2026年中考数学一轮复习 重难点方法专练01 实数与二次根式（讲义+练习+测试）

重难点方法专练01 实数 （4个知识点+15个题型+验收卷） 考点一 无理数 方法1：无理数的整数部分和小数部分相关计算 若（a是非平方数的正整数）的整数部分为，则其小数部分为． 示例：的整数部分为，小数部分为，求的值． 第①步 先利用夹逼法确定的范围： ∵，∴，即； 第②步 根据求得的的范围确定其整数部分与小数部分： ∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， 第③步 代入计算：． 适用范围：已知一个无理数，求与其整数部分和小数部分的相关计算． 方法巧记：先定范围再求整，减去整数即得小数部分. 方法2：无理数与几何图形结合数轴 模型1：无理数在数轴上的尺规作图问题． 示例1：如图，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点B． 第①步 取点：取数轴上C点表示，作数轴且，取数轴上O点表示0，则， 第②步 计算：由勾股定理得：， 第③步 作图：以点A为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点B，则，又点B在原点O左侧，所以B点表示的数为； 模型2：无理数结合几何图形在数轴上的表示． 示例2：如图，边长为的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，(点E在点A的右侧)且，则点E所表示的数为 . 第①步 求出：根据题意可得：，，则， 第②步 确定点E表示的数：∵点A表示的数为1，且点E在点A的右侧， 点所表示的数为． 适用条件：无理数与数轴的相关问题． 方法巧记：勾股定理帮忙算，数形结合是关键. 方法3：与算术平方根有关的规律探索模型 1、算术平方根移位规律：被开方数扩大（或缩小）倍，则其算术平方根扩大（或缩小）倍； 示例1：若，，则的值为 ． 根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍可得：17.2扩大100倍得1720，则其算术平方根40147扩大10倍可得：． 2、其它与算术平方根相关的规律探索问题：先观察找到规律，再按照规律解决问题． 示例2：已知，，，，…，依上述规律，= ； 第①步 先观察寻找规律：…； 第②步 根据规律求解： 方法巧记：注意被开方数与算术平方根的变化，严谨探索找规律，根据规律再求解. 考点二 实数的运算 方法1：实数的运算之裂项 1、形如：计算． 第①步 分裂成两项之和：原式； 第②步 消项计算：； 2、计算． 第①步 分裂成两项之差：原式； 第②步 消项计算：． 模型适用条件：分母为两个整数之积，分子为这两个整数的和或差的倍数的有理数的混合运算． 方法巧记：先裂后消再计算． 方法2：实数的运算之拆项模型 形如：计算． 第①步 拆项：原式 第②步 重组：原式 第③步 计算． 模型适用条件：含带分数的有理数加减运算． 方法巧记：先拆后组再计算. 方法3：实数的运算之错位相减 形如：计算． 第①步 设：设 ；① 第②步 乘底数：原式；② 第③步 错位相减：，得； 第④步 的系数化为1：． 模型适用条件：几个底数相同的连续幂的和． 方法巧记：先设再乘后相减，系数化1得结论. 方法4：实数的运算之倒数 形如：计算（是的倍数，且均不为0）． 第①步 取倒数： 第②步 变乘法： 第③步 利用乘法分配律求值． 模型适用条件：一个分数除以几个分数和差的计算，其中被除数的分母是除数中几个分数分母的倍数． 方法巧记：先取倒数，再转乘法后计算. 考点三 实数与数轴 方法1：数轴上的运动之单动点 动点P从点 A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后到达B点，B点对应的数是：； 动点P从点 A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后到达B点，B点对应的数是：． 解决数轴动点问题主要步骤：①画图—在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点—写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示； ③表示相关线段的距离—一般用右－左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解—根据条件列方程或代数式、求值． 方法巧记：关键是用含参的代数式表示动点，注意分类讨论和数形结合. 方法2：数轴上的运动之双动点 1、动点P、Q分别从点A、B（点A、B在数轴上对应的数分别是a、b）出发，分别以每秒、个单位的速度向右移动，t秒后分别到达点C、D，则C、D对应的数分别是，． 2、动点P、Q分别从点A、B（点A、B在数轴上对应的数分别是a、b）出发，分别以每秒、个单位的速度向左移动，t秒后分别到达点C、D，则C、D对应的数分别是，． 3、动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒个单位的速度向右移动，动点Q从点B（点B在数轴上对应的数是、b）出发，以每秒个单位的速度向左移动，t秒后分别到达点C、D，则C、D对应的数分别是，． 4、动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒个单位的速度向左移动，动点Q从点B（点B在数轴上对应的数是、b）出发，以每秒个单位的速度向右移动，t秒后分别到达点C、D，则C、D对应的数分别是，． 数轴双动点问题主要的方法与步骤： 画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示； 表示距离——根据两点间的距离公式表示； 列式求解——根据条件列出方程或代数式并求解． 方法巧记：关键是用含参数的代数式表示动点，注意分类讨论和数形结合. 方法3：数轴上的运动之动线段 1、数轴上点A、B（点A、B在数轴上对应的数分别是a、b），长为d的线段端点C与原点重合，若以每秒个单位的速度向右移动，t秒后到达如图所示位置，则点C、D对应的数分别是，． 2、数轴上点A、B（点A、B在数轴上对应的数分别是a、b），长为d的线段端点C与原点重合，若以每秒个单位的速度向左移动，t秒后到达如图所示位置，则点C、D对应的数分别是，． 数轴动线段问题主要的方法与步骤： 画图——在数轴上表示出线段端点的运动情况：运动方向和速度； 写点——写出相关的点表示的数：常用含t的代数式表示； 表示距离——根据两点间的距离公式表示； 列式求解——根据条件列出方程或代数式并求解． 方法巧记：关键是用含参数的代数式表示动线段的两个端点，注意分类讨论和数形结合. 方法4：数轴上到两点的距离最小 （）的最小值：当x的取值在时取得最小值． 求的最小值，即在数轴上找一点x，使数x到数a、b的距离和最小 分类情况 图示 的取值情况 当时 （在数a的左侧） 的值大于 当时 （在数a、b之间） 的值为定值，即为 当时 （在数b的右侧） 的值大于 结论：当x的取值在时取得最小值为． 方法巧记：大小小大取中间，得最小． 考点四 二次根式 方法1：二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性是指：对于二次根式，首先，二次根式的被开方数非负；其次，二次根式本身是非负数． 适用范围：利用被开方数的非负性求解未知数，利用二次根式的值非负求解． 方法巧记：一重非负记被开方数，二重非负记二次根式 方法2：二次根式的性质 模型解读：． 一般步骤：先判断a的正负，再根据绝对值的性质去绝对值． 适用范围：被开方数为完全平方式的二次根式的化简． 方法巧记：一去根号先加绝对值，二断正负再去绝对值 方法3：二次根式化简之分母有理化 形如：化简． 第①步 分母有理化： 第②步 计算：原式． 适用范围：分母为含有根式的两项相加减的形式． 方法巧记：分子与分母同乘有理化因式，正确计算是关键 方法4：二次根式化简之整体代入 示例：已知，求的值． 第①步 分母有理化所求的式子：； 第②步 代入计算：原式． 适用范围：所求的式子含二次根式，变形后能将已知整体代入． 方法巧记：先化简所求式子，再代入已知式子，正确计算是关键． 类型1 无理数的整数部分和小数部分相关计算 【例题】 1. 阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为的小数部分为． 解决问题： (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)已知：是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【参考答案】(1)3；；(2)1． 【思路引导】 （1）利用夹逼法的范围即可解答； （2）先根据夹逼法求出a，b，进而可得答案． 【详细解析】 （1）∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）∵， ∴的小数部分为， ∴的小数部分为， ∴． ∵小数部分为， ∴的小数部分为， ∴， ∴． 【变式】 2．的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，先估算出，从而即可得出、的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴， 故选：A． 3．若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值为（　　） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值． 根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】 的整数部分为a，小数部分为b， ， 故选：A． 4．设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数整数部分的有关计算，无理数的大小估算,实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则及无理数的估算是解题的关键．先求无理数和的整数部分和小数部分，得出a，b，c，d的值，然后代入中计算，求得，再进行实数的估算得出答案． 【详解】解：的整数部分是a，小数部分是b， ，， 的整数部分是c，小数部分是d， ，， ， ，， ， ． 故选A． 类型2 无理数与几何图形结合数轴 【例题】 5. 如图，把面积为6的正方形放到数轴上，使得正方形的一个顶点A与重合，那么顶点B在数轴上表示的数是 ． 【参考答案】． 【思路引导】 先求出正方形的边长，再结合数轴与A、B两点间的距离即可求解. 【详细解析】 解：∵正方形的面积为6， ∴正方形的边长为， ∵点A表示， ∴顶点B在数轴上表示的数是， 故答案为：． 【变式】 6．如图，数轴上点中，与相对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先根据无理数的估算可知：，则，根据数轴上点的位置可作判断．本题考查数轴上表示的数及无理数的估算等知识． 【详解】解：， ∴， ， 由题意可知：点表示， 故选：B． 7．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 8．如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据数轴可得在线段上的点，所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、中的，故该数不存在，则此项不符合题意； C、是无理数，且，则此项符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：C． 9．如图，面积为3的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长，即可得出的长，从而求得点P在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， 即， ∵点C表示的数为，点P在点C的左边， ∴点P表示的数为， 故选：C． 类型3 与算术平方根有关的规律探索模型 【例题】 10．按要求填空： （1）填表： a 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：，则 ， ； 已知：，，则 ． 【参考答案】0.02     0.2     2     20     26.83     0.02683     3800． 【思路引导】 （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律：被开方数扩大（或缩小）倍，则其算术平方根扩大（或缩小）倍，即可得到答案． 【详细解析】 （1），，，， 填表如下： a 2 （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ，； ， ， ∵， ． 故答案为0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800． 【变式】 11．已知，，则（    ） A．34 B．0.034 C．3400 D．340 【答案】D 【分析】本题考查了求算术平方根，关键是算术平方根定义的掌握．由题意得出被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解． 【详解】解：，， 被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， ， 故选：D 12．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3小 C．只有3个正整数n满足15.5 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【详解】A．根据表格中的信息知：，故选项不正确； B．根据表格中的信息知：， ∴235的算术平方根比15.3大，故选项不正确； C．根据表格中的信息知：， ∴正整数或242或243， ∴只有3个正整数n满足，故选项正确； D．根据表格中的信息无法得知的值， ∴不能推断出将比256增大3.19，故选项不正确． 故选C． 13．观察下列式子：，，…，按此规律，则的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用前面所给的等式得到，再利用可得到，，然后计算的值． 【详解】解：， ， …， 按此规律， 而，， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了与算术平方根有关的规律探索题，解决此题的关键是找规律，发现等号左边根号内分母与等号右边分母之间的关系，从而得到、的值． 类型4 实数的运算之裂项 【例题】 14. 观察下列各等式，并回答问题： ；；；；… (1)填空：______（n是正整数） (2)计算：______． (3)求的值． 【参考答案】(1)；(2)；(3)． 【思路引导】 （1）根据材料提示，找出运算规律即可； （2）根据材料提示，每一项先分裂成两项差的形式，再计算加减即可； （3）类似的方法对每一项进行拆分，再计算加减即可． 【详细解析】 （1）解：， 故答案为：； （2）解：由（1）中的规律可得， ； （3）解：根据题意可得， ． 【变式】 15．再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 16．已知，若，则t的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及有理数的混合运算：由先算出，代入，化简计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴原式 ， 故选：A. 17．观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子的规律得出，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解． 【详解】解：∵，，，，……， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 类型5 实数运算之拆项 【例题】 18. 阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【参考答案】1． 【思路引导】 根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详细解析】 解：原式 ． 【变式】 19．阅读下面文字：对于 可以如下计算：原式 ， 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，计算： ． 【答案】 【分析】仿照示解题过程，将整数部分相加减，分数部分相加减，再计算可得． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加减混合运算法则和运算律． 20．（1）计算：； （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 21．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据“拆项法”计算即可； （2）依据“拆项法”计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握“拆项法”是解答本题的关键． 类型6 实数的运算之错位相减 【例题】 21.为了求的值，可令，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出的值是（　　） A．    B．    C．    D． 【参考答案】D． 【思路引导】 根据示例，可设，则，再两式错位相减，可得答案． 【详细解析】 解：设， 则， ∴， ∴， 即， 故选：D． 【变式】 22．小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以． 故选：B． 23．求的值，可令，则，因此．仿照以上方法，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键．理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算． 【详解】解：设， 则， 所以，， ， 故选：C． 24．在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：①，然后在①式的两边都乘以6，得②，②-①得，即，所以得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据题干给定的方法，设，进而得到，两式相减后，进行求解即可． 【详解】解：设， ，得：， ，得：， ∴ 故选B． 类型7 实数的运算之倒数 【例题】 25.阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【参考答案】． 【思路引导】 根据方法二，先求出原式的倒数，再根据乘法分配律计算，即可确定出原式的值． 【详细解析】 解：∵ ， ∴原式． 【变式】 26．若，则计算的结果是（    ） A． B．120 C． D．300 【答案】A 【分析】先利用与的互为倒数，求出的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，求出是解答本题的关键． 27．计算： ． 【答案】 【分析】先运用乘法分配律求该算式的倒数，再求解该题结果． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，准确的计算是解决本题的关键． 28．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一； (2)． 【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错． （2）选择适当且正确的方法解答即可． 本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第一种解法是错误的， 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ， 故原式． 类型8 数轴上的运动之单动点 【例题】 29.阅读下列材料： 根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为，时，点P与点Q之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，4（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上的动点，表示数m． (1)_______个单位长度；若点M在A、B之间，则_______； (2)若，则 m的值为_______． (3)若点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动，运动时间记为t秒． 请问几秒钟之后的值等于1？ (4)在（3）的条件下，若在点M运动的同时点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【参考答案】 (1)6，6；(2)或6；(3)或；(4)的值不会随着t的变化而变化，其值为定值2． 【思路引导】 （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）分三种情况讨论：当时， 当时，当时， 再进一步建立方程求解即可； （3）由M对应的数为，结合，根据两点间的距离可得，再解方程即可； （4）先表示出点A对应的数为，B对应的数为，结合M对应的数为，再列式计算即可． 【详细解析】 （1）解：∵点A、B表示的数分别是，4， ∴， ∵点M在A、B之间， 即， ∴； （2）解：当时，而， ∴， 解得：， 当时， ∴，不符合题意，舍去， 当时，而， ∴， 解得：， 综上：当时，或； （3）解：∵点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动， ∴M对应的数为， ∵， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：∵点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动， ∴A对应的数为，B对应的数为， ∵M对应的数为， ∴ ； ∴不会变化，为定值2． 【变式】 30．数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 【详解】解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 31．如图，线段AB＝8cm，点P在射线AB上从点A开始以每秒2cm的速度沿着射线AB的方向匀速运动，则当PB＝AB时，运动时间为（    ） A．秒或秒 B．秒 C．3秒 D．秒或秒 【答案】A 【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解． 【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=， 设点P运动时间为t秒，则AP=2t， 当点P在B点左侧时， 2t+=8， 解得t=； 当点P在B点左侧时， 2t-=8， 解得t=， 综上所述，运动时间为秒或秒， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程． 32．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是， 故①正确； 由题意得：（秒）， 点到达点时，， 故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或； 故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变， 故④正确； 所以，上列结论中正确的有个， 故选：D． 类型9 数轴上的运动之双动点 【例题】 33.如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； (3)当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【参考答案】 (1)，；(2)或4；(3)当Q点开始运动后第5、9、、秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【思路引导】 （1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）分两种情况：当点P在点B的左侧，当点P在点B的右侧，根据两点间的距离公式分别求出结果即可； （3）分四种情况：当P点在Q点的右侧，当P在Q点左侧时，当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，分别根据两点间的距离公式列出方程求出结果即可． 【详细解析】 （1）解：∵， ∴，，， 解得：，，； （2）解：， ①点P在之间，，， 点P的对应的数是； ②点P在的延长线上，， ， 点P的对应的数是4； （3）解：设在点Q开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4， 当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，， 解得； 当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，， 解得； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，， 解得：； 当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，， 解得， 综上所述：当Q点开始运动后第5、9、、秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【变式】 34．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【详解】解：设运动时间为t，则t秒后点P表示的数为，点M表示的数为， 当点P在点M左侧时，， 解得：； 当点P在点M右侧时，， 解得：； 综上分析可知，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为秒或秒， 故选：C． 35．如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分点M原点左边或右边两种情况讨论，由题意列出方程可求解． 【详解】解：当点M在原点左边， 由题意得：2（6-3t）=4+t， 解得：t=； 当点M在原点右边， 由题意得：2（3t-6）=4+t， ∴t=， 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 36．如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 【答案】D 【分析】根据点A，B表示的数，分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，结合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动的时间为t 秒， P、Q相遇前， 依题意有 ， 解得； P、Q相遇后， 依题意有 ， 解得． 故运动的时间为15秒或20秒． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的一元一次方程是解题的关键． 类型10 数轴上的运动之动线段 【例题】 37.在一次数学综合实践活动课中，小明借助两根小木棒a、b研究数学问题： 两根木棒如图所示放置在数轴上，已知木棒a的端点A、B在数轴上对应的数分别是4和8，木棒b在负半轴上，且端点C、D（点C在点D的左边）之间的距离为6，点D到原点的距离为1．小明同时把木棒a、b沿数轴的正方向匀速移动，已知木棒a的速度为每秒2个单位长度，木棒b的速度为每秒3个单位长度，设移动时间为t秒． (1)在移动过程中，若原点O恰好是木棒b的中点，求t的值； (2)在移动过程中，当点D与点A重合时，求出这个重合的点所表示的数； (3)在移动过程中，当木棒a、b重叠部分的长至少为3个单位长度时，求t的取值范围． 【参考答案】 (1)；(2)14；(3)． 【思路引导】 （1）根据题意确定点C、D在数轴上对应的数分别是和，再确定木棒b移动t秒后点C、D在数轴上对应的数分别是和，再根据原点恰好是木棒b的中点时，点C和点D到原点距离相等列出方程，解答即可； （2）根据题意确定木棒a移动t秒后点A、B在数轴上对应的数分别是和，根据当点D与点A重合时，点D和点A对应的数相等，列出方程，解答即可； （3）先算出当木棒a、b重叠部分的长刚好为3个单位长度时的运动时间，分两种情况：①当点C在点A左边时，②当点C在点A右边时，分别求解；再根据运动方式即可得到范围． 【详细解析】 （1）解：∵木棒b在负半轴上，且端点C、D（点C在点D的左边）之间的距离为6，点D到原点的距离为1． ∴点C、D在数轴上对应的数分别是和． 木棒b移动t秒后点C、D在数轴上对应的数分别是和， 原点恰好是木棒b的中点时， 可得：， 解得． （2）根据题意，得：点C、D在数轴上对应的数分别是和． ∴木棒b移动t秒后点C、D在数轴上对应的数分别是和， 木棒a的端点A、B在数轴上对应的数分别是4和8， ∴木棒a移动t秒后点A、B在数轴上对应的数分别是和， 当点D与点A重合时， 根据题意，得， 解得． ∴， ∴这个重合的点所表示的数为14． （3）由（2）得移动t秒后点C、D、A、B在数轴上对应的数分别是，， ，， 当木棒a、b重叠部分的长刚好为3个单位长度时， ①当点C在点A左边时，， 解得． ②当点C在点A右边时，， 解得． ∴当木棒a、b重叠部分的长至少为3个单位长度时， 可得． 【变式】 38．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点时，点所对应的数为；当的右三等分点移动到点时，点所对应的数为．木棒的长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木棒长为，根据“当的中点移动到点时，点所对应的数为；当的右三等分点移动到点时，点所对应的数为”列出一元一次方程，解方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设木棒长为， 根据题意得， 解得， 故选：B． 39．把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 40．如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）则木棒MN长为 cm． 【答案】5 【分析】由数轴观察知三根木棒长是20-5＝15(cm)，则此木棒长为5cm． 【详解】解：由数轴观察知三根木棒长是20-5＝15(cm)，则此木棒长为15÷3＝5(cm)， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了数轴，数形结合是解决本题的关键． 类型11 数轴上到两点的距离最小 【例题】 41.同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【参考答案】 (1)7；(2)；(3)有最小值，最小值是9． 【思路引导】 （1）根据绝对值的性质即可求解； （2）由可得表示x到的距离与x到2的距离之和，根据即可得到x一定在到2之间，进而可求解； （3）由可得表示的是x到的距离与x到6的距离之和，进而可得当x位于和6之间时，的值最小，即为到6的距离，即可求解． 【详细解析】 （1）解：， 故答案为：7； （2）解：∵， ∴表示x到的距离与x到2的距离之和， ∵， ∴x一定在到2之间， ∴符合条件的整数x有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是9． 理由如下： ∵， ∴表示的是x到的距离与x到6的距离之和， 当x位于和6之间时，的值最小，即为到6的距离， ∴ 有最小值为． 【变式】 42．由绝对值的几何意义，我们知道表示数轴上某一点到原点的距离，同理可以得到表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，表示数轴上某一点到表示数－2的点的距离．设，结合数轴，则下面的结论中正确的是（    ） A．S没有最小值 B．有有限个x（不止一个）使S取得最小值 C．只有一个x使S取得最小值 D．有无限个x使S取得最小值 【答案】D 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用．根据题意，可得表示数轴上某一点到点、点1的距离的和，的最小值是2，当时，都能取到最小值2，据此解答即可． 【详解】解：如图， ，，， 的最小值是2， 当时，都能取到最小值2， 有无穷个使取最小值． 故选：D． 43．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 44．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，数轴上两点的距离，解题的关键是以和2为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和2为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故答案为：． 类型12 二次根式的双重非负性 【例题】 45.二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【参考答案】 (1)；(2)7或3． 【思路引导】 （1）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式的被开方数的非负性求得x，y的值后代入中计算即可． 【详细解析】 （1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 【变式】 46．如果有意义，那么代数式的值为（    ） A． B．8 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简绝对值和二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴； 故选B． 47．若，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，点的坐标，由二次根式有意义的条件可得，即得，即可得到点的坐标，据此即可判断求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在第四象限， 故选：． 48．若实数a，b满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，再根据分式有意义的条件是分母不为0得到，据此求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 类型13 二次根式的性质 【例题】 49.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A．7    B．    C．    D．无法确定 【参考答案】A． 【思路引导】 先由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，进而去根号化简求值． 【详细解析】 解：由数轴可得， ∴，， ∴ ， 故选：A． 【变式】 50．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，解题的关键是掌握相关的知识．先根据数轴判断出、和的符号，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 51．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的化简，熟练掌握其运算性质是解题的关键．先利用完全平方公式，二次根式性质，绝对值的性质，结合进行化简，再合并同类项即可得解． 【详解】解： ， ，， ． 故选A． 52．已知，那么的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了去绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键．先根据确定，然后去绝对值、化简二次根式，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 53．已知点是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了第二象限内点的坐标特点，化简二次根式，根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到，据此化简二次根式后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵点是平面直角坐标系中第二象限的点， ∴， ∴， 故选：A． 类型14 二次根式化简之分母有理化 【例题】 54.阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ． (1)观察上面的等式，请直接写出化简为正整数的结果为 ； (2)计算： ； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 【参考答案】 (1)；(2)1；(3)2023． 【思路引导】 （1）分子，分母都乘以，再化简即可； （2）直接利用平方差公式计算即可； （3）括号内先每一项分母有理化，合并后再利用平方差公式计算即可． 【详细解析】 （1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：1； （3）解： ． 【变式】 55．若，，则a与b的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较及分母有理化，先根据二次根式的运算法则将分母有理化，再将与比较即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D 56．将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式化简和分母有理化，先将进行分母有理化求出a、b，即可求解． 【详解】 ∴ ∴ 故选：A ． 57． =（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案． 【详解】解：原式 故选：C． 58．二次根式除法可以这样做，如，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算：；⑤若x=，，且，则整数．以上结论正确的是（   ） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键题． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值． 【详解】解： ，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ∵a是 的小数部分，， ∴， ∴， 故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得．故⑤正确． 故选：D． 类型15 二次根式化简之整体代入 【例题】 59.已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【参考答案】 (1)11；(2)10． 【思路引导】 （1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形整体代入求解即可； （2）先变形所求的式子，再整体代入进行求解即可． 【详细解析】 （1）解：∵，， ∴，， ，， ∴； （2）解： ． 【变式】 60．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先求出，，再根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 61．已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 62．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 63．已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简，再利用因式分解和完全平方公式把转化为，把化简后的值代入计算得到的值，即可求出的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴ ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 实数与二次根式验收卷 满分：120分 得分：____ 解答题（每题6分，共20题） 1．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)1 (3)9 (4) 【分析】本题主要考查立方根、无理数的估算及代数式的值，熟练掌握立方根、无理数的估算及代数式的值是解题的关键． （1）由题意易得，则有的整数部分为3，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，，然后可得，然后根据完全平方公式可进行求解； （3）由题意易得，则有的小数部分为，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为：； （2）解：∵， ∵， ∴，， ∵与的小数部分分别为a和b， ∴， ∴； （3）解：由可知， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∵x是整数，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：9； （4）解：∵无理数（m为正整数）的整数部分为n， ∴的小数部分为， ∴的小数部分即为的小数部分，为； 故答案为：． 2．无理数的发现是实数发展史上的一个重要里程碑，在七年级我们学习了数的再一次扩充，认识了实数，请你结合本学期所学的知识完成下列问题： (1)判断正误（正确打，错误打）：任何一个实数与数轴上的点一一对应．（    ） (2)如图1，点A表示的数是________． (3)如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点B．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应以及勾股定理，是解题的关键． （1）直接利用实数与数轴的关系分析得出即可．即可解答； （2）勾股定理进行求解即可； （3）取数轴上C点表示，数轴且，取数轴上O点表示0，则，由勾股定理得：，以点A为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点B，则，又点B在原点O左侧，所以B点表示的数为， 【详解】（1）解：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 本题说法正确， 故答案为：． （2）解：由勾股定理可知直角三角形的斜边长为：， ∴点A表示的数在O的右侧，距离O的距离为，即A点表示的数是． 故答案为：； （3）如图所示：点B即为所求； ， 3．阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)， (3)1，作图见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义解答； （2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数； （3）根据题意可得图中阴影部分正方形的边长，先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点． 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即， 故答案为：； （2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为， ∵图中小正方形对角线长为， ∴， ∴，， ∴，两点表示的数分别为和， 故答案为：，； （3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为； 图3拼成的大正方形面积为5， 则大正方形边长为， 即图3裁出的长方形的对角线长为， 则可利用如下图所示作图： 其中，，， ∴， ∴点表示的数为． 4．阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：＝， 故答案为：； （3）解：原式 ． 5．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【答案】(1)①两；②，；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根； （1）根据所提供的方法进行计算即可； （2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． 【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：①两；②，；③； （2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较大的个位数字，则． 6． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 7．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． （2）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ． 8．计算∶ (1)； (2)； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先去括号，然后根据理有理数的加减法则计算即可； （2）把各带分数拆成整数与分数的和，然后计算整数部分的和，分数部分的和即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 9．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 10．阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法三： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③； 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则，根据有理数除法的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解：三种解法中得出的结果不同，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 11．阅读下列材料： 根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为，时，点P与点Q之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，4（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上的动点，表示数m． (1)_______个单位长度；若点M在A、B之间，则_______； (2)若，则 m的值为_______． (3)若点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动，运动时间记为t秒． 请问几秒钟之后的值等于1？ (4)在（3）的条件下，若在点M运动的同时点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)6，6 (2)或6 (3)或 (4)的值不会随着t的变化而变化，其值为定值2 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）分三种情况讨论：当时， 当时，当时， 再进一步建立方程求解即可； （3）由对应的数为，结合，可得，再解方程即可； （4）由对应的数为，对应的数为，结合对应的数为，再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A、B表示的数分别是，4， ∴， ∵点M在A、B之间， 即， ∴； （2）解：当时，而， ∴， 解得：， 当时， ∴，不符合题意，舍去， 当时，而， ∴， 解得：， 综上：当时，或； （3）解：∵点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动， ∴对应的数为， ∵， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：∵点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动， ∴对应的数为，对应的数为， ∵对应的数为， ∴ ； ∴不会变化，为定值2． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值的含义，一元一次方程的应用，整式的加减运算的应用，理解题意熟练的列式或方程是解本题的关键． 12．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． （1）根据时间路程速度，即可求解； （2）由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：． 13．如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)， (2)当点运动秒时，点与点相遇 【分析】（）根据两点之间的距离为个单位列式即可解答； （）设点运动秒时追上点，根据题意列出关于的方程即可解答； 本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程等知识点，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，， ∴数轴上点表示的数是， 由题意得：动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）设点运动秒时追上点， 根据题意得：， 解得：， 答：点运动秒时，点与点相遇． 14．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案； （2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可； （3）分情况进行讨论列式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 点表示的数为，点表示的数为， 线段的长为， 故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①当点在中间，，， ， ， 解得； ②当点在点左边，，， ， ， 解得； ③当点在点右边，不符合题意； 故答案为：或． （3）解：①当点位于木棒左侧时，， 解得， ②当点位于木棒左侧时，， 解得， 当点到达点时，木棒与点同时停止移动， ， 故舍去， 故点移动的时间为秒． 15．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示6与两点之间的距离是______，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为______； (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则______； (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是______；当时，x的值为______． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？呢？如果有，分别写出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)；或 (4)当时，有最小值13；当时，有最小值17 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式即可解答； （2）利用数轴上两点距离公式列方程求解即可； （3）分为，和去绝对值求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，可推出当时，有最小值，同理可得当时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，据此求解即可； 【详解】（1）解：数轴上表示与两点之间的距离是, 数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为, 故答案为: ，； （2）解：由题意得， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：当时，则， 解得，不符合题意舍去； 当时，则， 解得，不符合题意舍去； 当时，，任意的x的值都符合题意， 综上所述，； 当时，， 解得； 当时，则， 解得，不符合题意舍去； 当时，则，无解， 故x的值为或； 故答案为：；或； （4）解：∵表示的是数轴上表示x的数到表示和7的两数的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； 同理可得当时，有最小值，最小值为， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时有最小值，最小值为． 16．已知，且是偶数，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，二次根式化简，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式的分母不为0，以及二次根式的性质． 先根据二次根式有意义的条件求出，得出，然后进行根据二次根式性质进行化简求出结果即可． 【详解】解：∵ ， ∴，， 解得：， ∵x为偶数， ∴， ∴ ． 17．张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 【答案】(1)2023；2024； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）解不等式组即可求出x、y及的值； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式求值即可； （3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：由， 解得:，， ∴ ； （3）解：由， 得，， ∵， ∴． 18．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 19．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，，可得，进而可得结果； （2）由题意知，，，根据，代值求解即可； （3）令，则，即，可求，则，，整理得，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， ∴， ∴的值为； （3）解：令， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差等知识．熟练掌握分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差是解题的关键． 20．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）根据，结合，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点方法专练01 实数 （4个知识点+15个题型+验收卷） 考点一 无理数 方法1：无理数的整数部分和小数部分相关计算 若（a是非平方数的正整数）的整数部分为，则其小数部分为． 示例：的整数部分为，小数部分为，求的值． 第①步 先利用夹逼法确定的范围： ∵，∴，即； 第②步 根据求得的的范围确定其整数部分与小数部分： ∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， 第③步 代入计算：． 适用范围：已知一个无理数，求与其整数部分和小数部分的相关计算． 方法巧记：先定范围再求整，减去整数即得小数部分. 方法2：无理数与几何图形结合数轴 模型1：无理数在数轴上的尺规作图问题． 示例1：如图，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点B． 第①步 取点：取数轴上C点表示，作数轴且，取数轴上O点表示0，则， 第②步 计算：由勾股定理得：， 第③步 作图：以点A为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点B，则，又点B在原点O左侧，所以B点表示的数为； 模型2：无理数结合几何图形在数轴上的表示． 示例2：如图，边长为的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，(点E在点A的右侧)且，则点E所表示的数为 . 第①步 求出：根据题意可得：，，则， 第②步 确定点E表示的数：∵点A表示的数为1，且点E在点A的右侧， 点所表示的数为． 适用条件：无理数与数轴的相关问题． 方法巧记：勾股定理帮忙算，数形结合是关键. 方法3：与算术平方根有关的规律探索模型 1、算术平方根移位规律：被开方数扩大（或缩小）倍，则其算术平方根扩大（或缩小）倍； 示例1：若，，则的值为 ． 根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍可得：17.2扩大100倍得1720，则其算术平方根40147扩大10倍可得：． 2、其它与算术平方根相关的规律探索问题：先观察找到规律，再按照规律解决问题． 示例2：已知，，，，…，依上述规律，= ； 第①步 先观察寻找规律：…； 第②步 根据规律求解： 方法巧记：注意被开方数与算术平方根的变化，严谨探索找规律，根据规律再求解. 考点二 实数的运算 方法1：实数的运算之裂项 1、形如：计算． 第①步 分裂成两项之和：原式； 第②步 消项计算：； 2、计算． 第①步 分裂成两项之差：原式； 第②步 消项计算：． 模型适用条件：分母为两个整数之积，分子为这两个整数的和或差的倍数的有理数的混合运算． 方法巧记：先裂后消再计算． 方法2：实数的运算之拆项模型 形如：计算． 第①步 拆项：原式 第②步 重组：原式 第③步 计算． 模型适用条件：含带分数的有理数加减运算． 方法巧记：先拆后组再计算. 方法3：实数的运算之错位相减 形如：计算． 第①步 设：设 ；① 第②步 乘底数：原式；② 第③步 错位相减：，得； 第④步 的系数化为1：． 模型适用条件：几个底数相同的连续幂的和． 方法巧记：先设再乘后相减，系数化1得结论. 方法4：实数的运算之倒数 形如：计算（是的倍数，且均不为0）． 第①步 取倒数： 第②步 变乘法： 第③步 利用乘法分配律求值． 模型适用条件：一个分数除以几个分数和差的计算，其中被除数的分母是除数中几个分数分母的倍数． 方法巧记：先取倒数，再转乘法后计算. 考点三 实数与数轴 方法1：数轴上的运动之单动点 动点P从点 A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后到达B点，B点对应的数是：； 动点P从点 A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后到达B点，B点对应的数是：． 解决数轴动点问题主要步骤：①画图—在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点—写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示； ③表示相关线段的距离—一般用右－左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解—根据条件列方程或代数式、求值． 方法巧记：关键是用含参的代数式表示动点，注意分类讨论和数形结合. 方法2：数轴上的运动之双动点 1、动点P、Q分别从点A、B（点A、B在数轴上对应的数分别是a、b）出发，分别以每秒、个单位的速度向右移动，t秒后分别到达点C、D，则C、D对应的数分别是，． 2、动点P、Q分别从点A、B（点A、B在数轴上对应的数分别是a、b）出发，分别以每秒、个单位的速度向左移动，t秒后分别到达点C、D，则C、D对应的数分别是，． 3、动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒个单位的速度向右移动，动点Q从点B（点B在数轴上对应的数是、b）出发，以每秒个单位的速度向左移动，t秒后分别到达点C、D，则C、D对应的数分别是，． 4、动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒个单位的速度向左移动，动点Q从点B（点B在数轴上对应的数是、b）出发，以每秒个单位的速度向右移动，t秒后分别到达点C、D，则C、D对应的数分别是，． 数轴双动点问题主要的方法与步骤： 画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示； 表示距离——根据两点间的距离公式表示； 列式求解——根据条件列出方程或代数式并求解． 方法巧记：关键是用含参数的代数式表示动点，注意分类讨论和数形结合. 方法3：数轴上的运动之动线段 1、数轴上点A、B（点A、B在数轴上对应的数分别是a、b），长为d的线段端点C与原点重合，若以每秒个单位的速度向右移动，t秒后到达如图所示位置，则点C、D对应的数分别是，． 2、数轴上点A、B（点A、B在数轴上对应的数分别是a、b），长为d的线段端点C与原点重合，若以每秒个单位的速度向左移动，t秒后到达如图所示位置，则点C、D对应的数分别是，． 数轴动线段问题主要的方法与步骤： 画图——在数轴上表示出线段端点的运动情况：运动方向和速度； 写点——写出相关的点表示的数：常用含t的代数式表示； 表示距离——根据两点间的距离公式表示； 列式求解——根据条件列出方程或代数式并求解． 方法巧记：关键是用含参数的代数式表示动线段的两个端点，注意分类讨论和数形结合. 方法4：数轴上到两点的距离最小 （）的最小值：当x的取值在时取得最小值． 求的最小值，即在数轴上找一点x，使数x到数a、b的距离和最小 分类情况 图示 的取值情况 当时 （在数a的左侧） 的值大于 当时 （在数a、b之间） 的值为定值，即为 当时 （在数b的右侧） 的值大于 结论：当x的取值在时取得最小值为． 方法巧记：大小小大取中间，得最小． 考点四 二次根式 方法1：二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性是指：对于二次根式，首先，二次根式的被开方数非负；其次，二次根式本身是非负数． 适用范围：利用被开方数的非负性求解未知数，利用二次根式的值非负求解． 方法巧记：一重非负记被开方数，二重非负记二次根式 方法2：二次根式的性质 模型解读：． 一般步骤：先判断a的正负，再根据绝对值的性质去绝对值． 适用范围：被开方数为完全平方式的二次根式的化简． 方法巧记：一去根号先加绝对值，二断正负再去绝对值 方法3：二次根式化简之分母有理化 形如：化简． 第①步 分母有理化： 第②步 计算：原式． 适用范围：分母为含有根式的两项相加减的形式． 方法巧记：分子与分母同乘有理化因式，正确计算是关键 方法4：二次根式化简之整体代入 示例：已知，求的值． 第①步 分母有理化所求的式子：； 第②步 代入计算：原式． 适用范围：所求的式子含二次根式，变形后能将已知整体代入． 方法巧记：先化简所求式子，再代入已知式子，正确计算是关键． 类型1 无理数的整数部分和小数部分相关计算 【例题】 1. 阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为的小数部分为． 解决问题： (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)已知：是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【变式】 2．的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值为（　　） A．2 B．0 C．1 D． 4．设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 类型2 无理数与几何图形结合数轴 【例题】 5. 如图，把面积为6的正方形放到数轴上，使得正方形的一个顶点A与重合，那么顶点B在数轴上表示的数是_______． 【变式】 6．如图，数轴上点中，与相对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，面积为3的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（   ） A． B． C． D． 类型3 与算术平方根有关的规律探索模型 【例题】 10．按要求填空： （1）填表： a 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：，则 ， ； 已知：，，则 ． 【变式】 11．已知，，则（    ） A．34 B．0.034 C．3400 D．340 12．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3小 C．只有3个正整数n满足15.5 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 13．观察下列式子：，，…，按此规律，则的值为（        ） A． B． C． D． 类型4 实数的运算之裂项 【例题】 14. 观察下列各等式，并回答问题： ；；；；… (1)填空：______（n是正整数） (2)计算：______． (3)求的值． 【变式】 15．再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 16．已知，若，则t的值为（   ） A． B． C． D． 17．观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 类型5 实数运算之拆项 【例题】 18. 阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【变式】 19．阅读下面文字：对于 可以如下计算：原式 ， 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，计算： ． 20．（1）计算：； （2）计算． 21．计算： (1)； (2) 类型6 实数的运算之错位相减 【例题】 21.为了求的值，可令，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出的值是（　　） 【变式】 22．小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 23．求的值，可令，则，因此．仿照以上方法，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 24．在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：①，然后在①式的两边都乘以6，得②，②-①得，即，所以得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（    ） A． B． C． D． 类型7 实数的运算之倒数 【例题】 25.阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【变式】 26．若，则计算的结果是（    ） A． B．120 C． D．300 27．计算： ． 28．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 类型8 数轴上的运动之单动点 【例题】 29.阅读下列材料： 根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为，时，点P与点Q之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，4（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上的动点，表示数m． (1)_______个单位长度；若点M在A、B之间，则_______； (2)若，则 m的值为_______． (3)若点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动，运动时间记为t秒． 请问几秒钟之后的值等于1？ (4)在（3）的条件下，若在点M运动的同时点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式】 30．数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 31．如图，线段AB＝8cm，点P在射线AB上从点A开始以每秒2cm的速度沿着射线AB的方向匀速运动，则当PB＝AB时，运动时间为（    ） A．秒或秒 B．秒 C．3秒 D．秒或秒 32．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 类型9 数轴上的运动之双动点 【例题】 33.如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； (3)当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【变式】 34．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 35．如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 36．如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 类型10 数轴上的运动之动线段 【例题】 37.在一次数学综合实践活动课中，小明借助两根小木棒a、b研究数学问题： 两根木棒如图所示放置在数轴上，已知木棒a的端点A、B在数轴上对应的数分别是4和8，木棒b在负半轴上，且端点C、D（点C在点D的左边）之间的距离为6，点D到原点的距离为1．小明同时把木棒a、b沿数轴的正方向匀速移动，已知木棒a的速度为每秒2个单位长度，木棒b的速度为每秒3个单位长度，设移动时间为t秒． (1)在移动过程中，若原点O恰好是木棒b的中点，求t的值； (2)在移动过程中，当点D与点A重合时，求出这个重合的点所表示的数； (3)在移动过程中，当木棒a、b重叠部分的长至少为3个单位长度时，求t的取值范围． 【变式】 38．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点时，点所对应的数为；当的右三等分点移动到点时，点所对应的数为．木棒的长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 39．把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 40．如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）则木棒MN长为 cm． 类型11 数轴上到两点的距离最小 【例题】 41.同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【变式】 42．由绝对值的几何意义，我们知道表示数轴上某一点到原点的距离，同理可以得到表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，表示数轴上某一点到表示数－2的点的距离．设，结合数轴，则下面的结论中正确的是（    ） A．S没有最小值 B．有有限个x（不止一个）使S取得最小值 C．只有一个x使S取得最小值 D．有无限个x使S取得最小值 43．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 44．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 类型12 二次根式的双重非负性 【例题】 45.二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【变式】 46．如果有意义，那么代数式的值为（    ） A． B．8 C． D．无法确定 47．若，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 48．若实数a，b满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C． D．1或 类型13 二次根式的性质 【例题】 49.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A．7    B．    C．    D．无法确定 【变式】 50．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 51．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 52．已知，那么的结果是（      ） A． B． C． D． 53．已知点是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 类型14 二次根式化简之分母有理化 【例题】 54.阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ． (1)观察上面的等式，请直接写出化简为正整数的结果为 ； (2)计算： ； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 【变式】 55．若，，则a与b的关系是（    ） A． B． C． D． 56．将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 57． =（    ） A．9 B． C． D． 58．二次根式除法可以这样做，如，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算：；⑤若x=，，且，则整数．以上结论正确的是（   ） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 类型15 二次根式化简之整体代入 【例题】 59.已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式】 60．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 61．已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 62．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 63．已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 实数与二次根式验收卷 满分：120分 得分：____ 解答题（每题6分，共20题） 1．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 2．无理数的发现是实数发展史上的一个重要里程碑，在七年级我们学习了数的再一次扩充，认识了实数，请你结合本学期所学的知识完成下列问题： (1)判断正误（正确打，错误打）：任何一个实数与数轴上的点一一对应．（    ） (2)如图1，点A表示的数是________． (3)如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点B．（不写作法，保留作图痕迹） 3．阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 4．阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 5．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 6． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 7．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 8．计算∶ (1)； (2)； 9．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 10．阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法三： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 11．阅读下列材料： 根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为，时，点P与点Q之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，4（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上的动点，表示数m． (1)_______个单位长度；若点M在A、B之间，则_______； (2)若，则 m的值为_______． (3)若点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动，运动时间记为t秒． 请问几秒钟之后的值等于1？ (4)在（3）的条件下，若在点M运动的同时点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 12．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 13．如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 14．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 15．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示6与两点之间的距离是______，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为______； (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则______； (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是______；当时，x的值为______． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？呢？如果有，分别写出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由． 16．已知，且是偶数，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，二次根式化简，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式的分母不为0，以及二次根式的性质． 先根据二次根式有意义的条件求出，得出，然后进行根据二次根式性质进行化简求出结果即可． 17．张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 18．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如：解答问题： (1)填空：______，______． (2) 19．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 20．已知． (1)求的值； (2)求的值． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $