第二十八章 锐角三角函数 单元培优练习题2025--2026学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 单元培优练习题 班级： ________姓名：________得分：___________ 一．选择题（每题4分，共40分） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 2．若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．如图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若∠ACB＝90°，∠ABC＝α，当h1＝h2＝h时，AB可表示为（　　） A．hsinα B． C．htanα D． 4．如图是一个港湾，港湾两岸有A，B两个码头，OA＝2千米，OB＝1千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸的D处装货，再停靠OA岸的C处装货，最后到达码头B．小明根据所学的知识，合理安排两岸的装货地点，发现使货船行驶的水路最短距离为，那么这个港湾两岸的夹角∠AOB的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．如图，在△ABC中，，BC＝3，，则∠C的度数为（　　） A．60° B．50° C．45° D．30° 6．如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝2，则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣3，6） C．（，） D．（，） 7．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 8．如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.8米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝2米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为α，当tanα时，此时悬托架AE的长度为（　　） A．0.3米 B．0.4米 C．0.5米 D．0.8米 9．如图，在3×1的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点O，则tan∠AOD的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 10．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角∠ABC＝α，夏至时正午阳光入射角∠ADC＝β．已知“表”高AC＝hcm，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离BD为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每题4分，共24分） 11．计算：　 　 ． 12．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则cos∠ABC的值为 　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，棱长为1的立方体展开图有两边分别在AC、BC上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为 　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，1＜AC＜5，tan∠ABC＝2．分别以点C，A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接BD，则BD的最大值为　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，tanB，E，D分别为AB，AC边上的点，且∠B＝2∠AED，BE＝AD，则AD的长为 　 　 ． 16．在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，若tan∠BAC，则的值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题,共56分） 17．求下列各式的值： （1）； （2）． 18．某校九年级学生到教育实践基地开展实践活动．当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了900米，到达菜园B处采摘蔬菜，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了600米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 19．如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔AB和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面BO上的G点，构造模型如图2．通过测量得到BC＝8米，DG＝3米，并测得光线与水平面夹角为37°． （1）求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度； （2）求出高压线塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 20．【项目学习】 项目背景：铁岭柴河大桥是当地重点民生工程，作为进出市区的重要通道，其门式景观索塔造型美观，成为城市地标，数学综合实践小组围绕“景物的测量与计算”开展实践活动． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量柴河大桥立柱（索塔）在水面以上的高度 活动内容 利用解直角三角形的知识进行测量与计算 活动过程 实景图与测量示意图 测量示意图说明 点A、B为桥面观测点，点C为立柱与桥面的交点，点N为立柱与水面的交点，点M为立柱顶端；A、B、C、M、N在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于立柱． 数 据 测 量 ①在观测点A处测得立柱顶端M的仰角为30°、立柱与水面交点N的俯角为12°； ②向立柱方向行走40米到达观测点B处，测得立柱顶端M的仰角为60°． ③桥的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 参考数据 请根据上述数据，解答下列问题： （1）求大桥立柱在桥面以上的高度MC（结果精确到0.1米）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度MN（结果精确到1米）． 21．（1）【实践探究】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，求的值．小南构造了包含的直角三角形：延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD．可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小南的思路求的值． （2）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，求tan2∠A的值． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD． （1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值； （2）如果AD＝3，求的值； （3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B C A B C B B 二．填空题 11．2． 12．． 13．． 14．． 15．． 16．． 三．解答题 17．解：（1）原式1+1+4 ＝4； （2）原式 3 4． 18．解：作DE⊥AB，作CF⊥ED的延长线于点F， 由题知，AB＝900m，CD＝600m，∠DCF＝37°，∠A＝65°，∠B＝90°， 可得四边形BCFE为矩形， ∴BC＝EF，BE＝CF， ∵，， ∴DF＝360m，CF＝480m， ∴BE＝480m， ∴AE＝AB﹣BE＝900﹣480＝420（m）， ∴DE＝AE•tan65°＝420×2.14＝898.8（m）， ∴BC＝EF＝DF+DE＝360+898.8＝1258.8≈1259（m）． 答：菜园与果园之间的距离为1259m． 19．解：（1）连接OF， 设半圆O的半径OF＝OE＝OC＝OD＝r， ∵FG是半圆O的切线， ∴OF⊥FG， 在Rt△OFG中，∠OGF＝37°，OF＝r，OG＝r+3 ∴OF＝OG•sin37°，即r＝sin37°（r+3）， 解得r≈4.5． 故半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度即为半径的长度为4.5m． （2）连接OE，过点E作EH⊥AB于点H． 由题意可得：OE⊥CD， ∵∠ABO＝90°，∠BHE＝90°（EH⊥AB），∠EOB＝90°， ∴四边形BHEO是矩形． ∴BH＝EO，EH＝OB＝BC+CO． 在Rt△AEH中，∠AEH＝37°． ∴AH＝EH•tan37°＝（BC+CO）tan37°≈（8+4.5）×0.75＝9.375（米）． ∴AB＝AH+BH≈9.375+4.5＝13.875≈13.9（米）． 答：高压线塔AB的高度约为13.9米． 20．解：（1）∵∠BAM＝30°，∠MBC＝60°， ∴∠BMA＝∠MBC﹣∠BAM＝30°， ∴∠BAM＝∠BMA， ∴MB＝AB＝40m， ∵AC⊥MN， ∴∠MCA＝90°， ∵在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，MB＝40m， ∴， 答：大桥立柱在桥面以上的高度MC约为34.6米． （2）∵在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，MB＝40m， ∴， ∴AC＝BC+AB＝60（m）， ∵AC⊥MN， ∴∠NCA＝90°， ∵在Rt△ACN中，∠CAN＝12°，AC＝60m，tan12°≈0.21， ∴CN＝AC•tan∠CAN≈60×0.21＝12.6（m）， ∴MN＝CM+CN＝34.6+12.6＝47.2≈47（m）． 答：大桥立柱在水面以上的高度MN约为47米． 21．解：（1）在Rt△ABC中， 因为AC＝12，BC＝5， 所以AB， 则AD＝AB＝13， 所以CD＝AD+AC＝13+12＝25． 因为∠D＝∠ABD，∠BAC＝∠D+∠ABD， 所以∠D∠BAC． 在Rt△BCD中， tanD， 所以tan∠BAC； （2）在AC上取一点D，连接DB，使得AD＝DB，如图所示， 则∠A＝∠ABD， 所以∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A， 在Rt△ABC中， tanA， 则， 所以BC＝1． 设AD＝DB＝x， 则CD＝AC﹣AD＝3﹣x． 由BD2＝BC2+CD2得， x2＝12+（3﹣x）2， 解得x， 所以CD＝3． 在Rt△BCD中， tan∠BDC， 所以tan2∠A． 22．解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，如图， ∵AB＝AC＝10， ∴BG＝GC， ∵sinB，sinB， ∴AG＝6． ∴BG8． ∴CG＝BG＝8． ∵AG⊥BC，DH⊥BC， ∴AG∥DH， ∵D是AB的中点， ∴DH是△ABG的中位线， ∴DH＝HGBG＝4，DHAG＝3， ∴CH＝CG+GH＝12． 在Rt△CDH中， tan∠BCD； （2）∵∠ECF＝∠ACD， ∴∠ACB＝∠DCF． ∵∠B＝∠CDE， ∴△ABC∽△FCD， ∴∠BAC＝∠F． ∵AB＝AC， ∴FD＝FC． ∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE， ∴△ACD∽△FCE， ∴． ∵AB＝10，AD＝3， ∴， ∵DE+EF＝FC， ∴； （3）如果△BDE是等腰三角形， ①当BD＝DE时， 则∠B＝∠DEB． ∵∠CDE＝∠B， ∴∠CDE＝∠DEB， ∴CD∥BC，这与已知条件不符， ∴此种情况不存在； ②当ED＝BE时， 则∠B＝∠EDB， ∵∠CDE＝∠B， ∴∠CDB＝2∠B， ∴∠CDA＝180°﹣2∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣2∠B， ∴∠A＝∠CDA， ∵∠A为钝角， ∴此种情况不存在； ③当BD＝BE时， 过点E作EK⊥AB于点K，如图， 由题意得：sinB， ∴， ∴EKBEBD， ∴BKBD， ∴DKBD． ∴DEBD． ∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD， ∴△CDE∽△CBD， ∴， ∴， ∴CD． 由（1）知：△ABC∽△FCD， ∴， ∴． ∴CF＝2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/1 22:43:29；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $