精品解析：广东揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年第二学期高二第一次阶段考试数学试题

惠来一中2025~2026学年度第二学期高二级第一次阶段考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由直线，可得， 即其斜率， 设直线的倾斜角为， 则，， 故选：D. 2. 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 的正负不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故． 故选：B 3. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 4. 已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】. 5. 已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】圆的方程可化为， 其圆心坐标为，半径为， 当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立； 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C. 6. 已知函数在处取得极小值1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值定义进行求解即可. 【详解】由， 因为在处取得极小值1， 所以有， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以是函数的极小值点，故满足题意， 于是有. 故选：C 7. 已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围. 【详解】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ） A. 1010 B. 2020 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】由题设对求二阶导并确定零点，进而可得对称中心，利用求目标式的值即可. 【详解】因为， 所以， 令，则， 令，即，解得， 又， 由题中给出的结论，可知函数的对称中心为， 所以，即， 故，，…，， 所以． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入的极差为12 B. 估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9 C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D. 估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，求出极差、75%分位数、平均数判断ABD；求出数据在内的频率判断C. 【详解】观察频率分布直方图， 对于A，该地农户家庭年收入的极差约为，A错误； 对于B，数据在的频率为， 数据在的频率为，因此75%分位数，，解得，B正确； 对于C，数据在内的频率为，C正确； 对于D，庭年收入的平均值 （万元），D正确. 故选：BCD 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“与的夹角为钝角”的充要条件 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，利用向量的模的坐标运算；B项，利用向量共线的坐标条件求解；C项，由共线反向特例可知；D项，结合数量积与单位向量表示投影向量即可. 【详解】选项A，若，则，又， 则， 则， 故，A项正确； 选项B，， 若，则，解得，B项正确； 选项C，， 若，则，其中当时，与共线且反向， 此时与的夹角为钝角，故与的夹角为钝角， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C项错误； 选项D，若，则，又， 则， 则在上的投影向量的坐标， 故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是异面直线 B. 存在点，使得 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对ABC选项，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解和判断即可；对D选项，由正方体性质可得截面面积最大的状态，画出截面图，求得面积即可判断. 【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设，则点坐标为； 对A：设平面的法向量为，， 则，即，取，解得，故； 又，， 考虑到，则，故， 故一定是异面直线，A正确； 对B：，， 若，则，即， 解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误； 对C： ，取平面的法向量， 则， 设直线与平面的夹角为 则，则， ，又，故， 即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误； 对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大. 此时过的截面经过对称中心， 设截面交于中点，也为中点， 所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大， 取的中点为，连接，如下所示： 故此时截面为正六边形， 其面积，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键是能够掌握用向量法证明异面直线的方法；本题D选项解决的关键是能够合理转化问题，类比解决，从而找到截面面积最大的状态. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解． 【详解】 ， 则是周期为3的周期数列， 又， . 13. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最大值与最小值，可得A值，根据点的坐标，结合周期公式，可得值，代入点坐标，结合的范围，可得值，即可得答案. 【详解】由图象得的最大值为3，最小值为-3，所以， ，解得， 因为，所以， 又过点，代入可得， 则，解得， 因为，所以， 所以 故答案为： 14. 已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将池壁的总维修费用表示为关于的函数，利用导数可求得的单调性，结合单调性可得最小值点，从而得到结果. 【详解】由题意知：池底面积为，则池底维修费用为（元）； 表示较短池壁长，，解得：， 池壁的总维修费用表达式为， ， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）求函数过点的切线； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意对求导得函数单调性，由此即可求解； （2）由题意设出切点，表示出切线方程（含参），从而，，由此可求得，，进一步即可得解. 【小问1详解】 由题意得，的定义域为， ， 令，解得，或（舍去）；，解得，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 设切点为，切线的斜率， 所以， 因为直线过点，所以，又， 解得或， 所以直线方程或 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及能成立求参数的最大值. 【小问1详解】 令，则，于是，结合已知有， 所以，即． 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． 小问2详解】 由（1）知，，则， 则， 令，整理得，而在上单调递增， 且， 所以，的最大值为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，由即可求证； （2）通过勾股定理得到，，即可求证； （3）建系，求得平面法向量，由线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. 【小问2详解】 在中，，， 由，可得， 又由，，可得， 且，可得，，，面， 则面，又面，则平面平面； 【小问3详解】 取中点记为连接，中，，，则， 又，所以， 则平面，平面，， 又，以为轴建系，如图： 则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 可得，， 设直线与平面所成角为， 则. 18. 已知点在双曲线上 （1）求双曲线的方程 （2）过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值 （3）已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入双曲线方程即可求解； （2）设出直线的方程，求得点的坐标，表示出的面积，利于基本不等式求最小值即可； （3）设出直线的方程，联立直线和双曲线方程消元后利于韦达定理得到关系式，用坐标表示直线的斜率，根据条件求解即可. 小问1详解】 将点代入曲线方程， 解得, 则双曲线的方程为 【小问2详解】 设的方程为， 则的方程为 令，得 则 当且仅当，即时，面积的最小值为1 当斜率不存在时，不构成三角形 则面积的最小值为1 【小问3详解】 已知直线的斜率存在， 设 联立方程组, 可得 即 由直线的斜率之和为0可得 即 即 所以 化简得 所以或 当时，过点与题意不符 所以 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是条件坐标化，在求面积最小值时，用点的坐标表达面积是解题的关键；对于第三问中的条件，直线的斜率之和为0，用坐标表达斜率建立等式是解题的关键. 19. 已知函数． （1）令，讨论在的单调性： （2）当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负性与函数的单调性，分类讨论进行求解即可； （2）构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值，结合新函数的最值进行求解即可； （3）根据（2）的结论，构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，即当时，单调递减； 当时，即当时， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上所述：当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 小问2详解】 ， 当， 时， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 要想对任意的恒成立， 只需， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）可知：当时，不等式恒成立， 当时，有， 即， 令， 所以， 即， 令， 当时，单调递增， 所以当时，， 即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠来一中2025~2026学年度第二学期高二级第一次阶段考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图像如图所示，则（ ） A B. C. D. 的正负不确定 3. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 4. 已知在中，内角所对边分别为，且，则的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在处取得极小值1，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ） A. 1010 B. 2020 C. 2023 D. 2024 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入的极差为12 B. 估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9 C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D. 估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“与的夹角为钝角”的充要条件 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是异面直线 B. 存点，使得 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，若，则___________． 13. 已知函数部分图象如图所示，则该函数解析式为__________． 14. 已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）求函数过点的切线； 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值大小. 18. 已知点在双曲线上 （1）求双曲线的方程 （2）过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值 （3）已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率 19. 已知函数． （1）令，讨论在的单调性： （2）当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $