精品解析：四川省泸县第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

泸县五中2025年春期高二第一学月考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 数列，，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数处可导，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 4. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为的有（ ） A. 焦点在x轴上 B. 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C. 焦点到准线的距离为5 D. 由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 10. 在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 11. 已知函数定义域为，，且不恒为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. （为的导函数） 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则在处的切线方程为________. 13. 已知点，则在上的投影向量的模为______ 14. 已知数列满足，则数列的前2024项的和为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列前n项和，且， （1）求 （2）若，求数列前n项和为，并证明 16. 若曲线与有公共点，且在公共点处有相同的切线，则称与相切，已知与相切． （1）若，求a的值； （2）对任意，是否存在实数，使得曲线与相切？请说明理由 17. 如图，在矩形中，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥为中点. （1）求证：平面： （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. （1）求和通项公式； （2）设，求的前2n项和； （3）求数列的前项和. 19. 过双曲线C：（，）左焦点作圆的切线，切点为，直线交抛物线于点，若（为坐标原点），设为抛物线的焦点. （1）若抛物线上一点到点的距离是3，求的值； （2）求双曲线C的离心率； （3）过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A，B两点，l2与抛物线交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF||NF|的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸县五中2025年春期高二第一学月考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 数列，，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B 2. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出. 【详解】数列的前项和，则. 故选：A 3. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的计算公式可得. 【详解】. 故选：B 4. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 故选:A. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的双曲线方程求出渐近线，比对即可得值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，. 故选：A 6. 已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式写出，再结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】由等比数列的通项公式可知， 当时，可得到，即充分性成立； 反之，若，如，不符合，所以必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据给定条件，列出方程求出离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为c，而，又， 则，整理得，因此， 所以的离心率为. 故选：B 8. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果. 【详解】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为的有（ ） A. 焦点在x轴上 B. 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C. 焦点到准线的距离为5 D. 由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 【答案】ACD 【解析】 【详解】[抛物线的焦点在x轴上，A满足；设是抛物线上一点， 则，所以B不满足；因为中，，所以焦点到准线距离为5，所以C满足；由于抛物线的焦点为，设过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为，则，此时直线存在，所以D满足．所以满足抛物线的有ACD．] 10. 在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知递推式得，结合等比、等差数列的定义判断A、B；应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和判断C、D. 【详解】由，得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列，A正确. 根据等比数列的通项公式得，即，则， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，B正确. 根据等差数列的通项公式得，即， 所以，C错误. 由， ，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，，且不恒为，则（ ） A B. C. 是奇函数 D. （为的导函数） 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法令可得，可判断A正确，令，可得，因此B正确，令，可判断得出，因此是偶函数，即C错误，对两边同时求导可得，代入计算可判断D正确. 【详解】对于A，令，， 又因为不恒为，则，所以A正确； 对于B，令，可得，因此，所以B正确； 对于C，令，可得，所以； 又因为函数的定义域为，所以是偶函数， 又不恒为0，这样不可能是奇函数，故C错误； 对于D，由B推导过程知， 两边求导得 所以，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则在处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 分析】应用导数定义求切线斜率，应用点斜式写出切线方程. 【详解】由，则， ，故， 则，即. 又切线过，所以在处的切线为，即. 故答案为：. 13. 已知点，则在上的投影向量的模为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 可得，， 所以在上的投影向量的模为. 故答案为：. 14. 已知数列满足，则数列的前2024项的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式，利用累加法可得数列的通项，进而可得数列的通项，再利用裂项相消，可得答案. 【详解】由题意可知，满足，当时，， ，， 以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则． 数列的前项和为，． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前n项和，且， （1）求 （2）若，求数列前n项和为，并证明 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可； （2）利用裂项相消的方法求和，结合放缩法即可得 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则由题意得： 即 解得 故， 故 【小问2详解】 ， 16. 若曲线与有公共点，且在公共点处有相同的切线，则称与相切，已知与相切． （1）若，求a的值； （2）对任意，是否存在实数，使得曲线与相切？请说明理由 【答案】；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）设公共点为，结合该点处两曲线的切线斜率相等可求得． （2）设切点为，由，，消元后得出与的方程，与的方程，在与的方程中证明对任意，方程都有正数解后证明对于这个解经，有即可． 【详解】（1）设公共点为，，，， 所以，消去得， 记，显然在上是增函数，而，因此只有一个解，所以． （2）假设对任意，存在实数，使得曲线与相切， 设切点为，， 所以①，②，由②得③， ①③消去得，，， ①③消去得，在时，， 下面证明对任意，方程有解， 设，函数在定义域上是减函数，时，，又函数图象过点， 在坐标系中作出函数的图象，再作直线，如图，它们在第一象限显然有一个交点， 所以对任意的，方程有正数解． 综上，任意，是否存在实数，使得曲线与相切 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，解题关键是把两函数相切，转化为方程有解问题．即设切点为，相切转化为方程组有解．通过解的分析得出参数范围． 17. 如图，在矩形中，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥为中点. （1）求证：平面： （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）如图，取中点，连接，然后通过证明平面平面，进而证明平面； （2）取中点，连接，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【小问1详解】 证明：如图，取中点，连接， 因为在矩形中，， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又，所以， 因为平面，所以平面， 在中，分别为的中点， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接，如图所示， 因为在矩形中，， 所以在中，，且， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，并过点分别作与平行的直线为轴，与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得： ， 所以， 设平面的法向量为，有 ，所以， 取，得平面的一个法向量为 又，设直线与平面所成角的， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求的前2n项和； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得； （3）先求出数列的通项，再用错位相减法求和即可； 【小问1详解】 依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，， 又，，所以，解得或（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 【小问3详解】 ， 设， ， ， 两式相减可得， 所以. 19. 过双曲线C：（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交抛物线于点，若（为坐标原点），设为抛物线的焦点. （1）若抛物线上一点到点的距离是3，求的值； （2）求双曲线C的离心率； （3）过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A，B两点，l2与抛物线交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF||NF|的最小值. 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）先设点，再根据焦半径公式得出进而得出点的坐标进而得出； （2）先得出右焦点为，为的中点，又可得为的中点，所以为的中位线，得到，再设，过点作轴的垂线，由勾股定理得出关于和的关系式，最后求得离心率. （3）设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，得到直线AB的方程为，联立方程，求得，进而求得的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 为抛物线的焦点, 设，，所以，则， 所以 【小问2详解】 双曲线的左焦点， 因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，为的中点， 因为，所以为的中点，， 因为，所以， 因为切圆于，所以，所以， 因为，所以， 过点作轴的垂线，即抛物线的准线， 根据抛物线的定义知，点到的距离为， 设，则，所以， 在中，， 即，， ，又，. 【小问3详解】 由可知焦点为， 由已知可得，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0， 设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为， 所以直线AB的方程为， 联立方程，消去x得， 设点，则， 因为为弦AB的中点，所以， 由，得，所以点， 同理可得， 所以， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：求最小值的关键是应用基本不等式解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$