第二十八章 锐角三角函数 单元测试2024-2025学年人教版九年级数学下册

人教版九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试 一、选择题 1.在中，，若三角形各边同时扩大至原来的倍，则的值（   ） A.不变 B.扩大至倍 C.缩小为原来的 D.无法确定 2.如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（    ）                A. B. C. D. 3.位于松花江上的临江门大桥是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥，其示意图如图．为测量桥塔的高，在桥下地面上点处测得桥塔最高点的仰角，然后沿方向移动米到达点处（点、、在同一水平线上），并测出点的仰角，设桥塔的高为米，则下列关系式正确的是（    ）             A. B. C. D. 4.李红同学遇到了这样一道题：3tan (α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(　　) A.40° B.30° C.20° D.10° 5.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 6. 已知，锐角的度数是（　　） A. B. C. D.以上度数都不对 7.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（　　） A. B. C. D. 8.若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 9.如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为（　　）                 A.（50+152）米 B.（52+150）米 C.（50+150）米 D.（52+152）米 10.如图，在中，是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为（　　） A. B. C. D. 11.如图，四边形，，，则为（    ）    A. B. C. D.1 12.如图，在中，，，，为上任意一点，为的中点，连接，在上且，连结，则的最小值为　　 A. B. C. D.3 二、填空题 13.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为____________海里(结果保留根号)． 14.计算tan60°﹣sin60°+cos245°＝     ． 15.如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为，则这座金字塔原来的高为            （用含的式子表示）．             16.如图，圆锥的母线长为11 cm，侧面积为55π cm2，设圆锥的母线与高的夹角为α，则cosα的值为________． 17.如图，在中，，，，，连接，则长的最大值为 　　． 三、解答题 18.如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值． 19.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosA，tan A的值． 20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值． 21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，sin∠CAD＝，求sinB的值． 22.小颖站在自家阳台的A处用测角仪观察对面的商场，如图，在A处测得商场楼顶B点的俯角为45°，商场楼底C点的俯角为60°，若商场高17.6米，小颖家所在楼房每层楼的平均高度为3米，则小颖家住在几楼？小颖家与商场相距多少米？(结果保留整数，参考数据：3≈1.732，2≈1.414) 人教版九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.在中，，若三角形各边同时扩大至原来的倍，则的值（   ） A.不变 B.扩大至倍 C.缩小为原来的 D.无法确定 【答案】A 【解析】 解：如图，            设，，，则扩大后三边长是，，， ∵， ∴扩大后， 故选：． 2.如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（    ）                A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：过点A作，由题意，得： 120m，，           ∴， ∴； 即：楼高为； 故选A． 3.位于松花江上的临江门大桥是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥，其示意图如图．为测量桥塔的高，在桥下地面上点处测得桥塔最高点的仰角，然后沿方向移动米到达点处（点、、在同一水平线上），并测出点的仰角，设桥塔的高为米，则下列关系式正确的是（    ）             A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：依题意，，， 设桥塔的高为米， ∴， ∴，， 故选：A． 4.李红同学遇到了这样一道题：3tan (α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(　　) A.40° B.30° C.20° D.10° 【答案】D 【解析】∵3tan (α＋20°)＝1，∴tan(α＋20°)＝，∵α为锐角，∴α＋20°＝30°，α＝10°.故选D. 5.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 【答案】B 【解析】 解：∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且 ∴△ABC是钝角三角形. 故选B. 6. 已知，锐角的度数是（　　） A. B. C. D.以上度数都不对 【答案】B 【解析】 解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 7.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵为直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 8.若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 解：∵|sinα-|+（-tan β）2=0， ∴sinα-=0， -tan β=0， ∴sinα=，tanβ=， 又∵α，β都是锐角， ∴α=60°，β=60°， ∴此三角形的形状是等边三角形． 故选C． 9.如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为（　　）                 A.（50+152）米 B.（52+150）米 C.（50+150）米 D.（52+152）米 【答案】A 【解析】 解：在中，        ∴AM=EM， 设EM=x米， 在中， ∵AN=100， 解得： ∵AD=2， 故选A. 10.如图，在中，是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接， 切于点， ， ，， ， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， 的余弦值为， 故选：B． 11.如图，四边形，，，则为（    ）    A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】解：连接，如图所示：   ，点A、B、C、D共圆，且为直径， ， 又， ， ， 故选B． 12.如图，在中，，，，为上任意一点，为的中点，连接，在上且，连结，则的最小值为　　 A. B. C. D.3 【答案】C 【解析】取的中点，连接，，为的中点，，，，，，，，，当、、三点共线的时，的值最小，． 故选C． 二、填空题 13.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为____________海里(结果保留根号)． 【答案】40＋40 【解析】在Rt△APC中，∵AP＝40，∠APC＝45°，∴AC＝PC＝40.在Rt△BPC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC·tan60°＝40×＝40.∴AB＝AC＋BC＝40＋40(海里)． 14.计算tan60°﹣sin60°+cos245°＝     ． 【答案】 【解析】解：原式＝﹣＝． 故答案为：． 15.如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为，则这座金字塔原来的高为            （用含的式子表示）．             【答案】 【解析】 解：如图，        ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 16.如图，圆锥的母线长为11 cm，侧面积为55π cm2，设圆锥的母线与高的夹角为α，则cosα的值为________． 【答案】 【解析】设圆锥底面半径长为r cm，由题意母线长l＝11cm，由圆锥的侧面积公式，得πrl＝55π.r＝5.由勾股定理，得高为＝4，cosα＝. 17.如图，在中，，，，，连接，则长的最大值为 　　． 【答案】 【解析】如图，在的下方作，使得，，连接，则， ，，，，，，，，，，，，的最大值为，故答案为：． 三、解答题 18.如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值． 【答案】解　过P作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，∵P点坐标为(3,4)，∴OA＝PB＝3，OB＝AP＝4，∴tanα＝＝，tanβ＝＝. 【解析】 19.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosA，tan A的值． 【答案】解　∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝. 【解析】 20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值． 【答案】解　过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5，∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3，∴tan∠BPC＝tan ∠BAE＝＝. 【解析】 21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，sin∠CAD＝，求sinB的值． 【答案】解　∵AD＝BC＝5，sin∠CAD=＝，∴CD＝3，在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4，在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝. 【解析】 22.小颖站在自家阳台的A处用测角仪观察对面的商场，如图，在A处测得商场楼顶B点的俯角为45°，商场楼底C点的俯角为60°，若商场高17.6米，小颖家所在楼房每层楼的平均高度为3米，则小颖家住在几楼？小颖家与商场相距多少米？(结果保留整数，参考数据：3≈1.732，2≈1.414) 【答案】解　过点A作AO⊥BC交CB的延长线于点O，设OA的长为x米，则∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝x，∴OC＝x＋17.6，∵＝tan60°，解得x＝8.8(＋1)≈24，∴（17.6+24）÷3≈14，∴小颖家住在15层，小颖家与商场相距约24米． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$