精品解析：湖南省耒阳市第一中学等多校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

湖南高一年级3月考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册（30%），第二册第六章（70%）. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算及数乘运算可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2. 已知集合，则集合中的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，结合交集的概念可得结果. 【详解】由题意得，， ∵对数函数在上为增函数， ∴，即， ∴， ∴集合中的元素个数是4. 故选：C. 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直时数量积为0，结合对数的运算性质可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， ∴. 故选：B. 4. 已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况. 【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即， 即，解得； 当共线时，，解得， 此时满足，此时两向量夹角为， 于是的夹角为锐角时，. 故选：A 5. 已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方位角可得，利用余弦定理计算可得结果. 【详解】 由题意得，，. 由余弦定理得，， ∴. 故选：C. 6. 某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】依题意可得第年投入的研发经费为万元， 令，即， 所以 ， 所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元. 故选：B 7. 若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ） A. B. 40 C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，结合向量的坐标运算，再由三角函数的性质即可得到最值. 【详解】因为，且向量与向量的夹角为， 设，其中， 则 ，其中， 因为，当时， 有最大值. 故选：D 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将原式化为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为4， 此时. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 10. 若函数，则下列判断正确的是（ ） A. 是减函数 B. 在上的最小值为 C. 若均为正整数，则为有理数 D. 若在上有零点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数单调性的性质即可判断AB，代入计算即可判断C，由在上有零点可得，即可判断D. 【详解】对于A，因在单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，故A错误； 对于B，由A可知在单调递增，则，故B正确； 对于C，因为， 且均为正整数，则为有理数，故C正确； 对于D，由A可知，单调递增，由在上有零点， 可得，即，解得， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD 11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先得到，即可求出函数的最小正周期，求出，即可判断A，再由判断B，求出函数在上的值域，即可判断C，结合函数解析式及正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为 因为函数的最小正周期为； 则函数的最小正周期为， 所以的最小正周期为，所以，则， 此时，则 ，符合题意，故A正确； 对于B：因为， 则， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：因为的最小正周期为，所以只需研究函数在上的值域即可， 当，则，此时， 则，所以，所以； 即的值域为，故C错误； 对于D：当时，则， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的概念求解即可. 【详解】∵向量，，则，， 所以在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 在中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，再由向量的数量积运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 则 ， 所以，即. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性可得，结合可知函数是周期为4的周期函数.再根据当时的函数解析式，利用周期性和奇偶性即可求解. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数，. 又，. 以代替可得， ∴函数是周期为4的周期函数. 当时， ∵当时，，∴. 由周期性可得， . 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，且向量的夹角为， 则， 则. 【小问2详解】 设，因为，且， 则，解得或， 所以或. 16. 如图，在梯形中，，. （1）若，求； （2）若，求外接圆的半径； （3）若，且，证明：只有一解. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）首先求出，再由正弦定理计算可得； （3）首先利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，最后利用余弦定理求出. 【小问1详解】 在中由正弦定理，即， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又，设外接圆的半径为，则， 所以，即外接圆的半径为； 【小问3详解】 因为，，且， 在中由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 所以只有一解. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. ①若，求的值； ②若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据得，利用结合函数的周期得，由此可得函数解析式. （2）①求出函数的解析式，利用二倍角公式及同角三角函数的关系可得，的值，根据两角和的余弦公式可得结果. ②求出的值域，条件转化为，由此可得结果. 【小问1详解】 由得，， ∵，∴，. 由得，， ∴，故， 设函数的最小正周期为， 由图象得，，∴，故， ∴. 【小问2详解】 ①由题意得，. ∵，∴，， ∴. ②∵，∴， ∴，故. ∵对任意的恒成立， ∴恒成立，即， ∴，即， ∴的取值范围是. 18. 在平行四边形中，与交于点. （1）若，求； （2）已知. ①若为的重心，求； ②若为线段上一动点，求的最小值. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）①以、为基底，表示出、，再根据数量积的运算律计算可得；②设，以、为基底，表示出、，再根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意， 设，因为， 所以， 因为、、三点共线， 设， 因为、不共线，所以，解得， 所以，又，所以； 【小问2详解】 ①因为，所以， 因为为的重心，所以 ， 所以 . ②因为， 又为线段上一动点， 设， 所以， ， 所以 ，所以当时取得最小值. 19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知. （1）比较与的大小； （2）求的取值范围； （3）若，且，求的内切圆半径. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用反证法来进行推理即可得到结论； （2）利用等腰三角形三线合一，转化为直角三角形中余弦函数的边角关系，即可求解； （3）利用等腰三角形中角的关系去求解关于的三次方程，再用等面积法求内切圆半径即可. 【小问1详解】 由，可得：, , 假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减， 可知，则， 此时可得，这与假设相矛盾，即假设不成立； 又假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减， 可知，则， 此时可得，这与假设相矛盾，即假设也不成立； 综上可得： 【小问2详解】 由（1）得，，即在等腰三角形中，取底边中点为， 则，则， 因为在锐角三角形中，，所以，则； 【小问3详解】 在等腰三角形中，因为， 所以， 再由 ， 则 可解得：，， 因为，，所以，则， 又由，，可得， 所以高，根据等面积法可知： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$