2026年江苏省 南京市金陵河西学校九年级学情调研 数学试卷

初三学情调研 数学试卷 一.选择题（共6小题，2分×6=12分) 1.中国信息通信研究院测算，2020~2025年中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带 动经济总产出达10.6万亿元.其中数据10.6万亿用科学记数法表示为() A.10.6×104 B.1.06×108 C.10.6×1013 D.1.06×1013 2.V81的平方根是() A.3 B.-3 C.±3 D.5 3.已知实数a,b满足a一b=一1，一1<a十b<0,则在下列判断中，正确的是() A.0<a< B.-1<a<-1 2 C.I<b<3 2 D.-2<b<-3 4.将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要() 个这样的正五边形 A.5 B.7 C.9 D.10 5.如图，在扇形AOB中，OA=6,∠AOB=75°，点C在AB上，连接OC,AD垂直平分OC交OB于点 D,则BC的长度为() A.交 B. D.π 4 3 c. 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4V2,BC=5,P是AD上一点，将△CDP绕点C逆时针旋转45°时，点 P的对应点P怡好落在AB上，则PD的长为() A.1 B.② C.√2 2 D.1或 2 B D 第4题 第5题 第6题 二.填空题（共10小题，2分×10=20分) 7.若分式+2有意义，则x的取值范围是 x-2 第1页（共6页） 8.计算：(N5-2)2025(N5+2)2026的结果是 9.已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1,x2,则x12-5x一2x2的值为」 10.一次函数y=一2k-1经过定点 11.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇 形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD的长为 12.某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单 位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二次函数关系，其部分图象及相关数据如图所示， 则足球从踢出到落地所需的时间是 S. 13.如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则sin∠BAC的值 为 h(m)个 2.75 D B 0.5 1.1 C 第11题 第12题 第13题 14.如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D.己知 CD=2,AD=3,BD=4,那PB=· 15.如图，点A,B在反比例函数y=4(k>0)图像上，△4OB为等腰直角三角形，四边形PCOD为矩形， 则4C= AP 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D在边AB上，过点A作AE⊥CD,垂足为点 E,若E在三角形ABC外部，则CP的最小值是 DE B A 第14题 第16题 第15题 第2页（共6页） 三.解答题（共11题) 17.(本题6分)计算：(1)a-3-a2+5÷2a2-6a ÷ a-31 a2-6a+9 (2)-V5-1π-11+V(-π)2+tan60°. k-3(x-2)≥4 18.(本题6分)解不等式组 1+2x>x-1,并写出非负整数解。 19.(本题6分)为购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗衣机近5周的销售 量和用户评分情况，统计结果如下： 用户评分折线统计图 销售量条形统计图 用户评分（分） 销售量（台） 甲一 口甲 10 20 ▣乙 乙-- 8 ● 15 6 10 2 234 5 周次 2345 周次 根据以上信息，回答下列问题： (1) 种洗衣机销售量比较稳定， 种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或“乙”）： (2)你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由. 20.（本题7分)为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图.如图所示，根据物理知识 “在开关S,闭合的情况下，再闭合S,,S,S中的任意一个开关，小灯泡就会发光.”李老师提出了 如下的数学问题 (1)在开关S,闭合的情况下，随机闭合S,，S,S4中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为： (2)当随机闭合S,S2,S,S,中的两个开关时，求出能使小灯泡发光的概率. 第3页（共6页） 21.(本题8分)(1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形，通 过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是 (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为b(b<a)的小正方体（如图②），通过不同的 方法计算图中体积.由此可以得到的因式分解的等式是 ,并证明这个等式 (3)结合上述经验，将x3一3x一2因式分解的结果是 Q Q 图① 图② 22.（本题8分)如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地ABCD,在AB和BC边各有一 个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面 积为S平方米. 墙 (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围. (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值 23.(本题8分)在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高为DE的 观景台，己知CD=6m,∠DCE=30°，点E、C、A在同一水平线上.某学习小组在观景台C处测得 塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，求 塔AB的高度（精确到1m).(参考数据：tan27°≈0.5，V2≈1.4，V3≈1.7） D.27 45 H 24.（本题9分)在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=2,AD=1. (I)若△ABD是等腰三角形，则BD=一； (2)己知OB=OD,AC=BD. D 0 ①若OA=OC,判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由； 第4页（共6页） ②如图，在△ACD中，CD2=AD2+AC,求AC的长. 25.(本题10分)等腰三角形的确定性问题再探究： (1)证明：底边上的高和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形的底相等. 已知：如图，△ABC与△AB'C是等腰三角形，AB=AC,AB'=A'C,AD与A'D是△ABC与△AB'C 的高，CE与CE是△ABC与△A'B'C腰上的中线，且AD=A'D,CE=CE'. 求证：BC=B'C. 小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明第三步： 小明的部分证明思路：第一步，连接DE与DE,DE=上AC,DE∥AC 第二步证明△DEO与△AOC相似，同理可得△DEO'与△A'O'C'相似 第三步 aDa0aM0,88器-() 可得0040，c0-8, A' 同理：D0'=A'D,C0=2CE, 3 3 又AD=A'D',CE=CE', NO ∴.D0=(),C0=C0', 即可证明△CDO≌△CD'O'； ..DC=D'C', 进一步可得BC=B'C。 (2)若已知等腰三角形腰上的中线为a,腰上的高线长为b,请用直尺和圆规画出△ABC(用两种方法) 要求：①用直尺和圆规作图：②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明. a b 第5页（共6页） 26.(本题8分) 在平面直角坐标系xO中，己知抛物线y=x2一2mx, (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）： (2)若点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=x2-2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围： (3)M(1-m,y),Nm,y2)是抛物线y=x2-2mx上两点，若y-y≤2，直接写出m取值范围. 27.(本题12分) 己知△ABC中，CD是AB边上的高，BF是AC边上的中线，AE是∠CAB的角平分线，且CD、BF、 AE交于一点G,则称点G为该三角形的“金中点”； (1)求证： AC_CG AD DG G B D (2)当∠BAC=45°，求∠ABC度数； D (3)若△CG为等腰三角形时，求4C的比值k为多少？请在下面直接填写结果： EG ①当EC=EG时，= ②当CE=CG时，=； ③当GC=GE时，则k的一位小数的近似值≈ C B 第6页（共6页） 金陵中学集团联考 参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考.如果考生的解法与本解答不同， 参照本评分标准的精神给分， 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共12分） 2 3 4 5 6 D C B B C 二、填空题（每小题2分，共20分) 7.+2: 8.V5+2: 9.-7 10.(2,-1) 11.6: 12.1.6: 13. 7 14.20; 15. 5-1 16.3. 2 三、解答题 17.(本题4分×2=6分) 解：1)原式=a-3_a+51+2a-6a a-3a-3 a2-6a+9 =4-6a+9-a2-5xa-3y=6a+4x（a-3y 一)x a-3 2a(a-3) a-3 2a(a-3) =-6a+4 2a =-3a+2 …3分 a (2)原式=-√3-（π-1）+π+V5=-π+1+π=1.…6分 18.(本题6分) x-3(x-2)≥4① 解： 1+2x>x-1② 3 解不等式②：1+2x>3x-3,-x>-4,得x<4 解不等式①：得x≤1， .不等式组的解集为x1,非负整数解为0,1. 19.（本题2+4=6分) (1)由条形统计图可知，甲种洗衣机销售量比较稳定： 由折线统计图可知，甲种洗衣机用户评分中位数为7分，乙种洗衣机用户评分中位数为8 -1 分，即乙种洗衣机用户评分中位数较高： 故答案为：甲，乙； …2分 (2)推荐选择甲洗衣机，理由如下： 甲种洗衣机销售量比较稳定，且甲种洗衣机用户评分呈现上升趋势，评分总和比乙 高，所以推荐选择甲洗衣机.（答案不唯一).…6分 20.（本题2+5=7分) 解：(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有：S,共1种， :能够让小灯泡发光的概率为} 故答案为： …2分 3 (2)列表如下： S S2 S3 Sa S (S,S2) (S,S) (S,S4) S, (S2,S) (S2,S3) (S2,S4) S3 (S3,S) (S3,S2) (S3,S4) Sa (S4,S) (S4,2) (S4,S3) 共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果有：(S,S2),(S,S),(S,S4), (S2,S),(S,S),(S4,S),共6种， 能使小灯泡发光的概率为。=} …8分 122 21.(本题2+4+2=8分) 解：（1)(a+b)(a-b)=a2-b2；…2分 (2）a23-b3=(a-b(a2+ab+b2),…4分 法1：等式右边=(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3=左边 法2：待定系数法：设：a3-b3=(a-b)(a2+mab+b2), ab2-ba2+mab-a-b'mab=0 （m-1)(a2b-ab2)=0恒成立 .m=1.得证 法3：分组分解：a3-b3=(a3-a2b)+(a2b-b3)=(a-b)a2+(a-b)b(a+b) =(a-b)(a2+ab+b2).…6分 (3)原式=x3+1-3x-3 =(x+1)x2-x+1)-3(x+1) =(x+1)x2-x-2) =(x十1)2(x-2）…8分 22.(本题4+4=8分) 解：(1)由题意得： S=x[40-x-(x-2)+2]=-2x2+44x, 「x>2 x+(x-2)<40 .2<x<21, S与x的函数关系式为S=-2x2+44x(2<x<21);…4分 (2)S=-2x2+44x, =-2(x-11)2+242, .-2<0, .当x=11时，S有最大值，最大值为242平方米.…8分 23.(本题8分) 解：过点D作DF⊥AB,垂足为F, B D 27 30 45 E C A 由题意得：DE=AF,DF=AE,DE⊥AE, 一3 在Rt△CDE中，CD=6m,∠DCE=30°， :DE=CD=3(m),CE=3DE=33(m), .DE AF=3m, 设AC=xm, :DF=AE=CE+AC=(33+x)m, 在R1△ACB中，∠ACB=45°， ∴.AB=AC.tan45°=x(m), 在Rt△DBF中，∠BDF=27°， BF=DF.tan27°≈0.53V5+x), .BF AF=AB, .0.53V5+x)+3=x, 解得：x≈11， .AB=11m, .塔AB的高度约为11m. 24.(本题2+3+4-9分) (1)解：(1)2；…2分 (2)①四边形ABCD是矩形；理由如下： .OA=OC,OB=OD, .四边形ABCD是平行四边形， AC=BD, .四边形ABCD是矩形； …5分 ②过点B作BE⊥AC于点E,如图， A B 在△ACD中，CD2=AD2+AC2, .△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°， ∴.∠DAO=∠BEO=90°， -4