一次函数与几何综合专项突破2025-2026学年人教版数学八年级下册

一次函数与几何综合专项突破2025-2026学年 人教版八年级下册（六板块） 板块一：一次函数与等腰三角形结合 1．已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2图象如图所示，直线y1与直线y2交于A点（0，3），直线y1、y2分别与x轴交于B、C两点． (1)求函数 y1、y2的解析式． (2)求△ABC的面积． (3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 2．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点和点B，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求直线AB的解析式； (2)求OD的长； (3)设P是x轴上一动点，若使是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 3．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求A点坐标； (2)在直线上是否存在点Q，使的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如果在y轴上存在一点P，使得为等腰三角形，求P点的坐标． 4．如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标是________； (3)点在线段上，使的面积等于6，求点的坐标． 板块二：一次函数与等腰三直角角形结合 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，且，则点的坐标为______． 2．如图，已知点在直线：上，和：的图像交于点，且点的横坐标为． (1)直接写出、的值； (2)若点是直线上一点，且，求出点的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点． (1)求直线与直线的函数表达式； (2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若的面积为8，求D点的坐标； (3)如图3，直线上有一动点P．若，请直接写出P点坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知． (1)求直线 的表达式； (2)求点D的坐标； (3)在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 板块三：一次函数与全等三角形结合 1．如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______． 2．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且，在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B． （1）k的值为__________________； （2）y轴上有点M（0，），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与OMP全等，则符合条件的点P的坐标为__________________． 4．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）点的坐标为________； （2）若点是轴上的动点，点是直线上的动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标是________． 板块四：一次函数与平行四边形结合 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．若四边形PQOB的面积是5.5，且，若存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为________． 2．已知：在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB=2OC． （1）试确定直线BC的解析式； （2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 3．已知直线：y1=x+m与直线：y2=2x+n相交于点A（2，3）． (1)求m，n的值； (2)请在所给坐标系中画出直线和，并根据图像回答：当满足____时，． (3)设交轴于点B，交y轴于点C，若点D与点A，B，C能构成平行四边形，则点D的坐标为_____． 4．如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的坐标为． （1）直接写出和的值：______，______． （2）在轴上有一动点（其中），过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、． ①若，求的值； ②是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 板块五：一次函数与矩形结合 1．如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，点在轴上，点为平面内一点，且四边形为矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，求此时P点的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应） (1)求直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标 4．如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点、、、，点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点． （1）求点D的坐标和的值； （2）如图2，当直线EF交x轴于点，且时，求点P的坐标； （3）如图3，当直线EF交x轴于点时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．          图1           图2     图3 板块六：一次函数与菱形结合 1．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6，把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，点M在y轴上，以M、D、F、N为项点的四边形是菱形，满足条件的点N有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，点C在直线AB上，D是y轴右侧平面内一点，若以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是_______________． 3．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，求OD的长． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A． （1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是　 　，B的坐标是　 　，C的坐标是　 　． （2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式． （3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 一次函数与几何综合专项突破2025-2026学年 人教版八年级下册（六板块） 板块一：一次函数与等腰三角形结合 1．已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2图象如图所示，直线y1与直线y2交于A点（0，3），直线y1、y2分别与x轴交于B、C两点． (1)求函数 y1、y2的解析式． (2)求△ABC的面积． (3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3)或或或 【详解】（1）解：把A（0，3），C（3，0）代入y2＝k2x＋b2得， 解得：， 故函数y2的函数关系式y2＝−x＋3； 把A（0，3），B（1，0）代入y1＝k1x＋b1得， 解得：， 故y1的函数关系式为：y1＝−3x＋3． （2）解：， ． （3）解：∵OA＝OC＝3， ∴， ①当时，， ∴P1（−3，0）； ②当时，， ∴P2； ③当时，P在AC的垂直平分线上， ∴P与O重合， ∴P3（0，0）， ④当时，， ∴P4； 综上所述：P点坐标为：或或或． 2．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点和点B，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求直线AB的解析式； (2)求OD的长； (3)设P是x轴上一动点，若使是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，或或或 【详解】（1）∵点在正比例函数的图象上 ∴ ∴ 依题意得： 解得： ∴直线AB的解析式为： （2）过点D作轴于点C． 则， 依勾股定理得： ∴ （3）在中，令，解得， ， ， 设点坐标为， 当时，， ，解得， 点的坐标为，； 当时，， ，解得或， 点的坐标为或； 当时，， ，解得（与点重合，舍去）或， 点的坐标为； 综上，点坐标为，或或或． 3．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求A点坐标； (2)在直线上是否存在点Q，使的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如果在y轴上存在一点P，使得为等腰三角形，求P点的坐标． 【答案】(1)(2,3) (2)存在，Q点坐标为：、 (3)存在，P点坐标为：、、、 (1) 联立，解得：， 即A点坐标为：(2,3)； (2) 存在， ∵直线与坐标轴的交点C、B， ∴当x=0时，y=7，即B点作标为(0,7)， 当y=0时，x=，即C点坐标为(,0)， ∴OB=7，OC=， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴，， 当Q点在射线AB上时，如图， 有： ∵，， ∴，解得， ∴根据Q点在直线，可得， 即此时Q点坐标为：， 当Q点在射线AC上时，如图， 有：， ∵，， ∴，解得， ∴根据Q点在直线，可得， 即此时Q点坐标为：， 综上：Q点坐标为：、； (3) 存在， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴， 分类讨论： 当OA=OP时，△OAP是等腰三角形， 即， ∵P点在y轴上， ∴， ∴， 即此时P点坐标为：、； 当AO=AP时，△OAP是等腰三角形， 即， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴， ∵P点在y轴上， ∴， ∴解得：，（舍去）， 即此时P点坐标为：； 当AP=OP时，△OAP是等腰三角形， ∵AP=OP， ∴， ∵P点在y轴上， ∴，， ∴， 解得：， 此时P点坐标为：． 综上所述：P点坐标为：、、、． 4．如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标是________； (3)点在线段上，使的面积等于6，求点的坐标． 【答案】(1)A；(2)；(3)Q， （1） 联立方程组得：， 解得：， 点坐标是； （2） 设点坐标是， 是以为底边的等腰三角形， ， ， 解得， 点坐标是， 故答案为：； （3） 直线与轴、轴分别交于点、， ，，， ， 设点的坐标是， 作轴于点，如图， 则， ， ，即， ， 把代入，得， 的坐标是，． 板块二：一次函数与等腰三直角角形结合 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，且，则点的坐标为______． 【答案】 2．如图，已知点在直线：上，和：的图像交于点，且点的横坐标为． (1)直接写出、的值； (2)若点是直线上一点，且，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 【详解】（1）解：将点的坐标代入中，得， ∴， ∴直线的解析式为， 将代入中，解得：， ∴点的坐标为，将点的坐标代入中，则，解得：， 综上所述：，． （2）解：过作交于，过作轴，过作于，过作于， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，，，， ∴点坐标， 把代入中，得，解得：， ∴点的坐标为． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点． (1)求直线与直线的函数表达式； (2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若的面积为8，求D点的坐标； (3)如图3，直线上有一动点P．若，请直接写出P点坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为： (2) (3)或 【详解】（1）解：直线与过点和， ， 解得， 直线的函数表达式为：， 与互相垂直，且相交于点， ， ， 设直线的函数表达式为， ，解得， 直线的函数表达式为：； （2）解：设， 、，， ， ， 点的坐标为； （3）解：设点 的坐标为， ， 等腰直角三角形， ，即， ，， ，， ， ， 解得或， 或． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知． (1)求直线 的表达式； (2)求点D的坐标； (3)在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的表达式 (2)点D的坐标为 (3)存在，点M的坐标为或 【详解】（1）解：将点代入，得解得 线段的表达式 （2）已知，且点C在x轴正半轴上， ∴点， 设点D的坐标为，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则 即，解得， ∴点D的坐标为 （3）存在，点M的坐标为或，设直线 的表达式为 将点代入，得，解得 直线的表达式． 已知点M在线段上，设点M的坐标为，则， 轴，且点N在上 ∴将代入，得，，解得． 点N的坐标为 分三种情况讨论： ①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为 ， 解得：， 点M的坐标为 ②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同； ③如解图④，当P为直角顶点时，，过点P作轴，交MN于点Q，易得点Q为MN的中点，且，点Q的坐标为， ， ， 解得， ∴点M的坐标为 综上所述，点M的坐标为或 板块三：一次函数与全等三角形结合 1．如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______． 【答案】          ，， 2．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且，在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为_____． 【答案】（4，3）或（3，4） 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B． （1）k的值为__________________； （2）y轴上有点M（0，），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与OMP全等，则符合条件的点P的坐标为__________________． 【答案】     ﹣     （，）或（，） 【详解】解：（1）把（3，0）代入y＝kx＋4， 得：0＝3k＋4， 解得：k＝﹣， 故答案为：﹣； （2）由（1）得：直线AB的解析式为y＝﹣x＋4， ①如图①，过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M， ∴∠PMO＝∠OQP＝90°， 令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝＝5， ∵×AB•OQ＝×OA•OB， ∴OQ＝， ∴OQ＝OM， 在RtOPM和RtOPQ中， ， ∴OPM≌OPQ（HL）， ∵MP⊥OB于M， ∴P点纵坐标是， ∵点P在y＝﹣x＋4， ∴将y＝代入y＝﹣x＋4， 得：＝﹣x＋4， 解得：x＝， ∴P（，）； ②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ时， 过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E， ∵OB＝BP， ∴∠MOP＝∠QPO， ∴在MOP和QPO中， ， ∴MOP≌QPO（SAS）， ∴， ∵OM＝PQ， ∴PF＝OE＝， ∴点P的横坐标为， ∵点P在y＝﹣x＋4， ∴把x＝入y＝﹣x＋4得：y＝， ∴P（，）， 综上所述：线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与OMP全等，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）． 故答案为：（，）或（，）． 4．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）点的坐标为________； （2）若点是轴上的动点，点是直线上的动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标是________． 【答案】     （，）；     （3，11）或（，）或（，）； 【详解】解：（1）∵直线与直线交于点， ∴，解得：， ∴点C的坐标为（，）； 故答案为：（，）； （2）∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，7）， ∴OB=7； 若以，，为顶点的三角形与全等， 则可以分为两种情况进行分析： ①当△DBE≌△OBC时，如图： ∴BD=BO=7，∠BED=∠BCO， ∴CO∥DE，点D的坐标为（0，14）， ∴直线DE为， ∵点E是直线与直线的交点， ∴，解得； ∴点E的坐标为（3，11）； ②当△EBD≌△OBC时，如图 ∴BE=OB=7，BC=BD， ∵点E在直线的图像上，则设点E为（x，）， ∵点B为（0，7）， ∴， 解得：， ∴或， ∴，或， ∴点E的坐标为（，）或（，）； 综合上述，点E的坐标为（3，11）或（，）或（，）； 故答案为：（3，11）或（，）或（，）． 板块四：一次函数与平行四边形结合 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．若四边形PQOB的面积是5.5，且，若存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为________． 【答案】，或，或， 2．已知：在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB=2OC． （1）试确定直线BC的解析式； （2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y=﹣x+2．（2）M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）． 【详解】试题分析：（1）易求B（4，0），C（0，2）．把它们的坐标分别代入直线BC的解析式y=kx+b（k≠0），列出关于k、b的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值； （2）需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形． 试题解析：（1）∵B（4，0），∴OB=4， 又∵OB=2OC，C在y轴正半轴上， ∴C（0，2）． 设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）． ∵过点B（4，0），C（0，2）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+2． （2）如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）； ②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM=AB．所以M2（﹣3，2）； ③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC=BM．则|My|=OC=2，|Mx|=OB+OA=5，所以M3（5，﹣2）． 综上所述，符合条件的点M的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）． 3．已知直线：y1=x+m与直线：y2=2x+n相交于点A（2，3）． (1)求m，n的值； (2)请在所给坐标系中画出直线和，并根据图像回答：当满足____时，． (3)设交轴于点B，交y轴于点C，若点D与点A，B，C能构成平行四边形，则点D的坐标为_____． 【答案】(1)m=，n=-1； (2)函数图象见解析，x>2； (3)（0，4）或（4，2）或（-4，-4） 【详解】（1）解：将点A（2，3）分别代入，中， 得：，， ∴m＝，n＝−1； （2）∵m＝，n＝−1， ∴，， 画出两直线如图， 由函数图象得：当x＞2时． 故答案为：x＞2； （3）当时，解得：， ∴B（－2，0）， 在中，当x＝0时，y＝－1， ∴C（0，－1）， 如图，当BC是平行四边形的边时， 点D坐标为（0，4）或（4，2）， 当BC是平行四边形的对角线时，点D坐标为（−4，−4）， 故答案为：（0，4）或（4，2）或（−4，−4）． 4．如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的坐标为． （1）直接写出和的值：______，______． （2）在轴上有一动点（其中），过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、． ①若，求的值； ②是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，2；（2）①；②存在，． 【详解】解：（1）由题意，将点代入函数得：， 则， 将点代入函数得：，解得， 故答案为：3，2； （2）①由（1）可知，直线的解析式为， 当时，，即， ， ， ，且轴， ， ， 则， 解得； ②由（2）①已求：， 轴，轴， ， 要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则， 则， 解得， 则点的坐标为， 故存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为． 板块五：一次函数与矩形结合 1．如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，点在轴上，点为平面内一点，且四边形为矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，求此时P点的坐标． 【答案】（1，1）或（，2） 【详解】解：∵点P在一次函数y=-2x+3的图象上， ∴可设P（a，-2a+3）（a＞0）， 由题意得 a（-2a+3）=1， 整理得2a2-3a+1=0， 解得 a1=1，a2=， ∴-2a+3=1或-2a+3=2． ∴P（1，1）或（，2）时，矩形OCPD的面积为1． 3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应） (1)求直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标 【答案】(1) (2)， (3)以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或 【详解】（1）一次函数，令，则，令，则， ，，即，， 将绕点顺时针旋转得， ，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为； （2）设，则， 轴， 点的纵坐标为， 将代入一次函数得：， ，即点的横坐标为， ，， ，， ， ， ， ， 点的坐标为，； （3）①为矩形的边时，如图，分别过点、作交直线于，作交直线于，在分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ，，点为线段的中点， ，， 将绕点顺时针旋转得， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， 点为线段的中点， ，， ； 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， ，， ， 可设直线的解析式为， 将代入得，， ， 直线的解析式为， 联立直线得， 解得， ，； 综上，为矩形的边时，点的坐标为或，； ②为矩形的对角线时，如图， ，， 轴， 四边形为矩形， 轴， 点与点重合， ． 综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或． 4．如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点、、、，点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点． （1）求点D的坐标和的值； （2）如图2，当直线EF交x轴于点，且时，求点P的坐标； （3）如图3，当直线EF交x轴于点时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．          图1           图2     图3 【答案】（1）（2，−2），7；（2）点P的坐标为（，−）或（−，）；（3）点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（，−）或（−，）． 【详解】解：（1）∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，点A（−1，0）、B（0，4）、C（3，2）， ∴点D的坐标为（2，−2）， ∴S▱ABCD＝6×4−×1×4−×3×2−×1×4−×3×2＝14， ∵点G是对角线AC的中点， ∴S四边形BEFC＝S▱ABCD＝7； （2）∵点G是对角线AC的中点， ∴G（1，1）， 设直线GH的解析式为y＝kx＋b， 则， 解得， ∴直线GH的解析式为y＝−x＋； ①点P在AC右边， S△ACH＝×6×2＝6， ∵S△PAC＝S四边形BEFC， 1＋4×＝， 当x＝时，y＝−×＋＝−， ∴P（，−）； ②点P在AC左边， 由中点坐标公式可得P（−，）； 综上所述，点P的坐标为（，−）或（−，）； （3）如图， 设直线GK的解析式为y＝kx＋b，则， 解得， 则直线GK的解析式为y＝−x＋， CP⊥AP时，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）； CP⊥AC时，直线AC的解析式为y＝x＋， 直线CP的解析式为y＝−2x＋8， 故点P的坐标为（，−）； AP⊥AC时， 同理可得点P的坐标为（−，）； 综上所述，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（，−）或（−，）． 板块六：一次函数与菱形结合 1．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6，把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，点M在y轴上，以M、D、F、N为项点的四边形是菱形，满足条件的点N有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 2．如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，点C在直线AB上，D是y轴右侧平面内一点，若以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是_______________． 【答案】（2，−2）或（6，2）． 3．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，求OD的长． 【答案】 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点，， 点，点， ，， ． 四边形是菱形， ，， ，即， 解得：， ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A． （1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是　 　，B的坐标是　 　，C的坐标是　 　． （2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式． （3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（，），（16，0），（0，8）；（2）y＝﹣x+8；（3）存在，（﹣4，4），（4，﹣4），（8，8）． 【详解】∵直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C， 令x＝0，则y＝8， ∴C（0，8）， 令y＝0，则﹣x+8＝0， ∴x＝16， ∴B（16，0）， 联立直线l1和直线l2得，，解得，， ∴A（，）， 故答案为（，），（16，0），（0，8）； （2）∵点M在线段OA上，且直线OA的解析式为y＝x，设M（m，m）（m＞0）， ∵△COM的面积为24， ∴S△COM＝×8×m＝24， ∴m＝6， ∴M（6，2）， 设直线CM的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线CM的解析式为y＝﹣x+8， （3）如图， ①CE是菱形的对角线时，由（2）知，直线CM的解析式为y＝﹣x+8， 令y＝0，则﹣x+8＝0， ∴x＝8， ∴E'（8，0）， ∵四边形OCF'E'是菱形， ∴E'F'＝OB＝8， ∴∠OCE'＝45°，OC＝OE'， 过点C作CF'∥x轴，过点E'作E'F'∥y轴相交于F'， ．∴F'（8，8）， ②CE为菱形的边时，∵四边形OCF'E'是菱形； 在射线CM上取一点E使CE＝OC， ∵四边形OECF是菱形， ∴CE＝OE， ∴点E是OC的垂直平分线， 当y＝4时，﹣x+8＝4， ∴E（4，4）， ∴F（﹣4，4）， 同理，F''（4，﹣4）， 即：满足条件的点F的坐标为（﹣4，4），（4，﹣4），（8，8）． 学科网（北京）股份有限公司 $