专题08探索三角形全等的条件期中复习讲义(16大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题08探索三角形全等的条件期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 吃透4 大判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，牢记SSA 不能判定全等 ✅ 掌握全等性质：对应边相等、对应角相等 ✅ 理解三角形稳定性、尺规作全等三角形的原理 ✅ 能直接 / 间接用 4 种判定证明三角形全等 ✅ 会用全等性质证线段 / 角相等、垂直 / 平行 ✅ 能灵活选判定方法，解决实际测距离、网格角度问题 ✅ 基础判定题秒解，规避 SSA、夹角遗漏等坑 ✅ 中档综合题规范书写推理过程，不丢步骤分 ✅ 压轴题（综合判定、实际应用）拿满拉分 题型01.全等三角形性质与判定辨析 题型02.三角形与四边形稳定性应用 题型03.用SSS判定三角形全等 题型04.用SAS判定三角形全等 题型05.用ASA/AAS判定三角形全等 题型06.全等判定与性质综合 题型07.尺规作图与全等证明结合 题型08.网格背景下全等角度计算 题型09.全等三角形实际应用问题 题型10.全等三角形动点问题 题型11.全等三角形多结论辨析题 题型12.全等与角平分线综合证明 题型13.全等与平行线综合 题型14.全等与线段和差证明 题型15.全等条件开放探究题 题型16.全等结论开放探究题 解答题7题 知识点01.全等三角形基础（核心前提） 1. 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作：△ABC≅△DEF（对应顶点字母写在对应位置） 2. 核心性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等（全等是证明线段 / 角相等的核心工具） 知识点02.五大全等判定定理（期中必考核心） 判定定理 简称 文字表述 几何语言(以△ABC和△DEF) 关键注意点. 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SSS) 唯一无需角的判定，三角形稳定性的原理 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SAS) 必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 ∵​ ∴△ABC≅△DEF(ASA) 夹边是两角的公共边 .角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(AAS) 由 ASA 推导而来，是 ASA 的补充 直角边 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL) 知识点03.关键易错点（逢考必坑，必记） 1..SSA 不能判定全等：两边及其中一边的对角相等，无法保证三角形全等 2.对应关系错误：书写全等时，对应顶点、对应边、对应角必须一一对应，否则推理无效 3.SAS 夹角遗漏：误将 “两边及对角” 当作 SAS，是期中最常见扣分点 4.AAA 不能判定全等：三个角相等只能说明三角形相似，大小不一定相等，无法判定全等 知识点04.解题核心步骤（规范书写模板） 1.找条件：从题目中提取已知的边 / 角相等，或通过公共边、公共角、对顶角、平行线性质等推导隐含条件 2.选判定：根据已知条件，选择最合适的判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS） 3.写过程：按 “条件→结论→判定依据” 的规范格式书写，每一步都要有依据 4.用性质：由全等推出对应边 / 角相等，完成后续证明（如证垂直、平行、线段相等） SSS 三边定，SAS 夹边行，ASA 两角夹，AAS 对边成，SSA 行不通，全等判定要分清！ 题型01.全等三角形性质与判定辨析 【典例】聪明的中国人在很早以前就发明了角尺工具，并灵活广泛地使用这个工具完成各种测量，下面是工人师傅用角尺平分一个任意角的操作：如图所示，在的两边和上分别量取，移动角尺，使角尺两边分别与和相交于点M、N，并且角尺上两侧的刻度相同．此时过角尺顶点C的射线即是的角平分线．上述操作过程依据三角形全等的判定方法是______． 【跟踪专练1】如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是______. 【跟踪专练2】如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【跟踪专练3】如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 题型02.三角形与四边形稳定性应用 【典例】港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【跟踪专练1】下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 题型03.用SSS判定三角形全等 【典例】如图，点在上，，写出一对全等的三角形：______． 【跟踪专练1】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【跟踪专练2】如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°． 【跟踪专练3】如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【跟踪专练4】如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 题型04.用SAS判定三角形全等 【典例】如图，在和中，，根据____（填判定方法的简称）可以知道． 【跟踪专练1】如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为________． 【跟踪专练3】如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练4】在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则______． 题型05.用ASA/AAS判定三角形全等 【典例】如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    【跟踪专练1】如图，，，若，，则的长是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是________________． 【跟踪专练3】如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型06.全等判定与性质综合 【典例】一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是___________． 【跟踪专练1】如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【跟踪专练2】如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 ___________对． 【跟踪专练3】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型07.尺规作图与全等证明结合 【典例】已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【跟踪专练1】根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【跟踪专练3】.如图是5×5的正方形网格，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 题型08.网格背景下全等角度计算 【典例】如图，在的正方形网格中，求______度． 【跟踪专练1】如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【跟踪专练2】在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【跟踪专练3】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 题型09.全等三角形实际应用问题 【典例】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【跟踪专练1】一天课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【跟踪专练3】如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 题型10.全等三角形动点问题 【典例】如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动___________时，与全等． 【跟踪专练1】如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【跟踪专练2】如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【跟踪专练3】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 题型11.全等三角形多结论辨析题. 【典例】下列条件，能判定两个直角三角形全等的是__________（填序号即可）． ① 两个锐角对应相等；② 两条直角边对应相等；③ 斜边和一直角边对应相等；④ 一锐角和斜边对应相等；⑤ 一锐角和一直角边对应相等． 【跟踪专练1】甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件(点、、分别是点A、B、C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③此游戏最多4轮必分胜负． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练2】如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 【跟踪专练3】已知两个三角形满足条件：①两边及其中一条边上的高对应相等；②两边及第三边上的中线对应相等；③两边及第三边上的高对应相等；④两边及其中一条边上的中线对应相等．能判读两个三角形一定全等的有________． 题型12.全等与角平分线综合证明 【典例】如图，在四边形中，对角线平分和．求证：． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1). (2) 【跟踪专练2】.如图，，、分别是、的平分线，试判定线段与是否相等，并说明理由． 【跟踪专练3】如图，B、D在、上，且，．求证： 题型13.全等与平行线综合 【典例】如图，是的边上一点，交于，，，若，则________． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，连接，在射线、上存在两动点、，满足，若，当的值最小时，则_____．（用，表示） 【跟踪专练3】如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则的长为________． 题型14.全等与线段和差证明 【典例】如图，在中，，点分别是上的点，且于，若，连，则的长为___________． 【跟踪专练1】如图，，，，，垂足分别为，，，，则_____________________． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【跟踪专练3】如图，已知和中，，点B、F、C、E在同一条直线上，且，，证明：． 题型15.全等条件开放探究题 【典例】如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，已知，要使，那么可以添加条件_________． 【跟踪专练2】如图，已知，于点E，于点F，给出下列条件：①；②；③；④．其中选择一个就可以判定的是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【跟踪专练3】给出下列四组条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型16.全等结论开放探究题 【典例】学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 【跟踪专练1】如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 【跟踪专练2】如图，在和中，点B，E，C，F在同条一直线上，下列4个条件： ，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为：______，作为结论的条件序号为：______． 【跟踪专练3】如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【解答题】 1．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 2．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 3．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 4．如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为． (1)求证： (2)求小华从点B走到点E的时间． 5．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 6．如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 7．按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08探索三角形全等的条件期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 吃透4 大判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，牢记SSA 不能判定全等 ✅ 掌握全等性质：对应边相等、对应角相等 ✅ 理解三角形稳定性、尺规作全等三角形的原理 ✅ 能直接 / 间接用 4 种判定证明三角形全等 ✅ 会用全等性质证线段 / 角相等、垂直 / 平行 ✅ 能灵活选判定方法，解决实际测距离、网格角度问题 ✅ 基础判定题秒解，规避 SSA、夹角遗漏等坑 ✅ 中档综合题规范书写推理过程，不丢步骤分 ✅ 压轴题（综合判定、实际应用）拿满拉分 题型01.全等三角形性质与判定辨析 题型02.三角形与四边形稳定性应用 题型03.用SSS判定三角形全等 题型04.用SAS判定三角形全等 题型05.用ASA/AAS判定三角形全等 题型06.全等判定与性质综合 题型07.尺规作图与全等证明结合 题型08.网格背景下全等角度计算 题型09.全等三角形实际应用问题 题型10.全等三角形动点问题 题型11.全等三角形多结论辨析题 题型12.全等与角平分线综合证明 题型13.全等与平行线综合 题型14.全等与线段和差证明 题型15.全等条件开放探究题 题型16.全等结论开放探究题 解答题7题 知识点01.全等三角形基础（核心前提） 1. 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作：△ABC≅△DEF（对应顶点字母写在对应位置） 2. 核心性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等（全等是证明线段 / 角相等的核心工具） 知识点02.五大全等判定定理（期中必考核心） 判定定理 简称 文字表述 几何语言(以△ABC和△DEF) 关键注意点. 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SSS) 唯一无需角的判定，三角形稳定性的原理 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SAS) 必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 ∵​ ∴△ABC≅△DEF(ASA) 夹边是两角的公共边 .角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(AAS) 由 ASA 推导而来，是 ASA 的补充 直角边 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL) 知识点03.关键易错点（逢考必坑，必记） 1..SSA 不能判定全等：两边及其中一边的对角相等，无法保证三角形全等 2.对应关系错误：书写全等时，对应顶点、对应边、对应角必须一一对应，否则推理无效 3.SAS 夹角遗漏：误将 “两边及对角” 当作 SAS，是期中最常见扣分点 4.AAA 不能判定全等：三个角相等只能说明三角形相似，大小不一定相等，无法判定全等 知识点04.解题核心步骤（规范书写模板） 1.找条件：从题目中提取已知的边 / 角相等，或通过公共边、公共角、对顶角、平行线性质等推导隐含条件 2.选判定：根据已知条件，选择最合适的判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS） 3.写过程：按 “条件→结论→判定依据” 的规范格式书写，每一步都要有依据 4.用性质：由全等推出对应边 / 角相等，完成后续证明（如证垂直、平行、线段相等） 速记口诀（一眼记住核心） SSS 三边定，SAS 夹边行，ASA 两角夹，AAS 对边成，SSA 行不通，全等判定要分清！ 题型01.全等三角形性质与判定辨析 【典例】聪明的中国人在很早以前就发明了角尺工具，并灵活广泛地使用这个工具完成各种测量，下面是工人师傅用角尺平分一个任意角的操作：如图所示，在的两边和上分别量取，移动角尺，使角尺两边分别与和相交于点M、N，并且角尺上两侧的刻度相同．此时过角尺顶点C的射线即是的角平分线．上述操作过程依据三角形全等的判定方法是______． 【答案】（或边边边） 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：由题意：， ∴， ∴， 故答案为：（或边边边）． 【跟踪专练1】如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是______. 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：；三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：由题意得：，，， 由判定 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02.三角形与四边形稳定性应用 【典例】港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 【跟踪专练1】下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项C中活动门上没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知：选项C中没有利用三角形的稳定性， 故选：C． 【跟踪专练2】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 【跟踪专练3】根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【分析】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【详解】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 题型03.用SSS判定三角形全等 【典例】如图，点在上，，写出一对全等的三角形：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，利用即可得到． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 【跟踪专练2】如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°． 【答案】31 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 【详解】解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：31． 【跟踪专练3】如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 【跟踪专练4】如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型04.用SAS判定三角形全等 【典例】如图，在和中，，根据____（填判定方法的简称）可以知道． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据两边及其夹角相等的两个三角形全等即可得出答案． 【详解】解：根据两边及其夹角相等的两个三角形全等，得出， 依据简称为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． 先根据角平分线性质得到角的关系，再通过全等三角形判定证明全等，进而得出对应角相等，最后利用补角性质求出所求角的度数． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵AD是的角平分线， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的全等判定，关键在熟练掌握各判定定理的条件和方法．依据三角形全等判定的定理（、、、），即可． 【详解】解：，， ，故A不符合题意； ， ， ， ，， ，故B不符合题意； ，， ，故C不符合题意； 根据，，不能使得，故D符合题意； 故选：D． 【跟踪专练4】在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，，，得出，．进而根据得出，，根据得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵于E，于D， ∴，， ∴ 又∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型05.用ASA/AAS判定三角形全等 【典例】如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，，若，，则的长是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是________________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 在与， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型06.全等判定与性质综合 【典例】一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是___________． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形全等的四个判定定理所需要的条件. 根据三角形全等的判定定理进行判断. 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去； 第四块，仅保留了原三角形的部分边，故该块不行； 故答案为③． 【跟踪专练1】如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，关键是掌握：、、、、定理． 根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【详解】解：∵甲图有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等； ∵乙图与三角形有两角及其夹边相等，二者全等． ∵丙图与三角形有两角及一边相等，二者全等． ∴乙与全等（）；丙与全等（）． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 ___________对． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 【跟踪专练3】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，三角形的三边关系等．判断能否唯一画出，需验证各选项是否满足三角形全等的判定条件（如、、、、），或三条线段的长是否符合三角形的三边关系． 【详解】解：A、，，，已知三角形的两边、以及一个角， ∵不是边、的夹角， 故根据三角形的判定定理，无法判定所画三角形与A选项所给条件的三角形全等， 即无法能画出唯一的，A选项不符合题意； B、，，，已知三角形的三个角的度数，没有三角形的边长， 故根据三角形的判定定理，无法判定所画三角形与B选项所给条件的三角形全等， 即无法能画出唯一的，B选项不符合题意； C、∵， 故，，三条线段无法构成三角形，故C选项不符合题意； D、，，，已知三角形的两个角与，以及、的夹边的长， 故根据三角形的判定定理，能判定所画三角形与D选项所给条件的三角形全等， 即能画出唯一的，D选项符合题意． 故选：D． 题型07.尺规作图与全等证明结合 【典例】已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 【跟踪专练1】根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 【跟踪专练3】.如图是5×5的正方形网格，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形． 【详解】 根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点． 故选B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解答本题的关键是按照顺序分析，要做到不重不漏． 题型08.网格背景下全等角度计算 【典例】如图，在的正方形网格中，求______度． 【答案】45 【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【详解】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 【跟踪专练1】如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 【跟踪专练2】在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 题型09.全等三角形实际应用问题 【典例】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【答案】相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：由题意，得，， ． 在和中， ， ． 故答案为：相等． 【跟踪专练1】一天课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意易得，，根据余角的性质得到，进而证得，根据全等三角形的性质得到和，从而得到的长． 【详解】解：每块砖的厚度， ，， 由题意可知，，， ， ， 在和中， ， ，， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】/24厘米 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 【跟踪专练3】如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 通过证明，再通过全等三角形的对应边相等得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴与，之间的距离相等的是， 故选：A． 题型10.全等三角形动点问题 【典例】如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动___________时，与全等． 【答案】7或3/3或7 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，根据与全等，可得，求出，然后计算即可；二是点E从点B出发沿射线方向运动，根据与全等，可得，求出，然后计算即可． 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动，    ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在和中，，，与全等， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，，    ∵与全等， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当点E运动或时，与全等， 故答案为：7或3． 【跟踪专练1】如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【答案】 2a 或3 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间求解； （2）设运动的时间为t秒，根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米，根据全等三角形的判定方法，由于，则当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程组得到a的值． 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：（1）运动2秒时，厘米； 故答案为：2a； （2）设运动的时间为t秒， 根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米， ， 当，时，， 即，， 解得，； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 【跟踪专练3】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题意，分两种情况：当时，与全等，或时，与全等，分别求解即可. 【详解】解：设点运动时间为秒，则，， ， 当时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米/秒）， 当时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 题型11.全等三角形多结论辨析题. 【典例】下列条件，能判定两个直角三角形全等的是__________（填序号即可）． ① 两个锐角对应相等；② 两条直角边对应相等；③ 斜边和一直角边对应相等；④ 一锐角和斜边对应相等；⑤ 一锐角和一直角边对应相等． 【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据每个条件逐一判断是否满足全等条件即可． 【详解】解：①：两个锐角对应相等，缺少边的对应关系，不能判定两个直角三角形全等，故①错误； ②：两条直角边对应相等，且夹角为直角，符合“边角边”定理，能判定两个直角三角形全等，故②正确； ③：斜边和一直角边对应相等，符合“斜边直角边”定理，能判定两个直角三角形全等，故③正确； ④：一锐角和斜边对应相等，又因直角相等，符合“角角边”定理，故④正确； ⑤：一锐角和一直角边对应相等，又因直角相等，符合“角角边”或“角边角”定理，故⑤正确； 故答案为：②③④⑤． 【跟踪专练1】甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件(点、、分别是点A、B、C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③此游戏最多4轮必分胜负． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据游戏规则，分析第三轮甲添加不同条件后的结果，并判断游戏最大轮次，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵第一轮甲添加，第二轮乙添加， ∴若第3轮甲添加，则三边对应相等，，甲失败，乙获胜，故①正确； 若甲添加，则两边及非夹角相等，不能判定全等，当乙添加时，无论添加什么条件后，两个三角形都会全等，所以甲获胜，故②正确； 当两个三角形有四组对应关系相等时，都可以运用其中的一种方法判定全等，故③正确； 综上，①②③正确， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，全等三角形的性质的应用，所以熟悉三角形全等的判定方法并应用，熟悉全等三角形的性质并应用是关键． 先证明与全等，再证明即可得到答案． 【详解】解：， ， 在与 中， ，故①正确， 在与 中， ()，故④正确， ，故③正确． 因为条件不足，无法证明②； 故答案为：①③④． 【跟踪专练3】已知两个三角形满足条件：①两边及其中一条边上的高对应相等；②两边及第三边上的中线对应相等；③两边及第三边上的高对应相等；④两边及其中一条边上的中线对应相等．能判读两个三角形一定全等的有________． 【答案】②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定； 利用全等三角形的判定定理即可确定正确选项； 解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定并灵活运用． 【详解】①如图1， 和中，，，其中一条边上的高， 由图可知，与不全等，故选项错误； ③如图2 和中，，，其中第三边上的高， 由图可知，与不全等，故选项错误； ②④一定是全等三角形， 故答案为②④． 题型12.全等与角平分线综合证明 【典例】如图，在四边形中，对角线平分和．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由平分和，得到，，证明即可得出． 【详解】解：∵平分和， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1). (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，根据进行判定即可； （2）由（1）可得，得到，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明： 在和中， ， ， ． 【跟踪专练2】.如图，，、分别是、的平分线，试判定线段与是否相等，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，关键是推出． 根据角平分线定义和已知求出，根据推出，根据全等三角形的性质推出即可． 【详解】解：，理由如下， ∵、分别是、的平分线， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，B、D在、上，且，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据得到，再根据进行判断即可． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 题型13.全等与平行线综合 【典例】如图，是的边上一点，交于，，，若，则________． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证三角形全等是解题的关键．先证，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：10. 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，连接，在射线、上存在两动点、，满足，若，当的值最小时，则_____．（用，表示） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∴当三点共线时，的值最小， 如图，当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在的延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，只要证明，可得，，推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型14.全等与线段和差证明 【典例】如图，在中，，点分别是上的点，且于，若，连，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作，交延长线于点，，则，证明，则，，然后解求出，由勾股定理求出，再对运用等面积法求出，再对运用勾股定理求出，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，，，，垂足分别为，，，，则_____________________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意找出等量关系证明三角形全等是解题的关键． 由垂直以及直角关系，先证出，结合，，证得，由全等的性质，得出对应线段长度相等，可求出的长度，即为的长度． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，已知和中，，点B、F、C、E在同一条直线上，且，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由可知，结合，，进一步证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴． 题型15.全等条件开放探究题 【典例】如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，已知，要使，那么可以添加条件_________． 【答案】或或平分（任选其一即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 已知，，则只能用或证明，进而作答即可． 【详解】由题意可知，， ∴要使，可用或证明， ∴或或平分， 故答案为：或或平分（任选其一即可） 【跟踪专练2】如图，已知，于点E，于点F，给出下列条件：①；②；③；④．其中选择一个就可以判定的是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：，，，．根据相关判断判定方法逐项判断，即可解题． 【详解】解：于点E，于点F， ， ，， ； 故①可以判定； ， ， ，， ； 故②可以判定； ，，， ； 故③可以判定； ， ，即， ，， ； 故③可以判定； 综上所述，①②③④可以判定； 故选：D． 【跟踪专练3】给出下列四组条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法结合选项进行判定即可． 【详解】解：①，可根据判定； ②，可根据判定； ③，可根据判定； ④，不能判定； ∴能判定的条件有3组， 故选：C． 题型16.全等结论开放探究题 【典例】学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可得到，则可以确定这个条件多余． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴可以去掉的一个已知条件， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 【答案】选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据，可知由①②④，可得出，由全等三角形的对应角相等可得出③，根据，可知由②③④，可得出，由全等三角形的对应边相等可得出①． 【详解】解：选择①②④，得出③， 在和中， ， ∴， ∴， 选择②③④，得出①， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 【跟踪专练2】如图，在和中，点B，E，C，F在同条一直线上，下列4个条件： ，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为：______，作为结论的条件序号为：______． 【答案】 ①②④（答案不唯一）； ③． 【分析】如果联合，利用易证，从而可得． 【详解】解：在和中，点B、E、C、F在同一条直线上， 如果．那么． 证明：∵， 即， 在和中， 故答案是：①②④（答案不唯一）；；③． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握判定两三角形全等的方法：，是直角三角形的还有HL． 【跟踪专练3】如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据题意证得，根据全等三角形的性质可得、，从而可判断①正确；再证明，根据全等三角形的性质可得，从而判断③正确，②错误；由，结合以上结论可判断④正确． 【详解】解：为中线， ， 、， ， 在和中， ， ， 、， 故①正确； 在和中， ， ， 故③正确，符合题意； ， ， ， 故②错误； 、， ， 为中线， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【解答题】 1．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据角的和差求出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴ 2．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 3．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为． (1)求证： (2)求小华从点B走到点E的时间． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）先证明，再根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴小华走的时间是． 5．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）解： 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 6．如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）由可证明 （2）由（1）可得，即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ，，， ∴． （2）证明：如图， 由（1）知， 在和中， ，，， ． 7．按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的基本作图方法是解题的关键． （1）截取，以点C为圆心，a为半径作弧，以A为圆心，c为半径作弧，两弧交点为B； （2）先作，截取，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，即所求． （2）解：如图2，即所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $