2026年中考数学一轮专项复习 一次函数与反比例函数综合专题

2026年中考数学一次函数与反比例函数综合专题 （包含：与三角形有关、与四边形有关（包含四边形存在性）） 类型一：与三角形有关 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数与坐标轴分别交于点，．若点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标中，反比例函数与一次函数的图象相交于点A和点C，一次函数图象与x轴相交于点B，其中点A的坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求一次函数的解析式； 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当，求的最小值． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点，．已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式，并直接写出的值和点的坐标； (2)连接，，直接写出的面积． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． (1)求一次函数的解析式． (2)求的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，两点，直线交y轴于点． (1)求k，b的值； (2)过点A作轴于点D，已知点D的坐标为，直接写出此时的面积． 9．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，已知点的坐标为． (1)求与的值； (2)点为线段上一动点（可与端点重合），过点作轴交轴于点，连接，求面积的最大值． 11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)连接是轴上一点，且，求点的坐标． 13．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，D是y轴正半轴上一点，过点D作轴，分别交一次函数图象和反比例函数图象于点B，C． (1)求k，m的值； (2)已知，连接，求的面积． 类型二、与四边形有关 14．如图，四边形为矩形，顶点A，D，C的坐标依次为，，，对角线相交于点E，反比例函数的图象经过点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 15．如图，的顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，与对角线交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若点的横坐标为3，求点的坐标． 16．如图，在矩形中，，点是上的一个动点（点不与点，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)当点为的中点时，求该反比例函数的表达式； (2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 17．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q． (1)求反比例函数的表达式． (2)将边上一点E绕点 Q 逆时针旋转，若旋转后的点 恰好落在 的图象上，求点 E 的坐标． 18．如图，平面直角坐标系中有一矩形，顶点、都在坐标轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)若，将矩形竖直向上平移，当反比例函数再次经过矩形的顶点时，求此时点的对应点坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 20．如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 21．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 25．数学课上，潘老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的高线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“垂美三角形”，这条边称为这个三角形的“垂美边”． 概念理解： （1）如图①，已知∠A＝90°，AB＝AC，请证明等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”； 探索运用： （2）已知等腰△ABC是“垂美三角形”，请求出顶角的度数； 能力提升： （3）如图②，在直角坐标系中，点A为x轴正半轴上动点，在反比例函数的图象上是否存在点B，使△OAB是“垂美三角形”，且OA、OB均为“垂美边”，若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图1，在平面直角坐标系中，等腰的斜边OB在x轴上，直线经过等腰的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线也经过A点连接BC． 求k的值； 判断的形状，并求出它的面积． 若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学一次函数与反比例函数综合专题》参考答案 类型一：与三角形有关 1．(1)，； (2)存在，或． 【分析】（1）利用点的坐标求出一次函数的表达式，进而求出点的坐标，再利用点的坐标求出反比例函数的表达式； （2）先求出点和点，设点，则，利用割补法表示出的面积，解方程求出的值． 【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为， 将代入，得， ∴一次函数的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：假设存在，如图，设点的坐标为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 化简，得， ∴， 解得或， ∴假设成立，点的坐标为或． 2．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】（1）解：在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）， ，解得， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数解析式为：． 3．(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 4．(1)， (2) 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到的值；把一次函数与反比例函数的解析式联立，解方程组即可求出点的坐标； （2）过点作，根据垂线段最短，可知当时，的值最小，根据，可知，根据点、的坐标可以求出、、的长度，根据等腰三角形的三线合一定理可知，根据三角形的面积公式可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时，可得：， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 解方程组， 整理可得：， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标为， （2）解：如下图所示，过点作，根据垂线段最短，可知当时，的值最小， ， ， ， 点的坐标 为，点的坐标为， ，，， ， ， ， ， ， ． 5．(1)，， (2)4 【分析】（1）首先将代入求出反比例函数的解析式为；然后将代入求出，然后求出直线的表达式为，进而求解即可； （2）利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 将代入得， ∴ 设直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线的表达式为 ∴当时， ∴； （2）解：的面积． 6．(1)一次函数的解析式为 (2) 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，然后根据B的横坐标求出B的纵坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）先求出C的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点的横坐标为，且点在反比例函数的图象上， 点． 将点，代入， 得 解得 一次函数的解析式为． （2）解：在一次函数中，令，则， 点， ． 点， ． 7．(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）根据直线的平移规律设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，求出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴点， 把点代入中， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入中，得， ∴， 由题意知，直线向上平移m个单位长度后的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得， 即， ∴． 8．(1)， (2)12 【分析】（1）把点代入，可求出一次函数的解析式，再把点代入，可求出点B的坐标，即可求解； （2）求出点A的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴一次函数的解析式为， 把点代入得： ， ∴点， 把点代入得：； （2）解：由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵轴于点D，点D的坐标为， ∴点A的横坐标为2， 把代入得：， ∴点，即， ∵点， ∴的面积为． 9．(1)， (2)15 【分析】（1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 10．(1)， (2) 【分析】（1）分别把点B的坐标代入两个解析式，即可求得对应的值； （2）先联立两个解析式，求得点A和点B的横坐标，设点，则，然后根据三角形面积公式，得到面积关于m的表达式，再根据二次函数的性质讨论即可解答． 【详解】（1）解：把点代入一次函数中，得， 解得，则， 把点代入反比例函数中，得，则； （2）解：令，解得或， 即点的横坐标为2，点B的横坐标4， 设点，则， ∴， ∵， ∴当时，取到最大值为， 面积的最大值为． 11．(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． (2)平移的距离为． 【分析】（1）先求解，结合三角形的面积可得，再进一步求解函数解析式即可． （2）先求解，进一步代入解析式判断，设平移后的解析式为，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数， 当，则， ∴， ∵轴，的面积是面积的3倍． ∴， ∴，， 把代入，得： ∴，， 解得：， 一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． （2）解：∵点关于原点的对称点是点， ∴， ∵反比例函数的解析式为：． 当时，， ∴在反比例函数的图象上． 设平移后的解析式为， ∴， 解得：， ∴平移的距离为． 12．(1)； (2)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式的参数； （2）求出直线的解析式，然后求出点的坐标，求出的面积，利用面积求出长度，即可得出坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 将点代入，得； （2）解：将点代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； 将代入，得， 点的坐标为， ． ， ， 解得， 点的坐标为或． 13．(1)k，m的值分别为7，2； (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式参数； （2）根据，求出点的横坐标，得出线段的长度，然后根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：把点代入，得， 把点代入，得，解得， ∴k，m的值分别为7，2； （2）解：由（1）知反比例函数的表达式为， 当时，， 解得， ∴； 由（1）知一次函数的表达式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴的面积． 类型二、与四边形有关 14．(1)反比例函数的表达式为 (2)当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离是个单位 【分析】（1）根据矩形的性质求出点B的坐标为，再运用待定系数法求出反比例函数解析式 即可； （2）求出点E的坐标为，令，求出，可求出平移距离． 【详解】（1）解：矩形的顶点A，D，C的坐标依次为，，， 轴，， 点B的坐标为． 反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：点A，C的坐标依次为，， 点E的坐标为， 令，解得， ， 当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离是个单位． 15．(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线的表达式为：，代入点坐标得出的值，根据点的横坐标算出纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为，     点在直线上， ，解得， 直线的表达式为， 点的横坐标为3， 把代入中，得，即点的纵坐标为4， ， 点的纵坐标为4，把代入，得， 点的坐标为． 16．(1) (2)，最大面积为3 【分析】（1）先求得点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得的面积，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 点， 点， 点为的中点， 点， 把点代入，得， 解得， 该函数表达式为； （2）解：设点， 由点在函数图象上，得． 将代入，得， 故点， 以为底，长为；高为点到直线的距离， 的面积， 当时，面积最大，此时，最大面积为3． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质求出点C的坐标，根据中点坐标公式求出点Q的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）连接，，，，，设，则，证明，可得出，，求出，把代入求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的顶点，， ∴，轴， ∴， 又Q是正方形的中心， ∴，即， ∵反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：连接，，，，， 设，则 ∵Q是正方形的中心， ∴，，， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵恰好落在 的图象上， ∴， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，锐角三角函数，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点代入函数表达式即可求解； （2）过点作，垂足为，根据角度相同，对应三角函数相同，求出的长度，结合图形判断，再次经过矩形顶点时，应为点在函数上，由此可得出平移的距离，最终得出点平移后的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：过点作，垂足为，如下图所示： 在中，，， 根据勾股定理可知：， ∴ 根据矩形的性质可知， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即，解得， 将矩形竖直向上平移时， 根据题意可知，只有顶点满足条件， 平移后点对应点为， 当反比例函数经过该点时，， 即向上平移的距离是， 故此时点A的对应点坐标为． 19．(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）设的坐标是，由的面积等于正方形面积的一半，得到，求解，即可求解坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：设的坐标是， ∵的面积等于正方形面积的一半 ， ， ， 的坐标是． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． (1) 设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，由点O 是平行四边形的中心， 得，证明，得进而可求k． (2) 根据点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，分别求得点A 、点 B 的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，， 轴， 轴， ∴由平移知轴， 则 ．                                由平移可知四边形是平行四边形， ∵点O 是平行四边形的中心，      ∵点O 是平行四边形的中心， ，， ， ， ， ．     ∵函数 的图象在第四象限， ， ． （2）解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心， ∴点A 的纵坐标为， ∴ 点 B 的纵坐标为1．     将代入 得， ． 将代入 得， ． 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得 解得 ∴直线的解析式为． 21．(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 22．(1)， (2)M点的坐标为或 (3)Q点坐标为 【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式； （2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点A、B代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ∵直线与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴， ∴O是的中点， ∵的面积为8， ∴的面积， 设， ∴的面积， 当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； 综上所述：M点的坐标为或； （3）解：存在点Q，理由如下： 设，， 当为对角线时，， 解得， ∴； 当为对角线时，，无解； 当为对角线时，， 解得， ∴； 点在反比例函数的图象的右支上， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 23．(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴ ， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 24．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，根据图象写出不等式的解集，求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）由（1）可得，，再结合函数图象即可得解； （3）连接，交于点M，首先利用平行四边形的性质求得中点M的坐标为，进而推导出P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点A的坐标为， ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可得，， 根据图象可知，时，的取值范围为或； （3）解：如图，连接，交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴点是线段、的中点， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为． 25．（1）见解析；（2）顶角为30°或90°或150°；（3）存在，B的坐标为（，1）或（﹣，﹣1）． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，由题意得：AB＝AC，则AD＝BD＝CD，即AD＝BC； （2）分当底边上的高等于底边的一半和腰上的高等于腰的一半两种情况，分别求解即可； （3）由题意得：BF＝OA，AE＝OB，S△OAB═OA×BF＝OB×AE，即：OA2＝OB2，则OA＝OB，故△OAB为等腰三角形，即可求解． 【详解】解：（1）如图1所示，过点A作AD⊥BC， 由题意得：∵AB＝AC，∴AD＝BD＝CD， ∴AD＝BC， ∴等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”； （2）①当底边上的高等于底边的一半时，如下图2所示， AB＝AC，过点A作AH⊥BC， 则AH＝BC＝BH＝HC， 则∠B＝∠BAH＝∠CAH＝∠C＝α， ∵∠B+∠BAH+∠CAH+∠C＝4α＝180°， ∴α＝45°， ∴顶角BAC＝90°； ②当腰上的高等于腰的一半时， 当等腰三角形ABC是锐角三角形时， 过点C作CF⊥AB， 设CF＝AB＝AC，∴∠A＝30°； 当△ABC为钝角三角形时， 同理可得：∠BAC＝150°； 故顶角为30°或90°或150°； （3）如图4所示， 在△OAB中，分别过点B作BF⊥OA，过点A作AE⊥OB， 由题意得：当△OAB是“垂美三角形”，且OA、OB均为“垂美边”， 此时BF＝OA，AE＝OB， S△OAB═OA×BF＝OB×AE， 即：OA2＝OB2， ∴OA＝OB，故△OAB为等腰三角形， 由（2）知，顶角O的度数为90°或30°； 在∠O对应下图5的∠AOB， ∠AOB的度数不可能是90°，故∠AOB＝30°， ∵B在双曲线上，∴设点B的坐标为（x，）， 则tan∠AOB＝＝ ， 解得：x＝， 故点B的坐标为（，1）或（﹣，﹣1）． 【点睛】本题考查的是反比例函数阅读型综合运用，涉及到解直角三角形、等腰三角形等知识，此类题目通常按照题设内容和顺序逐次解答，这样难度就不会很大． 26．（1）；（2）是直角三角形，S△ABC=8； （3）在双曲线上存在一点，使得是以点A为直角顶点的等腰三角形. 【分析】（1）过点A分别作轴于M点，轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为，因为点A在直线上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）利用勾股定理逆定理即可判断出三角形ABC是直角三角形，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由“边角边”易证≌，得出，那么是所求的等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果． 【详解】解：如图1， 过点A分别作轴于Q点，轴于N点， 是等腰直角三角形， ， 设点A的坐标为， 点A在直线上， ， 解得， 则点A的坐标为， 双曲线也经过A点， ； 由知，， ， 直线与y轴的交点为C， ， ，， ， 是直角三角形； 则S△ABC=AB·BC=； 如图2， 假设双曲线上存在一点M，使得是等腰直角三角形； ，， 连接AM，BM， 由知，， 反比例函数解析式为， ， 在和中， ， ≌， ， ， 点M的横坐标为4， ； 即：在双曲线上存在一点，使得是以点A为直角顶点的等腰三角形. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $