特色专题一：导数求切线（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

特色专题一：导数求切线（讲义+典型例题+小练） 函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。 用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是： （2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 题型一：在点处的切线方程 例1：1.曲线在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出切点坐标和斜率，即可求出切线方程. 【详解】 因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，当x=1时，y=0,切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为. 故选：B 2.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 D 试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算． 解：， ∴y′（0）=a﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 3．已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程． 【答案】4x﹣4y﹣1=0． 【分析】 根据导数的几何意义可知在x处的导数等于切线的斜率1，建立等式关系，求出切点的横坐标，代入函数关系式，求出切点坐标，最后利用点斜式方程写出切线方程即可． 【详解】 解：设切点坐标为M（x0，y0），则切线斜率为2x0， 又直线PQ的斜率为kPQ==1， ∵切线与直线PQ平行， ∴2x0=1，∴x0=， ∴切点为（，），切线斜率为1． ∴切线方程为y﹣=x﹣即4x﹣4y﹣1=0． 点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两条直线平行的判定等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题． 举一反三： 1．已知函数，则函数在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决. 【详解】 则，又 则函数在点处的切线方程为，即 故选：C 2．若函数和的图象有且仅有一个公共点P，则g(x)在P处的切线方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 由分离常数，结合导数求得的值，进而通过切点和斜率求得切线方程. 【详解】 由（）， 分离常数得， 令， ， 令， ，所以在上递减. 所以当时，递增；当时，递减， 所以，所以，且. ， 所以切线方程为. 故答案为： 3．已知函数，求曲线在点处的切线方程； 【答案】 【分析】 先求出函数的导数在处的导数值（切线的斜率），再利用点斜式求出曲线在点处切线的方程，最后化为一般式即可. 【详解】 依题意可知：， ， ∴切线方程为，即. 【点睛】 本题考查导数的几何意义，解决此类题应注意分清“在点”和“过点”的区别，属于常考题 题型二：过点处的切线方程 例2：1．若存在过点的直线与曲线和曲线都相切，则实数a的值是（       ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数分别求过且与曲线和曲线的切线方程并设切点，进而列方程求参数即可. 【详解】 的导函数为，的导函数为， 若直线与和的切点分别为，， ∴过的直线为、， 则有，可得. 故选：D. 2.求曲线y＝x3过点(－1，－1)的切线方程. 【答案】3x－y－2＝0和3x－4y－1＝0 【解析】 【分析】 利用导数的定义，结合导数的几何意义，即可求解切线方程. 【详解】 设所求切线的切点坐标为，则. 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于， 所以曲线在切点处的切线的斜率为， 则所求切线方程为. 因为切线过点(－1，－1)， 所以，即，解得或， 即所求的切线有两条，方程分别是y＝3x＋2和， 即3x－y－2＝0和3x－4y－1＝0. 举一反三： 1．判断曲线在点处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. 【答案】在点处有切线,切线的斜率为0. 【解析】 【分析】 先判断点在曲线上，再利用导数求解. 【详解】 解：当时，，所以点在曲线上. 由题得，所以切线的斜率. 所以在点处有切线,切线的斜率为0. 2．（1）求曲线在处切线的方程； （2）过原点作曲线的切线，求切点的坐标． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标. 【详解】 解：（1）当时，，即切点坐标为， ，切线斜率为，故所求切线方程为，即； （2）设切点坐标为，