湖北黄梅县第一中学2025-2026学年高一下学期数学测试题3月31日

高一数学测试题3月31日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知▱的三个顶点则顶点D的坐标（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点是等腰直角直角边上的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 4．在中，，，，则角的值为（      ） A．或 B．或 C． D． 5．已知是锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 8．已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．的内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C．外接圆的面积为 D．的面积为 10．函数的部分图象如图所录，则（   ） A． B．在的值域为 C．将的图象向左平移个单位后为奇函数 D．的单调递增区间为 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．， ， B．，， C．，， D．，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，当时，函数的单调递增区间为_________. 13．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是_________. 14．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．直角坐标系中，已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 16．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到达处，在测得山顶的仰角为. (1)若，求山的高度； (2)若，求的余弦值. 17．如图，在梯形中，，点为的中点．   (1)求与夹角的余弦值； (2)以为圆心为半径作圆，点是劣弧（包含两点）上的一点，求的最小值． 18．在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若BD是∠ABC的角平分线，，，求b的长. 19．定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 《高一数学测试题3月31日》参考答案 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D C C D B ABD ACD AB 7．D【详解】对于任意的，恰有一个实数根， 等价于函数与有1个交点，因为，所以，当时，，则，解得，故选：D 8．B【详解】因为为的外接圆圆心，，所以， 因为，所以为等边三角形，故， ，当三点共线，即时，取得最大值，最大值为.故选：B 12．， 13．钝角三角形 14． 15．(1)1 (2) 16．(1) (2) 【详解】（1）过点作于点，则四边形是矩形， 在中，，所以， 设，在中，，所以，在中，， 所以，即，所以，解得， 所以山的高度为. （2）在中，，所以， 在中，，所以，在中，， 所以，即，所以， 整理得，又， 所以，整理得， 所以，因为为 锐角，所以. 17．(1) (2) 【详解】（1）设，则，所以， 所以，可得， ， 所以，又， 所以， 所以； （2）如图，以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，可得，且， ，，，， 所以 ，令， 可转化为直线与圆弧始终有公共点， 如图，当直线与圆弧相切时有最小值，   由圆心到直线的距离等于半径可得，解得 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3） 已知 平分 ，且 ，故 。 由 得 ； 将 ，代入得 解得 ∵ ∴ 19．(1) (2)， (3)证明见解析 【详解】（1）解：因为，根据奔驰定理可得， 因此，. （2）解：根据奔驰定理，得，即， 整理可得， 因为与不共线，所以由平面向量基本定理得，. （3）证明：若为的外心，则可设的外接圆半径为， ，，， 故，同理，， 根据奔驰定理，. 即. 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $