广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段考试数学试题

惠来一中高二数学下学期第二次阶段考试试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 2．已知（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（    ） A． B． C． D． 4．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 5．甲和乙两人去看《哪吒2》，甲想坐第六排，乙想坐第五排，买票时发现第六排还有5个位置，第五排还有9个位置，请问他们看电影的座位有（    ）种不同选法. A．14 B．30 C．45 D．54 6．某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率为（     ） A． B．2 C． D．5 7．已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（     ） A． B． C． D． 8．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI ”视频，“AI ”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI ”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI ”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI ”．已知某个视频被鉴定为“AI ”，则该视频是“AI ”合成的可能性约为（      ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。 9．在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A，一个酒鬼家住在D，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（     ） A．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为 B．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为 C．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为 D． 若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为 10．已知圆 ，直线 ，则（  ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C．直线与圆可能相切 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 11．若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知随机变量，则 ． 13．已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中有理项共有 项． 14．“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 16．一个袋子中有4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为． (1)求的值： (2)从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的数学期望和方差； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际含义． 17．如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有. (1)证明：； (2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求的面积； （ii）求三棱锥的体积. 18．已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. (3)方程无实数根， 求实数的范围. 19．若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中. 甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y. (1)求，； (2)求； (3)已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 惠来一中高二数学下学期第二次阶段考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C D C A C B ABD AD ACD 1．C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性；若，不符合集合元素的互异性；若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 2．D 【知识点】复数的乘方、共轭复数的概念及计算. 【详解】因，，，，，则以，，，为一个周期，因为，则，故，则. 3．C 【知识点】容斥原理的应用. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．（用韦恩图去解释更直观明了.） 【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 4．D 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间向量的坐标运算 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，；所以， 则点到平面的距离为. 5．C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用. 【详解】根据题意，由分步乘法原理可得，他们看电影的座位有种不同选法. 6．A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围. 【详解】双曲线两渐近线垂直，故为等轴双曲线，离心率为. 7．C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心. 【详解】函数（），若是函数的一条对称轴，则是函数的一个极值点，，根据题意，有，又，故，结合选项，点所在的直线为. 8．B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率. 【详解】设A=“视频是“AI ”合成”，设B=“鉴定结果为“AI ””， 则， 由贝叶斯公式得： ． 9．ABD 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、互斥事件的概率加法公式、组合数的计算、计算古典概型问题的概率. 【详解】选项A：10分钟或10分钟以内到家只能是，所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为，故A正确； 选项B：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于步，可能顺时针走5步概率为，可能逆时针走3步概率为，或者逆时针走四步，顺时针走一步，概率为，故其概率概率为，故B正确； 选项C：经过家门口不停， 15分钟后恰好停在家门口，共走5步，可以顺时针走5步,即，概率为，可以逆时针走四步，顺时针走一步，概率为，故其概率为，故C错误； 选项D：经过家门口不停， 21分钟后恰好停在家门口，共走7步，可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，所以其概率为，故D正确. 10．AD 【详解】由直线，得 ，因为，则满足 ，解得 ，所以直线恒过定点 ，故选项A正确. 因为当时，直线为:，则圆心到直线的距离为， 则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离，所以圆上只有2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误. 因为直线过定点 ，又 ，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误.由圆的方程 可得，， 所以圆心为 ，半径为 ，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则 ，解得 ，故选项正确. 11．ACD 【知识点】求函数值、错位相减法求和、函数奇偶性的定义与判断、求等比数列前n项和. 【详解】令，得，即，故A正确； 对于选项B：令，可得，解得， 令，，可得，所以的图象不是偶函数，故B错误； 令，所以，所以，所以，所以，则， 所以，，，累加得：，所以选项C正确； 对于选项D，， 又，所以， 设，则， 所以， 所以 即，故D正确． 12．1 【知识点】正态曲线的性质. 【详解】正态分布形式，，则，即. 13．6 【知识点】求有理项或其系数、二项展开式各项的系数和. 【详解】令，得，则或（舍去）． ∴的展开式的通项为． 当时，为有理项，故有理项共有6项． 14． 会；. 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率. 【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门， 若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1， 被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1）， 也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2）， 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大， 所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大， 所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率， 用概率论公式来分析，我们得到： 车在门的概率为：， 车在门的概率为：. 15．【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算. 【详解】（1）设公差为，由题意可得，， 解得：，, 所以. （2） 由（1）可得, 则是首项，公比为2的等比数列, 则 16．【知识点】二项分布的均值、求超几何分布的概率、计算古典概型问题的概率. 【详解】（1）由题可得， 即，解得：． （2）（i）对于有放回摸球，每次摸到绿球的概率为，且每次试验之间的结果是独立的，则 （ii）样本中绿球的比例分别为， 有放回摸球时，概率 不放回摸球时，概率 所以，在误差不超过0.2的相同限制下，用样本中绿球比例估计总体中绿球比例，采用不放回估计的结果更可靠些． 17．【知识点】空间向量数量积的应用、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算、三角形面积公式及其应用. 【详解】（1）因为E为边AB的中点，所以. 又，即，即. ， 所以. 又因为，所以，即. 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）（i）由余弦定理可得， 所以，所以. （ii）由（1）可知，平面， 所以即为与平面所成角. 因为，所以，， 所以，得. 设到平面的距离为，点到直线的距离为， 则. 因为， 又，所以. 18．【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究方程的根、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求某点处的导数值. 【详解】（1）因为， 所以，又，解得； （3） 由（1）定义域为， 且为增函数. 令可得， 故当时，，即在单调递减； 当时，，即在单调递增. 故在处有极小值，无极大值. 综上可得单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. （3）由（2）可得在单调递减，在单调递增， 在处有极小值，即，且当时， 因为方程无实数根，所以与无交点， 所以，即，所以实数的取值范围为. 19．【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式. 【详解】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，所以， 因为是不可能事件，所以； （2）表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签， 所以， 所以； （3）表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签， 所以， 又的可能取值为，所以 ，， ，所以， ，， 所以的分布列为： 所以. （注：解答题评分标准由评卷老师自行商量统一标准后确定得分点） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$