2026年中考数学一轮复习 重难点方法专练02 代数式（讲义+练习+测试）

重难点方法专练02 代数式 （3个知识点+17个题型+验收卷） 考点一 整式 方法1：整式的运算与化简之去绝对值模型 1、形如：． 第①步 确定字母的大小关系：即判断或； 第②步 判断代数式与0的大小：即或； 第③步 去绝对值计算．原式或. 2、形如：． 第①步讨论代数式的正负：即判断或； 第②步 去绝对值计算．原式或原式. 模型适用条件：化简含有绝对值的代数式． 方法巧记：先判断绝对值中代数式的符号，再去绝对值 方法2：整式的加减之与某项无关或不含某项模型 形如：的值不含x项． 第①步 化简整理：； 第②步 令系数为0：即； 第③步 解方程. 模型适用条件：整式化简后与某项无关或不含某项的问题． 方法巧记：先化简整理，然后让不含某项或无关项的系数为0，再解方程 方法3：整式的运算之整体代入求值模型 已知，计算（A、B为含字母的式子，为常数）的值． 第①步 提取相同的项：； 第②步 整体代入求值：当时，原式. 模型适用条件：已知含字母的代数式的值，所求值的整式可整理成含已知代数式的式子． 方法巧记：先化简整理，再整体代入 方法4：整式的运算之个位数字探究模型 形如：确定的结果的个位数字． 第①步 变形：； 第②步 化简计算：； 第③步 寻找规律：根据a的个位数字变化规律确定结果的个位数字. 模型适用条件：所给式子经过适当变形化简后，可以根据个位数字的变化规律确定结果的个位数字． 方法巧记：先平方差公式计算，再寻找周期性规律 方法5：多项式乘法与图形面积模型 基本模型图：如图，通过对给定图形面积不同的表示方法得出不同的面积表达式，进而得出相应的恒等式，从而解决相关的问题． 如图是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 如图还可以看成是由四个长方形所组成，其面积的和为， ∵两个面积表示的都是同一个图形， ∴． 适用范围：与多项式乘法相关的图形问题． 方法巧记：不同角度求面积，两者恒等得结论 方法6：平方差公式与图形面积模型 基本模型图：如图，通过对给定图形面积不同的表示方法得出不同的面积表达式，进而得出平方差公式，进而解决相关的问题． 左图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 右图中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则其面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 适用范围：与平方差公式相关的图形问题． 方法巧记：不同角度求面积，两者恒等得结论 方法7：完全平方公式与图形面积模型 基本模型图：如图，通过对给定图形面积不同的表示方法得出不同的面积表达式，进而得出完全平方公式，从而解决相关的问题． 图中正方形的面积可以表示为； 图中正方形的面积又可以看成两个边长分别为a、b的正方形的面积与长、宽分别为a、b的两个长方形的面积之和，即为， ∵同一个图形的面积一定， ∴． 适用范围：与完全平方公式相关的图形问题． 方法巧记：不同角度求面积，两者恒等得结论 方法8：完全平方公式及其变形模型 四个代数式：，已知其二，可求其它，简称“知二求二”． 常见的公式及其变形： 1、， 与其等价的两个等式：，； 2、， 与其等价的两个等式：，； 3、， 与其等价的两个等式：， 适用范围：与完全平方公式有关的代数式求值与变形． 方法巧记：牢记完全平方公式，灵活应用整体思想 方法9：分组分解法分解因式模型 形如：把进行因式分解． 先将多项式分为“”或“”的组合，再利用提公因式法、公式法或十字相乘法将多项式因式分解（四项以上的多项式按照实际情况分组） 第①步： 分组：或； 第②步 因式分解：用提公因式法、公式法或十字相乘法因式分解． 适用范围：有四项或四项以上的多项式的因式分解． 方法巧记：结合公因式和两个公式，适当分组是关键 方法10：利用因式分解的结果求参数模型 模型示例：已知二次三项式有一个因式是，求多项式的另一个因式和m． 一般步骤： 第①步： 设另一个因式为，可得， 第②步 得恒等式 第③步： 根据恒等式得到方程组， 第④步 解方程组， 第⑤步 下结论：另一个因式为，m的值为． 适用范围：已知分解因式的结果，求多项式或因式中的参数． 方法巧记：先设含参数的因式，再列相应的方程（组）是关键 方法11：特殊公式的变形与运用模型 形如：已知（或），求的值． 第①步 将已知的式子两边平方：（或）； 第②步 代入求值：（或）． 适用范围：已知多项式的两项互为倒数或互为负倒数的代数式的求值． 方法巧记：先平方再代入，注重整体是关键 考点二 分式 方法1：分式的化简与求值之整体代入法模型 形如：已知，计算的值（为含字母的式子，中至少有一个为分式，c为常数）． 第①步 变形：；（为常数） 第②步 整体代入求值：当时，原式． 适用范围：已知含字母的代数式的值，所求的分式可整理成含已知代数式的式子． 方法巧记：先化简再代入，注重整体是关键 方法2：分式的化简与求值之设参法模型 形如：，求（为常数，为未知数，且）的值． 第①步 设参数：设； 第②步 变形：； 第③步 代入化简、求值：原式． 适用范围：已知字母间的数量关系，计算分式的值． 方法巧记：先设参数再代入，正确计算是关键 方法3：分式的化简与求值之倒数法模型 已知：，求的值． 第①步 取倒数：； 第②步 变形：； 第③步 还原：原式． 适用范围：求分母为多项式、分子为单项式的分式的值． 方法巧记：先取倒数再变形，计算还原得结论 方法4：分式的运算与化简之分离常数法模型 分离常数法：将一个分式（分子的次数一般不小于分母的次数）拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式． 模型示例：把分式化为整式与一个真分式的和（差）的形式． 第①步 分子变形—化为含分母的因式和的形式：； 第②步 分离常数：原式． 适用范围：与分式运算相关的整除问题． 方法巧记：先把分子变形为含分母的因式和的形式，再分离常数变形 考点三 代数式规律探究 方法1：代数式的规律探究之累加递增模型 若一列数中从开始，每一项与它前一项的差为常数d，确定的值． 第①步 计算：计算出前几项的值； 第②步 定常数：； 第③步 定结果：． 适用范围：一列数从第二个数起，每个数与它的前一个数的差为定值． 方法巧记：先计算出前几项的值，再确定常数和结果． 方法2：代数式的规律探究之三角形数模型 三角形数是指从1开始的n个自然数的和，即，它在试题中的呈现形式常常是，注意第n个数是． 适用范围：从小到大排列的数，相邻两个数的差符合累加递增型数列． 方法巧记：先断再算，即先判断相邻两个数的差符合累加递增型数列，再代入公式求解． 类型1：整式的运算与化简之去绝对值模型 【例题】 1. 若，则的值为（ ） A． B．4或0 C． D．或0 【变式】 2．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）    A． B． C． D． 4．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 类型2：整式的加减之与某项无关或不含某项模型 【例题】 5. 已知式子的值与字母x的取值无关，则的值是 ． 【变式】 6．已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（ ） A． B．0 C． D． 7．若的值与字母的取值无关，则的值为（ ） A．4 B．5 C．15 D．19 8．有这样一道题，“当，时，求多项式的值”，同学甲计算时用代入，同学乙计算时用代入，结果两人的计算结果都正确，则原因是（   ） A．这个代数式的值只跟的绝对值大小有关与符号无关 B．代数式化简结果只含有的偶次项的原因 C．代数式化简结果中其中一项系数为零，还有一项刚好与符号无关 D． 代数式化简结果为零，与的大小均无关系 类型3：整式的运算之整体代入求值模型 【例题】 9. 已知，求代数式的值为（ ） A． B．3 C．15 D． 【变式】 10．已知，则代数式的值是（　　） A． B．1 C． D．2 11．若，则代数式等于（   ） A．11 B．9 C．7 D．3 12．如图，长和宽为、的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（ ） A．140 B．70 C．35 D．24 类型4：整式的运算之个位数字探究模型 【例题】 13．的计算结果的个位数字是（　　） A．8 B．6 C．2 D．0 【变式】 14．若，则的个位数字为（ ） A．2 B．1 C．6 D．8 15．的个位数字为（ ） A．1 B．3 C．7 D．9 16．某同学在计算时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：原式，据此可得的值为（ ） A． B． C．1 D．2 类型5：多项式乘法与图形面积模型 【例题】 17. 阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图形的面积来解释公式，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如图2，图形的面积可解释恒等式． (1)请写出图3表示的代数恒等式为 ； (2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式：； (3)请仿照上述方法另写一个含a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为： ． 【变式】 18．一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长和宽分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 19．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（  ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 20．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 类型6：平方差公式与图形面积模型 【例题】 21. 综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【变式】 22．如图1，将边长为 的大正方形减去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分延虚线剪开，得到两个长方形，再将两个长方形拼成图 2 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A． B． C． D． 23．如图，点，，，分别在长方形的边上，点，在上，若正方形的面和等于10，图中阴影部分的面积总和为4，则正方形的面积等于（ ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 24．两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　） A． B． C． D． 类型7：完全平方公式与图形面积模型 【例题】 25.【阅读材料】 我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 【理解应用】 （1）观察图2，请用两种不同方式计算阴影部分的面积，并把得到的等式写出来． 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题． 已知，求的值； （3）若用图一中的的卡片拼成一个边长为的正方形，则需要甲型卡片______张、乙型卡片______张、丙型卡片______张． 【变式】 26．设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 27．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 28．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 类型8：完全平方公式及其变形模型 【例题】 29. 已知，，则代数式的值为 ． 【变式】 30．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D．不能确定 31．若，，求的值是（ ） A．8 B． C． D．12 32．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 类型9：分组分解法分解因式模型 【例题】 33. 阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：= ． 【变式】 34．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 35．因式分解的值为（ ） A． B． C． D． 36．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： ①因式分解：； ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形； ③若a，b，c为实数且满足，则以a，b，c作为三边能构成三角形． 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 类型10：利用因式分解的结果求参数模型 【例题】 37. 若是多项式的一个因式，则 ． 【变式】 38．把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A． B． C． D． 39．用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 40．若多项式可分解成，则的值是（ ） A． B．13 C．1 D． 类型11：代数式的两项互为倒数或互为负倒数的变形与运用模型 【例题】 41. 已经，求下列各式的值： (1)；(2)． 【变式】 42．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 43．已知，且，求的值是（ ） A． B． C． D． 44．已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 类型12：分式的化简与求值之整体代入法模型 【例题】 45. 先化简，再求值：，其中x满足． 【变式】 46．若且a，b均不为零，则的值为（ ） A．3 B． C． D． 47．若，互为倒数，且，则分式的值为（ ） A．0 B． C． D．1 48．若，，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 类型13：分式的化简与求值之设参法模型 【例题】 49.已知，求的值． 【变式】 50．若，则的值为（ ） A． B． C．2 D． 51．若，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 52．若，则等于（  ） A． B． C． D．1 类型14：分式的化简与求值之倒数法模型 【例题】 53. 已知：，，．求代数式a＋b＋c的值． 【变式】 54．已知 则 （  ） A．1 B． C． D． 55．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 56．已知，，，则的值为（　　） A．6 B． C． D． 类型15：分式的运算与化简之分离常数法模型 【例题】 57. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【变式】 58．如果m为整数，那么使分式值为正整数，这样的m有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 59．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（ ） A． B． C． D． 60．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个．则（ ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 类型16：代数式的规律探究之累加递增模型 【例题】 61. 如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（ ）枚 A．25 B．28 C．31 D．34 【变式】 62．是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于（ ） A． B． C． D．5 63．如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 64．跳蚤游戏盘为（如图），，，，如果跳蚤开始时在边上点，，第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规定跳下去，第2023次落点为，则点与点之间的距离为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 类型17：代数式的规律探究之三角形数模型 【例题】 65. 把黑色棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗棋子，第②个图案中有3颗棋子，第③个图案中有6颗棋子，…，按此规律排列下去，则第6个图案中棋子的颗数为（　） A．19 B．21 C．23 D．25 【变式】 66．如图为一个三角形点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有一个点，第二行有两个点……第n行有n个点，我们将前n行的点数和记为，如，，则不可能是（ ） A．20 B．15 C．28 D．36 67．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方形数”． 从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（   ） A． B． C． D． 68．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬中共有n个小三角形，这里的（ ） A．110 B．112 C．114 D．116 代数式验收卷 满分：120分 得分：____ 解答题（每题6分，共20题） 1．已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 2．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 3．【阅读理解】已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 4．问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 5．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 6．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述操作能验证的等式是__________； A． B． C． D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①①已知，，求的值． ②计算：． 7．【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 8．我们将进行变形，如：， 等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，，则_______． (2)若x满足，求的值． (3)如图，四边形是梯形，，，，，连结，，若，则图中阴影部分的面积为_______． 9．【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值． 10．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 11．（1）仔细观察图形，利用面积关系写出一个等式：__________． （2）根据（1）中的等式关系解决问题：已知，，则__________． （3）小明根据（1）中的关系式还解决了以下问题：“已知，求和的值．” 小明的解法： ． 因为， 所以． 请你仔细理解小明的解法，继续完成：求的值． 12．已知：，求代数式的值． 13．已知，求的值． 14．阅读下列解题过程：已知，求的值 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为2的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 15．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 ； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，请求的取值范围． 16．如图，圆桌周围有个箱子，按顺时针方向编号，小明先在号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下： ①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球． ②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球． ③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了圈，求号箱内有________颗红球． 17．如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 8 -5 … (1)填空：___________，___________，___________，第2022个格子中的数是___________． (2)前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (3)如果在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前n项的累差值，例如，前3项的累差值列式为，那么前10项的累差值为多少？ 18．一、观察下列各式：，，，，，，，，，，，，，根据你发现的规律回答下列问题： （1）的个位数字是_________；的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________；的个位数字是_________； 二、自主探究回答问题： （1）的个位数字是_________，的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________，的个位数字是_________． （3）若是自然数，则的个位上的数字是（  ） A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与的末位数字相同 D．无法确定 19．如图，第1个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为； 第2个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为； 第3个图案中“◎”的个数为，“●”时的个数为； …… (1)在第个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含的式子表示） (2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数，使得第个图案中“●”的个数是“◎”的个数的． 20．分别观察下列三组图形，并填写表格： 如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为，叫做第n个“三角形数”（n为整数，且）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示． … 三角形数 3 6 10 15 28 … a 四边形数 4 9 16 25 49 … b 五边形数 5 12 22 35 70 … (1)请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中； (2)若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点方法专练02 代数式 （3个知识点+17个题型+验收卷） 考点一 整式 方法1：整式的运算与化简之去绝对值模型 1、形如：． 第①步 确定字母的大小关系：即判断或； 第②步 判断代数式与0的大小：即或； 第③步 去绝对值计算．原式或. 2、形如：． 第①步讨论代数式的正负：即判断或； 第②步 去绝对值计算．原式或原式. 模型适用条件：化简含有绝对值的代数式． 方法巧记：先判断绝对值中代数式的符号，再去绝对值 方法2：整式的加减之与某项无关或不含某项模型 形如：的值不含x项． 第①步 化简整理：； 第②步 令系数为0：即； 第③步 解方程. 模型适用条件：整式化简后与某项无关或不含某项的问题． 方法巧记：先化简整理，然后让不含某项或无关项的系数为0，再解方程 方法3：整式的运算之整体代入求值模型 已知，计算（A、B为含字母的式子，为常数）的值． 第①步 提取相同的项：； 第②步 整体代入求值：当时，原式. 模型适用条件：已知含字母的代数式的值，所求值的整式可整理成含已知代数式的式子． 方法巧记：先化简整理，再整体代入 方法4：整式的运算之个位数字探究模型 形如：确定的结果的个位数字． 第①步 变形：； 第②步 化简计算：； 第③步 寻找规律：根据a的个位数字变化规律确定结果的个位数字. 模型适用条件：所给式子经过适当变形化简后，可以根据个位数字的变化规律确定结果的个位数字． 方法巧记：先平方差公式计算，再寻找周期性规律 方法5：多项式乘法与图形面积模型 基本模型图：如图，通过对给定图形面积不同的表示方法得出不同的面积表达式，进而得出相应的恒等式，从而解决相关的问题． 如图是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 如图还可以看成是由四个长方形所组成，其面积的和为， ∵两个面积表示的都是同一个图形， ∴． 适用范围：与多项式乘法相关的图形问题． 方法巧记：不同角度求面积，两者恒等得结论 方法6：平方差公式与图形面积模型 基本模型图：如图，通过对给定图形面积不同的表示方法得出不同的面积表达式，进而得出平方差公式，进而解决相关的问题． 左图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 右图中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则其面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 适用范围：与平方差公式相关的图形问题． 方法巧记：不同角度求面积，两者恒等得结论 方法7：完全平方公式与图形面积模型 基本模型图：如图，通过对给定图形面积不同的表示方法得出不同的面积表达式，进而得出完全平方公式，从而解决相关的问题． 图中正方形的面积可以表示为； 图中正方形的面积又可以看成两个边长分别为a、b的正方形的面积与长、宽分别为a、b的两个长方形的面积之和，即为， ∵同一个图形的面积一定， ∴． 适用范围：与完全平方公式相关的图形问题． 方法巧记：不同角度求面积，两者恒等得结论 方法8：完全平方公式及其变形模型 四个代数式：，已知其二，可求其它，简称“知二求二”． 常见的公式及其变形： 1、， 与其等价的两个等式：，； 2、， 与其等价的两个等式：，； 3、， 与其等价的两个等式：， 适用范围：与完全平方公式有关的代数式求值与变形． 方法巧记：牢记完全平方公式，灵活应用整体思想 方法9：分组分解法分解因式模型 形如：把进行因式分解． 先将多项式分为“”或“”的组合，再利用提公因式法、公式法或十字相乘法将多项式因式分解（四项以上的多项式按照实际情况分组） 第①步： 分组：或； 第②步 因式分解：用提公因式法、公式法或十字相乘法因式分解． 适用范围：有四项或四项以上的多项式的因式分解． 方法巧记：结合公因式和两个公式，适当分组是关键 方法10：利用因式分解的结果求参数模型 模型示例：已知二次三项式有一个因式是，求多项式的另一个因式和m． 一般步骤： 第①步： 设另一个因式为，可得， 第②步 得恒等式 第③步： 根据恒等式得到方程组， 第④步 解方程组， 第⑤步 下结论：另一个因式为，m的值为． 适用范围：已知分解因式的结果，求多项式或因式中的参数． 方法巧记：先设含参数的因式，再列相应的方程（组）是关键 方法11：特殊公式的变形与运用模型 形如：已知（或），求的值． 第①步 将已知的式子两边平方：（或）； 第②步 代入求值：（或）． 适用范围：已知多项式的两项互为倒数或互为负倒数的代数式的求值． 方法巧记：先平方再代入，注重整体是关键 考点二 分式 方法1：分式的化简与求值之整体代入法模型 形如：已知，计算的值（为含字母的式子，中至少有一个为分式，c为常数）． 第①步 变形：；（为常数） 第②步 整体代入求值：当时，原式． 适用范围：已知含字母的代数式的值，所求的分式可整理成含已知代数式的式子． 方法巧记：先化简再代入，注重整体是关键 方法2：分式的化简与求值之设参法模型 形如：，求（为常数，为未知数，且）的值． 第①步 设参数：设； 第②步 变形：； 第③步 代入化简、求值：原式． 适用范围：已知字母间的数量关系，计算分式的值． 方法巧记：先设参数再代入，正确计算是关键 方法3：分式的化简与求值之倒数法模型 已知：，求的值． 第①步 取倒数：； 第②步 变形：； 第③步 还原：原式． 适用范围：求分母为多项式、分子为单项式的分式的值． 方法巧记：先取倒数再变形，计算还原得结论 方法4：分式的运算与化简之分离常数法模型 分离常数法：将一个分式（分子的次数一般不小于分母的次数）拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式． 模型示例：把分式化为整式与一个真分式的和（差）的形式． 第①步 分子变形—化为含分母的因式和的形式：； 第②步 分离常数：原式． 适用范围：与分式运算相关的整除问题． 方法巧记：先把分子变形为含分母的因式和的形式，再分离常数变形 考点三 代数式规律探究 方法1：代数式的规律探究之累加递增模型 若一列数中从开始，每一项与它前一项的差为常数d，确定的值． 第①步 计算：计算出前几项的值； 第②步 定常数：； 第③步 定结果：． 适用范围：一列数从第二个数起，每个数与它的前一个数的差为定值． 方法巧记：先计算出前几项的值，再确定常数和结果． 方法2：代数式的规律探究之三角形数模型 三角形数是指从1开始的n个自然数的和，即，它在试题中的呈现形式常常是，注意第n个数是． 适用范围：从小到大排列的数，相邻两个数的差符合累加递增型数列． 方法巧记：先断再算，即先判断相邻两个数的差符合累加递增型数列，再代入公式求解． 考点一 整式 类型1：整式的运算与化简之去绝对值模型 【例题】 1. 若，则的值为（ ） A．    B．4或0    C．    D．或0 【参考答案】B． 【思路引导】根据可得a，b，c同时大于0，或者有一个大于0，另外两个小于0，再分情况去绝对值，然后求解即可． 【详细解析】解：∵ ∴a，b，c同时大于0，或者有一个大于0，另外两个小于0， 当a，b，c同时大于0时 ∴； 当有一个大于0，另外两个小于0时，假设 ∴ 故选：B． 【变式】 2．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置可得，，据此化简求解即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的除法，正确得到，是解题的关键． 3．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上数的表示特征，绝对值的性质．根据数轴上数的表示可知，左边的数都小于右边的数，判断出，然后去掉绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴上数的表示可知，， ∴， ∴原式， 故选：C． 4．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、根据数轴化简绝对值，从数轴上确定、、的符号和大小（绝对值大小）是解答本题的关键． 由数轴确定、、的符号和大小，根据绝对值的知识点进行辨别即可． 【详解】解：由题可知，，且， ，故不正确； ，，故不正确； ，故正确； ，故正确； 因此，正确的是，有个， 故选：B． 类型2：整式的加减之与某项无关或不含某项模型 【例题】 5. 已知式子的值与字母x的取值无关，则的值是 ． 【参考答案】． 【思路引导】先合并同类项，再根据式子的值与字母x的取值无关得出，，解方程后代入求解即可． 【详细解析】解：， ∵式子的值与字母x的取值无关， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式】 6．已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简,先将含a的项合并，并将其余字母看成常数并整理，再根据题意求出b的值． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵代数式的的值与a无关， ∴ 解得：， 故选：A． 7．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A．4 B．5 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减的混合运算，根据代数式的值与字母x的取值无关，得到，，求出，，是解题的关键． 【详解】解： ， ∵式子的值与字母的取值无关， ∴，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 8．有这样一道题，“当，时，求多项式的值”，同学甲计算时用代入，同学乙计算时用代入，结果两人的计算结果都正确，则原因是（   ） A．这个代数式的值只跟的绝对值大小有关与符号无关 B．代数式化简结果只含有的偶次项的原因 C．代数式化简结果中其中一项系数为零，还有一项刚好与符号无关 D． 代数式化简结果为零，与的大小均无关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值．直接合并同类项，即可求解． 【详解】解： ， 即代数式化简结果为零，与的大小均无关系． 故选：D 类型3：整式的运算之整体代入求值模型 【例题】 9. 已知，求代数式的值为（ ） A．    B．3    C．15    D． 【参考答案】C． 【思路引导】先整理得，再整体代入，进行计算，即可作答． 【详细解析】解：∵，∴. 则. 故选：C． 【变式】 10．已知，则代数式的值是（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查的是代数式求值，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．将整体代入求值，即可得到答案． 【详解】解：， ． 故选：C． 11．若，则代数式等于（   ） A．11 B．9 C．7 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 12．如图，长和宽为、的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．140 B．70 C．35 D．24 【答案】B 【分析】根据长方形周长公式，长方形面积公式，分别求出、的值，代入即可求解，本题考查了用字母表示数，求代数式的值，解题的关键是：根据已知条件求出、的值． 【详解】解：长方形的周长为14， ，即：， 长方形的面积为10， ， ， 故选：． 类型4：整式的运算之个位数字探究模型 【例题】 13．的计算结果的个位数字是（　　） A．8    B．6    C．2    D．0 【参考答案】D． 【思路引导】先变形成平方差公式的形式，再计算求出结果，然后寻找规律，再根据规律得出答案即可． 【详细解析】解： ， ∴的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现， ∵，故与的个位数字相同即为1， ∴的个位数字为0， ∴的个位数字是0． 故选：D． 【变式】 14．若，则的个位数字为（    ） A．2 B．1 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以，凑出平方差公式的形式是解题的关键． 将原式乘以凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解： ， 又∵，，，，，，，，，， ∴指数每4个个位数字重复一次， ∴个位数字为， 故选C． 15．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 16．某同学在计算时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：原式，据此可得的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，现根据，进行模仿运算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴模仿上述的解法， 则 ． 故选：D． 类型5：多项式乘法与图形面积模型 【例题】 17. 阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图形的面积来解释公式，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如图2，图形的面积可解释恒等式． (1)请写出图3表示的代数恒等式为 ； (2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式：； (3)请仿照上述方法另写一个含a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为： ． 【参考答案】 (1)；(2)图见解析；(3)（答案不唯一）． 【思路引导】 （1）图（3）中大长方形的长为，宽为，根据图形面积间的关系即可列出恒等式； （2）根据给出的恒等式，画出的几何图形的长为 ，宽为即可； （3）根据给出的例子画出几何图形，并写出恒等式即可． 【详细解析】 （1）图面积的表示： 方法一：， 方法二：， ∴； （2）如图， 面积表示： 方法一：， 方法二：， ∴； （3）如图， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式】 18．一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，设这个正方形的边长为，由题意得，，再解方程可得答案． 【详解】解：设这个正方形的边长为，由题意得， ， 解得：， ∴长方形的长为，宽为； 故选：A． 19．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，根据，得拼接这样的一个长方形所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张，由此可得出答案． 【详解】解：， ∴拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形，所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张， ∵现有甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张， ∴甲种纸片正好用完，丙种纸片剩余6张，乙种纸片缺少5张． 故选：C． 20．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，再根据多项式乘法的法则计算即可得． 【详解】解：∵将长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为， 则阴影部分的面积是 ， 故选：B． 类型6：平方差公式与图形面积模型 【例题】 21. 综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【参考答案】 (1)；(2)4；(3)． 【思路引导】 （1）左图中的图形面积即为两个正方形的面积差，右图为底，高为的平行四边形，根据图形面积相等可得结论； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详细解析】 （1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成为底，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式】 22．如图1，将边长为 的大正方形减去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分延虚线剪开，得到两个长方形，再将两个长方形拼成图 2 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的图形表示，涉及平方差公式，根据图形，用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图1的面积为；图2的面积为， ， 故选：B． 23．如图，点，，，分别在长方形的边上，点，在上，若正方形的面和等于10，图中阴影部分的面积总和为4，则正方形的面积等于（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与图形的面积， 解决本题的关键是找准图形间的面积关系. 设大、小正方形边长为，则然后利用图中阴影部分的面积总和为，进而可得正方形EFGH的面积. 【详解】解：设大、小正方形边长为，则有阴影部分面积为： 即 可得 即所求面积是. 故选： C. 24．两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为， 由图可得，，， ∴， 即， ∴， 故选：． 类型7：完全平方公式与图形面积模型 【例题】 25.【阅读材料】 我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 【理解应用】 （1）观察图2，请用两种不同方式计算阴影部分的面积，并把得到的等式写出来． 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题． 已知，求的值； （3）若用图一中的的卡片拼成一个边长为的正方形，则需要甲型卡片______张、乙型卡片______张、丙型卡片______张． 【参考答案】 （1），，；（2）13；（3）9；1；6． 【思路引导】 （1）方法一是直接求出阴影部分面积，方法二是间接求出阴影部分面积，即为边的正方形面积减去两个x为宽、y为长的矩形面积，即； （2）将代入上题所得的等量关系式求值； （3）根据完全平方公式展开结合题意即可求解． 【详细解析】 解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴需要甲型卡片9张、乙型卡片1张、丙型卡片6张． 故答案为：9，1，6． 【变式】 26．设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，即， 要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片． ，即， 若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张， 故选：C． 27．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．根据拼图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而得出，，，结合完全平方公式得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∵该图案的面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 即，，故A选项和B选项不符合题意； 根据题意可得：个全等的小长方形的面积加上1个小正方形的面积等于大正方形的面积， 即，故D选项不符合题意； 则， 由该图案的面积为，可得出， 即， 故，故C选项符合题意． 故选：C． 28．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，整式乘法；掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，进而即可求解． 【详解】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则图甲中阴影部分面积为： ， 图乙中阴影部分面积为： ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 类型8：完全平方公式及其变形模型 【例题】 29. 已知，，则代数式的值为 ． 【参考答案】28． 【思路引导】利用完全平方公式的变形求值，将化为，整体代入求值即可． 【详细解析】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：28． 【变式】 30．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的知识，关键是知道完全平方公式的特点．根据完全平方公式可得，结合代入计算，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ． 故选：C． 31．若，，求的值是（    ） A．8 B． C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，由完全平方公式得，代值计算，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故选：D． 32．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，把化为，利用完全平方公式展开，化简后即可求得的值． 【详解】 ∴． 故选：D． 类型9：分组分解法分解因式模型 【例题】 33. 阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：= ． 【参考答案】． 【思路引导】首先进行变形得，再合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【详细解析】解： ， 故答案为：． 【变式】 34．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案. 【详解】解：， 故选B． 35．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 36．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： ①因式分解：； ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形； ③若a，b，c为实数且满足，则以a，b，c作为三边能构成三角形． 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，构成三角形的条件；①将进行分组再因式分解，即可判断；②通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；③将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解：① ； 故符合题意； ②， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； 故符合题意； ③， ， ， ，，， ，，， ， ∴以a，b，c作为三边不能构成三角形， 故不符合题意； 故选：C． 类型10：利用因式分解的结果求参数模型 【例题】 37. 若是多项式的一个因式，则 ． 【参考答案】2． 【思路引导】设多项式的另一个因式是，根据分解因式的定义得到方程组，求出方程组的解即可得出答案． 【详细解析】解：设多项式的另一个因式是， ∴， ∴，，即，，， ∴， 故答案为：2． 【变式】 38．把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，∴．故选：D． 39．用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 40．若多项式可分解成，则的值是（    ） A． B．13 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得，． ． ． ，，． ，． ． 故选：A 类型11：代数式的两项互为倒数或互为负倒数的变形与运用模型 【例题】 41. 已经，求下列各式的值： (1)； (2)． 【参考答案】(1)3；(2)． 【思路引导】（1）先将已知的式子两边平方得到，进而可得结果； （2）先将所求的式子两边平方，再结合（1）的结果求解即可． 【详细解析】解：（1）， ， ； （2）， ． 【变式】 42．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式求值，由，得，然后把的两边同时除以即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 43．已知，且，求的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形法则， 利用完全平方公式进行变形计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 44．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式变形求值，先将变为，然后分两种情况讨论：当时，，当时，，分别代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，不成立， 当时，， 则 ； 综上分析可知：的值为， 故选：B． 考点二 分式 类型1：分式的化简与求值之整体代入法模型 【例题】 45. 先化简，再求值：，其中x满足． 【参考答案】，1． 【思路引导】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体思想代入求值，掌握分式混合运算的法则和整体思想是解题关键． 【详细解析】解：原式 ， ， ， ∴原式=1． 【变式】 46．若且a，b均不为零，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵且a，b均不为零， ∴ ， 故选：A． 47．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简求值，倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据分式的减法进行计算，再化简，结合倒数的定义，最后求得答案． 【详解】，互为倒数， 故选：D． 48．若，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，幂的乘方，由，得到，进而得到，即可求解，掌握分式的运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 类型2：分式的化简与求值之设参法模型 【例题】 49.已知，求的值． 【参考答案】． 【思路引导】设，用k表示出，然后代入分式即可得解． 【详细解析】解：设， ， 原式． 【变式】 50．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据，得到代入化简即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握化简方法是解题关键． 51．若，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把化成，即可求出的值． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是关键． 52．若，则等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据得，从而将分子分母同时除以进行化简，再代入即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，根据得，将分子分母同时除以进行化简，再代入，是解题的关键． 类型3：分式的化简与求值之倒数法模型 【例题】 53. 已知：，，．求代数式a＋b＋c的值． 【参考答案】6． 【思路引导】先将每个等式求倒数，然后组成解关于a、b、c的倒数的方程组，求出a、b、c的值即可． 【详细解析】解：∵，，， ∴，，， ∴， (①+②+③)÷2得： ， ④-①得，解得， ④-②，解得， ④-③，解得， ∴． 【变式】 54．已知 则 （     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得；根据得，计算，选择即可，本题考查了分式的混合运算，正确通分计算是解题的关键． 【详解】∵， ∴； ∵ ∴， ∴， 故选A． 55．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式的运用，把两边平方即可得的值，然后根据即可求值 【详解】解：∵， ∴，即， 则， ∴， ∴， 故选：C 56．已知，，，则的值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的化简求值．将已知三等式取倒数，再求和，即可求出值． 【详解】解：分别将已知式取倒数，得 ，即，① ，即，② ，即，③ ①+②+③，得， ∴． 故选：C． 类型4：分式的运算与化简之分离常数法模型 【例题】 57. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【参考答案】(1)；(2)或． 【思路引导】（1）参照范例运用分离常数法进行解答即可； （2）先参照范例运用分离常数把分式化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和的值都为整数这个条件进行分析解答即可． 【详细解析】（1）解： ； （2）解：原式 ， ∵原分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或． 【变式】 58．如果m为整数，那么使分式值为正整数，这样的m有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】分式，讨论就可以了，即是5的约数，注意分式值为正整数即可完成． 【详解】∵，原分式的值为正整数， ∴，且是5的约数， 那么 由得，； 由得，； 由得，； ∴，共3个 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 59．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 60．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 考点三 代数式规律探究 类型1：代数式的规律探究之累加递增模型 【例题】 61. 如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（ ）枚 A．25    B．28    C．31    D．34 【参考答案】C． 【思路引导】第1、2、3个图形各需要的棋子数分别是4、7、10，满足累加递增型的数列规律，由此确定一般规律即可求解． 【详细解析】解：由图可知：第1个图形需棋子：（枚）； 第2个图形需棋子：（枚）； 第3个图形需棋子：（枚）； …… ∴第个图形需棋子：（枚）； 故选：C． 【变式】 62．是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ∴每四次运算结果循环出现， ∵， ∴， 故选：D． 63．如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：∵两个圆的半径都为， ∴两个圆的周长都是， ∴同一圆上相邻两个点之间的距离为， 又∵每爬行8个为一循环， ∴爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为E点， 故选：C． 64．跳蚤游戏盘为（如图），，，，如果跳蚤开始时在边上点，，第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规定跳下去，第2023次落点为，则点与点之间的距离为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】此题考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．首先根据题意，分别计算跳蚤的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2023次落点的位置，从而确定与点之间的距离． 【详解】找规律，周期问题 因为，根据题意，， 第一步从到，；， 第二步从到，；， 第三步从到，；， 第四步从到，；， 第五步从到，；， 第六步从到，； 由此可知，点与点重合，又因为，所以点与点重合，则点与点之间的距离为． 故选：D． 类型2：代数式的规律探究之三角形数模型 【例题】 65. 把黑色棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗棋子，第②个图案中有3颗棋子，第③个图案中有6颗棋子，…，按此规律排列下去，则第6个图案中棋子的颗数为（　） A．19    B．21    C．23    D．25 【参考答案】B． 【思路引导】第①、②、③、④个图案中的棋子数分别是1、3、6、10，是典型的三角形数，由此确定一般规律即可求解． 【详细解析】解：∵第①个图案中棋子的颗数为1， 第②个图案中棋子的颗数为， 第③个图案中棋子的颗数为， 第④个图案中棋子的颗数为， …… ∴第6个图案中棋子的颗数为． 故选：B． 【变式】 66．如图为一个三角形点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有一个点，第二行有两个点……第n行有n个点，我们将前n行的点数和记为，如，，则不可能是（    ） A．20 B．15 C．28 D．36 【答案】A 【分析】题目主要考查规律探索问题，根据题意得出的两倍等于相邻两个正整数的积，结合题意即可判断． 【详解】解：由题意，可知， ∴，即的两倍等于相邻两个正整数的积． ∵，，，， ∴不存在两个相邻正整数的积等于20的两倍， 故选A． 67．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方形数”． 从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形中的数字规律，看懂题意，理解“正方形数”、 “三角形数”，根据题中图形及数字等式确定规律，逐项验证即可得到答案，数形结合，找准规律是解决问题的关键． 【详解】 解：规律是， A、不是“正方形数”， 选项不符合规律，不符合题意； B、是“正方形数”，，选项不符合规律，不符合题意； C、是“正方形数”，，选项符合规律，符合题意； D、是“正方形数”，，选项不符合规律，不符合题意； 故选：C． 68．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬中共有n个小三角形，这里的（    ） A．110 B．112 C．114 D．116 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键． 列出部分图形中三角形的个数，根据数据的变化找出变化规律即可得出结论． 【详解】解：设图形中三角形的个数是为正整数）， ， ， ， ， ． 故选：D． 代数式验收卷 满分：120分 得分：____ 解答题（每题6分，共20题） 1．已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的有关概念、绝对值的性质． （1）由c为最小的正整数，确定出，再由，，，得出b到原点的距离大于a到原点的距离，从而确定出在数轴上的大概位置； （2）根据A，B，C三点在数轴上的位置得到，，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：A，，三点的大致位置，如图所示， （2）解：由数轴可得，，，， ∴，，， ∴ ． 2．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 3．【阅读理解】已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键； （1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可得、，然后把可得化成，然后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）由可得， 则． 故答案为：1； （2）由可得， 则； （3）由、可得、， 则． 4．问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4） 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可． （1）依次按照平方差公式计算即可； （2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可； （3）按照平方差公式计算即可； （4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）， 故答案为：13； （4）∵， ∴，则，…… ∴， ． 5．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①，；②． 【分析】本题主要考查几何图形与多项式乘以多项式运算，掌握用整式表示阴影部分面积是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可； （2）①用代数式表示出，，结合长方形的面积公式即可求解； ②由长方形的周长为6可得，结合即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）①根据题意得，，， ∴， ； ②， ， ， ， ． 6．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述操作能验证的等式是__________； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)C (2)①② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）①利用（1）中结论，整体代入法，求出，联立两个二元一次方程，求出的值即可；②利用（1）中结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知，阴影部分的面积； 故选C． （2）解：①∵，， ∴， ，得：，解得：； ② ． 7．【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 【答案】(1) (2)； (3)阴影部分的面积为． 【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． （1）根据举例进行对已知式子计算解答即可； （2）设，，则可得，，所以，可得，即可解答； （3）根据正方形的边长为，，，所以，，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，， ， ， ， ， 即； （3）解：∵正方形的边长为，，， ，， ， 设，， ，， ， 答：阴影部分的面积为． 8．我们将进行变形，如：， 等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，，则_______． (2)若x满足，求的值． (3)如图，四边形是梯形，，，，，连结，，若，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】(1)10 (2)255 (3)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变式应用能力，解题的关键是能数形结合应用完全平方公式． （1）将，代入题干中的推导公式就可求得结果； （2）设，，则，再代入计算即可； （3）设，，则阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：10． （2）解：设，． ∵， ∴ ． （3）解：设，， 则阴影部分的面积为 ． 9．【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值． 【答案】（1）；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3）， 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义． （1）根据分组分解法分解因式即可； （2）利用分组分解法，解方程得出，即可得出为等腰三角形； （3）根据题意列出方程，结合实际意义，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵，，均为正数， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：∵长为，长为， ∴长方形试验田的面积为， 当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为， 即，， 根据题意可得：， 整理得出：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴或， 分别求解，得出或（舍去）， 故，． 10．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)9，5 (3)另一个因式为，的值为12． 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【详解】（1）解：， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：9，5； （3）解：设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 11．（1）仔细观察图形，利用面积关系写出一个等式：__________． （2）根据（1）中的等式关系解决问题：已知，，则__________． （3）小明根据（1）中的关系式还解决了以下问题：“已知，求和的值．” 小明的解法： ． 因为， 所以． 请你仔细理解小明的解法，继续完成：求的值． 【答案】（1）；（2）20；（3）123． 【分析】本题主要考查了转化的思想，乘法公式的应用，模仿样例，灵活进行整式的恒等变形是解决本题的关键. （）观察原式为阴影部分的面积，再用大矩形的面积减去两个空白矩形的面积也可表示阴影部分面积，进而得出答案； （）运用（）中的结论进行计算便可把原式转化为进行计算； （）把原式转化为进行计算. 【详解】解：（1）根据图形可知，阴影部分面积为， 阴影部分面积还可以表示为， ， 故答案为： ， 故答案为：20； ． 12．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，首先根据分式的混合运算法则化简，然后整体代入求解即可． 【详解】解： ． ∵， ． ∴原式． 13．已知，求的值． 【答案】 【分析】设，得到，代入分式求值即可． 【详解】解：设，则． ∴ ． 【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键． 14．阅读下列解题过程：已知，求的值 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为2的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）仿照例题利用“倒数法”解决问题，先求得，继而计算的值，再取倒数即可求解． （2）根据题意可得，利用“倒数法”即可求解； （3）根据“倒数法”求得，，，①＋②＋③即可求解． 【详解】（1）解：由，知，∴，即， ∴， ∴的值为7的倒数，即； （2）由，知，∴，∴，即， ∴， ∴的值为21的倒数，即； （3）由，知，，∴，即， 由，知，，∴，即， 由，知，，∴，即， ①＋②＋③得：，∴， ∴， ∴的值为1的倒数，即1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解题意是解题的关键． 15．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 ； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，请求的取值范围． 【答案】(1)真， ； (2)或或或； (3)． 【分析】（）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为逆用分式的加减法运算可得第二空的答案； （）先把原分式化为 ，再结合为整数，为整数，可得或或或，从而可得答案； （）先把原分式化为，再结合，从而可得答案； 本题考查了新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解“真分式”“假分式”“带分式”的定义以及转化方法是解题的关键． 【详解】（1）根据新定义可得： 是真分式，， 故答案为：真，； （2）∵且为整数，为整数， ∴或或或， 解得：或或或； （3）∵而， ∴， ， ∴， ∴． 16．如图，圆桌周围有个箱子，按顺时针方向编号，小明先在号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下： ①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球． ②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球． ③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了圈，求号箱内有________颗红球． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意先找到各个红球都在那个箱内，然后找到哪一圈会在号箱内丢红球，从而得到规律即可求解，根据题意找到变化规律是解题的关键. 【详解】解：根据题意可知， 第圈红球在号箱内， 第圈红球在号箱内， 第圈红球在号箱内， 第圈红球在号箱内， ， ∴第圈会在号箱内丢一颗红球， ∵， ∴红球颗数为颗， 故答案为：． 17．如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 8 -5 … (1)填空：___________，___________，___________，第2022个格子中的数是___________． (2)前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (3)如果在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前n项的累差值，例如，前3项的累差值列式为，那么前10项的累差值为多少？ 【答案】(1)8，，1，； (2)1516或1511 (3) 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到、、的值，然后即可得到第2012个格子中的数； （2）先判断是否存在，然后根据判断进行解答即可； （3）根据题意和（1）中的规律，可以计算出前10项的累差值． 本题考查了有理数的加减法及绝对值，明确题意，发现数字的变化特点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， 表格中有数字， ， 由题意可知表格中的数字依次以1、8、循环出现， ， 第2022个格子中的数是， 故答案为：8，，1，； （2）解：前个格子中所填整数之和可能为2021， 理由：，， ， 最后5个数的和为， 当时，和也为2021， 的值为1516或1511； （3）解：由（1）可知，表格中的数字依次以1、8、循环出现， 当时，， 前10个数中，1出现4次，8出现3次，也出现3次， 前10项的累差值为： ． 18．一、观察下列各式：，，，，，，，，，，，，，根据你发现的规律回答下列问题： （1）的个位数字是_________；的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________；的个位数字是_________； 二、自主探究回答问题： （1）的个位数字是_________，的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________，的个位数字是_________． （3）若是自然数，则的个位上的数字是（     ） A．恒为0        B．有时为0，有时非0 C．与的末位数字相同        D．无法确定 【答案】一、（1）；；（2）；；二、（1），；（2），；（3）A 【分析】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键． 一、（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （2）可以先列出43的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； 二、（1）可以先列出7的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （2）可以先列出7的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案． 【详解】解：一、（1） 3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 故答案为：7；7； （2）由（1）可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7，的个位数字是7； 故答案为：7；7； 二、（1） 7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是3，的个位数字是3 故答案为：3；3 （2） 2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是8，的个位数字是8 故答案为：8；8 （3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同 的个位上的数字恒为0 故选A． 19．如图，第1个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为； 第2个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为； 第3个图案中“◎”的个数为，“●”时的个数为； …… (1)在第个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含的式子表示） (2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数，使得第个图案中“●”的个数是“◎”的个数的． 【答案】(1)； (2)6 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“●”和“〇”个数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现“●”和“〇”个数变化的规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 第1个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为； 第2个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为； 第3个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为； ， 所以第个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为； 故答案为：，． （2）由题知， ， 解得或6， 因为为正整数， 所以． 故正整数的值为6． 20．分别观察下列三组图形，并填写表格： 如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为，叫做第n个“三角形数”（n为整数，且）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示． … 三角形数 3 6 10 15 28 … a 四边形数 4 9 16 25 49 … b 五边形数 5 12 22 35 70 … (1)请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中； (2)若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中． 【答案】(1)21；36；51 (2) 【分析】本题考查了图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律： （1）先观察图形的规律，然后填写表格； （2）根据纵向数字之间的关系可得到规律； 正确得到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：对于三角形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 对于四边形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 对于五边形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 则表格如下： 第n个多边形数类型 三角形数 3 6 10 15 21 四边形数 4 9 16 25 36 五边形数 5 12 22 35 51 （2）解：根据表格的前几列可得： 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推可得： 当时，， 表格如下： 第n个多边形数类型 … 三角形数 3 6 10 15 21 28 … a 四边形数 4 9 16 25 36 49 … b 五边形数 5 12 22 35 51 70 … 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $