9.3.2 公式法（2）课件 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

八年级下册 9.3.2　公式法（2）　 义务教育教科书 数学 授课教师 问题情境 问题1　这个大正方形的面积怎么表示？这验证了我们之前学习的哪个乘法公式？ 追问1　我们已经学习了哪几种因式分解的方法？ 追问2　如果把这个过程反过来，由a2±2ab＋b2能得到什么？ 它能否“还原”成一个整体的平方形式呢？ 从整体看是(a＋b)2，从部分看是a2＋2ab＋b2 活动　小组讨论：观察完全平方公式右边多项式a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2，它们有哪些共同的结构特征？ 问题2　有几项？每个多项式的第一项和第三项有什么特征？中间项和第一项、第三项有什么关系？ 数学活动 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 1.多项式是三项式； 2.有两项是某个数或式的平方（首项和末项），且符号相同； 3.中间一项是这两个数或式乘积的2倍，符号可正可负． 我们把同时具备这三个特征的式子叫完全平方式． 下列多项式是不是完全平方式？ （1）a2＋6a＋9；（2）4b2＋2b＋1；（3）4a2＋1；（4）x2－6x－9． 数学建构 数学建构 填空： (1) a2＋6a＋9＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2； (2) a2－6a＋9＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2； (3) a2＋( )＋4b2＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2； (4) a2－8a＋( )＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2． 3 a 3 a＋3 3 a 3 a－3 2b a 2b a＋2b 4ab 4 a 4 a－4 16 例1　把下列各式分解因式： （1）x2＋10x＋25； （2）4a2－36ab＋81b2． 追问　尝试归纳分解因式步骤． 例题分析 解： (1) x2＋10x＋25 ＝x2＋2·x·5＋52 ＝(x＋5)2； (2) 4a2－36ab＋81b2 ＝(2a)2－2·2a·9b＋(9b)2 ＝(2a－9b)2． 1.变形： 化成(□)2±2□△＋(△)2的形式； 2.分解： 分解成(□±△) 2的形式. 例2　把下列各式分解因式： （1）25a4＋10a2＋1； （2）(m＋n)2－4(m＋n)＋4． 追问1　你能将(m－n)2＋10(n－m)＋25分解因式吗？ 追问2　a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2呢？ 例题分析 解：(1) 原式＝(5a2)2＋2·5a2·1＋12 ＝(5a2＋1)2； (2) 原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·2＋22 ＝[(m＋n)－2]2 ＝(m＋n－2)2． 关键是先统一符号n−m=−(m−n) 把多项式中的括号部分（如m−n、b+c）看作一个整体 拓展延伸 有两张边长分别为a，b的正方形纸片，两张长、宽分别为a，b的矩形纸片．你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗？ a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 练习巩固 1. 下列多项式能否分解因式？如果能，把它们分解因式： (1) a²+8a+16； (2) 9a²−3a+1； (3) a²−1； (4) a²−ab+ b²。 =a2+2⋅a⋅4+42 =(a+4)2 不能分解 =a2−12 =(a+1)(a−1) =a2 −2⋅a⋅( b)+(b) 2 =(a− b) 2 练习巩固 2. 把下列各式分解因式： (1) 25x²+10xy+y²； (2) a²−12ab+36b²； (3) 16a⁴+24a²b²+9b⁴； (4) (x+y)²−10(x+y)+25。 =(5x) 2+2⋅5x⋅y+y2 =(5x+y) 2 =a2−2⋅a⋅6b+(6b) 2 =(a−6b) 2 =(4a²)²+2·4a²·3b²+(3b²)² =(4a²+3b²)² =(x+y)²−2·(x+y)·5+5² =(x+y−5)² 练习巩固 3. 已知a≠b，比较a²+b²与2ab的大小，并说明理由。 ∵a≠b ∴(a−b)²>0 即a²+b²−2ab>0， ∴a²+b²>2ab。 1.知识：什么是完全平方式？分解公式是什么？ 2.方法：判断和分解的步骤是什么？ 3.思想：体会到了哪些数学思想？ 课堂小结 整体思想、数形结合思想、配方法 课堂小结 用完全平方公式因式分解 形式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 特征：左边：有三项，两项都能用完全平方表示且符号相同，第三项是两个平方项底数的积的2倍或－2倍．右边：这两个平方项底数的和（或差）的平方． 一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简． 谢谢！ $