图，从熬夜、打游戏的危害与戴眼镜的不便等角度，对他进行合理劝说． 23. 无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销量/千克 储存和损耗费用/元 （1）因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为_______． （2）求销售利润随的函数表达式； （3）这14天中日销售利润不低于930元的有______天． 24. 如图，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，，求面积的最大值． 25. 综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为． （1）当时，证明：，并据此完成填空； （2）证明：． 26. 如图为三条平行线，在上，在上，． （1）若，为等腰直角三角形，则直线与所成锐角的余弦值为_______； （2）若为等边三角形，请用无刻度的直尺与圆规在图中作出； （3）若为等边三角形，直线与所成锐角为，求关于的函数表达式． 27. 已知函数交轴于点． （1）若该函数的图象与轴只有一个交点，求； （2）若当且仅当，求该函数在时的最小值； （3）若该函数的图象交轴于，，通过计算说明是否存在正数，使得． 28. 按要求完成下面各题． （1）如图1，在锐角中，是边上的中线，是边上的高． ①若，，，则_________； ②若，证明：． （2）如图2，在中，，，是，边上的动点，且，在，运动的过程中，始终满足．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $