重难点02 几何图形变换中的8类模型（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形变化 重难点02 八类几何图形变换问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点01 八类几何图形变换问题 几何变换中的翻折（折叠、对称)、旋转、平移问题是历年成都中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。在解决此类问题时，要牢牢把握相关几何变换的性质，即变换前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到几何变换过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。 题型01 三角形中的翻折模型 【典例】（25-26九年级上·成都·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，点D是边上一点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接，当时，的长为 【答案】 【详解】解：连接与交于点， ∵沿折叠得到，∴，，垂直平分， ∴，，∵等腰直角三角形，∴， 又∵，∴，∴，∴由等面积法可知， ∴在直角三角形中，，∴， ∵，，∴，∴，∴． 【变式】1.（2025·成都·二模）如图，在中，为钝角，，，，则 ．是边上一点，作点关于直线的对称点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过作于，作，交延长线于， ∵，∴，∴， 设，∵，则， ∵，∴，，∴或4， 由勾股定理得或． ∵，，∴，，∴，解得：， ∵为钝角，∴，∵，∴； ∵关于直线的对称点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴．故答案为：， 【变式】2.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴设，， ∵沿翻折，得到，∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，∴，则，∴，在和中，，∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍，∴，则， 解得，（舍去），即，故答案为：． 【变式】3.（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．    【答案】 【详解】解：是等边三角形，， ∵折叠得到，，，， 平分等边的面积，，， 又，， ，，， ，解得或（不符合题意，舍去），故答案为：． 题型02 四边形中的翻折问题 【典例】（25-26九年级上·成都·期中）在数学实践活动中，聪聪同学进行了如下操作：如图，将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为 ，打开后再将纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕，延长交于点．请完成下列探究： (1)若四边形是正方形， 则的大小为 ；(2)当时，的值为 ． 【答案】 30°/30度 / 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，∴ ∵将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为， ∴ ∴ ∵将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕， ∴，， 在中， ∴∴ ∴即故答案为：； （2）∵∴设∵四边形为矩形， ∴ ∵将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为， ∴， ∴∴四边形为矩形，∴ ∵将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕， ∴ 在中， ∴ ∵∴ ∴∴∴即 ∴∴ ∵∴ ∴即∴∴∴答案： 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点E作于点H，连接， 四边形是正方形、、 点是的中点， 垂直平分由折叠的性质得 是等边三角形 ，即，故答案为：． 【变式】2．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 【答案】或或 【详解】解：①当与的夹角为时，即,如图： ，,, ,; ②当与的夹角为时，即,如图： ，,, ,;或，如图： ，,, ,; 综上，的度数可以是或或．故答案为：或或． 【变式】3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）矩形中，，，将沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线于点（点P不与点B重合），点的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则长为 ． 【答案】或或10 【详解】解：①点的对称点落在矩形对角线上，如图1， ∵在矩形中，，，由折叠性质可知：， ∴∴ ∴，∴∴； ②点的对称点落在矩形对角线上，如图2， ∵在矩形中，，，， ∴，∴，由折叠性质可知：，，∴∴； ③点的对称点落在矩形对角线延长线上，如图3， ∵在矩形中，，，， ∴，∴， 由折叠性质可知：，，∴ ∴；综上所述：则长为或或10．故答案为：或或10． 题型03 圆中的翻折问题 【典例】（25-26九年级上·成都·期末）如图，将一张圆形纸片对折，使圆上的点P与圆心O重合，折痕为，则下列结论错误的是（   ） A．若连接，则垂直平分弦 B．的长是的半径长的倍 C．劣弧的长度是周长的三分之一 D．若连接，，，则是等边三角形 【答案】B 【详解】解：如图，连接，由折叠得，垂直平分，又过圆心，垂直平分弦，故A正确，不符合题意； 如图，连接，设与交于点，半径为， 垂直平分，，．垂直平分，． 在中，，， 即的长是的半径长的倍，故B错误，符合题意；如图，再连接， 在中，，，，， ，，平分，， 劣弧的长度是，即劣弧的长度是周长的三分之一，故C正确，不符合题意； 如图，再连接，，，为等边三角形，故D正确，不符合题意； 综上，错误的结论是B．故选：B． 【变式】（25-26·成都·九年级校考期末）如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵，∴，∵点D为中点，∴， ∵弧沿弦向下折叠交于点D，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴（负值舍去），故选：C． 【变式】（2026·成都·校考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 是直径，，，． 根据翻折的性质，所对的圆周角为，优弧所对的圆周角为， ，，，故选:B． 【变式】（2025·成都·校考二模）如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【解析】解：过点O作交于点E，连接，如图，    ∴，∴为等边三角形，∴． ∵，，∴． ∵，∴，∴，∴， ∴．故答案为：． 题型04 三角形中的旋转问题 【典例】（2025·成都·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °． 【答案】 75 15 【详解】解：∵等腰中，，∴， 由题意知，点轨迹为以为圆心的长为半径的圆， 当与该圆相切时，最大，此时， 若点E在外部时，如图1所示， ，此时最大， ∵，，∴，∴，∴， 若点E在内部时，如图2所示， ，此时最小， 同理可得： 综上所述：若，则旋转过程中，当最大时，其度数为，当最小时，其度数为．故答案为，． 【变式】1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，中，，，是边上的动点．将线段绕点顺时针旋转到，将线段绕点顺时针旋转到，连接，，，分别是，的中点．下列结论：①点，，三点不一定共线；②；③垂直平分；④．正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【详解】解：连接，， ∵将线段绕点顺时针旋转到，∴是等腰直角三角形，∴， ∵中，，，∴，∴点在上， ∴点，，三点一定共线，故①说法不正确； 连接，∵线段绕点顺时针旋转到，∴，， ∴，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，故②说法正确；连接，，， ∵，分别是，的中点，，∴，， ∴，∴四边形是菱形，∴垂直平分，故③说法正确； ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∴四边形是正方形，∴，则，∵， ∴④，故④说法正确；综上，②③④正确，故答案为：②③④． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当或为时，的长为 ． 【答案】或2或 【详解】在中，． ．， ①当AD与AC重合时，，如答图1， ，； ②如答图2，，； ③如答图3，，，． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期末）张老师在“图形的旋转”主题下设计了“三点共线”的问题背景：如图，已知和均为等边三角形，且，分别是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，请你解答． 【观察发现】（1）当，，三点共线时，_____； 【尝试探究】（2）如图1，当，，三点共线时，求证：平分； 【深入探究】（3）如图2，三点共线；图3中，三点共线，请你直接写出与的锐角夹角的度数，并选择其中一个图形写出解题过程． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）与的锐角夹角的度数为 【详解】解：（1）∵，，三点共线，∴旋转角为，故答案为：； （2）∵，，三点共线，∴， ∵和均为等边三角形，∴，，， ∴，∴， ∴，∴，∴平分； （3）如图2，三点共线，记交于点， 同理，∴， ∵，∴； 如图3，三点共线，同理，∴， ∵， ∴， ∴． 题型05 四边形形中的旋转问题 【典例】（25-26九年级上·成都·月考）如图，已知在平行四边形中，，，，点是边上一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，如果点恰好落在平行四边形的边上，那么的值是 ． 【答案】或 【详解】解：①如图1中，当点落在边上时，过点作于，交的延长线于， 设，在中，，，可设，， ∴，即，解得：，∴， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴； ②如图2，当点落在边上时， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段，∴，∴， 在中，，，可设，， ∴，即，解得：，∴； ③如图3，当点落在直线上时，过点作于点， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段，∴， 由①可知，，∴，∴， ∴此时点落在的延长线上，不合题意舍去，综上所述，的值是或，故答案为：或． 【变式】1．（2025·四川绵阳·一模）如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，过点作于点E， 根据题意可知，∵四边形是菱形， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 根据勾股定理，得，解得，∴点的坐标是．故选：A． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，点P是正方形的对角线上的一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，点M是的中点．下列结论错误的是（  ） A．是等腰三角形 B． C．当点E在边上时， D．连接，最短时， 【答案】C 【详解】解：由旋转得，，∴是等边三角形，∴； ∵四边形是正方形，是对角线，∴，， 又，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰三角形，故选项Ａ正确，不符合题意；连接，如图， 将绕点B顺时针旋转得到，将绕点B顺时针旋转得到，则点的运动轨迹是线段， ∵，∴，又，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故选项Ｂ正确，不符合题意；连接，如图， ∵点在上，且是等边三角形，∴，，∴， 又，∴， 又，∴，，∵,∴， 又， ∴是等腰三角形，∴，故选项C错误，符合题意； ∵点P是正方形的对角线上的动点，∴点的运动轨迹为的中位线， 过点作于点Q，当点与点重合时，最短，∵，， ∴，故选项D正确，不符合题意．故选：C． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期末）综合与实践： 【实践操作】如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，． 【探究发现】试证明：； 【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间的数量关系； 【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值． 【答案】探究发现：见解析；性质应用：；拓展延伸： 【详解】【探究发现】证明：∵，，， ∴，∴，∴，∴， 又，∴，∴； 【性质应用】：解：如图2，连接， ∵四边形为正方形，∴，， 又，，∴，，， ∴，，∴，∴； 【拓展延伸】：解：∵，，， ∴，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， 如图3，设交于点， ∴， ∴，∴． 题型06 几何图形中的平移问题 【典例】（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在的延长线上时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，绕点D在平面内旋转．点Q落在的延长线上， ∵是等腰直角三角形，∴的延长线上点的横纵坐标相同，∴可设点， ∵点B的坐标为，点D为的中点，∴，，点，∴， ∵，∴，整理，得，解得（舍去），， ∴点Q的坐标为，故选：． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）如图， 在正方形中，， 点P在上，， 将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时，点A 的对应点到的距离为 ． 【答案】/ 【详解】解：设边的中点为，∵正方形中，，∴，∵，∴， ∵将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时，∴平移的距离为， ∴，作于点，∵正方形，∴，∴， ∴点到的距离为，故答案为：． 【变式】（24-25九年级下·成都·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：根据题意当时，则，当时，则，解得：， ∴，∴，∵，四边形是平行四边形， ∴，∴，∴， 设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，连接，则， ∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形， ∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分， ∵的中点为，即，∴，解得：．故选B． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，(2)①，其中t的取值范围是；② 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，∴， ∴点B的坐标为的坐标为，故答案为：； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵，∴， ∵，∴是等边三角形， 在中，，， ∴， 在中，， ∵，∴， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，设， ∴，解得，，∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为，∴，解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，解得，，∴的坐标为． 题型07 轴对称相关的最值问题 【典例】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，， ∵为线段上的动点，∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，，∴，，， 由题可得，∴由对称性可得，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴，， ∴，即的最小值为，故答案为：． 【变式】1.（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，，∴ ∴周长最小为；故答案为：． 【变式】2.（2025·四川宜宾·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，把向右平移个单位长度，使点与点重合，得到，延长交于M，则四边形是矩形，∴，； 四边形是正方形，，， 则，由平移的性质可知，， 作点关于的对称点，连接，则，，， 当点、、三点共线时最短， ∵，，，，， 在中，，的最小值是．故答案为： ． 【变式】（2025·西安·校考一模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 题型08 旋转相关的最值问题 【典例】（2025·成都·一模）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，，，∴． ∵将绕点B旋转得到，∴． ∵分别是的中点， ∴线段为的中位线，线段为的中位线， ∴，，∴， ∴的最小值为，的最大值为．故选：D． 【变式】1．（2025·成都·三模）如图，长方形中，，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．与交于点， ∵四边形是矩形，∴ ∵，∴，∴， ∵旋转，∴，∴， ∴，∴点G在射线上运动∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴， ∴四边形是矩形，∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴的最小值为．故答案为：． 【变式】2．（2026·成都·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：，∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值，由旋转的性质知：，， ∴,，∴，∴的最小值为，故选：A． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·校考期末）正方形边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，点E是上一动点，点E绕点D按逆时针方向转，得点F，连．当A、E、F三点共线时，长是 ． 【答案】或 【详解】解：如图：连接， 在正方形中，， ∵，，， 在与中，， ，∴点F在以点C为圆心，1为半径作圆上运动， ①如图∶当点A、E、F三点共线时， ，，， ，，与圆C相切， ∵，，∴，∴． ②如图：当点A、、三点共线时， ，， ，，，，与圆C相切， ∵，，∴，∴； 综合，当点A、E、F三点共线时，长为或．故答案为：或． 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形，，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处，，， ，， 在中，，由勾股定理，得， ，，， ，故选：A． 2.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． 是的平分线，，是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，． 的最小值是，故答案为：． 3.（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，， ，，四边形是平行四边形， ，的最小值的最小值，点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，，， ，，，， ，，作， 过点D作垂足为G 在中， ．故选：． 4.（2025·四川成都·二模）如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为______． 【答案】 【详解】由平移可得，，，∴， ∵在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为 ∴，∴，∴设，，∴， ∵，∴，解得 ，∴，故平移的距离为，故答案为：． 5．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【详解】解：为直径，为弦，，当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径，将沿翻折交直线于点F，此时与点重合，故； 当时，且在点在线段之间，如图，连接，此时， ，， ， ，； 当时，且点在线段之间，连接，同理可得，， 综上，可得线段的长为或或2，故答案为：或或2． 6．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当时，则，由折叠的性质可得， ∵，∴，∴； 如图，当时，由折叠的性质可得，,， ∴，∴三点共线，由勾股定理得：， ∴，设，则， 由勾股定理得，∴，解得：，∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或，故答案为：或． 7．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，建立如图所示的平面直角坐标系，， ∵将绕点B顺时针旋转得到，， ∴设的解析式为，代入， ，解得，∴解析式为，设的解析式为，代入， ，解得，∴解析式为，联立    ，解得，∴， 作，由勾股定理得：故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：由旋转的性质可得： ∵若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上， ∴将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，如图1所示， ∵点、点分别为、所在直线上的动点，由图可知当点在点C右侧或点在点C下方时，线段与没有交点，∴点、点分别为射线、射线上的动点， 连接、、，过作，、，则四边形为矩形， ∵的半径与的半径相同为，∴当时，点M是线段上唯一在上的点， 由旋转的性质可得：，，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵四边形为矩形，∴，，设，则， ①当，即时，则，，如图1所示： 此时，， ，，， ∵由图1可知：， ∴，解得：或（舍去），∴， ②当，即时，则，，如图2所示： 此时，， ，，， ∵由图2可知：，∴， 解得：或（舍去），∴. 综上：或时线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上.故答案为：或. 9．（2025·成都·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    【答案】 / 【详解】解：当点与点重合时，由折叠的性质知垂直平分， ∴；；连接，如图所示：    当长取得最小值时，长取得最大值；由折叠的性质知垂直平分，则， ∴时，长取得最小值，此时长取得最大值， 过点D作于点G，则四边形为矩形，∴， 在直角三角形中，，∴， ∴长的最大值为；故答案为：①② 10．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接．(1)求证：；(2)判断四边形的形状，并说明理由．(3)已知，当点恰为中点时，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)正方形，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，，． 由旋转的性质得：，．． ．即． 在和中，， ．，． （2）解：四边形为正方形，理由如下：连接． 在正方形中，，． ，．则点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆， ．．．．． ，．四边形为平行四边形． ，，四边形为正方形． （3）解：过点作，交于点，设交于点，则． ，．．． ，．．．． ∵四边形为正方形，．． 又，．，． ．．． 为中点，．．． ，，．． 11.（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．的度数是 ；周长的最小值是 ． 问题探究（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），；（2）；（3）米 【详解】解：点与点关于对称，， 点与点关于对称，， ，，， ，故答案是：； 解：点与点关于对称，，， 点与点关于对称，，，， 由可知，是等边三角形，， 的周长是，周长的最小值是，故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称，连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，，， ，， 在和中，，， ，，，点是的中点，， ，的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形，， ，米，米，米，， 点是矩形的中心，，，， ，在中， ，，， 在和中，，，，米， 米，米，的最小值是米， 米，的最小值是米． 1．（2025·成都·模拟预测）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得．① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）存在，最小值为． 【详解】解：（1）①正方形中， ∴，，， ∵，∴，∴，由折叠可知：，∴， ∵，∴； ②由折叠可知：，，， ∴，如图，连接， ∵，，即是垂直平分线，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，∴， ∵是的角平分线，，∴，， ∵，∴（），，∴， ∴，∴，∴； （3）如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，∴， ∵在菱形中，是的角平分线，，∴， ∵，∴（），∴， ∴，∴， ∵，∴， 过点作于点，设，则，， ∵，即，∴，， ∴当最小时，面积最小，∴当时，面积最小，如图， ∵，，∴，∴， ∴，即，∴ ∴的面积存在最小值为． 2．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践 【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，. 【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________. 【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上. 【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由. （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由. 【答案】（1）菱形（2）证明见解答（3），证明见解析（4），理由见解析 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形．理由：设与交于点，如图， 由折叠得：，，， 四边形是矩形，，， ，，四边形是菱形．故答案为：菱形． （2）证明：四边形是矩形，，，，，，， ，， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，，， ，，，即，，， ，，，，即， ，，，， ，，，， ，点，，在同一条直线上． （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点， 四边形是矩形，，，， 设，则，由折叠得：，， ，，， ，，， ，即，，，，； （4），理由如下：如图，过点作于，设交于， 由折叠得：，，，设，， 由（3）得：，，， ，，， 四边形是矩形，，，， ，，， ，， ，，， ，， ，即． 3．（2025·成都·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【详解】（1）证明：∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴，∴，∴； （2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ， ∵四边形和四边形都是矩形，，，， ∴，，∴，， ∴，， ∴，∴，∴，∴，∴，∴； （3）∵四边形是平行四边形，，，∴，， 又∵是直角三角形，，∴或 当时，如图，过点作的垂线交于点，则， ∴，设，则，∴，设， ∴， ∴，，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴，即，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设，则，∵，∴，∴，∴， ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴，∴， ∴，∴，∴； 当时，四边形和四边形都是矩形，此时， 过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ∵四边形和四边形都是矩形，，，设， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，∴，∴，∴，∴， ∴； ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴，∴，解得， ∴，即点Q与点O重叠，此时； 综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形变化 重难点02 八类几何图形变换问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点02 八类几何图形变换问题 几何变换中的翻折（折叠、对称)、旋转、平移问题是历年成都中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。在解决此类问题时，要牢牢把握相关几何变换的性质，即变换前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到几何变换过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。 题型01 三角形中的翻折模型 【典例】（25-26九年级上·成都·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，点D是边上一点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接，当时，的长为 【变式】1.（2025·成都·二模）如图，在中，为钝角，，，，则 ．是边上一点，作点关于直线的对称点，连接，若，则的长为 ． 【变式】2.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 【变式】3.（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．    题型02 四边形中的翻折问题 【典例】（25-26九年级上·成都·期中）在数学实践活动中，聪聪同学进行了如下操作：如图，将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为 ，打开后再将纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕，延长交于点．请完成下列探究： (1)若四边形是正方形， 则的大小为 ；(2)当时，的值为 ． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为 ． 【变式】2．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 【变式】3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）矩形中，，，将沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线于点（点P不与点B重合），点的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则长为 ． 题型03 圆中的翻折问题 【典例】（25-26九年级上·成都·期末）如图，将一张圆形纸片对折，使圆上的点P与圆心O重合，折痕为，则下列结论错误的是（   ） A．若连接，则垂直平分弦 B．的长是的半径长的倍 C．劣弧的长度是周长的三分之一 D．若连接，，，则是等边三角形 【变式】（25-26·成都·九年级校考期末）如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式】（2026·成都·校考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于(    )． A． B． C． D． 【变式】（2025·成都·校考二模）如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是 ．    题型04 三角形中的旋转问题 【典例】（2025·成都·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °． 【变式】1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，中，，，是边上的动点．将线段绕点顺时针旋转到，将线段绕点顺时针旋转到，连接，，，分别是，的中点．下列结论：①点，，三点不一定共线；②；③垂直平分；④．正确的有 ．（填序号） 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当或为时，的长为 ． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期末）张老师在“图形的旋转”主题下设计了“三点共线”的问题背景：如图，已知和均为等边三角形，且，分别是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，请你解答． 【观察发现】（1）当，，三点共线时，_____； 【尝试探究】（2）如图1，当，，三点共线时，求证：平分； 【深入探究】（3）如图2，三点共线；图3中，三点共线，请你直接写出与的锐角夹角的度数，并选择其中一个图形写出解题过程． 题型05 四边形形中的旋转问题 【典例】（25-26九年级上·成都·月考）如图，已知在平行四边形中，，，，点是边上一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，如果点恰好落在平行四边形的边上，那么的值是 ． 【变式】1．（2025·四川绵阳·一模）如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，点P是正方形的对角线上的一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，点M是的中点．下列结论错误的是（  ） A．是等腰三角形 B． C．当点E在边上时， D．连接，最短时， 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期末）综合与实践： 【实践操作】如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，． 【探究发现】试证明：； 【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间的数量关系； 【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值． 题型06 几何图形中的平移问题 【典例】（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在的延长线上时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）如图， 在正方形中，， 点P在上，， 将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时，点A 的对应点到的距离为 ． 【变式】（24-25九年级下·成都·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】3．（2025·成都·校考一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 题型07 轴对称相关的最值问题 【典例】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 【变式】1.（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【变式】2.（2025·四川宜宾·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ． 【变式】（2025·西安·校考一模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 题型08 旋转相关的最值问题 【典例】（2025·成都·一模）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·三模）如图，长方形中，，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为___________． 【变式】2．（2026·成都·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·校考期末）正方形边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，点E是上一动点，点E绕点D按逆时针方向转，得点F，连．当A、E、F三点共线时，长是 ． 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 3.（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 4.（2025·四川成都·二模）如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为______． 5．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 6．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 7．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为 ． 9．（2025·成都·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    10．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接．(1)求证：；(2)判断四边形的形状，并说明理由．(3)已知，当点恰为中点时，求的长度． 11.（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．的度数是 ；周长的最小值是 ． 问题探究（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 1．（2025·成都·模拟预测）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得．① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 2．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践 【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，. 【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________. 【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上. 【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由. （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由. 3．（2025·成都·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $