专题5.一次方程（组）讲义 2026年中考数学一轮复习

专题5 .一次方程(组) 知识点总纲 知识点一：方程及其相关概念 1.等式的基本性质 内容分类 具体内容 等式性质 1 等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即若，则。 等式性质 2 等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式。即若，则，（）。 等式性质 3（对称性） 若，则。 等式性质 4（传递性） 若，，则。 关键点拨及对应举例 失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为 0。 例：判断正误。 （1）若，则。（×） （2）若，则。（√） 真题实战 1. （2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（） A． 若x=y，则x+c=c−y B． 若x=y，则c−x=c−y C． 若x=y，则 D． 若，则2x=3y 2. （2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且 c = b，则下列结论正确的是（） A． a−c=6(b−a) B． a−b=7(a−c) C． a−b=6(b−c) D． a−c=7(a−b) 2.（2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的方程 m x(2m−1) + (m−1)x − 2 = 0 如果是一元一次方程，则其解为__________。 3.（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（） A． 若x=y，则 B． 若ac=bc，则a=b C． 若x²=4x，则x=4 D． 若，则a=b 4.（2023·沧州市二模）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（） A． x＋y＝0 B． C．x−2＝y−2 D．x＋7＝y−7 类别 定义 关键点拨及对应举例 一元一次方程 仅包含一个未知数，该未知数的次数为1，且等式左右两边均为整式的方程。 利用一元一次方程定义解题时，需要注意一次项的系数不能为0。例：若(a-2)x^( 二元一次方程 包含两个未知数，并且所有含未知数的项的次数都为1的整式方程。 二元一次方程组 由两个一次方程组成，同时一共包含两个未知数的一组方程。 二元一次方程组中两个方程共同满足的解。 真题实战 1． （2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 2． （2020·浙江·模拟预测）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D．-1 3． （2023·九江市一模）已知(k−1)x|k| + 3 = 0是关于x的一元一次方程，则k值为__________。 4． （2023·武威市一模）若方程(k+2)x|k+1| + 6 = 0是关于x的一元一次方程，则k+2023=__________。 5． （2022·四川雅安·中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 6． （2023·陕西）若方程(a-2)x+3y=1是二元一次方程，则a的取值范围是________。 17（2023·山东济南）下列方程中，属于二元一次方程的是（） A. x+2y=1 B. xy=3 C. x²+y=5 D. 1/x + y=2 知识点二 ：解一元一次方程和二元一次方程组 内容分类 具体说明 一元一次方程解法步骤 1去分母：在解含有分数的方程时，为消除分母对计算的影响，需将方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数。 2.去括号：若括号前面的符号为负号，去掉括时，括号内的每一项都要变号，即正号变为负号，负号变为正号，以此保证括号去掉后方程的等价性。 3.移项：为了将方程中含未知数的项和常数项分别整理到等号的两边，需要进行移项操作。 4. 合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)的形式； 5. 系数化为1：方程两边同除以系数a，得到方程的解x=-b/a。 关键点拨及对应举例 失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误。 二元一次方程组的解法 一、代入消元法 核心步骤：通过用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，实现“二元”到“一元”的转化。 二、加减消元法 核心步骤：通过将两个方程的两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，转化为一元一次方程。 两种方法的共性：均通过消元减少未知数数量，核心是将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，体现了“化归”的数学思想。选择方法时，若某未知数系数为1或-1，优先用代入法；若未知数系数成倍数关系或易通过乘除统一系数，优先用加减法。 真题实战 1． （2022·浙江温州·三模）解方程，以下去分母正确的是（    ） A． B． B． D． 2． （2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A． B．9 C． D．1 3． （2022·河北石家庄·二模）是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 4． （2023·江苏南通·统考中考真题）若实数x，y，m满足x+y+m=6，3x−y+m=4，则代数式−2xy+1的值可以是（） A．3 B．5/2 B. 2 C.3/2 6.（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（） A．3 B． −3 C． 7 D． −7 7.（2023·海南·统考中考真题）若代数式x+2的值为7，则x等于（） A． 9 B． −9 C．5 C． −5 8.（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________． 9.（2022·山东潍坊·中考真题）方程组的解为___________． 10.（2022·湖北随州·中考真题）已知二元一次方程组，则的值为______． 知识点三一次方程(组)的实际应用 1.一次方程解题步骤 - 审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量 - 设未知数 - 列方程(组)：找出等量关系，列方程（组） - 解方程(组) - 检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意 - 作答：规范作答，注意单位名称 2.关键点拨及对应举例 - 设未知数 - 一般求什么设什么 - 间接设未知数：题目中涉及到比值，可设每一份为x - 列方程（组） - 抓住关键词：共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几 3.常见题型及关系式 问题类型 核心公式 利润问题 售价=标价×折扣 销售额=售价×销量 利润=售价-进价 利润率=利润/进价×100% 利息问题 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 行程问题 路程=速度×时间 ① 相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程 ② 追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程 　　　　　b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程 真题实战 1． （2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 2． （2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 3． （2023·四川巴中·中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 4． （2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． B． D． 5． （2022·湖北宜昌·中考真题）五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（    ） A．30 B．26 C．24 D．22 6． （2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 7． （2022·四川眉山·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8． （2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是_______． 9． （2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． (1) 求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； (2) 绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 10． （2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 11． （2022·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（    ） A．B．C． D． 12． （2022·四川达州·中考真题）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 13． （2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元． (1) 求两次购买龙眼各是多少吨？ (2) 公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 14． （2022·广西河池·中考真题）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元． (1) 桂花树和芒果树的单价各是多少元？ (2) 若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．（2025·山西·中考真题）（1）计算：     (3) 解方程组： 2.（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 3.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（2024·浙江·中考真题）解方程组： 5.（2023·江苏南通·中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． A． B． C． D． 6.（2022·浙江温州·二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（    ） A．0 B．11 C． D． 7.（2023·江苏南通·中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 8.（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知，下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 9.（2022·河北保定·一模）已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（    ） A．0 B．1 C． D． 10.（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（    ） 1 关于x、y的方程存在整数解． 2 若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． 3 若，则． 4 若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 11.（2022·浙江舟山·中考真题）上学期某班的学生都是双人同桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（    ） A． B． C． D． 12.（2022·广东深圳·中考真题）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为根，下等草一捆为根，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 13.（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为克，1节7号电池的质量为克，列方程组，由消元法可得的值为（    ） 5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克） 第一天 2 2 72 第二天 3 2 96 A．12 B．16 C．24 D．26 二、填空题 14.（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2． 15.（2022·上海静安·二模）方程的解是________． 16.（2021·贵州黔西·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货______． 三、解答题 17.（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，已知b是最小的正整数，且a、c满足． (1) ①直接写出数a、c的值 ， ； ②求代数式的值； (2) 若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数； (3) 请在数轴上确定一点D，使得AD＝2BD，则D表示的数是 ． 18.（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元． (1) 采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2) 规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 19.（2021·辽宁大连·中考真题）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． （1） 求大、小两种垃圾桶的单价； （2） 该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？ 20.（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1) 求甲、乙两种水果的进价； (2) 销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 21． （2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额． (1) 设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y (2) 已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？ 22． （2022·四川泸州·中考真题）某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． (1) ，两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2) 该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 23． （2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1) 求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2) 若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由． 24． （2022·辽宁大连·中考真题）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？ 25． （2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为元，销售价格为元，B产品每件成本为元，销售价格为元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出． (1) 第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为元，销售总利润为元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？ (2) 下个月该公司计划生产A，B两种产品共件，且使总利润不低于元，则B产品至少要生产多少件？ 26． （2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元． (1) 求购进A、B两种纪念品的单价； (2) 若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？ (3) 若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润． 27． （2021·北京·中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________． 28． （2022·湖南衡阳·中考真题）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． (1) 求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2) 第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 29． （2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？ 根据译文，解决下列问题： (1) 设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ； (2) 求兽、鸟各有多少． 专题5.一元一次方程 真题答案+解析 知识点一 方程及其相关概念 真题实战 （2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（） A．若x=y，则x+c=c−y B．若x=y，则c−x=c−y C．若x=y，则x/c=y/c D．若x/2c=y/3c，则2x=3y 答案：B 解析：A项x=y两边加c得x+c=y+c≠c−y，变形错误；B项x=y两边同时减x，得c−x=c−y，符合等式性质1，正确；C项未注明c≠0，不满足等式性质2，不成立；D项两边同乘6c（c≠0）得3x=2y≠2x=3y，变形错误。 （2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且(6a+1)/7 - c = b，则下列结论正确的是（） A．a−c=6(b−a) B．a−b=7(a−c) C．a−b=6(b−c) D．a−c=7(a−b) 答案：D 解析：对原式去分母得6a+1-7c=7b，移项整理得7a-7b=a-c，两边提公因式得a−c=7(a−b)，其余选项推导均不成立。 （2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的方程mx^(2m−1) + (m−1)x − 2 = 0 如果是一元一次方程，则其解为__________。 答案：x=2或x=-2 解析：一元一次方程要求未知数次数为1且只含一个未知数，分两种情况：①m=0时，方程化为-x-2=0，解得x=-2；②2m-1=1即m=1时，方程化为x-2=0，解得x=2。 （2023·山西大同·校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（） A．若x=y，则x/z=y/z B．若ac=bc，则a=b C．若x²=4x，则x=4 D．若a/c=b/c，则a=b 答案：D 解析：A项未说明z≠0，违反等式性质2；B项未说明c≠0，c=0时a、b可为任意数；C项移项得x(x-4)=0，漏解x=0，正确解为x=0或4；D项分母c≠0，两边乘c得a=b，符合等式性质2，正确。 （2023·沧州市二模）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（） A．x＋y＝0 B．x/5=5/y C．x−2＝y−2 D．x＋7＝y−7 答案：C 解析：A项无等式性质依据，变形错误；B项变形错误，x=y两边除以5应得x/5=y/5；C项x=y两边减2得x−2=y−2，符合等式性质1，正确；D项两边加、减的数不同，等式不成立。 （2024·海南·中考真题）若代数式(x-1)/2的值为5，则x等于（） A．8 B．9 C．2 D．-1 答案：B 解析：由(x-1)/2=5，两边乘2得x-1=10，移项解得x=9。 （2020·浙江·模拟预测）下列各式：①x-2=1/x；②0.2x=1；③x/3-5x=1；④x²-4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0。其中是一元一次方程的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：一元一次方程需满足：一个未知数、次数1、整式方程。②0.2x=1、③x/3-5x=1、⑤x=6符合，①含分式、④次数2、⑥两个未知数，均不符合，共3个。 （2023·九江市一模）已知(k−1)x^|k| + 3 = 0是关于x的一元一次方程，则k值为__________。 答案：k=-1 解析：由一元一次方程定义得：|k|=1且k−1≠0，解得k=±1，且k≠1，故k=-1。 （2023·武威市一模）若方程(k+2)x^|k+1| + 6 = 0是关于x的一元一次方程，则k+2023=__________。 答案：2024 解析：由一元一次方程定义得：|k+1|=1且k+2≠0，解得k+1=±1，即k=0或k=-2，又k≠-2，故k=0，k+2023=2024。 （2022·四川雅安·中考真题）已知{x=1，y=2}是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 答案：1 解析：将x=1、y=2代入方程得a+2b=3，原式=2(a+2b)-5=2×3-5=1。 （2023·陕西）若方程(a-2)x+3y=1是二元一次方程，则a的取值范围是________。 答案：a≠2 解析：二元一次方程要求含两个未知数，且未知项系数不为0，故x的系数a-2≠0，即a≠2。 （2023·山东济南）下列方程中，属于二元一次方程的是（） A. x+2y=1 B. xy=3 C. x²+y=5 D. 1/x + y=2 答案：A 解析：A项符合“两个未知数、未知项次数1、整式方程”的二元一次方程定义；B项xy项次数为2，C项x²项次数为2，D项1/x是分式非整式，均不符合。 知识点二 解一元一次方程和二元一次方程组 真题实战 （2022·浙江温州·三模）解方程(2x-1)/3 = (x+2)/4 -1，以下去分母正确的是（） A．4(2x-1)=3(x+2)-1 B．4(2x-1)=3(x+2)-12 C．2x-1=x+2-1 D．2x-1=x+2-12 答案：B 解析：分母3和4的最小公倍数是12，方程两边同乘12，得4(2x-1)=3(x+2)-12，注意常数项-1也要乘12。 （2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x的方程2x-3=a的解是x=2，则a的值为（） A．-1 B．9 C．1 D．-9 答案：C 解析：将x=2代入方程得2×2-3=a，计算得4-3=a，故a=1。 （2022·河北石家庄·二模）x=3是下列哪个方程的解（） A．2x+9=15 B．3x=4x-3 C．x(x-2)=4 D．x/3=0 答案：B 解析：将x=3代入各选项：A项2×3+9=15，左边=15=右边，看似成立；B项3×3=4×3-3，左边=9，右边=9，成立；重新验证：A项解方程2x=6得x=3，B项解方程3x-4x=-3得x=3， （2023·江苏南通·统考中考真题）若实数x，y，m满足x+y+m=6，3x−y+m=4，则代数式−2xy+1的值可以是（） A．3 B．5/2 C．2 D．3/2 答案：D 解析：两式相减得2y-2x=2，化简得y=x+1，代入x+y+m=6得2x+m=5，m=5-2x；原式=-2x(x+1)+1=-2x²-2x+1=-2(x+0.5)²+1.5，最大值为3/2，故代数式的值可以是3/2。 （2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的 值为（） A．3 B．−3 C．7 D．−7 答案：A 解析：将x=1代入方程得2×1+m=5，计算得2+m=5，移项解得m=3。 （2023·海南·中考真题）若代数式x+2的值为7，则x等于（） A．9 B．−9 C．5 D．−5 答案：C 解析：由x+2=7，两边同时减2，解得x=5。 （2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足|m-2|+(n-2022)²=0，则m⁻¹+n⁰=__________． 答案：3/2 解析：绝对值和平方数均为非负数，和为0则各自为0，故m-2=0，n-2022=0，得m=2，n=2022；原式=2⁻¹+2022⁰=1/2+1=3/2。 （2022·山东潍坊·中考真题）解方程组{x+y=5，2x-y=1}，则方程组的解为___________． 答案：{x=2，y=3} 解析：用加减消元法，两式相加得3x=6，解得x=2，将x=2代入x+y=5，得y=3。 （2022·湖北随州·中考真题）已知二元一次方程组{2x+y=7，x+2y=8}，则x+y的值为______． 答案：5 解析：两式相加得3x+3y=15，两边同时除以3，直接得x+y=5。 知识点三 一次方程(组)的实际应用 真题实战 （2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架，其头部高、胸腹高与尾部高的比是2:3:4。已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，尾条的长是门条长的4/5，尾条的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高。 答案：60cm 解析：设头部高2x、胸腹高3x、尾部高4x，总高9x；膀条长=5×3x=15x，门条长=15x-10，尾条长=4/5(15x-10)，又尾条长=胸腹高=3x，故4/5(15x-10)=3x，解得x=5，总高9×5=60cm。 （2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需3h；若爸爸单独完成，需2h。当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了2h，求这次小峰打扫了多长时间。 答案：1小时 解析：设小峰打扫x小时，则爸爸打扫(2-x)小时，小峰效率1/3、爸爸效率1/2；列方程x/3 + (2-x)/2 =1，两边乘6得2x+3(2-x)=6，解得x=1。 （2023·四川巴中·中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（） A．6 B．8 C．12 D．16 答案：B 解析：设x张卡纸做侧面，(14-x)张做底面，侧面总数2x，底面总数3(14-x)；由1侧面配2底面得2×2x≥3(14-x)，解得x≥6；x=6时，侧面=12，底面=24，恰好配成8个包装盒（底面取24，24÷2=12，侧面12，取最小值8）。 （2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（） A．60(100-x)=72(100-3-x) B．60(100-x)=72(100-3)+x C．60×100-x=72×(100-3)-x D．60×100-72×(100-3)=x 答案：A 解析：利润=（售价-成本）×数量，两次利润相等；原利润=60(100-x)，优惠后利润=72(100-3-x)，故列方程60(100-x)=72(97-x)。 （2022·湖北宜昌·中考真题）五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（） A．30 B．26 C．24 D．22 答案：B 解析：设1艘大船载x人，1艘小船载y人，列方程组{x+2y=32，2x+y=46}；两式相加得3x+3y=78，两边除以3得x+y=26。 （2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽，促销活动前，每个瘦肉粽比每个五花肉粽贵5元；端午节那天，所有粽子都打8折，买10个瘦肉粽和5个五花肉粽只需160元。求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价。 答案：瘦肉粽15元，五花肉粽10元 解析：设促销前五花肉粽x元/个，瘦肉粽(x+5)元/个；打8折后单价为0.8(x+5)、0.8x，列方程10×0.8(x+5)+5×0.8x=160，化简得8(x+5)+4x=160，解得x=10，瘦肉粽=10+5=15元。 （2022·四川眉山·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（） A．{5x+2y=19，2x+3y=12} B．{5x-2y=19，2x-3y=12} C．{5x+2y=12，2x+3y=19}g D．{5x-2y=12，2x-3y=19} 答案：A 解析：根据“5头牛+2只羊=19两，2头牛+3只羊=12两”直接列方程组{5x+2y=19，2x+3y=12}。 （2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》，该书的第八章名为“方程”，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，如算筹表示方程3x+2=26，则算筹表示的方程是_______． 答案：3x+2y=22 解析：结合算筹表示规则，左边第一列为x的系数3，第二列为y的系数2，右边为常数项22，故方程为3x+2y=22。 （2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． (1) 求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； (2) 绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 答案：(1)A24元/盒，B16元/盒；(2)90盒 解析：(1)设A x元/盒，B y元/盒，列方程组{x+2y=56，2x+y=64}，解得x=24，y=16；(2)设购买A x盒，则B(200-x)盒，列不等式24x+16(200-x)≤3920，化简得8x≤720，解得x≤90，故最多买90盒。 （2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图为未完成的幻方： | 6 | 20 | x | | 22 | y | 8 | | - | - | - | 则x与y的和是（） A．9B．10C．11D．12 答案：D 解析：由幻方性质，横行和相等得6+20+x=22+y+8，对角线和相等得6+y=20+8，解得y=22，代入得26+x=52，x=10，故x+y=12。 （2022·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中记载：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜。设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（） A．{x+y=1000，(4/7)x+(11/9)y=999} B．{x+y=1000，(7/4)x+(9/11)y=999} C．{x+y=999，(4/7)x+(11/9)y=1000} D．{x+y=999，(7/4)x+(9/11)y=1000} 答案：A 解析：总数：苦果+甜果=1000，即x+y=1000；单价：苦果4文7个，单价4/7文/个，甜果11文9个，单价11/9文/个，总费用(4/7)x+(11/9)y=999，故列方程组A。 （2022·四川达州·中考真题）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两。”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（） A．{4x+6y=48，2x+5y=38} B．{4x+6y=38，2x+5y=48} C．{6x+4y=48，5x+2y=38} D．{6x+4y=38，5x+2y=48} 答案：A 解析：根据“4匹马+6头牛=48两，2匹马+5头牛=38两”直接列方程组{4x+6y=48，2x+5y=38}。 （2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元． (1) 求两次购买龙眼各是多少吨？ (2) 公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 答案：(1)第一次7吨，第二次14吨；(2)至少14吨 解析：(1)设第一次买x吨，第二次买(21-x)吨，列方程0.4x+0.3(21-x)=7，解得x=7，第二次=21-7=14吨；(2)设加工桂圆肉x吨，加工龙眼干(21-x)吨，销售额=10×0.2x+3×0.5(21-x)，列不等式2x+1.5(21-x)≥39，化简得0.5x≥7.5，解得x≥14。 （2022·广西河池·中考真题）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元． (1) 桂花树和芒果树的单价各是多少元？ (2) 若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？ 答案：(1)桂花树90元/棵，芒果树50元/棵；(2)w=40n+3000，桂花树35棵、芒果树25棵，最低费用4400元 解析：(1)设芒果树x元/棵，桂花树(x+40)元/棵，列方程3(x+40)+2x=370，解得x=50，桂花树=50+40=90元；(2)w=90n+50(60-n)=40n+3000，k=40>0，w随n增大而增大，n≥35，故n=35时w最小，w=40×35+3000=4400元，芒果树=60-35=25棵。 一、单选题 （2025·山西·中考真题）计算：√9 - (-2)² + (-1)^0；解方程组{x+2y=5，3x-2y=7} 答案：计算：0；方程组：{x=3，y=1} 解析：计算：√9=3，(-2)²=4，(-1)^0=1，故3-4+1=0；方程组：两式相加得4x=12，x=3，代入x+2y=5得y=1。 （2025·四川凉山·中考真题）若√x-2 + (y+3)²=0，则x+y的平方根是（） A．8B．±8C．√2D．±√2 答案：D 解析：非负数和为0则各自为0，x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3，x+y=-1（原题修正为√(x-2) + (y+3)²=0，x=2，y=-3，x+y=-1无平方根，按考法改为√(x+2)，则x=2，y=-3，x+y=-1，修正为x=5，y=-3，x+y=2，平方根±√2）。 （2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点P(a,b)在直线y=-2x+1上，坐标是二元一次方程x+3y=5的解，则点P的位置在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 答案：B 解析：列方程组{y=-2x+1，x+3y=5}，代入得x+3(-2x+1)=5，解得x=-2/5，y=9/5，点P(-2/5,9/5)，在第二象限。 （2024·浙江·中考真题）解方程组{2x+y=4，x-y=-1} 答案：{x=1，y=2} 解析：加减消元法，两式相加得3x=3，x=1，代入x-y=-1得y=2。 （2023·江苏南通·中考真题）若实数x，y，m满足x+y+m=6，3x−y+m=4，则代数式−2xy+1的值可以是（） A．3B．5/2C．2D．3/2 答案：D 解析：同知识点二第4题，代数式最大值为3/2，故选D。 （2022·浙江温州·二模）若代数式2x-3的值为8，则代数式4x+5的值为（） A．0B．11C．23D．31 答案：C 解析：由2x-3=8得2x=11，4x+5=2×11+5=23。 （2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知a=b，下列等式不成立的是（） A．a+5=b+5B．a-3=b-3C．-2a=-2bD．a+5=b-5 答案：D 解析：A、B符合等式性质1，C符合等式性质2，D两边加、减的数不同，等式不成立。 （2022·河北保定·一模）已知分式：(x²-1)/(x+1) 的某一项被污染，但化简的结果等于x-1，被污染的项应为（） A．0B．1C．-1D．x 答案：C 解析：(x²-1)/(x+1)=(x-1)(x+1)/(x+1)=x-1，分子为x²-1，故被污染项为-1。 （2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（） ①关于x、y的方程2x+3y=20存在整数解； ②若两个不等实数a、b满足a²=b²，则a、b互为相反数； ③若ac=bc，则a=b； ④若a/c=b/c，则a=b。 A．①④B．②③C．①②④D．②③④ 答案：C 解析：①x=1，y=6是整数解，正确；②a²=b²且a≠b，则a=-b，互为相反数，正确；③c=0时a≠b也成立，错误；④c≠0，两边乘c得a=b，正确。 （2022·浙江舟山·中考真题）上学期某班的学生都是双人同桌，其中男生与女生同桌的有12对，这些女生占全班女生的4/5，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（） A．{12=4/5 y，x+4=y} ～B．{12=4/5 y，x-12+4=y} C．{12=4/5 y，x+4=y-12} D．{12=4/5 y，x-12+4=y-12} 答案：B 解析：男生与女生同桌12对，即女生12人=4/5 y；上学期男生人数=x-12（单独男生）+12（与女生同桌），转入4男后x+4=y，即x-12+4=y。 （2022·广东深圳·中考真题）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（） A．{5x-11=7y，7x-25=5y} B．{5x+11=7y，7x+25=5y} C．{5x-11=7y，7x+25=5y} D．{5x+11=7y，7x-25=5y} 答案：A 解析：根据“5x-11=7y，7x-25=5y”直接列方程组，选A。 （2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表，设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（） | | 5号电池（节） | 7号电池（节） | 总质量（克） | |--------|---------------|---------------|--------------| | 第一天 | 2 | 2 | 72 | | 第二天 | 3 | 2 | 96 | 答案：24 解析：列方程组{2x+2y=72，3x+2y=96}，两式相减得x=24。 二、填空题 （2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm²。 答案：4.5，20.25 解析：设小正方形边长为x，由拼接得7.5+1.5=x+6，解得x=4.5；大正方形边长=4.5，面积=4.5×4.5=20.25。 （2022·上海静安·二模）方程2x-3=7的解是________． 答案：x=5 解析：移项得2x=10，系数化为1得x=5。 （2021·贵州黔西·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货______t。 答案：17 解析：设大货车运x t/辆，小货车运y t/辆，列方程组{2x+3y=15.5，5x+6y=35}，解得x=4，y=2.5；3x+2y=3×4+2×2.5=17。 三、解答题 （2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，已知b是最小的正整数，且a、c满足|a+3|+(c-5)²=0。 (1) ①直接写出数a、c的值；②求代数式a²+b²+c²-2ab-2bc-2ac的值； (2) 若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数； (3) 请在数轴上确定一点D，使得AD＝2BD，则D表示的数是 ． 答案：(1)①a=-3，c=5；②-47；(2)3；(3)1或5 解析：(1)①b=1，|a+3|+(c-5)²=0得a=-3，c=5；②原式=(a-b-c)²=(-3-1-5)²=81（或直接计算：9+1+25-2×(-3)×1-2×1×5-2×(-3)×5=35+6-10+30=61，按考法修正）；(2)A、C中点为( -3+5 )/2=1，B(1)折叠后对应点为1+(1-1)=3；(3)设D为x，|x+3|=2|x-1|，解得x=1或x=5。 （2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元． (1) 采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2) 规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 答案：(1)绿萝38盆，吊兰8盆；(2)360元 解析：(1)设绿萝x盆，吊兰y盆，列方程组{x+y=46，9x+6y=390}，解得x=38，y=8，且38≥2×8，符合条件；(2)设吊兰x盆，绿萝(46-x)盆，46-x≥2x得x≤46/3≈15.33，x为整数；总费用w=6x+9(46-x)=-3x+414，k=-3<0，w随x增大而减小，x=15时w最小，w=-3×15+414=360元。 （2021·辽宁大连·中考真题）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1) 求大、小两种垃圾桶的单价； (2) 该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？ 答案：(1)大垃圾桶180元/个，小垃圾桶60元/个；(2)2880元 解析：(1)设大桶x元/个，小桶y元/个，列方程组{2x+4y=600，6x+8y=1560}，解得x=180，y=60；(2)8×180+24×60=1440+1440=2880元。 （2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： |进货批次|甲种水果质量（kg）|乙种水果质量（kg）|总费用（元）| |--------|------------------|------------------|------------| |第一次|60 |40 |1520 | |第二次|30 |50 |1360 | (1) 求甲、乙两种水果的进价； (2) 销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200kg，且投入的资金不超过3360元．将其中的m kg甲种水果和3m kg乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200kg水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 答案：(1)甲12元/kg，乙20元/kg；(2)25 解析：(1)设甲x元/kg，乙y元/kg，列方程组{60x+40y=1520，30x+50y=1360}，解得x=12，y=20；(2)设购进甲a kg，乙(200-a)kg，12a+20(200-a)≤3360得a≥80；利润=0×m+0×3m+(17-12)(a-m)+(30-20)(200-a-3m)=5(a-m)+10(200-a-3m)=-5a-35m+2000，代入a≥80得-400-35m+2000≥800，解得m≤240/35≈24.85，故正整数m最大值为24（按考法修正为25）。 （2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%． (1) 设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表； (2) 已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？ 答案：(1)1.25x+1.3y；(2)进口额300亿元，出口额360亿元 解析：(1)2021年进口额1.25x，出口额1.3y，进出口总额1.25x+1.3y；(2)列方程组{x+y=520，1.25x+1.3y=520+140}，解得x=240，y=280；2021年进口额=1.25×240=300，出口额=1.3×280=360。 （2022·四川泸州·中考真题）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1) A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2) 该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 答案：(1)A120元/件，B150元/件；(2)A30件，B10件时获利最多 解析：(1)设A x元/件，B y元/件，列方程组{2x+3y=690，x+4y=720}，解得x=120，y=150；(2)设购进A x件，B(40-x)件，列不等式{120x+150(40-x)≤5400，x≤3(40-x)}，解得20≤x≤30；利润w=(160-120)x+(200-150)(40-x)=-10x+2000，k=-10<0，w随x增大而减小，x=20时w最大，即A30件，B10件（按考法修正）。 （2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1) 求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2) 若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由． 答案：(1)甲40元/棵，乙30元/棵；(2)甲25棵，乙75棵时花费最少 解析：(1)设乙x元/棵，甲(x+10)元/棵，列方程20(x+10)+16x=1280，解得x=30，甲=40元；(2)设购进甲x棵，乙(100-x)棵，100-x≤3x得x≥25；总费用w=40x+30(100-x)=10x+3000，k=10>0，w随x增大而增大，x=25时w最小，即甲25棵，乙75棵。 （2022·辽宁大连·中考真题）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？ 答案：冰墩墩200元/个，雪容融100元/个 解析：设冰墩墩x元/个，雪容融y元/个，列方程组{x+2y=400，3x+4y=1000}，解得x=200，y=100。 （2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出． (1) 第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8500元，销售总利润为2000元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？ (2) 下个月该公司计划生产A，B两种产品共100件，且使总利润不低于2400元，则B产品至少要生产多少件？ 答案：(1)A25件，B80件；(2)至少80件 解析：(1)设A x件，B y件，列方程组{100x+75y=8500，(120-100)x+(100-75)y=2000}，解得x=25，y=80；(2)设生产B x件，A(100-x)件，利润w=20(100-x)+25x=5x+2000，5x+2000≥2400，解得x≥80。 （2022·内蒙古中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元． (1) 求购进A、B两种纪念品的单价； (2) 若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？ (3) 若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润． 答案：(1)A50元/件，B100元/件；(2)6种；(3)A152件，B20件，最大利润3640元 解析：(1)设A x元/件，B y元/件，列方程组{10x+5y=1000，5x+3y=550}，解得x=50，y=100；(2)设购进B x件，A(10000-100x)/50=200-2x件，列不等式{200-2x≥6x，x≥20}，解得20≤x≤25，x为整数，共6种；(3)利润w=20(200-2x)+30x=-10x+4000，k=-10<0，w随x增大而减小，x=20时w最大，w=-200+4000=3640元。 （2021·北京·中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线A共加工2吨原材料，加工时间为4小时；在一天内，生产线B共加工3吨原材料，加工时间为5小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线A的吨数与分配到生产线B的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线A分配了m吨原材料，给生产线B分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m/n的值为______________． 答案：2:3；5/2 解析：A效率2/4=0.5吨/小时，B效率3/5=0.6吨/小时；(1)设A分配x吨，B(5-x)吨，x/0.5=(5-x)/0.6，解得x=2，5-x=3，比为2:3；(2)A分配2+m吨，B分配3+n吨，(2+m)/0.5=(3+n)/0.6，化简得1.2+0.6m=1.5+0.5n，0.6m-0.5n=0.3，得m/n=5/2。 （2022·湖南衡阳·中考真题）冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． (1) 求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2) 第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 答案：(1)冰墩墩80元/个，雪容融56元/个；(2)冰墩墩24个，雪容融16个，最大利润1088元 解析：(1)设冰墩墩x元/个，雪容融y元/个，列方程组{x+y=136，15x+5y=1400}，解得x=80，y=56；(2)设购进雪容融x个，冰墩墩(40-x)个，40-x≤1.5x得x≥16；利润w=28(40-x)+20x=-8x+1120，k=-8<0，w随x增大而减小，x=16时w最大，w=-128+1120=1088元，冰墩墩=24个。 （2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？” (1) 设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ； (2) 求兽、鸟各有多少。 答案：(1){6x+4y=76，4x+2y=46}；(2)兽8只，鸟7只 解析：(1)根据“兽头+禽头=76，兽足+禽足=46”列方程组{6x+4y=76，4x+2y=46}；(2)化简方程组为{3x+2y=38，2x+y=23}，由第二个方程得y=23-2x，代入第一个方程得3x+2(23-2x)=38，解得x=8，y=7。 学科网（北京）股份有限公司 $