20.2 勾股定理的逆定理及其应用 期末复习一本通 —— 清单・练・测 全程通关2025-2026学年人教版八年级下册数学

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点1 勾股定理逆定理的简单应用 1．勾股定理逆定理适用范围 以数判形，由三角形三边的长度来判断三角形的形状； 2．勾股定理逆定理应用步骤 （1）首先确定最大边（如）． （2）验证与是否具有相等关系．若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形． 备注：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边． 3．勾股定理逆定理应用形式 （1）已知三角形三边的长度，判断三角形的形状； （2）在图形中寻找与已知两点构成直角三角形的点； （3）在网格中判断直角或直角三角形； （4）求某些不规则图形的面积； 知识点2 勾股定理逆定理的其它实际问题 勾股定理与断树问题、古代问题 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，且， 是等腰直角三角形，且， 故选：B． 3．已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 【答案】A 【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， A、∵ ∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形； B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 4．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 5．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且 又∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： 即的长为 故选：A． 6．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 7．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 8．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【详解】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面__________（填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】不垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，否则不是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理，通过计算电线杆高度和水平距离的平方和与拉线长度的平方是否相等，判断电线杆与地面是否垂直． 【详解】解：∵， ， ∴不满足勾股定理的逆定理， ∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成直角三角形， ∴电线杆与地面不垂直． 故答案为：不垂直． 10．已知的三边长分别为，，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，，， ，， ， 所以是直角三角形，且为直角边，为斜边， 故， 故答案为：． 11．如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合，得，，又因为，故，所以，即可计算出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 则 即， ∴， ∴． 故答案为： 12．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行． 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)需花费2700元 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键． （1）由题意可得，即可证得是直角三角形，进而证得； （2）由勾股定理证得，再由“种植花卉的费用为50元/”即可解出． 【详解】（1）解：． 理由：在中， ，，， ， 即， 是直角三角形， ． （2）由（1）得， 为直角三角形， ，， ， ， （元） 答：需花费2700元． 14．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)锐角三角形 (2)的值为或，理由见详解 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中判断三角形的方法是解决问题的关键． （1）按照阅读材料中的分类及判断方法验证即可得到答案； （2）按照阅读材料中直角三角形的判断方法，分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是， ， 该三角形是锐角三角形； （2）解：的值为或， 理由如下： 一个三角形的三边长分别是，，，分两种情况： 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 综上所述，的值为或． 15．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握勾股数需为正整数且满足勾股定理 ，逐项判断即可. 【详解】解：勾股数定义要求是正整数且满足 ， A选项为分数，非正整数，不符合题意； B选项为小数，非正整数，不符合题意； C选项：，，，不符合题意； D选项：，，，符合题意． 故选D. 2．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和性质，根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一分析各选项能否判定为直角三角形即可． 【详解】解：设，，， ∵，， ∴， ∴由勾股定理逆定理可知是直角三角形， ∴A选项不符合题意． 设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴不是直角三角形， ∴B选项符合题意． ∵， ∴， ∴由勾股定理逆定理可知是直角三角形， ∴C选项不符合题意． ∵，且 ∴ 解得 ∴是直角三角形， ∴D选项不符合题意． 故选：B． 3．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 4．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形， ∴该沙田的面积为（平方里）． 故选A． 5．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ，， ， ， 分两种情况： 如图1， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东， 如图2， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ， 综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西， 故选：A． 7．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 8．如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，掌握折叠前后对应边相等，利用勾股定理列方程求线段长度是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设，在中用勾股定理列方程求出，最后计算阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，，， ， 为直角三角形，且． 设． 由折叠的性质，得，， ． ∵在中，根据勾股定理，得， ， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为____________． 【答案】30 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积，即可求解． 【详解】解：因为，且，，， 所以，，， 解得，，． 因为，， 所以， 因此是以为斜边的直角三角形． 直角边为和，面积． 故答案为：30． 10．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则为_______． 【答案】120或300 【分析】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键． 设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C的位置，即可得到答案． 【详解】解： 如图：设中心点为点O，在中， ， ， 是直角三角形，且 ∴C的位置为：或． 故答案为：120或300 11．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 12．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 【答案】24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：∵，且， ∴ ∴， ∴． 由（1）得是直角三角形，且， ∴． 14．已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)24 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 15．综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 2．下图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，下列判断正确的是（    ） ①“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为； ②“车”、“炮”、“帅”三颗棋子所在格点组成的三角形为直角三角形 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为，故①正确； “炮”、“帅”两棋子所在格点之间的距离为， “车”、“帅”两棋子所在格点之间的距离为， ∵， ∴“车”、“炮”、“帅”三颗棋子所在格点组成的三角形为直角三角形，故②正确； 故选：C． 3．一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（   ） A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据题意，得到，根据汽车从出发到返回共行驶了，得到，勾股定理逆定理，求出为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得：， ∵汽车从出发到返回共行驶了， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵汽车从点出发沿正东方向行驶到达点， ∴的方向是正南或正北方向； 故选D． 4．如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（    ）． A．30 B．130 C．60 D．120 【答案】C 【分析】根据中线，得到，再根据勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，进而得到，再根据三角形中线得到，即可求出的面积． 【详解】解：是边上的中线， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 5．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，． 【详解】解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 8．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为___．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可； 【详解】解：如图，作于， ，，， ， ， 平分，，， ，设， ， ， ， ， ； 故答案为： 10．如图，已知中，，，三角形顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，则，之间的距离是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理等知识，过点A作于，过点B作于，可利用勾股定理的逆定理证明，再证明，得到，由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于，过点B作于． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵直线，，是三条互相平行的直线， ∴，之间的距离是， 故答案为：． 11．如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为______． 【答案】/120度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，勾股定理逆定理，平行线的性质，利用勾股定理证明出是直角三角形是解题关键．由三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，得到，利用勾股定理逆定理，得出，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． 根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到为直角三角形，设，则，再利用勾股定理得到答案． 【详解】解：由题意得： ，两点关于射线对称， ， 为定值，要使周长最小， 即最小， 如图，当点为与射线的交点时，周长最小， ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．图1、图2分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求： (1)在图1中画一个，使为以为斜边的直角三角形且面积是5； (2)在图2中画一个，使为钝角等腰三角形，并且使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理． （1）根据勾股定理及其逆定理，再利用格点的特点找点C即可； （2）根据勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的定义，再利用格点的特点找点C即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，， ∴，， ∴如图1，即为所求；   ； （2）解：∵，且，， ∴， ∴如图2，等腰即为所求． ． 14．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积 ； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则 ，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 15．阅读与思考 定义：如图1，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 请根据阅读信息回答下列问题： (1)如图2，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长； (3)如图3，已知线段，于，若点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边，请你在图3中作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)点，是线段的勾股分割点，理由见解析 (2)的长为或 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据“勾股分割点”的定义判断即可得出结果； （2）设，则，分两种情况：当为最长线段时，由题意可得；当为最长线段时，由题意可得；分别计算即可得出结果； （3）以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所作． 【详解】（1）解：点，是线段的勾股分割点，理由如下： ∵，，， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，是线段的勾股分割点； （2）解：设，则， ∵点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ∴当为最长线段时，由题意可得， ∴， 解得， 当为最长线段时，由题意可得， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或； （3）解：如图，以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所作， ， 由作图可得：， 由线段垂直平分线的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点1 勾股定理逆定理的简单应用 1．勾股定理逆定理适用范围 以数判形，由三角形三边的长度来判断三角形的形状； 2．勾股定理逆定理应用步骤 （1）首先确定最大边（如）． （2）验证与是否具有相等关系．若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形． 备注：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边． 3．勾股定理逆定理应用形式 （1）已知三角形三边的长度，判断三角形的形状； （2）在图形中寻找与已知两点构成直角三角形的点； （3）在网格中判断直角或直角三角形； （4）求某些不规则图形的面积； 知识点2 勾股定理逆定理的其它实际问题 勾股定理与断树问题、古代问题 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 2．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 4．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面__________（填“垂直”或“不垂直”）． 10．已知的三边长分别为，，，则的面积为_______． 11．如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 12．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 14．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由． 15．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由；(2)求池塘两端，之间的距离． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 2．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B．C． D． 4．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 7．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为____________． 10．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则为_______． 11．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 12．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 15．综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 2．下图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，下列判断正确的是（    ） ①“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为； ②“车”、“炮”、“帅”三颗棋子所在格点组成的三角形为直角三角形 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 3．一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（   ） A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北 4．如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（    ）． A．30 B．130 C．60 D．120 5．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 7．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为___．    10．如图，已知中，，，三角形顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，则，之间的距离是_______． 11．如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为______． 12．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．图1、图2分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求： (1)在图1中画一个，使为以为斜边的直角三角形且面积是5； (2)在图2中画一个，使为钝角等腰三角形，并且使． 14．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 15．阅读与思考 定义：如图1，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 请根据阅读信息回答下列问题： (1)如图2，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长； (3)如图3，已知线段，于，若点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边，请你在图3中作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $