精品解析：四川省泸县第五中学2025--2026学年九年级下学期第一次数学定时练习

泸县五中初2023级九年级下第一次定时练习 数 学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1.答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2.选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共4 ） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题 ，共4 ．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，0，4，这四个数中，最小的数是 （ ） A. B. 0 C. 4 D. 2. 下列图形属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示如下，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 两平行线的同位角的角平分线互相平行 D. 两条直线不平行，内错角不相等 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 8. 估计﹣1的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 9. 如图是二次函数图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以直角边为直径的交线段于点E，点M是弧的中点，交于点D，的半径是6，则的长度为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 2 11. 如图，点E是矩形的边上一点，连接，把沿对折，点D的对称点F恰好落在上，已知折痕，且，那么该矩形的周长为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 12. 用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20、56、110、182、274、380、506、650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ） A. 506 B. 380 C. 274 D. 182 第Ⅱ卷（非选择题 共10 ） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题 ，共20分） 13. 数据7，9，5，3，2，4，9，2，7，8的中位数为_______. 14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 15. 如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中，则圆弧所在圆的圆心坐标为______． 16. 已知二次函数当时，函数有最大值，则二次函数的表达式为______． 17. 如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为___________． 三、本大题共2个小题，每小题 ，共16分 18. 计算：． 19. 化简：． 四、本大题共3个小题，每小题 ，共30分． 20. 为了丰富学生课余文化生活，某中学组织学生进行才艺比赛，每人只能从以下五个项目中选报一项：A．书法比赛，B．绘画比赛，C．乐器比赛，D．象棋比赛，E．围棋比赛根据学生报名的统计结果，绘制了如下尚不完整的统计图： 根据以上信息解答下列问题： （1）学生报名总人数为_______人； （2）如图1项目D所在扇形的圆心角等于_______； （3）请将图2的条形统计图补充完整； （4）学校准备从书法比赛一等奖获得者甲、乙、丙、丁四名同学中任意选取两名同学去参加全市的书法比赛，求恰好选中甲、乙两名同学的概率． 21. 新世纪百货某品牌商为响应商城618年中狂欢大促活动，六月精选出一款夏季新品T恤同时做线上、线下推广促销，线下专柜按T恤标价打八折销售，线上云购在T恤标价基础上降价200元并包邮销售．线下专柜花1600元购买的T恤的数量与线上云购花1200元购买的T恤数量相同． （1）求该T恤的标价为多少元？ （2）6月该T恤在线下专柜售出100件，线上云购售出200件．7月品牌商继续对该T恤让利促销，线下专柜和线上云购分别在6月售价的基础上降价a%销售，据统计，7月线下专柜销量比6月增加了20%，线上云购销量比6月增加了3a%，7月线上线下合计销售总额达到10.8万元，求a的值． 22. 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到的距离； （2）求高压电塔的高度（结果保留根号）． 五、本大题共3个小题，每小题1 ，共36分． 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长 交x轴于点F，求的面积． 24. 如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求与的长度； （3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中初2023级九年级下第一次定时练习 数 学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1.答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2.选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共4 ） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题 ，共4 ．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，0，4，这四个数中，最小的数是 （ ） A. B. 0 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】有理数的比较大小，先比较符号，正数大于负数，正数相比较，绝对值大的数大，负数相比较，绝对值大的数反而小，正数大于零大于负数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数为． 2. 下列图形属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 4. 不等式的解集在数轴上表示如下，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可. 【详解】∵， ∴x≤2. 在数轴上表示为： 故选B. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变. 不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 两平行线的同位角的角平分线互相平行 D. 两条直线不平行，内错角不相等 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A选项：内错角相等，两直线平行，是真命题，不合题意； B选项：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角才互补，是假命题，符合题意； C选项：两直线平行，内错角相等，是真命题，不合题意； D选项：两条直线不平行，内错角不相等，是真命题，不合题意， 故选B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质及判定． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 8. 估计﹣1的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 9. 如图是二次函数图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，，对称轴为：，，过点A（3，0），根据对称性，与轴另一交点为：，与轴有两个交点，，与轴交于负半轴，； A、，选项错误，不符合题意； B、，，∴，选项错误，不符合题意； C、，∴，选项错误，不符合题意； D、∵图象过，∴，∵，∴，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，以直角边为直径的交线段于点E，点M是弧的中点，交于点D，的半径是6，则的长度为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据垂径定理求出，根据含的直角三角形的性质求出，再求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M为弧的中点，过圆心O， ∴， ∴， ∵ 的半径是6， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出是解此题的关键． 11. 如图，点E是矩形的边上一点，连接，把沿对折，点D的对称点F恰好落在上，已知折痕，且，那么该矩形的周长为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，再由折叠的性质可得，从而得到，再由，可设，则，进而得到．然后在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵沿对折，点D的对称点F恰好落在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴设． 在中，根据勾股定理得， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得． ∴， ∴矩形的周长． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点． 12. 用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20、56、110、182、274、380、506、650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ） A. 506 B. 380 C. 274 D. 182 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 因为的值以相等间隔的值增加，所以只要设出相邻的两个自变量的值为、代入求出差值，再由具体的计算看是否成规律变化找出即可． 【详解】解：设相邻的两个自变量的值为、，代入， 计算差值为：，因此函数值之间的差值间隔是相等的， 即含有公因数， 计算各个差值为 ；；；；；；， 36、54、72、126、144都含有公因数3，即， 而92、106不含有因数3， 可以断定是274错误了． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共10 ） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题 ，共20分） 13. 数据7，9，5，3，2，4，9，2，7，8的中位数为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】先将这组数据按从小到大的顺序排列，因为这组数有10个，所以中位数取排列后的第五个数和第六个数的平均数． 【详解】先将这组数据按从小到大的顺序排列为2，2，3，4，5，7，7，8，9，9，易知正中间的两个数分别是5和7，而，所以该组数据的中位数是6. 【点睛】本题考查中位数的定义，在找中位数时需先给数列进行排序，如果数列的个数是奇数个，那么中位数为中间那个数，如果数列的个数是偶数个，那么中位数为中间两个数的平均数. 14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【答案】 5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 15. 如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中，则圆弧所在圆的圆心坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可知弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案是： 【点睛】本题考查的是坐标图形性质、垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 16. 已知二次函数当时，函数有最大值，则二次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入二次函数的解析式求得的值即可． 【详解】解：当时，函数有最大值， ， 解得：或， 有最大值， ， ， 二次函数的表达式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质等知识，解题的关键是根据题意求得的值后进行正确的取舍． 17. 如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦右侧圆弧上任意一点E与构成的，使得四边形是圆内接四边形，，可得，连接并延长与圆的交点即为的最长距离，作于点H，是的中位线，，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最大值． 【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆， 在矩形中，，，， ∵， ∴所画圆是的外接圆， 弦右侧圆弧上任意一点E与构成的，使得四边形是圆内接四边形， ∴， 连接并延长与圆的交点即为的最长距离， 作于点H， ∴H是的中点， 是的中位线， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E． 三、本大题共2个小题，每小题 ，共16分 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加法与乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 四、本大题共3个小题，每小题 ，共30分． 20. 为了丰富学生课余文化生活，某中学组织学生进行才艺比赛，每人只能从以下五个项目中选报一项：A．书法比赛，B．绘画比赛，C．乐器比赛，D．象棋比赛，E．围棋比赛根据学生报名的统计结果，绘制了如下尚不完整的统计图： 根据以上信息解答下列问题： （1）学生报名总人数为_______人； （2）如图1项目D所在扇形的圆心角等于_______； （3）请将图2的条形统计图补充完整； （4）学校准备从书法比赛一等奖获得者甲、乙、丙、丁四名同学中任意选取两名同学去参加全市的书法比赛，求恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）200人 （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，列表法或画树状图法求随机事件的概率． （1）根据A项目的人数和百分比计算即可； （2）根据圆心角的计算公式求解即可； （3）由样本容量及A，B，D，E项目的数量得到C项目的数量即可作图； （4）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：学生报名总人数为（人）； 【小问2详解】 解：项目所在扇形的圆心角等于； 【小问3详解】 解：项目的人数为， 补全图形如下： 【小问4详解】 解：画树状图得： 所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种， 恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 21. 新世纪百货某品牌商为响应商城618年中狂欢大促活动，六月精选出一款夏季新品T恤同时做线上、线下推广促销，线下专柜按T恤标价打八折销售，线上云购在T恤标价基础上降价200元并包邮销售．线下专柜花1600元购买的T恤的数量与线上云购花1200元购买的T恤数量相同． （1）求该T恤的标价为多少元？ （2）6月该T恤在线下专柜售出100件，线上云购售出200件．7月品牌商继续对该T恤让利促销，线下专柜和线上云购分别在6月售价的基础上降价a%销售，据统计，7月线下专柜销量比6月增加了20%，线上云购销量比6月增加了3a%，7月线上线下合计销售总额达到10.8万元，求a的值． 【答案】（1）500元； （2）40． 【解析】 【分析】（1）设该恤的标价为元，则线下专柜的售价为元，线上云购的售价为元，利用销售数量销售总额销售单价，结合线下专柜花1600元购买的恤的数量与线上云购花1200元购买的恤数量相同，即可得出关于的分式方程，求解且检验后即可得出结论； （2）利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，求解并且取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该恤的标价为元，则线下专柜的售价为元，线上云购的售价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该恤的标价为500元． 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为40． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22. 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到的距离； （2）求高压电塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）20m （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作于点，解直角三角形即可解答； （2）求得，进行角度计算得到，则可求得，再解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得： ， ， ， ， ，， ． 五、本大题共3个小题，每小题1 ，共36分． 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 24. 如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求与的长度； （3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）连接， 可得，，由直径性质，得，可得，即得直线是的切线； （2）证明，得，得，可得，证明，得,，由,得； （3）过点E作于点G，则，当四边形面积最大时，面积最大，点F是的中点，可得，得 ，得，∴，得，由，得,即得． 【小问1详解】 解：连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或； 【小问3详解】 过点E作于点G， 则， 当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，正方形的边长为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 【小问3详解】 存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $