重难点01 整式和分式计算题专练（复习讲义，2大重点7种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 重难点01 整式和分式计算题专练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 34 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 整式计算题专练 1. 同类项 • 字母完全相同，且相同字母的指数也相同。 • 所有常数都是同类项。 2. 合并同类项 • 法则：系数相加减，字母和指数不变。 3. 去括号 • 括号前是 +：+(a+b-c)=a+b-c，各项不变号。 • 括号前是 -：-(a+b-c)=-a-b+c，每一项都变号。 • 括号前有数：2(a-3b)=2a-6b，数字乘遍每一项。 4. 整式加减 • 实质：去括号 + 合并同类项。 1. 去括号 • 先乘系数，再看符号：负号全变，正号不变。 2. 找同类项 • 按同类项归类书写。 3. 合并同类项 • 只算系数，字母、指数不动。 4. 检查 • 查符号、查漏项、查指数、查系数。 题型01 整式运算的概念辨析 【典例1】1．（2025·山东泰安·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【典例3】（2025·山东东营·三模）下列各运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5】（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·山东烟台·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·山东济南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8】（2025·山东青岛·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 整式运算中的乘法公式 【典例1】14．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【典例2】（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【典例3】（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【变式1】（2025·山东·模拟预测）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）已知，则的值是 ． 【变式3】（2025·山东德州·二模）对于代数式，以下结论正确的是（   ） A．该代数式有最小值为2 B．该代数式的值可以是任意的数 C．化简的结果是 D．使该代数式的值为3的的值是4 【变式4】（2025·山东聊城·二模）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．7 B．9 C．3 D．1 【变式5】（2025·山东临沂·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·山东青岛·一模）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【变式7】（2025·山东临沂·一模）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【变式8】（2025·山东青岛·一模）一元二次方程的两根分别为，，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 题型03整式运算中的先化简再求值 【典例1】25．（2025·山东青岛·模拟预测）（1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【典例2】（2025·山东济宁·三模）（1）已知是锐角，且，计算的值． （2）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2025·山东济宁·一模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【变式3】（2025·山东枣庄·一模）先化简，再求值：，其中． 重难点二 分式计算题专练 1. 分式有意义：分母≠0 2. 分式值为0：分子=0 且 分母≠0 3. 分式基本性质 = , = 4. 约分：分子分母同除以公因式 5. 通分：找最简公分母（系数最小公倍数，相同字母取最高次幂） 6. 符号法则 二、运算法则 1. 乘法： 2. 除法： 3. 同分母加减： 4. 异分母加减：先通分→再按同分母计算 1. 能分解先分解：多项式先因式分解 2. 除变乘：除以一个分式=乘它的倒数 3. 先约分：分子分母能约先约 4. 再计算：乘除直接算；加减先通分 5. 最后化最简：分子分母无公因式为止 题型01 分式无意义的条件 【典例1】30．（2025·山东烟台·模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【典例2】（2025·山东枣庄·模拟预测）写出使代数式有意义的的一个值 ． 【典例3】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【变式1】（2025·山东·中考真题）写出使分式有意义的的一个值 ． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）如果代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式3】（2025·山东滨州·二模）函数中自变量取值范围是 ． 【变式4】（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 【变式5】（2025·山东威海·一模）在函数中，的取值范围 ． 【变式6】（2025·山东临沂·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【变式7】（2025·山东德州·模拟预测）当实数x 时，有意义． 题型02分式为0的条件 【典例1】40．（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为． 【典例2】（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为0． 【变式1】（2025·山东济南·三模）若分式的值为0，则的值为 ． 【变式2】（2025·山东菏泽·三模）代数式的值为0，则 ． 【变式3】（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 题型03分式的混合运算 【典例1】45．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 【典例2】（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【典例3】（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）（1）化简：； （2）解不等式组，并写出它的整数解 【变式2】（2025·山东济宁·三模）计算： (1)解不等式：． (2)化简：． 【变式3】（2025·山东临沂·模拟预测）（1）计算： （2）化简 【变式4】（2025·山东·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【变式5】（2025·山东菏泽·模拟预测）（1）计算：． （2）化简： 【变式6】（2025·山东聊城·三模）计算： (1) (2) 【变式7】（2025·山东青岛·模拟预测）（1）化简：． （2）解不等式组并写出它的整数解． 【变式8】（2025·山东泰安·三模）计算： (1) (2) 【变式9】（2025·山东潍坊·二模）计算与化简 (1)计算：； (2)化简：． 【变式10】（2025·山东·一模）（1）计算： （2）化简： 题型04分式的化简求值 【典例1】58．（2025·山东·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【典例2】（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【典例3】（2025·山东泰安·一模）计算： (1)； (2)，再选一个合适的a的值代入求值，其中且a为整数． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）（1）先化简，再从，，中选择合适的值代入求值． （2）解分式方程：． 【变式2】（2025·山东·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 【变式3】（2025·山东潍坊·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【变式4】（2025·山东东营·三模）计算 (1)解不等式组：； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式5】（2025·山东·模拟预测）（1）计算：； （2）先化简，再求值： ，其中x的值是不等式组的整数解． 【变式6】（2025·山东青岛·模拟预测）（1）解不等式组：，并写出它的最大整数解； （2）先化简，再求值：．其中． 【变式7】（2025·山东济宁·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【变式8】（2025·山东日照·模拟预测）（1）解不等式组； （2）先化简，再求值：，其中． 【变式9】（2025·山东威海·三模）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上 1．（2025·山东青岛·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·二模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ． 3．（2025·山东青岛·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 4．（2025·山东日照·模拟预测）计算： (1)计算：； (2)先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 5．（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 1．（2025·山东菏泽·二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 2．（2025·山东日照·一模）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 3．（2025·山东烟台·二模）先化简，再求值，其中． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某种牙膏上部圆的直径为，下部底边可近似看成一条长为的线段，如图所示，现要制作长方体的牙膏盒．在手工课上，小思、小明和小华制作的牙膏盒的高度都一样，且高度符合要求．其中，小思和小明制作的牙膏盒底面是正方形，小华制作的牙膏盒底面是长方形，他们制作的底面图形边长数据如表： 制作者 小思 小明 小华 牙膏盒底面形状 正方形 正方形 长方形 边长 长： 宽： (1)这位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？请说明理由； (2)在（）的条件下，若你是牙膏厂的厂长，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更合理？并说明理由． 5．（2025·山东济南·二模）【阅读理解】对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若，有最小值是______； （2）已知，则的最小值是______． （3）已知，若，求的最大值． （4）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点，是双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 重难点01 整式和分式计算题专练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 34 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 整式计算题专练 1. 同类项 • 字母完全相同，且相同字母的指数也相同。 • 所有常数都是同类项。 2. 合并同类项 • 法则：系数相加减，字母和指数不变。 3. 去括号 • 括号前是 +：+(a+b-c)=a+b-c，各项不变号。 • 括号前是 -：-(a+b-c)=-a-b+c，每一项都变号。 • 括号前有数：2(a-3b)=2a-6b，数字乘遍每一项。 4. 整式加减 • 实质：去括号 + 合并同类项。 1. 去括号 • 先乘系数，再看符号：负号全变，正号不变。 2. 找同类项 • 按同类项归类书写。 3. 合并同类项 • 只算系数，字母、指数不动。 4. 检查 • 查符号、查漏项、查指数、查系数。 题型01 整式运算的概念辨析 【典例1】1．（2025·山东泰安·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法，解题的关键是掌握各运算法则． 根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法运算法则逐项进行判断即可． 【详解】选项验证： A．，该选项错误，不符合题意； B．，该选项正确，符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 【典例3】（2025·山东东营·三模）下列各运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算：；、为正整数)，也考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项、幂的运算；、为正整数分别进行判断即可． 【详解】解：A、，所以A选项错误； B、，所以B选项正确； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项错误． 故选：B． 【典例4】（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 【典例5】（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2025·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、与不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对应法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对每一项判断解答即可． 【详解】解：A．、不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式4】（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式5】（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式6】（2025·山东烟台·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证各选项的正确性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A：．合并同类项需满足相同次数，但与次数不同，无法合并，结果应为，故A错误． 选项B：．单项式乘法中，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为，故B正确． 选项C：．单项式除法中，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为，符号错误，故C错误． 选项D：．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误，故D错误． 故选：B． 【变式7】（2025·山东济南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据幂的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式、合并同类项，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式8】（2025·山东青岛·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A．，故选项A错误，不符合题意； B．，故选项B错误，不符合题意； C．，故选项C错误，不符合题意； D．，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 题型02 整式运算中的乘法公式 【典例1】14．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【典例2】（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 【典例3】（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（2025·山东·模拟预测）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据完全平方公式得出，再求出答案即可． 本题考查了完全平方公式，注意：完全平方公式为：，． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要的考查整式的混合运算，先将变形为，再把整理为，最后整体代入计算即可 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 【变式3】（2025·山东德州·二模）对于代数式，以下结论正确的是（   ） A．该代数式有最小值为2 B．该代数式的值可以是任意的数 C．化简的结果是 D．使该代数式的值为3的的值是4 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据，可得，即可判断选项A正确，选项B错误；根据完全平方公式可判断选项C错误；，解方程即可判断选项D． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确，即代数式有最小值2，选项B错误； 由于， 则代数式化简结果不是， 故选项C错误； 当， 解得：和， 故选项D错误； 故选：A． 【变式4】（2025·山东聊城·二模）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．7 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意7的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用． 【详解】解：， ， ， ， ， 根据题中规律可得从到，结果的个位数字四个一循环，分别为， ， 的结果的个位数字为， 故答案为：D． 【变式5】（2025·山东临沂·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及完全平方公式的应用，由题意可得小正方形的边长为，即得，得到，又由得，利用可得，最后根据勾股定理即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∵小正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， 得，， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：． 【变式6】（2025·山东青岛·一模）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7】（2025·山东临沂·一模）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差， 故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且，、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故答案为：②③． 【变式8】（2025·山东青岛·一模）一元二次方程的两根分别为，，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，再根据，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得： ，， 则， 故选：D． 题型03整式运算中的先化简再求值 【典例1】25．（2025·山东青岛·模拟预测）（1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项，最后计算除法即可化简，代入，计算即可得解． 【详解】解：（1）， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为； （2） ， 当，时，原式． 【典例2】（2025·山东济宁·三模）（1）已知是锐角，且，计算的值． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）3；（2）； 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，整式混合运算法则，进行计算即可． （1）先根据得出，求出，根据零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，二次根式运算法则，进行计算即可； （2）先根据整式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴ ； （2） ， 把，代入得： 原式． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了立方根，特殊角锐角函数值，负整数指数幂，整式的混合运算—化简求值： （1）根据立方根，特殊角锐角函数值，负整数指数幂化简，再计算，即可得出答案； （2）先根据平方差公式，单项式乘以多项式计算，再和并，即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 当时，原式 【变式2】（2025·山东济宁·一模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了特殊角三角函数的取值和实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握锐角三角函数以及实数的混合运算法则，分式运算法则即可解题． （1）代入锐角三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可； （2）运用分解因式化简分式，再代入的值即可解题． 【详解】（1）解：原式； 解：原式 ； 当时，原式． 【变式3】（2025·山东枣庄·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 重难点二 分式计算题专练 1. 分式有意义：分母≠0 2. 分式值为0：分子=0 且 分母≠0 3. 分式基本性质 = , = 4. 约分：分子分母同除以公因式 5. 通分：找最简公分母（系数最小公倍数，相同字母取最高次幂） 6. 符号法则 二、运算法则 1. 乘法： 2. 除法： 3. 同分母加减： 4. 异分母加减：先通分→再按同分母计算 1. 能分解先分解：多项式先因式分解 2. 除变乘：除以一个分式=乘它的倒数 3. 先约分：分子分母能约先约 4. 再计算：乘除直接算；加减先通分 5. 最后化最简：分子分母无公因式为止 题型01 分式无意义的条件 【典例1】30．（2025·山东烟台·模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且． 故答案为：且． 【典例2】（2025·山东枣庄·模拟预测）写出使代数式有意义的的一个值 ． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次根式根号里的式子非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：且． 故答案为：（答案不唯一） ． 【典例3】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 【变式1】（2025·山东·中考真题）写出使分式有意义的的一个值 ． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． ∴的取值可以为． 故答案为：1（不唯一）． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）如果代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件，得出且，解不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（2025·山东滨州·二模）函数中自变量取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得， 解得且， ∴； 故答案为：． 【变式4】（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式值为0的条件，分式无意义的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m、n的值，再根据表格中的数据，求出对应的a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴； ∴当时，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 【变式5】（2025·山东威海·一模）在函数中，的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了函数有意义的条件，二次根式的性质和分式的定义．根据二次根式中被开方数非负及分式中分母不为零的性质进行解答即可． 【详解】解：要使函数有意义， 则，， ∴且， 故答案为：且． 【变式6】（2025·山东临沂·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分母不为零，被开方数于等于零，列式解题即可． 本题考查了函数的取值范围，熟练掌握分母不为零，被开方数于等于零是解题的关键． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 故且， 故． 故答案为：． 【变式7】（2025·山东德州·模拟预测）当实数x 时，有意义． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式的解法，由有意义，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：； 故答案为： 题型02分式为0的条件 【典例1】40．（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为． 【答案】或/9或0 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式的值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或9， 故答案为或． 【典例2】（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为0． 【答案】且 【分析】本题考查了分式为零的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，再根据分式为零得到，即可求出结果． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式1】（2025·山东济南·三模）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据题意可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为： 【变式2】（2025·山东菏泽·三模）代数式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义、分式的值为零的条件，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型． 根据分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0， 根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可. 【详解】解：当时，，可知分式的分子中含有因式； 当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式， 所以y代表的分式可能是. 故选：B. 题型03分式的混合运算 【典例1】45．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【典例2】（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 【典例3】（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）（1）化简：； （2）解不等式组，并写出它的整数解 【答案】（1）；（2），整数解为，，． 【分析】本题考查的是分式的混合运算，解一元一次不等式组， （1）先化简括号内，再利用除法法则变形，约分得到最简结果即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，写出它的整数解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式得，； 解不等式得，； 故不等式组的解集为：． ∴整数解为，，． 【变式2】（2025·山东济宁·三模）计算： (1)解不等式：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得； （2）解： ． 【变式3】（2025·山东临沂·模拟预测）（1）计算： （2）化简 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式4】（2025·山东·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）根据零指数幂公式，负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数计算，绝对值的化简，解答即可． （2）根据分式的乘除混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂公式，负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数计算，绝对值的化简，分式的乘除混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【变式5】（2025·山东菏泽·模拟预测）（1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式6】（2025·山东聊城·三模）计算： (1) (2) 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值，在合并即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式7】（2025·山东青岛·模拟预测）（1）化简：． （2）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】（1）；（2），不等式组的整数解为，，0，1 【分析】本题主要考查了分式的化简，求不等式组的解集． （1）根据分式的混合运算法则求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）解不等式， 得， 解不等式， 得， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为，，0，1． 【变式8】（2025·山东泰安·三模）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，二次根式的混合计算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式9】（2025·山东潍坊·二模）计算与化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分式的混合运算，绝对值的化简，熟练掌握各自的运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用负整数指数幂，特殊角的函数值，绝对值的化简，立方根的计算求解即可. （2）按照分式混合运算的运算顺序求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式10】（2025·山东·一模）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，分式的加减乘除混合运算，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可； （2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型04分式的化简求值 【典例1】58．（2025·山东·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2），4 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值． （1）根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 【典例2】（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可. 【详解】解： ， ∵， ∴原式. 【典例3】（2025·山东泰安·一模）计算： (1)； (2)，再选一个合适的a的值代入求值，其中且a为整数． 【答案】(1)； (2)，当时，原式值为8 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算括号内减法，再进行括号外除法运算，选取的值要使原分式有意义，所以，选代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； ∵且a为整数， ∴， 又要使原分式有意义，则， ∴选取，原式． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）（1）先化简，再从，，中选择合适的值代入求值． （2）解分式方程：． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查分式化简求值及分式方程的求解，掌握相关运算法则和求解步骤是解题的关键． （1）先化简原式，再根据分母和除数不为零，选择合适的数值代入计算； （2）先去分母两边同时乘以，再解方程检验即可． 【详解】（1） ， 且， 且， ， 原式； （2）， 两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根． 【变式2】（2025·山东·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值，包括零指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，二次根式的除法，负整数指数幂等，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）利用零指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，二次根式的除法，负整数指数幂等运算法则进行求解即可； （2）先对分式进行化简，然后根据分式有意义的条件判断的取值，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵， ∴， ∴可取值为1， 当时，代入上式得， 原式． 【变式3】（2025·山东潍坊·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2）， 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算负整数指数幂、二次根式的乘方、化简绝对值，再计算乘法，最后进行加减运算即可； （2）原式先计算括号内的，把除法转换为乘法，得最简结果，再把的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 【变式4】（2025·山东东营·三模）计算 (1)解不等式组：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分数化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法和分式基本性质，把分式化简． （1）分别解出每个不等式，再求公共解集即可； （2）先化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为； （2） ， 当时， 原式 ． 【变式5】（2025·山东·模拟预测）（1）计算：； （2）先化简，再求值： ，其中x的值是不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握平方根，零指数幂，绝对值，负整数指数幂和分式的化简运算是解题的关键， （1）根据平方根，零指幂，绝对值，负指数幂的运算，计算即可求得答案； （2）根据提公因式，完全平方公式，平方差公式将分式化简，再根据x的值是不等式组的整数解，得到的值，代入即可求得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ； 由分式的意义，可知、0、1， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解是，0，1，2，其中，0，1不符合分式的意义， ∴x只能取2． 将代入，得原式． 【变式6】（2025·山东青岛·模拟预测）（1）解不等式组：，并写出它的最大整数解； （2）先化简，再求值：．其中． 【答案】（1），3；（2）， 【分析】（1）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和解不等式的方法． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故不等式组的解集为， 则其最大的整数解是3． （2）原式． 当时，原式． 【变式7】（2025·山东济宁·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），4 【分析】本题主要考查实数混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）先去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当时，原式． 【变式8】（2025·山东日照·模拟预测）（1）解不等式组； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解不等式组，分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟练掌握解不等式组，规范化简是解题的关键． （1）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． （2）先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算，后代入求值即可． 【详解】解：（1）， 解①得， 解②得， 故不等式组的解集为． （2） ， 当时， 原式． 【变式9】（2025·山东威海·三模）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查分式的化简求值，求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分后再进行加法运算，最后代值计算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1）， ． ； 当时，原式； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 1．（2025·山东青岛·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式及多项式除单项式的运算法则逐项计算作出判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·山东聊城·二模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ． 【答案】81 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数． 设，则，根据最小的“方减数”可得m=10，n=18，即可求解． 【详解】解：设，则， 由题意得：， ∵， ∴要使“方减数”最小，需， ∴， ∴， 当时， 最小为81． 故答案为：81． 3．（2025·山东青岛·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【答案】①② 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题、代数式的求值，理解题意找到展开式的系数规律是解题的关键．观察三角形中第四行的五个数，结合题意可判断①；由题意得，，代入的值可判断②；观察三角形中第五行的六个数，结合题意得到，可判断③；列举，2，3，4……时的展开式中的各项系数之和，找出规律可判断④，即可得出答案． 【详解】解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1， ，故①正确； 由题意得，， 当，时，，故②正确； 观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1， ， 当的值是0时，则， ， 和互为相反数，不一定是，，故③错误； 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， …… 依此类推，的展开式中的各项系数之和为，故④错误； 综上所述，正确的序号是①②． 故答案为：①②． 4．（2025·山东日照·模拟预测）计算： (1)计算：； (2)先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】(1) (2)；选择，值为； 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊的锐角三角函数值，分式的化简求值等知识点，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据负指数幂，绝对值的化简，三角函数值的化简，零指数幂的化简，化简运算即可； （2）利用因式分解化简分式运算即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解： ∵，，， ∴，，， ∴选择代入得：． 5．（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【答案】(1)分式是分式的“和美分式”，见解析 (2) 【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； （2）设的“和美分式”为A， 则， 整理得， ∴ ， ∴的“和美分式”为． 1．（2025·山东菏泽·二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解．根据解为负整数，则当为整数时，即可求出答案． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为负数，则，且或， 解得或， 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故答案为：． 2．（2025·山东日照·一模）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义问题，整式加减的应用，二元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键．根据题意表示出各个数位上的数，求出，根据能被3整除，进而求解即可． 【详解】解：根据题意：M千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为，个位上的数字为，且， 则 ， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整数， ∴能被3整数， ∵，且b越大，M越大， ∴当时，不能被3整除，不符合题意； 当时，能被3整除，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的“成双数”中的最大数为， 故答案为：． 3．（2025·山东烟台·二模）先化简，再求值，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的加减，负整数指数幂的意义，分式化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据负整数指数幂的意义、特殊角三角函数，二次根式的性质、绝对值的性质化简，再算加减即可；然后根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把m的值代入计算即可． 【详解】解： = =． = = = = =； 当时，原式=． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某种牙膏上部圆的直径为，下部底边可近似看成一条长为的线段，如图所示，现要制作长方体的牙膏盒．在手工课上，小思、小明和小华制作的牙膏盒的高度都一样，且高度符合要求．其中，小思和小明制作的牙膏盒底面是正方形，小华制作的牙膏盒底面是长方形，他们制作的底面图形边长数据如表： 制作者 小思 小明 小华 牙膏盒底面形状 正方形 正方形 长方形 边长 长： 宽： (1)这位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？请说明理由； (2)在（）的条件下，若你是牙膏厂的厂长，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更合理？并说明理由． 【答案】(1)小明和小华制作的盒子能装下这种牙膏，小思制作的盒子不能装下这种牙膏，理由见解析 (2)小明的制作更合理，理由见解析 【分析】（）要把牙膏放入牙膏盒内，则牙膏盒底面对角线长应大于或等于，利用咕咕咕定理判断即可求解； （）设牙膏盒的高度为，分别求出小明和小华制作的牙膏盒的表面积和体积，进行比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：小明和小华制作的盒子能装下这种牙膏，小思制作的盒子不能装下这种牙膏，理由如下： 要把牙膏放入牙膏盒内，则牙膏盒底面对角线长应大于或等于， ∵，，， ∴小明和小华制作的盒子能装下这种牙膏，小思制作的盒子不能装下这种牙膏； （2）解：小明的制作更合理，理由如下： 设牙膏盒的高度为， 则小明制作的牙膏盒表面积为：， 小华制作的牙膏盒表面积为：， ∵， ∴小明制作的牙膏盒材料更少， 又∵小明制作的牙膏盒体积为：， 小华制作的牙膏盒体积为：， ∴小明制作的牙膏盒体积更小，更方便取放牙膏， 综上，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看，小明的制作更合理． 5．（2025·山东济南·二模）【阅读理解】对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若，有最小值是______； （2）已知，则的最小值是______． （3）已知，若，求的最大值． （4）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点，是双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．    【答案】（1）4；（2）4；（3）；（4）160 【分析】本题考查了不等式的性质、算术平方根、反比例函数的应用等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． （1）根据当时，，则，由此即可得； （2）先参照（1）求出的最小值，再根据即可得； （3）先求出，再求出的最小值，由此即可得； （4）连接，先利用待定系数法求出，再设点的坐标为，根据四边形的面积为，求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4， 故答案为：4． （2）， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2， ∴的最小值是， 故答案为：4． （3） ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2， ∴有最大值． （4）如图，连接，    将点代入双曲线得：， ∴， ∵，轴于点，作轴于点， ∴， 设点的坐标为， ∴四边形的面积为 ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为16， ∴四边形的面积的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $