精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高二下学期第一学月考试数学试题

四川省泸县第五中学2025-2026学年高二下学期第一学月考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．考生必须保持答题卡的整洁． 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 2. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】 3. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求导数值. 【详解】由题意，知. 故选：B 4. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 50 B. 44 C. 40 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质计算可得，得出首项和公差，再由等差数列前项和公式计算即可, 【详解】根据题意可知， 又，可得， 所以公差，可知首项； . 故选：B. 5. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积. 【详解】当时，，又因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 因为与两坐标轴的交点坐标为和， 所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故选：B. 6. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则=（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 7. 过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值， 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标为，故， 即，的最小值为4. 8. 已知数列满足递推公式，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对两边取对数得，令，则可得是以为首项，2为公比的等比数列，求出，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】由题意可得，则由，得， 所以， 令，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是对已知递推式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的四则运算法则及复合函数求导法则即可求解. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：CD. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. 中最大 C. 使得的的最大值为13 D. 数列是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可得，求得判断A；根据等差数列的前n项和的定义及项的符号判断B；根据等差数列前n项和公式和性质判断C；根据数列单调性定义判断D. 【详解】由，，知，所以，A正确； 由知中最大，B正确； 由，， 知使得的的最大值为14，C错误； 因为，所以， 所以数列是递减数列，D正确. 故选：ABD. 11. 关于切线，下列结论正确的是（ ） A. 与曲线和圆都相切的直线l的方程为 B. 已知直线与抛物线相切，则a等于 C. 过点且与曲线相切的直线l的方程为 D. 曲线在点处的切线方程为． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由导数法求出曲线在切点处的切线方程，再由直线与圆相切与圆心到直线距离的关系列式即可求； 对B，直线与抛物线相切，即两方程联立有唯一解； 对C，点不在曲线上，设切点坐标为，结合导数法建立方程组求出切点坐标，即可进一步求出切线方程； 对D，由导数法直接求切线方程即可. 【详解】对A，设直线l与曲线相切于点，则由知曲线在点P处的切线方程为，即直线l的方程为． 由直线l与圆相切得，解得. 故直线l的方程为．A正确； 对B，由消去y得，所以解得．B正确； 对C，因为点不在曲线上，所以设切点坐标为. 又因为，所以解得 所以切点坐标为，所以，所以直线l的方程为，即．C错误； D中， ，所以，所以切线方程为，即．D正确． 故选：ABD 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线C： 的离心率为，则双曲线的渐近线方程为___． 【答案】 【解析】 【详解】已知双曲线中，，，离心率， ， ，两边平方得， 交叉相乘得，解得，即， 双曲线渐近线方程为． 13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 14. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入得到 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，而圆心角. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则， 因此， 则，令 ，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时容积最大， 把代入，得 由，得， 即圆心角为时容积最大. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式； （2）先求出数列的通项，裂项后求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由条件可知， 解得，， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以数列的前项和为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. （1）求证：当点在线段上移动时，为直角三角形； （2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质得出，即可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，当点在线段上移动时，为直角三角形. 【小问2详解】 因为底面，底面为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， ，， 设平面的一个法向量为， 则，可得，取，可得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 设为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和，并证明：. 【答案】（1）1. （2） 法一： ， ③， ④， ③④得： ， ， ， ， 是单调递增数列，， ，，. 综上：. 法二： ， ， ， ， 是单调递增数列，， ，，. 综上：. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求解.利用等差数列的通项公式求解. （2）法一：利用错位相减法求出，法二：利用裂项相消法求出，求出，得到是单调递增数列，从而得到，由和得到的范围，从而得证. 【小问1详解】 因，所以①， 当时，由①得：②， 则①②得：（）， 即，则（）， 则是等差数列，且公差为2，又，则， 即1. 【小问2详解】 略 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； （3）当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； （2）由题意可得在区间上有两个不相等的实数根，进而利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由（1）知函数单调递增，进而有且对恒成立，利用基本不等式可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由函数的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为， 可知，在上有两个不相等的实数根， 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根， 上述方程可整理为. 则，解得或， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 当时，由（1）可知函数在上单调递增， 不等式可化为， 因恒成立，则可得且对恒成立. 又由 . 当且仅当，即或时取等号， 故实数m的取值范围为. 19. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上一点，的最小值为1，当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的左、右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线相交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见详解；（ii）. 【解析】 【分析】(1)利用椭圆的几何性质和基本关系，解出椭圆参数，得到方程. (2)(i)先确定定点，设过的直线联立椭圆，结合韦达定理联立两条直线方程，发现交点横坐标恒为定值，从而证明在定直线上. (ii)设点坐标，用斜率表示角度的正切值，通过基本不等式求正切最大值，结合正切单调性得到角度的最大值. 【小问1详解】 已知椭圆，右焦点，椭圆上点到的最小距离为(当为右顶点时取得)，故，当轴时，的横坐标为，代入椭圆方程得， 故依据题意得，解得． 故椭圆的方程为 【小问2详解】 (i)，，因为点满足，设，得：，所以， 设直线的方程为，设， 联立，得， 易得，直线与椭圆恒有两个不同交点，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 由韦达定理得，则， 若，代入，得，， 将所求值代入中，得， 简后得，矛盾，因此， 所以，解得. 因为与不重合，所以动点在定直线上. (ii)由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为， ，，斜率，，， 斜率为负，则直线的倾斜角均在内，由于，比更靠近，故，因此，所以， 因为， 所以， 依据基本不等式可知， 所以 因为正切函数在内单调递增，因此， 当且仅当时，等号成立，此时， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省泸县第五中学2025-2026学年高二下学期第一学月考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．考生必须保持答题卡的整洁． 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 3. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 50 B. 44 C. 40 D. 36 5. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则=（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 7. 过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列满足递推公式，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. 中最大 C. 使得的的最大值为13 D. 数列是递减数列 11. 关于切线，下列结论正确的是（ ） A. 与曲线和圆都相切的直线l的方程为 B. 已知直线与抛物线相切，则a等于 C. 过点且与曲线相切的直线l的方程为 D. 曲线在点处的切线方程为． 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线C： 的离心率为，则双曲线的渐近线方程为___． 13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 14. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. （1）求证：当点在线段上移动时，为直角三角形； （2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 设为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和，并证明：. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； （3）当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上一点，的最小值为1，当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的左、右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线相交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $