精品解析：2026 年黑龙江省龙东地区初中学业水平调研测试数学试卷

2026年龙东地区初中学业水平调研测试数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从上面看到的形状图为（ ） A.     B.     C.     D.     3. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在主题为“我和我的祖国”的演讲比赛中，参加决赛的6名选手成绩（单位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，这6名选手成绩的众数和中位数分别是（　　） A. 8.8分，8.9分 B. 8.8分，8.8分 C. 9.5分，8.9分 D. 9.5分，8.8分 5. 2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 为弘扬法治精神，提升中学生法律素养。某中学在“宪法宣传周”期间举办了全校性的普法知识竞赛．学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的《中华人民共和国宪法》精装读本与法治书签套装，二等奖奖品为单价10元的法治主题笔记本与钢笔套装．专项资金恰好用完，若两种奖品都必须购买，则购买方案有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 8. 如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 9. 如图，在正方形中，连接，将含的三角板放在如图的位置上，，，将三角板绕点B顺时针旋转到的位置，旋转角是一个锐角，并且使，交于点F，求的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形是菱形，，，对角线相交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接交于点，的延长线交于点G，连接，、分别是、边上的动点，且，连接、，与交于点P，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤最小值是．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 2025年9月3日，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年举行了盛大阅兵．阅兵的直播和相关报道获得了广泛关注，央视平台的总点击量达到300亿人次，创下历史新高，300亿用科学记数法可以表示为______． 13. 《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．某中学打算从这三部名著中选择两部作为校本课程的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率为______． 14. 如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 15. 若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 16. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连结OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数为_____． 17. 手工课上，可可要用一个底面直径为6，高为4的实心圆柱体，制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为______． 18. 如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 19. 如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______． 20. 为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是充电站的平面示意图，矩形是第一个停车位，矩形是第二个停车位……，所有车位长，宽相同，按图示并列划定．若，点坐标为，点坐标为，则的坐标为______． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）中线段所扫过的面积． 23. 如图，二次函数的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点逆时针旋转与抛物线交于点，当时，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 某直播电商平台推出“商品口碑分级”机制，对直播间在售的日用商品进行用户评价回溯评级，结果分为优质、良好、合格、待改进四个等级．平台运营团队随机抽取若干用户对商品的评级结果作为样本进行数据分析，并绘制出两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次用户评级的人数为______人，扇形统计图中“待改进”对应的圆心角度数为______； （2）等级为“良好”的用户人数为______人，并补全条形统计图； （3）若该平台本次参与口碑评级的用户有1800人，请根据调查结果求出评级为“优质”和“合格”的用户人数各有多少人？ 25. 已知A、B两地相距，一位外卖配送员甲骑电动自行车从A地出发往返于两地，另一位快件派送员乙同时沿同一条公路从B地前往A地，甲途经换电站时停留2分钟给车换电，随后按原速骑行至B地，到达B地后，甲立即沿原路原速返回A地；甲、乙两人距A地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲的速度为_____米/分，点M的坐标为_____； （2）求甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量取值范围）； （3）请直接写出在甲乙第二次相遇之前，经过多长时间两人相距300米． 26. 已知：四边形是菱形，点分别在边上，，． （1）如图①，时，易证（不需要证明）； （2）如图②，时，线段之间有怎样的数量关系，并加以证明； （3）如图③，时，线段之间有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，不用证明． 27. 城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． （1）求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ （2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴重合，与y轴重合，，D是上一点，且，的长是一元二次方程的两个根（） （1）求线段，，的长； （2）在线段上有一动点P（不与A、B重合），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速运动，到终点B停止，设运动的时间为t秒，过P点作交于E，交于F，求四边形的面积S与时间t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在点P运动的过程中，x轴上是否存在点Q，使以A、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Ｑ的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年龙东地区初中学业水平调研测试数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的意义可知： A、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从上面看到的形状图为（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中，然后即可求解； 【详解】解：从上面看，可得选项B的图形， 故选：B． 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的除法法则计算各选项，再判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 4. 在主题为“我和我的祖国”的演讲比赛中，参加决赛的6名选手成绩（单位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，这6名选手成绩的众数和中位数分别是（　　） A. 8.8分，8.9分 B. 8.8分，8.8分 C. 9.5分，8.9分 D. 9.5分，8.8分 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据众数的定义及中位数的定义求解即可． 【详解】解：由题中的数据可知，8.8出现的次数最多，所以众数为8.8（分）； 从小到大排列：8.5，8.8，8.8，9.0，9.4，9.5， 故可得中位数是＝8.9（分）． 故选：A． 【点睛】此题考查了中位数及众数的定义，属于基础题，注意掌握众数及中位数的定义及求解方法． 5. 2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据原价为每吨3400元，先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得，即. 6. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 7. 为弘扬法治精神，提升中学生法律素养。某中学在“宪法宣传周”期间举办了全校性的普法知识竞赛．学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的《中华人民共和国宪法》精装读本与法治书签套装，二等奖奖品为单价10元的法治主题笔记本与钢笔套装．专项资金恰好用完，若两种奖品都必须购买，则购买方案有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【分析】设一等奖奖品购买x件，二等奖奖品购买y件，根据用240元专项资金为获奖同学购买奖品，列出二元一次方程，再求方程的正整数解即可． 【详解】解：设一等奖奖品购买x件，二等奖奖品购买y件，根据题意得： ， 整理得：， ∵x、y为正整数， ∴，，，，，，， ∴共有7种购买方案． 8. 如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在反比例函数图象上设，由两点间距离公式求出，根据列式得出，从而得出． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴设， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∴ 整理得：， ∴， ∴． 9. 如图，在正方形中，连接，将含的三角板放在如图的位置上，，，将三角板绕点B顺时针旋转到的位置，旋转角是一个锐角，并且使，交于点F，求的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据正方形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据旋转的性质得，接下来解直角三角形求出，最后根据得出答案． 【详解】解：过点B作，交于点G， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 根据旋转的性质得， 在中，，即, 解得． 在中，，即, 解得． 10. 如图，已知四边形是菱形，，，对角线相交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接交于点，的延长线交于点G，连接，、分别是、边上的动点，且，连接、，与交于点P，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤最小值是．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】证出即可得①正确；先证出，再求出的长，然后求出的长即可得②错误；证出即可得③正确；过点作于点，先求出的长，再根据正切的定义计算即可得④正确；先证出点在等边的外接圆上，圆心为的垂直平分线的交点，连接，，求出的长，则可得的长，再根据即可得⑤正确． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴，结论②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，结论③正确； 如图，过点作于点， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，，结论④正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴如图，点共圆，即点在等边的外接圆上，圆心为的垂直平分线的交点， 连接，， ∴， ∴在中，，， ∴，， 又∵，当且仅当点共线时，等号成立， ∴最小值是，结论⑤正确； 综上，结论正确的有①③④⑤． 【点睛】本题的难点在于利用圆内接四边形的性质得出点的运动轨迹． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，解得， 故答案为：． 12. 2025年9月3日，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年举行了盛大阅兵．阅兵的直播和相关报道获得了广泛关注，央视平台的总点击量达到300亿人次，创下历史新高，300亿用科学记数法可以表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法表示为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：300亿， 故300亿用科学记数法可以表示为． 13. 《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．某中学打算从这三部名著中选择两部作为校本课程的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：用A，B，C分别表示《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》三部名著，任意选择两部共有3种等可能的结果，其中满足题意的结果有2种， 故恰好选中《九章算术》的概率为. 14. 如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，进而可得． 【详解】解：绕着点旋转得到， 、， 四边形是平行四边形， 当时，， ， 即， 平行四边形是矩形， 因此，添加的条件可以是． 15. 若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 16. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连结OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数为_____． 【答案】35°． 【解析】 【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，由圆周角定理得出∠E＝70°，再由EF＝EB知∠EFB＝55°，根据∠OFB＝∠OBF＝20°可得答案． 【详解】解：连接FB． ∵∠AOF＝40°， ∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB＝∠FOB＝70° ∵EF＝EB ∴∠EFB＝∠EBF＝55°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF＝20°， ∴∠EFO＝∠EBO， ∴∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°， 故答案为：35°． 【点睛】此题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 17. 手工课上，可可要用一个底面直径为6，高为4的实心圆柱体，制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，圆锥的底面半径为，高为4，再根据求解即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥的底面半径为，高为4， 母线长， 该圆锥的侧面积． 18. 如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F，根据对称性可得，所以，再根据两点之间线段最短可得最小值为，然后过点E作的平行线，交的延长线于点I，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知点E，M，N，F共线时最小，所以最小，即． 过点E作的平行线，交的延长线于点I， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得， 所以最小值是． 19. 如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先在中，由已知角度和边长求出及，再依据翻折性质得到等关键等量关系；随后分两种情况，利用平行线性质、等腰三角形判定及解直角三角形的知识，分别推导出两种情况下的长度，最终综合得的长为或． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵为的中点， ∴ 由翻折性质得： 分两种情况讨论： 当时 ∵，内错角相等得， 结合翻折性质， ∴，由等腰三角形等角对等边得， 当时，延长交于点， ∵， ∴， 由翻折得， ∴在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 综上，的长为或． 20. 为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是充电站的平面示意图，矩形是第一个停车位，矩形是第二个停车位……，所有车位长，宽相同，按图示并列划定．若，点坐标为，点坐标为，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，，再求出车库的宽度，求出，可求出的纵坐标，求出，可求出的横坐标，即可解决问题． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴, ∴， ∴, 同理可得：，， ∴，, ∴的坐标为． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a值，然后把a值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）中线段所扫过的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据格点先分别找出点A、B、C关于x轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据格点先分别找出点A、C绕点逆时针旋转后的对应点，再顺次连接即可； （3）先利用勾股定理求出BC的值，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 如图， 由题意，得， 线段所扫过的面积为 【点睛】本题考查的知识点是画已知图形的旋转图形及对称图形、求扇形的面积，掌握旋转图形及对称图形的特征是解此题的关键． 23. 如图，二次函数的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点逆时针旋转与抛物线交于点，当时，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在点Q使，此时点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据全等三角形的性质，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过，，三点， ∴， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴, ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； 如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 24. 某直播电商平台推出“商品口碑分级”机制，对直播间在售的日用商品进行用户评价回溯评级，结果分为优质、良好、合格、待改进四个等级．平台运营团队随机抽取若干用户对商品的评级结果作为样本进行数据分析，并绘制出两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次用户评级的人数为______人，扇形统计图中“待改进”对应的圆心角度数为______； （2）等级为“良好”的用户人数为______人，并补全条形统计图； （3）若该平台本次参与口碑评级的用户有1800人，请根据调查结果求出评级为“优质”和“合格”的用户人数各有多少人？ 【答案】（1） （2）150人，补全统计图见解析 （3）900人 【解析】 【分析】（1）用结果为“优质”的人数除以其所占的百分比得出总数，再用“待改进”所占的百分比乘以得出答案； （2）用抽取的总人数乘以“良好”所占的百分比得出答案，再补全统计图即可； （3）用总人数乘以“优质”和“合格”所占的百分比之和可得答案． 【小问1详解】 解：，， 所以参与本次用户评级的人数是500人，扇形统计图中“待改进”对应的圆心角度数是； 【小问2详解】 解：，补全统计图如下： 【小问3详解】 解：（人） 所以，评级为“优质”和“合格”的用户人数有900人． 25. 已知A、B两地相距，一位外卖配送员甲骑电动自行车从A地出发往返于两地，另一位快件派送员乙同时沿同一条公路从B地前往A地，甲途经换电站时停留2分钟给车换电，随后按原速骑行至B地，到达B地后，甲立即沿原路原速返回A地；甲、乙两人距A地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲的速度为_____米/分，点M的坐标为_____； （2）求甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量取值范围）； （3）请直接写出在甲乙第二次相遇之前，经过多长时间两人相距300米． 【答案】（1）400； （2） （3）时间为分、7分或分 【解析】 【分析】（1）利用路程÷时间可得出甲的速度；由甲骑行5分钟的路程，进而可得出点Ｍ的坐标； （2）设甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式为．代入和，建立方程组求解即可； （3）分，，和，根据题意可得出方程，求解方程即可． 【小问1详解】 解：甲从A地出发，到换电站停留2分钟，图中显示甲在7分钟时离开换电站，实际骑行时间为分钟， 甲从B地返回A地用了分钟，路程为2400米， 所以甲的速度为（米/分） 甲骑行5分钟的路程为米， 所以点M的坐标为； 【小问2详解】 解：换电站对应的时间为7分钟，此时甲的路程为2000米， 甲到达B地的时间为分钟，对应坐标为， 设函数关系式为， 代入和得； 解得， 所以，函数关系式为： 【小问3详解】 解：乙的速度为米/分， 设乙的行驶的时间与路程的函数关系式为， 把，代入得：， 解得， 所以，函数关系式为； 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得：或（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得： 综上，时间为分、7分或分． 26. 已知：四边形是菱形，点分别在边上，，． （1）如图①，时，易证（不需要证明）； （2）如图②，时，线段之间有怎样的数量关系，并加以证明； （3）如图③，时，线段之间有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，不用证明． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于N，过点F作直线于H，由“”可证，可得，，可证垂直平分，由直角三角形的性质可求，即可求解． （2）连接，交于N，过点F作直线于H，由“”可证，可得，，可证垂直平分，由直角三角形的性质可求，即可求解． （3）由“”可证，可得，，由直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 证明：连接，交于N，过点F作直线于H， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接，交于N，过点F作直线于H，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． （1）求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ （2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； （2）共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； （3）购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 【解析】 【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解． 【小问1详解】 解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元， 则，解得：， 答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； 【小问2详解】 解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株， 由题意得：， ， 为正整数， 的可能取值为、、、、， 共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； 【小问3详解】 解：设小区年遮阴总面积为s平方米， 则， ， 随的增大而增大， 由（2）可知，的最大取值为，此时 购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴重合，与y轴重合，，D是上一点，且，的长是一元二次方程的两个根（） （1）求线段，，的长； （2）在线段上有一动点P（不与A、B重合），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速运动，到终点B停止，设运动的时间为t秒，过P点作交于E，交于F，求四边形的面积S与时间t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在点P运动的过程中，x轴上是否存在点Q，使以A、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Ｑ的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4，5，； （2）S四边形DEPF=（0<t<5）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）解出方程，求出OD、DC的长，再根据勾股定理求AD的长； （2）通过AD、BD、AB的长证明△ABD是直角三角形，∠ADB是直角，可证明四边形DEPF是矩形，面积等于，通过相似三角形对应线段成比例，求出PE、PF用t表示的长度，根据面积公式即可求出S与t的关系式； （3）区分AD是菱形的边和是菱形的长两种情况，分别求出t的值，从而求出OQ的长度，即可以确定点Q的坐标． 【小问1详解】 解方程 因式分解得 解得x=1或x=4， ∵，的长是一元二次方程的两个根且， ∴OD=4，DC=1， ∴OC=OD+DC=4+1=5， ∵四边形是矩形，BC=2， ∴AO=BC=2， ∴， 所以线段OD长为4，OC长为5，AD长为； 【小问2详解】 ∵DC=1，BC=2，OC=5，AD=，四边形是矩形， ∴AB=OC=5， ∴， ∴， ∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°， ∵，， ∴四边形DEPF是平行四边形， ∵∠ADB=90°， ∴四边形DEPF是矩形， ∴，，S四边形DEPF=， 根据题意，AP=t，则PB=5-t， ∴，， ∴S四边形DEPF==， ∵点P在AB上，且不与A、B重合， ∴0<t<5， ∴四边形的面积S与时间t的函数关系式为S四边形DEPF=（0<t<5）； 【小问3详解】 根据题意，有AD是对角线和AD是边两种可能， ①若AD是对角线，则四边形APDQ是菱形， ∴， ∴， ∵， 解得； ∴， ∴点Q的坐标为， ②若AD是边，则四边形APQD是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查数形结合，解题关键是对矩形、菱形、勾股定理和相似三角形等相关知识灵活运用． 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