精品解析：河南长葛市第三实验高级中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试卷

2025-2026学年（下）高二数学3月月考试卷 考试范围：选择性必修三；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，的系数等于（ ） A. 45 B. 10 C. D. 3. 给出下列结论：在回归分析中 （1）可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； （2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）可用相关系数 的值判断模型的拟合效果， 越大，模型的拟合效果越好； （4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. 以上结论中，不正确的是（ ） A. （1）（3） B. （2）（3） C. （1）（4） D. （3）（4） 4. 夏季气温高，因食用生冷或变质食物导致的肠道感染类疾病是夏季多发病.某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数 与平均气温(℃)的数据如下表： 平均气温(℃) 22 26 29 32 患肠道感染类疾病的人数 12 25 27 56 有由表中数据算得线性回归方程中的，预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（ ） A. 57 B. 59 C. 61 D. 65 5. 从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（ ） A. 84 B. 120 C. 504 D. 720 6. 在一次试验中，实数， 的取值如下表： 0 1 3 5 6 若 与之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. 243 B. 27 C. 1 D. 二、多选题 9. 为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 经计算得：，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则下列选项正确的为（ ） A. B. C. 可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关” D. 没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关” 10. 在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 常数项为160 B. 含项的系数为60 C. 第4项的二项式系数为15 D. 各项系数的绝对值的和为36 11. 已知 是两个随机事件，若且，则下列选项正确的是（ ） A. 相互独立 B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在的展开式中，项的系数为________. 13. 某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛，开始记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5、0.6、0.8，甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3、0.2、0.1，最后得分大于等于7胜出，则甲胜出的概率为________. 14. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，黑球在第1，2，3箱中分别占，，.已知某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球，则该黑球取于第3箱中的概率为_____. 四、解答题 15. 一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球. （1）求三种颜色的球都被摸出的概率； （2）记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望. 16. 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差． 17. 2016年一交警统计了某段路过往车辆的车速大小与发生的交通事故次数，得到如下表所示的数据： 车速 事故次数 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测2017年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下，车速达到时，可能发生的交通事故次数. （参考数据：） [参考公式：] 18. 为研究某品种小西红柿与种植地区的气候条件的关系，研究人员将该品种小西红柿在气候条件相差较大的，两地分别种植，到收获季节，随机抽取两地的该品种小西红柿各100颗进行检测（分为普通果和优质果），得到如下数据（表中数据单位：颗） 普通果 优质果 地区 40 60 地区 20 80 （1）能否有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关？ （2）用样本中各地区优质果的频率代替相应地区每一颗小西红柿为优质果的概率，从地区收获的小西红柿中随机抽取2000颗，记其中优质果的颗数为，求的数学期望和方差． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数 （千人） （1）已知 与具有较强的线性相关关系，求 关于的线性回归方程； （2）假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为 千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）高二数学3月月考试卷 考试范围：选择性必修三；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由散点图的特征，结合相关系数的定义即可得到答案． 【详解】由散点图的趋势可知 ， ， ， ， 又图一的散点图比图三的散点图更为集中，则，所以， 又图二的散点图比图四的散点图更为集中，则，所以， 所以． 故选：D． 2. 的展开式中，的系数等于（ ） A. 45 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项，赋值即可求解. 【详解】的通项为， 令，解得， 故的系数等于. 故选：A 3. 给出下列结论：在回归分析中 （1）可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； （2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）可用相关系数 的值判断模型的拟合效果， 越大，模型的拟合效果越好； （4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. 以上结论中，不正确的是（ ） A. （1）（3） B. （2）（3） C. （1）（4） D. （3）（4） 【答案】B 【解析】 【分析】由越大，模型的拟合效果越好，越大，模型的拟合效果越好，相关系数越大，模型的拟合效果越好，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，作出判断即可. 【详解】用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确； 用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故（2）不正确； 可用相关系数 的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故（3）不正确； 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故（4）正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了相关系数和相关指数的性质，属于中档题. 4. 夏季气温高，因食用生冷或变质食物导致的肠道感染类疾病是夏季多发病.某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数 与平均气温(℃)的数据如下表： 平均气温(℃) 22 26 29 32 患肠道感染类疾病的人数 12 25 27 56 有由表中数据算得线性回归方程中的，预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（ ） A. 57 B. 59 C. 61 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据求出样本中心，利用回归方程过样本中心的回归方程为，代入即可得解. 【详解】 ， ， 中的，即，回归方程过样本中心 ， 即 ，解得 ，所以， 令 ，解得. 故选：C 5. 从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（ ） A. 84 B. 120 C. 504 D. 720 【答案】A 【解析】 【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序. 【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故. 故选：A. 6. 在一次试验中，实数， 的取值如下表： 0 1 3 5 6 若 与之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则实数 的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出， 的平均数，根据回归直线过样本中心点即可求解. 【详解】， ， 线性回归方程过样本中心点，即， 解得. 故选：D 【点睛】本题考查了回归直线过样本中心点，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 7. 某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记取出蓝色球记为,取出的不是粉色球记为 ,利用条件概率求解. 【详解】记取出蓝色球为事件,事件取出的不是粉色球为 , ,, , 则． 故选：D 8. 若，则（ ） A. 243 B. 27 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理知为正数，为负数，然后令可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为， 当为偶数时，为正数；当为奇数时，为负数. 所以. 故选：D. 二、多选题 9. 为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 经计算得：，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则下列选项正确的为（ ） A. B. C. 可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关” D. 没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关” 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用列联表中数据计算判断AB；结合的观测值及临界值表判断CD. 【详解】对于AB，由列联表知，，AB正确； 对于CD，由知，C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 常数项为160 B. 含项的系数为60 C. 第4项的二项式系数为15 D. 各项系数的绝对值的和为36 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知 ，然后由二项式通项公式逐项判断选项A、B、C；设，则，，可判断选项D. 【详解】依题意，只有第4项的二项式系数最大， 根据二项式系数性质，可知 ， 则， 令，得，则，选项A错误； 令，得，则，选项B正确； 令，得，则二项式系数为 ，选项C错误； 设 ，选项D正确. 故选：BD 11. 已知 是两个随机事件，若且，则下列选项正确的是（ ） A. 相互独立 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于C，利用，结合已知条件判断，对于A，由求出，再求出，再利用相互独立事件的定义判断，对于B，由求解判断，对于D，利用条件概率公式求解判断. 【详解】对于C，因为， 又因为， ， 所以，所以C正确 对于A，因为， 所以，所以， 因为，， 所以，所以 不是相互独立事件，所以A错误， 对于B，由选项A可知，所以B正确， 对于D，由选项A可知，， 所以，所以D错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在的展开式中，项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以项的系数为. 故答案为： 13. 某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛，开始记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5、0.6、0.8，甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3、0.2、0.1，最后得分大于等于7胜出，则甲胜出的概率为________. 【答案】0.446 【解析】 【分析】甲要胜出至少得7分，3场比赛要胜2场平1场或3场均胜．由独立事件的概率公式可得． 【详解】两人比赛，一人胜、平、负是互斥事件，因此由题意甲平乙、丙、丁的概率分别是0.2、0.2、0.1， 所以甲胜的概率为． 故答案为：0.446． 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率．解题关键是确定甲胜这个事件是怎样发生的．本题还考查了互斥事件的概率公式． 14. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，黑球在第1，2，3箱中分别占，，.已知某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球，则该黑球取于第3箱中的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率公式进行求解即可. 【详解】设事件为“某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球”，事件 为“黑球取于第3箱中”， 则，， 故. 故答案为： 四、解答题 15. 一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球. （1）求三种颜色的球都被摸出的概率； （2）记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率公式分类求解即可； （2）利用超几何概率公式求解，利用第一问求解，剩下的可用概率和为1，来求解即可得分布列，最后用期望公式求解. 【小问1详解】 从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种， 三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种， 故三种颜色的球都被摸出的概率； 【小问2详解】 由题可知，的取值可能为 且， ， 的分布列为 1 2 3 . 16. 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差． 【答案】（1）； （2）； （3）期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据独立重复试验的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意得到随机变量，利用期望和方差的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是， 所以这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率. （2）由题意，这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是， 可得在6场比赛中恰好胜了3场的概率. （3）由题意，随机变量服从二项分别，即， 所以这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望为， 方差为. 17. 2016年一交警统计了某段路过往车辆的车速大小与发生的交通事故次数，得到如下表所示的数据： 车速 事故次数 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测2017年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下，车速达到时，可能发生的交通事故次数. （参考数据：） [参考公式：] 【答案】（1）见解析； （2）； （3）次. 【解析】 【分析】（1）由概率表中数据画出散点图；（2）求出，结合所给数据可代入公式可求，从而得到关于的线性回归方程；（3）将代入线性回归方程.即可预测2017年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下，车速达到时，可能发生的交通事故次数. 【小问1详解】 散点图如图所示， 【小问2详解】 由已知可得， 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为， ， 因此，所求的线性回归方程为. 【小问3详解】 由线性回归方程，知当时，. 所以在年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下， 车速达到时，可能发生的交通事故次数为次. 18. 为研究某品种小西红柿与种植地区的气候条件的关系，研究人员将该品种小西红柿在气候条件相差较大的， 两地分别种植，到收获季节，随机抽取两地的该品种小西红柿各100颗进行检测（分为普通果和优质果），得到如下数据（表中数据单位：颗） 普通果 优质果 地区 40 60 地区 20 80 （1）能否有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关？ （2）用样本中各地区优质果的频率代替相应地区每一颗小西红柿为优质果的概率，从 地区收获的小西红柿中随机抽取2000颗，记其中优质果的颗数为，求的数学期望和方差． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关； （2）的数学期望为，的方差为 【解析】 【分析】（1）依据数据代入，求出后参考临界值表； （2）由题意可得，利用二项分布的期望公式和方差公式即可求解 【小问1详解】 因为，且， 所以有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关； 【小问2详解】 从表中可得到 地区小西红柿的优质率为， 由题意可知满足二项分布，故， 故的数学期望为， 的方差 19. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数 （千人） （1）已知 与具有较强的线性相关关系，求 关于的线性回归方程； （2）假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为 千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：，. 【答案】（1） （2）（i）5028万元（ii） 【解析】 【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程； （2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可； （ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围. 【小问1详解】 由题意得，， 又， ， ， ， 所以， 故得y关于x的线性回归方程为； 【小问2详解】 （i）将x=120代入， 估计该省要发放补贴的总金额为（万元）； （ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为 、 、， ， ， ， ， ，可得， 又因为，可得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $