专题03 导数概念及运算（期中复习讲义）高二数学下学期北师大版

专题03 导数的概念及运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平均速度与瞬时速度 题型02 导数的基本概念 题型03导数的运算 题型04 求切线方程 题型05 求切点坐标 题型06 求参数的值（范围） 题型07 公切线问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数的概念 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数. 在选择、填空题中会继续考查切线方程的求法及应用 导数的运算 知识点01 割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 知识点02导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 （为常数） 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 题型01 平均速度与瞬时速度 解｜题｜技｜巧 1.求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量f（x2）－f（x1）； （2）再计算自变量的改变量x2－x1； （3）得平均变化率. 2.求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求时间改变量Δt和位移改变量s（t0＋Δt）－s（t0）； （2）求平均速度＝； （3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度. 【典例1】（2026·江西鹰潭·期末）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江西赣州·期中）若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【变式2】（2026高二下·江西南昌·期中）函数在上的平均变化率为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【变式3】某木块的位移与时间之间的函数关系式为，则时，此木块的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 题型02 导数的基本概念 解｜题｜技｜巧 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率＝； （2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）. 【典例2】已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式1】（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，则 . 题型03 导数的运算 解｜题｜技｜巧 函数求导应遵循的原则 （1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混； （3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导. 【典例2】（多选）（2026·江苏镇江·开学考试）下列求导运算正确的是（   ）A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·江西·月考）已知函数的导函数为，若，则（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【变式2】设函数，若，则 ． 题型04 求切线方程 解｜题｜技｜巧 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键. 【典例1】10．（24-25高二下·江西宜春·月考）若，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·广东深圳·月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·江西抚州·期末）曲线在点处的切线方程为______. 题型05 求切点坐标 解｜题｜技｜巧 求切点坐标的一般步骤 【典例5】（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·月考）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P坐标为（ ） A． B．和 C．和 D． 题型06 求参数的值（范围） 解｜题｜技｜巧 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 【典例6】（2026·江西萍乡·期末）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1】（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式2】曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为________________ 题型07 公切线问题 解｜题｜技｜巧 破解两曲线公切线问题的基本方法 （1）利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解； （2）分别设出公切线与两曲线的切点P1（x1，f（x1）），P2（x2，g（x2）），则有f'（x1）＝g'（x2）＝，据此列式求解. 【典例7】（25-26高二上·江西南昌·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1】若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·江西抚州·月考）与曲线和都相切的直线l的方程为__________. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（2025·江苏苏州期末）已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 2.（2025·河南濮阳一模）已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·湖南郴州·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·河南·模拟预测）某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米.假设在该海湾某一固定点，大海水深（单位：）与午夜后的时间（单位：）之间的关系为，则下午时刻该固定点的水位变化的速度为（    ）. A． B． C． D． 5．（2026·河南郑州二模）已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则 . 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6.（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 8.（创新考法）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 9.（知识交汇）已知，，直线与曲线相切，则的最小值 10.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11.（2023·全国甲卷T8）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 12.（2024·全国甲卷T6）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 13.（2022·新高考全国Ⅱ卷T14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 14.（2025·新课标Ⅰ卷T12）若直线是曲线的切线，则 . 15.（2024·全国一卷T15）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数的概念及运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平均速度与瞬时速度 题型02 导数的基本概念 题型03导数的运算 题型04 求切线方程 题型05 求切点坐标 题型06 求参数的值（范围） 题型07 公切线问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数的概念 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数. 在选择、填空题中会继续考查切线方程的求法及应用 导数的运算 知识点01 割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 知识点02导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 （为常数） 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 题型01 平均速度与瞬时速度 解｜题｜技｜巧 1.求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量f（x2）－f（x1）； （2）再计算自变量的改变量x2－x1； （3）得平均变化率. 2.求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求时间改变量Δt和位移改变量s（t0＋Δt）－s（t0）； （2）求平均速度＝； （3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度. 【典例1】（2026·江西鹰潭·期末）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 时，此木块在水平方向的瞬时速度为. 故选：C. 【变式1】（25-26高二下·江西赣州·期中）若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】C 【解析】∵函数在区间上的平均变化率为5， ∴，解得．故选：C 【变式2】（2026高二下·江西南昌·期中）函数在上的平均变化率为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】C 【解析】平均变化率为.故选：C 【变式3】某木块的位移与时间之间的函数关系式为，则时，此木块的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以时，此木块的时速度为.故选：C 题型02 导数的基本概念 解｜题｜技｜巧 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率＝； （2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）. 【典例2】已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得．故选A 【变式1】（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由求导，可得， 则，故选D. 【变式2】若，则 . 【答案】6. 【解析】. 题型03 导数的运算 解｜题｜技｜巧 函数求导应遵循的原则 （1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混； （3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导. 【典例2】（多选）（2026·江苏镇江·开学考试）下列求导运算正确的是（   ）A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A选项，，A错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：CD. 【变式1】（25-26高三上·江西·月考）已知函数的导函数为，若，则（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】D 【解析】由得， 所以，即，解得， 所以，则，故选：D 【变式2】设函数，若，则 ． 【答案】2 【解析】由可得，，所以，解得. 题型04 求切线方程 解｜题｜技｜巧 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键. 【典例1】10．（24-25高二下·江西宜春·月考）若，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，所以，即， 所以．又，所以， 则函数的图象在点处的切线方程为，即． 故选：C． 11．（24-25高二下·广东深圳·月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 则，则， 所以切线方程为.故选：A. 【变式2】（24-25高二下·江西抚州·期末）曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】因为，则， 所以，又， 所以所求切线方程为，即. 题型05 求切点坐标 解｜题｜技｜巧 求切点坐标的一般步骤 【典例5】（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，令，则，故， 当时，，即的坐标为，故选B. 【变式1】（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，， 故切点坐标为，故选B 【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·月考）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P坐标为（ ） A． B．和 C．和 D． 【答案】B 【解析】设切点， 由函数，可得， 可得切线的斜率为， 因为曲线在点P处的切线平行于直线， 所以，解得， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时. 故选：B. 题型06 求参数的值（范围） 解｜题｜技｜巧 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 【典例6】（2026·江西萍乡·期末）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以由题意得， 所以切点，所以，故选：C 【变式1】（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】易知，，且， 所以直线， 它与两坐标轴的交点坐标分别为和， 可得，又，解得.故选：C 【变式2】曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为________________ 【答案】/-0.5 【解析】根据导数的几何意义，， 当时，，所以切线的斜率是2， 切线与直线垂直， 所以直线的斜率，解得： 题型07 公切线问题 解｜题｜技｜巧 破解两曲线公切线问题的基本方法 （1）利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解； （2）分别设出公切线与两曲线的切点P1（x1，f（x1）），P2（x2，g（x2）），则有f'（x1）＝g'（x2）＝，据此列式求解. 【典例7】（25-26高二上·江西南昌·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是. 故选：D 【变式1】若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设公共点为，的导数为，曲线在处的切线斜率， 的导数为，曲线在处的切线斜率， 因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，， 所以，即解得，所以，解得， 故选：A． 【变式2】（25-26高三上·江西抚州·月考）与曲线和都相切的直线l的方程为__________. 【答案】 【解析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点， 又，，且，. 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为. 故解得，， 故 故，故直线的方程为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（2025·江苏苏州期末）已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为， 则.故选：C 2.（2025·河南濮阳一模）已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】，则，解得．故选B. 3．（2025·湖南郴州·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得，所以所求切线的斜率， 所以所求切线的方程为，即，故选B. 4.（2025·河南·模拟预测）某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米.假设在该海湾某一固定点，大海水深（单位：）与午夜后的时间（单位：）之间的关系为，则下午时刻该固定点的水位变化的速度为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则， 所以下午时刻该固定点的水位变化的速度为 ，故选A. 5．（2026·河南郑州二模）已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则 . 【答案】 【解析】由图可知，曲线在处切线的斜率等于，∴. ∵，∴，∴. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6.（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，， 故切点坐标为，故选B ，解得．故选B． 7．（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】B 【解析】因为是奇函数，所以，即， 对其求导，则有，所以关于直线对称，故选B 8.（创新考法）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，则， 当时，恒有，是凸函数； 对于B选项，，则，当上，恒有，是凸函数； 对于C选项，若，则在上恒成立，是凸函数； 对于D选项，若，则， 则在上恒成立，故不是凸函数.故选D. 9.（知识交汇）已知，，直线与曲线相切，则的最小值 【答案】4 【解析】对求导得， 由得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号． 10.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围． 【解析】(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)， 则由题意并结合(1)中结论可知， 解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1， 解得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11.（2023·全国甲卷T8）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为，所以， 所以所以 所以曲线在点处的切线方程为，故选C 12.（2024·全国甲卷T6）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积，故选A. 13.（2022·新高考全国Ⅱ卷T14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【解析】 因为，当时，设切点为，由， 所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即 14.（2025·新课标Ⅰ卷T12）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 15.（2024·全国一卷T15）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $