专题04两条直线的位置关系期中复习讲义(14大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题04两条直线的位置关系期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 吃透概念，不混淆 1.拿捏同一平面内两直线相交、平行核心位置关系，熟记平行公理 2.秒辨对顶角、邻补角、余角、补角，掌握性质 + 定义双重点 3.吃透垂直定义与表示，牢记垂线性质、点到直线的距离核心概念 熟练应用，不卡壳 1.快速识别各类角，精准计算角度，一步到位不失误 2.会画垂线、能判距离，轻松搞定几何基础作图题 3.活用角的性质 + 垂直特征，解锁几何推理 & 角度求值通关技巧 直击考点，不丢分 1.避开概念混淆、角度漏解、距离误判三大高频坑，基础题稳拿满分 2.秒杀期中常考的概念判断、角度计算、简单作图核心题型 3.灵活运用性质解基础综合题，几何入门轻松冲高分 题型1.平面内两直线位置与相交线 题型2.对顶角定义与性质 题型3.余补角计算及相关运算 题型4.同(等)角余补角性质应用 题型5.垂线定义与作图应用 题型6.点到直线距离与垂线段最短 题型7.线的位置关系与角度计算 题型8.多线相交的角度综合计算 题型9.相交线中分类讨论的多解问题 题型10.相交线动点角度计算问题 解答题6题 知识点01:核心基础：同一平面内两直线的位置关系 ✅ 两种关系：相交（有且只有一个公共点）、平行（无公共点，记作a∥b） ✅ 关键前提：同一平面内（排除异面直线，七年级核心考点） ✅ 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ✅ 公理推论：如果a∥b，b∥c，则a∥c（平行的传递性） 知识点02.相交线核心：对顶角与邻补角 1. 对顶角 定义：相交直线形成的，有公共顶点、两边互为反向延长线的角 性质：对顶角相等（期中角度计算必考依据） 示例：直线 AC、BD 交于 O，∠AOB 与∠COD 是对顶角，∠AOB=∠COD。 2. 邻补角 定义：相交直线形成的，有公共顶点、有一条公共边、另一边互为反向延长线的角 性质：邻补角互补（和为180∘） 易错辨析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角既互补又相邻，互补的角不一定是邻补角 知识点03:角度核心：余角与补角 1. 基本概念 余角：两个角的和为90∘，互余 补角：两个角的和为180∘，互补 关键：互余、互补仅与角度和有关，与角的位置无关 2. 核心性质 同角（或等角）的余角相等； 同角（或等角）的补角相等（角度推理高频考点） 推论：一个角的补角比它的余角大90∘（快速计算技巧） 知识点04:特殊相交：垂直（期中核心重点） 1. 垂直定义 两直线相交成直角（90∘），则互相垂直，记作a⊥b，交点叫垂足 逆定理：若a⊥b，则相交形成的四个角均为90∘（双向判定） 2. 垂线的性质 过一点（直线上 / 直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）； 垂线段最短（核心性质，点到直线距离的依据）。 3. 点到直线的距离 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：是长度，不是垂线段本身） 易错：距离是数量，垂线段是图形，二者不可混淆 知识点05:高频易错点避坑指南❌ 1.忽略 “同一平面内”，误判两直线位置关系； 2.混淆对顶角 / 邻补角、余角 / 补角的判定条件，错用性质； 3.把 “垂线段” 当作 “点到直线的距离”，忽略 “长度” 关键词； 4.角度计算时，漏看邻补角、互余 / 互补的隐含条件。 知识点06:核心解题思路 1.角度计算：找对顶角（相等）、邻补角 / 补角（和180∘）、余角（和90∘），结合性质列等式； 2.几何推理：先标注已知角，再用 “同角的余角 / 补角相等”“对顶角相等” 推导； 3.作图题：画垂线时，标注直角符号，画点到直线的距离时，强调 “垂线段” 并标注长度。 题型01.平面内两直线位置与相交线 【典例】在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，根据初中数学教材中的相关概念判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系． ∴两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，则∠AOE___． 【答案】36° 【分析】根据OA⊥OB，∠FOD＝4∠COB求得∠BOC，∠AOD,再根据OD平分∠AOF，平角的定义求得∠AOE 【详解】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵∠FOD＝4∠COB， ∴设∠BOC＝x°，则∠FOD＝4x°， ∵OD平分∠AOF， ∴∠AOD＝∠FOD＝4x°， ∴x+4x+90°＝180°， 解得：x＝18， ∴∠BOC＝18°， ∴∠FOD＝∠AOD＝18°×4＝72°， ∴∠AOE＝180°-∠FOD -∠AOD =180°﹣72°﹣72°＝36°， 故答案为：36°． 【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，平角的定义，通过设未知数求得∠BOC是解题的关键． 【跟踪专练2】观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是______________； （2）与所在直线不相交，它们_________平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在__________________内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键． （1）根据平行线的定义即可得解； （2）根据平行线的定义即可得解． 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面． 【跟踪专练3】下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型02.对顶角定义与性质 【典例】如图，与相交于点O，把分成两部分，则的对顶角为___________． 【答案】 【分析】根据对顶角定义进行求解即可． 【详解】解：的对顶角为． 【跟踪专练1】如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，直线和相交于点，和互余，若，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质和互余的定义，熟练掌握对顶角相等及互余两角的和为是解题的关键．根据对顶角相等，先求出的度数，再利用互余的定义，用减去的度数即得到的度数． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴′． ∵和互余， ∴−−′′． 故答案为：′． 【跟踪专练3】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，选项不符合题意； B、两个角没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，不符合题意； D、两个角有公共顶点并且任一个角的对应边在各自的反向延长线上，是对顶角，符合题意． 题型03.余补角计算及相关运算 【典例】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有___个． ①；②；③；④ 【答案】3 【分析】本题考查了求一个角的余角，与余角、补角有关的计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据余角和补角的定义，逐项判断每个式子是否等于的余角． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为． ∴是的余角， 故①正确； ， 故②正确； ， 故③错误； ， 故④正确． 故答案为：3． 【跟踪专练1】若与 互为余角，且 ，则 的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据余角的定义，互余的两个角之和为，因此． 【详解】解：∵与 互为余角， ∴， 又∵， ∴． 故选A． 【跟踪专练2】如果一个角的补角比这个角的2倍大，那么这个角的余角为_______． 【答案】/40度 【分析】本题考查了余角和补角的定义，解题的关键是根据题意列出关于这个角的方程，求出这个角的度数后再计算其余角． 设这个角的度数为，根据“补角比这个角的2倍大”列出方程，求出的值，再根据余角的定义计算． 【详解】解：设这个角的度数为． ， ， ， ． 这个角的余角为：． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念，根据定义逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：① ∵ 两个角互余且相等，∴ 互为余角的两个角可能相等，故①错误； ② ∵角的补角为，∴ 补角不一定小于这个角，故②错误； ③ ∵ 同角的补角相等，∴ ③正确； ④ ∵ 互余的两角之和为，每个角必小于，∴ 都是锐角，故④正确； ⑤ 设锐角为，则余角为，补角为， ∵，∴ 余角比补角小，故⑤正确； 综上，正确的有③④⑤，共3个． 故选：B． 【跟踪专练4】如图，已知，且，则图中互为余角的共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中互为余角的共有4对 ． 题型04.同(等)角余补角性质应用 【典例】若，，则_________． 【答案】 【详解】因为， 所以是的余角． 又因为， 所以是的余角． 根据“同角的余角相等”的性质，则． 【跟踪专练1】如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的知识．根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）． 故选：A 【跟踪专练2】如图，在中，，，垂足为D，则的余角是______和______，______，理由是______． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 【跟踪专练3】下列说法：①如果，则与互为补角；②如果，则与互为余角；③如果，，则．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了互补、互余，同角的补角相等，识记互补、互余的定义，同角的补角相等是解答的关键．根据互余互补的概念确定①③的正误；根据同角的补角相等判定②的正误即可． 【详解】解：由，得，则与不互为补角，故①错误； 如果，则与互为余角，故②正确； ③如果，，根据同角的补角相等，则．故③正确． 所以其中正确的有2个, 故选A． 题型05.垂线定义与作图应用 【典例】如图，，，垂足为O，经过点O．则的度数是________． 【答案】/62度 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等．利用垂直得到、对顶角相等的知识，即可求得角的度数． 【详解】解：∵直线、相交于O点， ∴（对顶角相等）， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，直线，交于点，平分，,，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】先求出，，再根据角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，计算即可得到答案． 【详解】解：，， , ， 平分， ， ， , ． 【跟踪专练3】如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据垂直的定义得到直角，再结合已知角度求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了知识点垂直的定义与角的和差计算，解题关键是利用垂直关系确定直角，再通过角的和差进行角度推导． 题型06.点到直线距离与垂线段最短 【典例】如图，计划把池中的水引到处，可过点作，垂足为点，然后沿挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：要把池中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【跟踪专练1】如图，为直线外一点，点到直线上的三点，，的距离分别为，，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离．直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长度，是点到直线上各点的连线段中，长度最小的线段，据此解答即可． 【详解】解：由图可知，长度为，是最小的， 则点到直线的距离不大于可以是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是_____cm.    【答案】5 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案． 【详解】解：∵PB⊥l，PB=5cm， ∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握是解题的关键. 【跟踪专练3】如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 题型07.线的位置关系与角度计算 【典例】如图，，，，则__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂线的性质和角的和差计算，结合图形正确表示角的和差是解题的关键．先由垂直定义求得，再求得，最后根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交于点，垂足为O，若，则的度数是 _____． 【答案】 【分析】根据对顶角相等可得，再根据垂直定义可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，直线、相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（    ） A．20° B．40° C．50° D．70° 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义以及对顶角的性质，角度计算等知识，综合运用以上知识是解题的关键．先求出的度数，再求出的度数，最后根据“对顶角相等”求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，点为直线上一点，平分，于点，若，则_________． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义；设，则，根据题意得出，进而分点在两侧，两种情形结合图形，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 或 故答案为：或． 题型08.多线相交的角度综合计算 【典例】如图所示，已知． （1）若，则__________． （2）若的余角比小，过点作射线，使得，则__________． 【答案】 /22度 或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与余角有关的计算，准确的得到角的和差关系是解题的关键： （1）根据角的数量关系，进行求解即可； （2）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵的余角比小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在的内部时，； 当在的外部时，； 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，已知，，在的内部绕点O任意旋转，若平分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义，设，根据，，分别表示出图中的各个角，然后再计算的值即可． 【详解】如图：∵平分， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ . 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知，，是的3倍，则的度数为____________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的运算，弄清角之间的关系是解题的关键． 先说明，再结合可求得，进而求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断选项A；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可选项B；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断选项C；根据平角的定义以及，即可判断选项D． 【详解】解：， ， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故A选项结论正确，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角至少有3个， 故B选项结论正确，不符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线， 故C选项结论错误，符合题意； ，， ， 故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直的性质、同角的余角相等、对顶角相等、角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键． 【跟踪专练4】如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)若与互为余角，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用对顶角相等即可求解； （2）利用余角的定义求得，再利用平角的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴． 题型09.相交线中分类讨论的多解问题 【典例】如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第________秒时，． 【答案】12或30 【分析】本题考查了垂线的定义，与三角板有关的角度的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据在右边和左边两种情况，画出示意图，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：当在右边时，如图： ，， ∴此时，重合， ， ∴三角板旋转的角度为， （秒）； 当在左边时，如图： ，， ∴此时，与延长线重合， ∴ 三角板旋转的角度为， （秒）； 的值为：12或30． 故答案为：12或30． 【跟踪专练1】如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，，若，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差，当在的左边时，设，，由角的和差得，即可求解；当在的右边时，同理可求；能根据角的边的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，当在的左边时， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当在的右边时， . 同理可得：， ， ， ； 故答案为：或． 【跟踪专练2】定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_______． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角“分余线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，三等分角，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，根据角“分余线”定义，得，即得； （2）根据角平分线定义得，根据，得，当时，得，得，当时，得，得． 【详解】解：（1）∵平分，且为的“分余线”， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵为的平分线，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，绕点任意转动其中一个三角尺，已知，则____________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了余角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等角的余角相等． 首先判断出都是的余角，然后根据等角的余角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型10.相交线动点角度计算问题 【典例】如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为______秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）    【答案】1或13或25 【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 分情况讨论： ①当平分时，    ∵， ∴，即：， ∴， ∴； ②平分时，    则：， ∴， ∴； ③当平分时：    则：， ∴， ∴点旋转的角度为：， ∴； 综上：的值为：1或13或25． 故答案为：1或13或25． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，． 【答案】10或70/70或10 【分析】分两种情况讨论，利用旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图，， ∵，， ∴，， ∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转， ∴(秒)； 如图，， ∵，， ∴，， ∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转， ∴旋转角为， ∴(秒)； 故答案为：10或70． 【点睛】本题考查了垂直的定义、角的和差等知识，解题的关键是理解题意，画出图形，利用垂直的定义求解即可． 【跟踪专练2】如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】A 【分析】本题考查了三角板的角度计算；小明：依据，即可得到；小丽：画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：小明： ， ∴ ， 是定值； 故小明正确． 小丽：当与有重合时，如图， 设，则． ， ∴， ∴， ∴， ， 此时，． 当与无重合时，如图， ∵， ∴， ， 解得：， 即， ∴， 此时， 不垂直于， 故小丽错误． 故选：A． 【跟踪专练3】O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用及即可求得与的数量关系； （2）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； （3）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 【解答题】 1．如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直接解答即可； （2）根据平角的定义可求，根据对顶角的定义可求，根据角的和差关系可求的度数． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，且， ， ， ， ． 2．如图，直线与相交于点，是的平分线，． (1)写出图中两对相等（除直角相等外）的角： 与 ， 与 ． (2)如果． ①那么根据 ，可得 度； ②因为是的平分线，所以 度； ③ 度． 【答案】(1)，，， (2)①对顶角相等，；②，；③ 【分析】（）根据对顶角的性质及余角性质解答即可求解； （）①根据对顶角的性质解答即可求解；②根据角平分线的定义解答即可求解；③根据角的和差关系解答即可求解； 本题考查了对顶角，角平分线的定义，角的和差等，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与是对顶角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，；，； （2）解：①那么根据对顶角相等，可得度， 故答案为：对顶角相等，； ②因为是的平分线，所以度， 故答案为：，； ③∵，， ∴， 故答案为：． 3．如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查画直线，线段和垂线，以及垂线段最短，熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键： （1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短，进行比较，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 4．如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，最短 (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短，点到直线的距离，画垂线段，一元一次方程的应用． （1）利用两点之间距离线段最短，连接交于点，即可求解； （2）根据题意分别画出点到两条公路与的垂线段，然后测量垂线段的长度，即可求解； （3）设甲，乙两工程队需合作天，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图所示，测量得 （3）解：设甲，乙两工程队需合作天，根据题意得， 解得： 答：甲，乙两工程队需合作天 5．如图所示，，平分，点，，在同一条直线上，试说明．请你阅读下面的说理过程，并在括号内填上推理的依据． 理由： 因为是的平分线，点，，在同一条直线上(________)， 所以(___________)． 因为(________)， 所以． 因为(________)， 所以(________)． 【答案】已知，角平分线的定义，已知，平角的定义，等式的性质 【分析】本题考查角平分线的定义、平角的定义及等式的性质，关键是结合已知条件，利用几何定义和等式变形逐步推导角度关系． 【详解】解：因为是的平分线，点，，在同一条直线上(已知)， 所以(角平分线的定义)． 因为(已知)， 所以． 因为(平角的定义)， 所以(等式的性质)． 故答案为：已知，角平分线的定义，已知，平角的定义，等式的性质． 6．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04两条直线的位置关系期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 吃透概念，不混淆 1.拿捏同一平面内两直线相交、平行核心位置关系，熟记平行公理 2.秒辨对顶角、邻补角、余角、补角，掌握性质 + 定义双重点 3.吃透垂直定义与表示，牢记垂线性质、点到直线的距离核心概念 熟练应用，不卡壳 1.快速识别各类角，精准计算角度，一步到位不失误 2.会画垂线、能判距离，轻松搞定几何基础作图题 3.活用角的性质 + 垂直特征，解锁几何推理 & 角度求值通关技巧 直击考点，不丢分 1.避开概念混淆、角度漏解、距离误判三大高频坑，基础题稳拿满分 2.秒杀期中常考的概念判断、角度计算、简单作图核心题型 3.灵活运用性质解基础综合题，几何入门轻松冲高分 题型1.平面内两直线位置与相交线 题型2.对顶角定义与性质 题型3.余补角计算及相关运算 题型4.同(等)角余补角性质应用 题型5.垂线定义与作图应用 题型6.点到直线距离与垂线段最短 题型7.线的位置关系与角度计算 题型8.多线相交的角度综合计算 题型9.相交线中分类讨论的多解问题 题型10.相交线动点角度计算问题 解答题6题 知识点01:核心基础：同一平面内两直线的位置关系 ✅ 两种关系：相交（有且只有一个公共点）、平行（无公共点，记作a∥b） ✅ 关键前提：同一平面内（排除异面直线，七年级核心考点） ✅ 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ✅ 公理推论：如果a∥b，b∥c，则a∥c（平行的传递性） 知识点02.相交线核心：对顶角与邻补角 1. 对顶角 定义：相交直线形成的，有公共顶点、两边互为反向延长线的角 性质：对顶角相等（期中角度计算必考依据） 示例：直线 AC、BD 交于 O，∠AOB 与∠COD 是对顶角，∠AOB=∠COD。 2. 邻补角 定义：相交直线形成的，有公共顶点、有一条公共边、另一边互为反向延长线的角 性质：邻补角互补（和为180∘） 易错辨析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角既互补又相邻，互补的角不一定是邻补角 知识点03:角度核心：余角与补角 1. 基本概念 余角：两个角的和为90∘，互余 补角：两个角的和为180∘，互补 关键：互余、互补仅与角度和有关，与角的位置无关 2. 核心性质 同角（或等角）的余角相等； 同角（或等角）的补角相等（角度推理高频考点） 推论：一个角的补角比它的余角大90∘（快速计算技巧） 知识点04:特殊相交：垂直（期中核心重点） 1. 垂直定义 两直线相交成直角（90∘），则互相垂直，记作a⊥b，交点叫垂足 逆定理：若a⊥b，则相交形成的四个角均为90∘（双向判定） 2. 垂线的性质 过一点（直线上 / 直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）； 垂线段最短（核心性质，点到直线距离的依据）。 3. 点到直线的距离 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：是长度，不是垂线段本身） 易错：距离是数量，垂线段是图形，二者不可混淆 1.忽略 “同一平面内”，误判两直线位置关系； 2.混淆对顶角 / 邻补角、余角 / 补角的判定条件，错用性质； 3.把 “垂线段” 当作 “点到直线的距离”，忽略 “长度” 关键词； 4.角度计算时，漏看邻补角、互余 / 互补的隐含条件。 知识点06:核心解题思路 1.角度计算：找对顶角（相等）、邻补角 / 补角（和180∘）、余角（和90∘），结合性质列等式； 2.几何推理：先标注已知角，再用 “同角的余角 / 补角相等”“对顶角相等” 推导； 3.作图题：画垂线时，标注直角符号，画点到直线的距离时，强调 “垂线段” 并标注长度。 题型01.平面内两直线位置与相交线 【典例】在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【跟踪专练1】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，则∠AOE___． 【跟踪专练2】观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是______________； （2）与所在直线不相交，它们_________平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在__________________内，两条不相交的直线才是平行线． 【跟踪专练3】下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 题型02.对顶角定义与性质 【典例】如图，与相交于点O，把分成两部分，则的对顶角为___________． 【跟踪专练1】如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【跟踪专练2】如图，直线和相交于点，和互余，若，则_________． 【跟踪专练3】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 题型03.余补角计算及相关运算 【典例】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有___个． ①；②；③；④ 【跟踪专练1】若与 互为余角，且 ，则 的度数为 （    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果一个角的补角比这个角的2倍大，那么这个角的余角为_______． 【跟踪专练3】下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练4】如图，已知，且，则图中互为余角的共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 题型04.同(等)角余补角性质应用 【典例】若，，则_________． 【跟踪专练1】如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【跟踪专练2】如图，在中，，，垂足为D，则的余角是______和______，______，理由是______． 【跟踪专练3】下列说法：①如果，则与互为补角；②如果，则与互为余角；③如果，，则．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 题型05.垂线定义与作图应用 【典例】如图，，，垂足为O，经过点O．则的度数是________． 【跟踪专练1】如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线，交于点，平分，,，则的度数为___________． 【跟踪专练3】如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型06.点到直线距离与垂线段最短 【典例】如图，计划把池中的水引到处，可过点作，垂足为点，然后沿挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是________． 【跟踪专练1】如图，为直线外一点，点到直线上的三点，，的距离分别为，，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是_____cm.    【跟踪专练3】如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07.线的位置关系与角度计算 【典例】如图，，，，则__________． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交于点，垂足为O，若，则的度数是 _____． 【跟踪专练2】如图，直线、相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（    ） A．20° B．40° C．50° D．70° 【跟踪专练3】如图，点为直线上一点，平分，于点，若，则_________． 题型08.多线相交的角度综合计算 【典例】如图所示，已知． （1）若，则__________． （2）若的余角比小，过点作射线，使得，则__________． 【跟踪专练1】如图，已知，，在的内部绕点O任意旋转，若平分，则________． 【跟踪专练2】如图，已知，，是的3倍，则的度数为____________． 【跟踪专练3】如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 【跟踪专练4】如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)若与互为余角，求的度数． 题型09.相交线中分类讨论的多解问题 【典例】如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第________秒时，． 【跟踪专练1】如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，，若，则______． 【跟踪专练2】定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_______． 【跟踪专练3】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，绕点任意转动其中一个三角尺，已知，则____________． 题型10.相交线动点角度计算问题 【典例】如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为______秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）    【跟踪专练1】如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，． 【跟踪专练2】如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【跟踪专练3】O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 【解答题】 1．如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．如图，直线与相交于点，是的平分线，． (1)写出图中两对相等（除直角相等外）的角： 与 ， 与 ． (2)如果． ①那么根据 ，可得 度； ②因为是的平分线，所以 度； ③ 度． 3．如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 4．如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 5．如图所示，，平分，点，，在同一条直线上，试说明．请你阅读下面的说理过程，并在括号内填上推理的依据． 理由： 因为是的平分线，点，，在同一条直线上(________)， 所以(___________)． 因为(________)， 所以． 因为(________)， 所以(________)． 6．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $