第01讲 实数及其运算（含二次根式）（复习讲义，7考点6题型2重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“实数及其运算”核心模块，覆盖实数概念与性质、科学记数法、实数混合运算、二次根式四大中考必考考点，以“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破-分层练习”为架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导破解运算难点，真题训练强化应用能力，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“命题点-题型-突破点”三维设计，如无理数估算结合数轴直观教学培养几何直观，含分母有理化的实数运算专题提升运算能力，分层练习（基础巩固→能力提升→全国新趋势）适配不同学生需求。通过典例变式训练与即时反馈，帮助学生高效突破易错点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（包含二次根式） 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一实数的相关概念和性质 题型01有理数和无理数 题型02 无理数的估算 命题点二 实数的运算 题型01实数的混合运算 命题点三 科学记数法 题型01用科学记数法表示数 命题点四 二次根式 题型01二次根式有意义的条件 题型02 最简二次根式与同类二次根式 05·重难突破·思维进阶 17 突破一 实数的性质应用 突破二 含分母有理化的实数运算 06·优题精选·练能提分 18 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的相关概念和性质 T1 T1 理解实数的概念及性质，能进行实数大小比较 科学记数法 T16 T10 会用科学记数法表示大数、小数. 实数、二次根式的运算 T19 T19 T19 能进行含二次根式、绝对值、幂（零/负指数幂）、特殊角三角函数的实数混合运算；掌握运算顺序与运算律，确保运算准确性 命题预测 2026年上海中考该模块命题将延续“题型以选择、填空、计算为主，考点聚焦实数性质应用、实数混合运算（整合二次根式、绝对值、特殊角三角函数、零/负指数幂）、科学记数法（结合实际情境）”的特点，注重知识的综合运用与实际问题关联，强调运算的规范性与准确性 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 强化实数性质应用，重点练习一元二次方程实数根判定、实数大小比较等题型；2. 结合实际情境（如科技、生活数据）练习科学记数法，熟练掌握大数、小数的转化规则；3. 每周集中训练实数混合运算，重点突破二次根式化简、零/负指数幂运算、特殊角三角函数值记忆等难点，标注易错步骤（如符号、运算顺序），确保基础题不失分；4. 结合分式方程、函数定义域等题型，巩固二次根式的应用场景与限制条件 考点一 有理数 定义 性质 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 ①0的相反数是0 ②若a和b互为相反数，则a＋b＝0 ③数轴上，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a| ①正数的绝对值是它本身 ②0的绝对值是0 ③负数的绝对值是它的相反数，即|a|＝ 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 1．（2025·崇明区三模）2025的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·奉贤区二模）若有理数a，b互为相反数，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·二模）在下列4个数中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·上海浦东新·三模）计算： ． 5．（2025·闵行区·二模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 考点二 有理数的运算 1．有理数的四则运算 运算 类型 内容 类型 描述 加法 法则 ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 运算律 交换律：a+b＝b+a；结合律：(a+b)+c＝a+(b+c)。 减法 法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法 法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 补充规则 ①任何数同零相乘，都得0。②多个有理数相乘：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定（奇数个负因数积为负，偶数个为正）；几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 除法 法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 乘方 定义 求n个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂，在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数（读作a的n次方或a的n次幂）。 法则 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 混合运算 顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右；有括号先做括号内的运算。 注意点 进行运算时，注意运用运算律简化过程。 1.（2025·上海静安·一模）下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2.（2025·上海·模拟预测）计算的结果是 ． 3．（2025·上海浦东新·二模）小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（~）和谷时段（~次日）分别计费．为了解年月新居的平时段用电量，小明连续天，每天记录了电表平时段的读数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 日 平时段的读数 （单位：千瓦时） 根据表格提供的信息，解答下列问题： (1)小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是________千瓦时； (2)计算小明家月份平时段用电总量约是多少千瓦时？ (3)小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由． 考点三 科学记数法 1.科学记数法—表示较大的数 概念：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 2.科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 3.科学记数法—原数 ①科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． ②把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 4.科学记数法与有效数字 ①用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； ②用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 1．（2025·上海·二模）我国高铁的发展迅速．截至2024年12月，全国铁路营业里程已达16.2万公里，其中高铁4.7万公里、地方铁路2.5万公里．其中，“16.2万”这个数字用科学记数法可以表示成 ． 2．（2025·上海奉贤·二模）据网络平台数据统计，截止到2025年3月底，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 3．（2025·上海崇明·二模）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是 ． 4．（2025·上海奉贤·三模）纳米光刻机是半导体产业的皇冠明珠，由我国自主研造的纳米光刻机打破了西方的垄断．已知纳米等于米，数字用科学记数法可以表示为 ． 考点四 平方根、立方根 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等 于a，即x2＝a，那么这个正数x叫 做a的算术平方根．记为． ①被开方数a是非负数； ②算术平方根a本身是非负数． 平方根 若一个数的平方等于a，则这个数 是a的平方根 ①正数有2个平方根，互为相反数； ②正数a的平方根记作±（是算术平方根，是负平方根） ③ = |a| 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． ①正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0 ② = = a； = 1．（2025·上海·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．（2025上海长宁区中考二模卷） ． 3．（2025·上海·模拟预测）计算：． 考点五 实数的相关概念和性质 1．无理数 （1）概念：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）无理数常见的三种类型： ①开不尽的方根，如等． ②特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． ③含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 2．实数的定义和分类 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 3．实数的性质 ①在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． ②实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． ③实数a的绝对值可表示为： |a|＝就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 4．实数的的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 5．实数大小比较 ①任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． ②利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 6．实数的运算 在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 7．分数指数幂 分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点． 1．（2025·上海奉贤·三模）下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·二模）下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025上海中考模拟卷）计算： ． 4．（2025·上海·二模）计算：． 考点六 二次根式 1．二次根式的定义 定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 1．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 2．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 3．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海金山·二模）下列运算一定正确的是（   ） A． B． C．（为正整数） D． 5．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 6．（2025·上海浦东新区·二模）方程的解是 ． 7．（2025·上海嘉定·二模）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 考点七 二次根式的运算 1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 3．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 5．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1．（2025·上海·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）计算：． 3．（2025·上海·模拟预测）计算：； 4．（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 5．（2025·上海奉贤·二模）先化简，再求值：，其中． 6．（2025·上海·模拟预测）计算：． 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）计算：． 命题点一 实数的相关概念及其性质 ►题型01有理数和无理数 无理数：①开方开不尽的数（如、）；②含的数（如、）；③无限不循环小数（如，每两个1之间依次多一个0）。 有理数：①整数（如(-2)、(0)、(5)）；②分数（如、）；③有限小数（如(0.75)）；④无限循环小数（如）；⑤开方后为整数的数（如、）。 【典例1】（2025·上海·二模）下列各数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·上海浦东新·二模）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）下列实数中，无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·上海·模拟预测）下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例2】（2025·上海浦东新区·校级二模）估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【变式2-1】（2025·上海静安·二模）如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式2-2】（2025·上海·二模）实数和4中更大的是 ． 命题点二 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【典例3】（2025·上海·三模）计算：． 【变式3-1】（2025·上海·二模）计算：． 【变式3-2】（2025·上海宝山·二模）计算：． 【变式3-3】40．（2025·上海虹口·二模）计算：． 命题点三 科学记数法 ►题型01 用科学记数法表示数 ★科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ★记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【典例4】（2025·上海·模拟预测）在2025年电影春节档中，电影《哪吒2魔童闹海》大受欢迎，截至2025年2月5日，其总票房已突破90亿人民币．据上海人社局数据，2024年上海市民人均年薪约为14.4万人民币，若《哪吒2魔童闹海》的票房以90亿人民币计，则《哪吒2魔童闹海》的累计票房是2024年上海市民人均年薪的 倍（用科学记数法表示）． 【变式4-1】（2025·上海·二模）大型纪录片《教研员大乱斗》上映5天，累计票房约为4027000元，4027000元用科学记数法表示为 元． 【变式4-2】（2025·上海青浦·二模）据统计，2025年清明假期4月4日至6日，蟠龙天地、和睦村等旅游景区共接待游客万人次．万人次用科学记数法表示为 人次． 【变式4-3】（2025·上海普陀·三模）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 命题点四 二次根式 ►题型01 二次根式有意义的条件 二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例5】（2025·上海·二模）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）函数的定义域是 ． 【变式5-2】（2025·上海崇明·二模）函数的定义域是 ． 【变式5-3】（2025·上海金山·二模）函数的定义域为 ． ►题型02 最简二次根式与同类二次根式 （1）未化简直接判断同类二次根式（如误将与视为非同类，实则化简后均为的倍数）； （2）合并时改变被开方数（如不能合并，切勿写成）； （3）分母有理化不彻底（如应化为，而非）。 【典例6】（1）（2025·上海杨浦·二模）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． （2）（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·上海虹口·二模）下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·上海·模拟预测）若，则值为 ． 【变式6-3】（2024·上海静安·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·上海普陀·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 突破一 实数的性质应用 【典例1】（2024•虹口区三模）最小合数的倒数是 　 　 ． 【变式1-1】（2025•奉贤区二模）若实数a、b互为相反数，那么下列算式中恒成立的是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．ab＝﹣1 【变式1-2】（2024•静安区校级二模）下列说法正确的是（　　） A．一个有理数的绝对值一定大于它本身 B．只有正数的绝对值等于它本身 C．负数的绝对值是它的相反数 D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 突破二 含分母有理化的实数运算 【典例2】（2025·上海杨浦·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式2-1】（2025·上海普陀·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】（2025·上海徐汇·模拟预测）计算： 1．（2025·上海·模拟预测）下列是无理数的是（    ） A． B．0.1 C． D． 2．（2025·上海虹口·二模）下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》的票房突破150亿元，将“150亿”用科学记数法表示为 ． 4．（2025·上海·中考真题）计算：． 5．（2025·上海崇明·二模）计算：． 6．（2025·上海·模拟预测）记，则 ． 7．（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么 8．（2025·上海·二模）解方程：． 9．（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 1．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 3．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 4．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（包含二次根式） 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一实数的相关概念和性质 题型01有理数和无理数 题型02 无理数的估算 命题点二 实数的运算 题型01实数的混合运算 命题点三 科学记数法 题型01用科学记数法表示数 命题点四 二次根式 题型01二次根式有意义的条件 题型02 最简二次根式与同类二次根式 05·重难突破·思维进阶 18 突破一 实数的性质应用 突破二 含分母有理化的实数运算 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的相关概念和性质 T1 T1 理解实数的概念及性质，能进行实数大小比较 科学记数法 T16 T10 会用科学记数法表示大数、小数. 实数、二次根式的运算 T19 T19 T19 能进行含二次根式、绝对值、幂（零/负指数幂）、特殊角三角函数的实数混合运算；掌握运算顺序与运算律，确保运算准确性 命题预测 2026年上海中考该模块命题将延续“题型以选择、填空、计算为主，考点聚焦实数性质应用、实数混合运算（整合二次根式、绝对值、特殊角三角函数、零/负指数幂）、科学记数法（结合实际情境）”的特点，注重知识的综合运用与实际问题关联，强调运算的规范性与准确性 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 强化实数性质应用，重点练习一元二次方程实数根判定、实数大小比较等题型；2. 结合实际情境（如科技、生活数据）练习科学记数法，熟练掌握大数、小数的转化规则；3. 每周集中训练实数混合运算，重点突破二次根式化简、零/负指数幂运算、特殊角三角函数值记忆等难点，标注易错步骤（如符号、运算顺序），确保基础题不失分；4. 结合分式方程、函数定义域等题型，巩固二次根式的应用场景与限制条件 考点一 有理数 定义 性质 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 ①0的相反数是0 ②若a和b互为相反数，则a＋b＝0 ③数轴上，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a| ①正数的绝对值是它本身 ②0的绝对值是0 ③负数的绝对值是它的相反数，即|a|＝ 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 1．（2025·崇明区三模）2025的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2．（2025·奉贤区二模）若有理数a，b互为相反数，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的意义可直接进行求解． 【详解】解：由有理数a，b互为相反数，则有， 故选B． 【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 3．（2025·上海·二模）在下列4个数中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先化简符号，求绝对值，然后比较大小即可． 【详解】解：，， 则， 故选：A 4．（2025·上海浦东新·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的化简，根据，正数的绝对值是它本身，化简绝对值即可. 【详解】解：， 故答案为： 5．（2025·闵行区·二模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：． 考点二 有理数的运算 1．有理数的四则运算 运算 类型 内容 类型 描述 加法 法则 ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 运算律 交换律：a+b＝b+a；结合律：(a+b)+c＝a+(b+c)。 减法 法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法 法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 补充规则 ①任何数同零相乘，都得0。②多个有理数相乘：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定（奇数个负因数积为负，偶数个为正）；几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 除法 法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 乘方 定义 求n个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂，在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数（读作a的n次方或a的n次幂）。 法则 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 混合运算 顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右；有括号先做括号内的运算。 注意点 进行运算时，注意运用运算律简化过程。 1．（2025·上海静安·一模）下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的立方根，根据有理数的乘方运算法则和立方根定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．和，相等，故A不符合题意； B．和，，故B符合题意； C．和，相等，故C不符合题意； D．和，相等，故D不符合题意． 故选：B． 2．（2025·上海·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】225 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数幂的定义，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：225． 3．（2025·上海浦东新·二模）小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（~）和谷时段（~次日）分别计费．为了解年月新居的平时段用电量，小明连续天，每天记录了电表平时段的读数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 日 平时段的读数 （单位：千瓦时） 根据表格提供的信息，解答下列问题： (1)小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是________千瓦时； (2)计算小明家月份平时段用电总量约是多少千瓦时？ (3)小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由． 【答案】(1) (2)月份平时段用电总量约为千瓦时． (3)小明的说法不正确，理由见解析． 【分析】（1）分别计算每日平时段用电量，比较后即可得到平时段单日用电量最大的那天的用电量； （2）计算出这几天的用电总量，再结合月的总天数进行计算即可； （3）将数据从小到大排列后，根据中位数和众数的定义即可得解． 【详解】（1）解：分别计算每日平时段用电量： 周日：； 周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； 周六：， 比较可得用电量最大的是周五，为千瓦时． 故答案为：． （2）解：这天平时段用电总量：千瓦时， 月份有天，则月份平时段用电总量约为千瓦时． 答：月份平时段用电总量约为千瓦时． （3）解：这几天平时段日用电量，从小到大排序为、、、、、、， 中位数：数据个数为，是奇数个，中位数取最中间的数据，即千瓦时； 出现的次数最多，则众数是千瓦时． 所以小明的说法不正确． 【点睛】本题考查的知识点是有理数的运算法则、中位数定义、众数定义，解题关键是熟练掌握中位数和众数的定义． 考点三 科学记数法 1.科学记数法—表示较大的数 概念：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 2.科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 3.科学记数法—原数 ①科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． ②把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 4.科学记数法与有效数字 ①用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； ②用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 1．（2025·上海·二模）我国高铁的发展迅速．截至2024年12月，全国铁路营业里程已达16.2万公里，其中高铁4.7万公里、地方铁路2.5万公里．其中，“16.2万”这个数字用科学记数法可以表示成 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，熟知科学记数法的表示形式是解题的关键． 根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数解题即可． 【详解】解：16.2万即， 又， 所以“16.2万”这个数字用科学记数法可以表示成． 故答案为：． 2．（2025·上海奉贤·二模）据网络平台数据统计，截止到2025年3月底，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示大于10的数，解题关键是掌握科学记数法的表示方法，将大于10的数写成的形式，其中，n等于原数的整数位数减去1． 【详解】解：∵亿； 故答案为： ． 3．（2025·上海崇明·二模）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：2360亿； 故答案为：． 4．（2025·上海奉贤·三模）纳米光刻机是半导体产业的皇冠明珠，由我国自主研造的纳米光刻机打破了西方的垄断．已知纳米等于米，数字用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：数字用科学记数法可以表示为． 故答案为：． 考点四 平方根、立方根 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等 于a，即x2＝a，那么这个正数x叫 做a的算术平方根．记为． ①被开方数a是非负数； ②算术平方根a本身是非负数． 平方根 若一个数的平方等于a，则这个数 是a的平方根 ①正数有2个平方根，互为相反数； ②正数a的平方根记作±（是算术平方根，是负平方根） ③ = |a| 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． ①正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0 ② = = a； = 1．（2025·上海·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴2025的算术平方根是45； 故选：C． 2．（2025上海长宁区中考二模卷） ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的知识，掌握算术平方根的概念是关键． 根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解： 故答案为： ． 3．（2025·上海·模拟预测）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算，先由算术平方根，立方根的定义，分母有理化法则进行化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 考点五 实数的相关概念和性质 1．无理数 （1）概念：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）无理数常见的三种类型： ①开不尽的方根，如等． ②特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． ③含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 2．实数的定义和分类 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 3．实数的性质 ①在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． ②实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． ③实数a的绝对值可表示为： |a|＝就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 4．实数的的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 5．实数大小比较 ①任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． ②利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 6．实数的运算 在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 7．分数指数幂 分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点． 1．（2025·上海奉贤·三模）下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数，根据有限小数的定义逐项进行判断即可．熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：A．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意； B．，是有限小数，故此选项符合题意； C．，是无限循环小数，故此选不符合题意； D．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025·上海宝山·二模）下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数，算术平方根，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：是分数，是整数，是无限循环小数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：A． 3．（2025上海中考模拟卷）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了分数指数幂，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由分数指数幂得到，再求算术平方根即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 4．（2025·上海·二模）计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的综合运算，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握指数幂的运算、零指数幂及分母有理化是解题的关键． 根据指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值及分母有理化等方法化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 考点六 二次根式 1．二次根式的定义 定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 1．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数定义域，二次根式的性质、分式的性质，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 2．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，由题意得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的判断，先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与的被开方数相同，故是同类二次根式； D、与的被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 4．（2025·上海金山·二模）下列运算一定正确的是（   ） A． B． C．（为正整数） D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分数指数幂，二次根式的性质与化简，积的乘方和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．直接利用二次根式的性质与化简、积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可得出答案． 【详解】解：A．，故此选项错误； B．，故此选项正确； C．，故此选项错误； D．，故此选项错误． 故选：B． 5．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简． 根据公式，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（2025·上海浦东新区·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ，， 经检验是原方程的增根，舍去， 原方程的根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 7．（2025·上海嘉定·二模）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B.该选项是最简二次根式，故符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 考点七 二次根式的运算 1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 3．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 5．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1．（2025·上海·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，运用二次根式的乘法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（2025·上海·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先算二次根式的运算，零指数幂的运算，分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 3．（2025·上海·模拟预测）计算：； 【答案】 【分析】先计算特殊三角函数，负指数幂，零指数幂，分母有理化，再计算二次根式混合运算． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角三角函数值的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解题关键是注意运算顺序． 4．（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，包括完全平方公式，平方差公式以及对分子分母因式分解，二次根式的运算，分母有理化的计算，正确使用公式化简求值是解决本题的关键． 先使用完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，再将，代入式子中进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴上式 ． 5．（2025·上海奉贤·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值化简，再把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； ， 把代入，原式． 6．（2025·上海·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，分数指数幂，先化简各数，再合并同类二次根式即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的混合运算，分数指数幂，零指数幂及实数的绝对值等知识，正确进行计算是解题的关键；分母化，计算分数指数幂，实数的绝对值及零指数幂，最后加减即可． 【详解】解：原式 ． 命题点一 实数的相关概念及其性质 ►题型01有理数和无理数 无理数：①开方开不尽的数（如、）；②含的数（如、）；③无限不循环小数（如，每两个1之间依次多一个0）。 有理数：①整数（如(-2)、(0)、(5)）；②分数（如、）；③有限小数（如(0.75)）；④无限循环小数（如）；⑤开方后为整数的数（如、）。 【典例1】（2025·上海·二模）下列各数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别．根据无理数的定义：实数中不能表示为整数或分数的数；有理数的定义：能够表示为两个整数比的数（，a、b为整数，），即整数和分子分母都是整数的分数（分母不为零），整数可以看作是分母是1的分数即可判断． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、中是无理数，减去1仍是无理数，不符合题意； C、是分数是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选C． 【变式1-1】（2025·上海浦东新·二模）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，分数指数幂，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：、是有理数，故本选项不符合题意； 、是有理数，故本选项不符合题意； 、是无理数，故本选项符合题意； 、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）下列实数中，无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 根据无理数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（2025·上海·模拟预测）下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，有理数是整数和分数，无理数是无限不循环小数，常见的有圆周率、开方开不尽的数，据此即可解答． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、是无理数，不符合题意； C、是分数，是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选：C． ►题型02 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例2】（2025·上海浦东新区·校级二模）估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先由得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：B 【变式2-1】（2025·上海静安·二模）如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算、不等式的性质 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，数轴与实数，掌握无理数的估算方法是解题关键．先估算出，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 表示数的点应落在线段上， 故选：B． 【变式2-2】（2025·上海·二模）实数和4中更大的是 ． 【答案】4 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握二次根式中，被开方数越大，值越大是解题的关键． 根据，由实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴实数和4中更大的是4， 故答案为：4 ． 命题点二 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【典例3】（2025·上海·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分数指数运算，分母有理化，负指数幂运算等，先进行分数指数运算，分母有理化，负指数幂运算，再进行加减运算，即可求解；掌握分数指数运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】（2025·上海·二模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值等知识．根据相关运算法计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-2】（2025·上海宝山·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，化简绝对值，特殊三角函数值，先计算负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-3】40．（2025·上海虹口·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分母有理化，涉及零指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，再分母有理化，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 命题点三 科学记数法 ►题型01 用科学记数法表示数 ★科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ★记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【典例4】（2025·上海·模拟预测）在2025年电影春节档中，电影《哪吒2魔童闹海》大受欢迎，截至2025年2月5日，其总票房已突破90亿人民币．据上海人社局数据，2024年上海市民人均年薪约为14.4万人民币，若《哪吒2魔童闹海》的票房以90亿人民币计，则《哪吒2魔童闹海》的累计票房是2024年上海市民人均年薪的 倍（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的运算及同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法的表示形式及运算规则是解题的关键．先将票房和人均年薪的单位统一，再用票房除以人均年薪，最后将结果用科学记数法表示． 【详解】解：万，亿， ， 故答案为：． 【变式4-1】（2025·上海·二模）大型纪录片《教研员大乱斗》上映5天，累计票房约为4027000元，4027000元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于10时，n是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·上海青浦·二模）据统计，2025年清明假期4月4日至6日，蟠龙天地、和睦村等旅游景区共接待游客万人次．万人次用科学记数法表示为 人次． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：万用科学记数法表示为． 故答案为：． 【变式4-3】（2025·上海普陀·三模）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法—表示较小的数，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 按照科学记数法的表示形式求解即可． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故选：． 命题点四 二次根式 ►题型01 二次根式有意义的条件 二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例5】（2025·上海·二模）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据进行求解即可． 【详解】解：由关于x的方程有实数根，可知： 且， 解得：； 故选D． 【变式5-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式函数定义域的求解，解题的关键是依据二次根式中被开方数的非负性来确定自变量的取值范围． 对于二次根式函数，要使其有意义，被开方数必须大于等于0，据此列出关于的不等式并求解． 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为：． 【变式5-2】（2025·上海崇明·二模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域问题，二次根式的被开方数大于等于 0 的性质，这是常考点，需重点掌握． 根据二次根式的被开方数大于等于 0 即可得． 【详解】解：由二次根式的性质得：， 解得：， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·上海金山·二模）函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】该题考查了求解函数定义域，根据二次根式有意义和分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． ►题型02 最简二次根式与同类二次根式 （1）未化简直接判断同类二次根式（如误将与视为非同类，实则化简后均为的倍数）； （2）合并时改变被开方数（如不能合并，切勿写成）； （3）分母有理化不彻底（如应化为，而非）。 【典例6】（1）（2025·上海杨浦·二模）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查最简二次根式；根据最简二次根式的定义及二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意； B． 是最简二次根式，符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D． ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． （2）（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 【变式6-1】（2025·上海虹口·二模）下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】立方根概念理解、最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，立方根，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A.，则A不符合题意， B.是最简二次根式，则B符合题意， C.，则C不符合题意， D.不是二次根式，则D不符合题意， 故选：B． 【变式6-2】（2025·上海·模拟预测）若，则值为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式化简，根据二次根式计算法则计算即可．熟练计算是解题的关键． 【详解】解：若， 则， 故答案为：． 【变式6-3】（2024·上海静安·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查的是同底数幂的除法，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方，合并同类项．分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，正确，本选项符合题意； B、，原计算错误，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项不符合题意； D、，原计算错误，本选项不符合题意． 故选：A． 【变式6-4】（2024·上海普陀·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故B错误，不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C错误，不符合题意； D、与是同类二次根式，故D正确，符合题意； 故选：D． 突破一 实数的性质应用 【典例1】（2024•虹口区三模）最小合数的倒数是 　 　 ． 【分析】根据合数及倒数的定义即可求得答案． 【解答】解：最小合数是4，其倒数为， 故答案为：． 【点评】本题考查合数及倒数，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【变式1-1】（2025•奉贤区二模）若实数a、b互为相反数，那么下列算式中恒成立的是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．ab＝﹣1 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0进行判断即可． 【解答】解：∵实数a、b互为相反数， ∴a+b＝0， ∴B选项恒成立，A、B、C不一定成立． 故选：B． 【变式1-2】（2024•静安区校级二模）下列说法正确的是（　　） A．一个有理数的绝对值一定大于它本身 B．只有正数的绝对值等于它本身 C．负数的绝对值是它的相反数 D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 【分析】根据绝对值的性质对A、B、C、D四个选项进行一一验证． 【解答】解：A、非负有理数的绝对值等于它本身，故A错误； B、∵0＝|0|，∴B错误； C、若a＜0，则|a|＝﹣a，故C正确； D、∵|0|＝﹣0，∴D错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查绝对值的性质及其应用，利用举反例进行求解，使问题变得简单． 突破二 含分母有理化的实数运算 【典例2】（2025·上海杨浦·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可打得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2-1】（2025·上海普陀·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题考查分式化简求值，先分解因式约分，再根据同分母分式加减法则把所求式子化简，最后把a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2-2】（2025·上海徐汇·模拟预测）计算： 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、分母有理化、实数的混合运算 【分析】本题考查的是实数的混合运算，涉及含特殊角的三角函数值，零次幂，分母有理化．先代入特殊角的三角函数值，分母有理化，计算零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 1．（2025·上海·模拟预测）下列是无理数的是（    ） A． B．0.1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数和无理数的认识，将A和D化简再判断，B、C则直接可以判断． 【详解】A：，故是有理数； B：0.1是有理数； C：为无理数； D：，故是有理数； 故选：C． 2．（2025·上海虹口·二模）下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，立方根，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A.，则A不符合题意， B.是最简二次根式，则B符合题意， C.，则C不符合题意， D.不是二次根式，则D不符合题意， 故选：B． 3．（2025·上海·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》的票房突破150亿元，将“150亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此即可解答． 【详解】解：150亿， 故答案为：． 4．（2025·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： . 5．（2025·上海崇明·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、绝对值、负整数指数幂、立方根的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 由零指数幂、绝对值、负整数指数幂、立方根的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解： = =； 6．（2025·上海·模拟预测）记，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加法运算，根据新定义运算分别求出和，再相加即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么 【答案】3 【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，把代入函数表达式，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3 8．（2025·上海·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算以及分式方程的增根检验，解题关键是通过对原方程两边平方将无理方程转化为整式方程求解，再进行增根检验． 【详解】解： 解得： 经检验，是原方程增根，舍去 是原方程的解． 9．（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值及分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，包括因式分解、通分、约分等操作． 先对分式的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乖法，通过约分进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 当时， ． 1．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 2．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 3．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数的混合运算 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 4．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $