精品解析：浙江杭州市萧山区高桥初中教育集团 2025-2026学年第二学期 3月素养调研九年级数学

高桥初中教育集团2025学年第二学期3月素养调研 九年级数学试题卷 请同学们注意： 1、考试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3、考试结束后，只需上交答题卷． 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的． 1. 用科学记数法表示的数 的原数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是科学记数法的知识．首先根据科学记数法的定义，由的形式，可以得出原数变形为；然后再根据有理数的乘法法则进行计算即可得出结果. 【详解】解：． 故选：C． 2. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图定义进行判断即可． 【详解】解：由图可知，左视图为： 故选：C． 3. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两直线平行同位角相等． 由平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， 故选：D． 4. 按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【详解】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答的关键是会将不等式组的解集表示在数轴上，注意方向和实（空）心．先求得不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可解答． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 ， 在数轴上表示如下： 故选：C． 6. 如图，在中，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人， 辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（    ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，关键是理解两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式． 【详解】解：设共有人， 辆车． 对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数； 对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即， 所以，故①正确，②错误． “每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数， 所以，故③正确，④错误． 综上，符合题意的是①③， 故选：A． 8. 已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将方程转化为一次函数经过第一、三、四象限，再根据二元一次方程的一个解是，即可解答． 【详解】解：， ， 是一次函数， 、， 一次函数经过第一、三、四象限， 二元一次方程的一个解是， 点一定不在第二象限． 9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点为A（m，k）．且另有一点B（k，m）也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. m＞k B. m＜k C. a（m﹣k）＜0 D. a（m﹣k）＞0 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的顶点坐标写出抛物线的顶点式再划为一般式得出b=-2am，再根据A、B都在抛物线上，把两坐标代入抛物线得出两个方程，把两个方程相减，化简即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为A（m，k）， ∴y＝a（x﹣m）2+k， 整理得：y＝ax2﹣2amx+m2+k， ∴b＝﹣2am， ∵A（m，k）和B（k，m）都在抛物线上，可得： am2+bm+c＝k①，ak2+bk+c＝m②， ②﹣①得：m﹣k＝ak2+bk﹣am2﹣bm ＝﹣a（m2﹣k2）﹣b（m﹣k） ＝﹣a（m+k）（m﹣k）﹣b（m﹣k）， ∴a（m+k）（m﹣k）+b（m﹣k）+（m﹣k）＝0， （m﹣k）[a（m+k）+b+1]＝0， （m﹣k）[a（m+k）﹣2am+1]＝0， （m﹣k）（ak﹣am+1）＝0， ∴m﹣k＝0或ak﹣am+1＝0， ∴m﹣k＝0或a（m﹣k）＝1， ∴a（m﹣k）＞0， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用A（m，k）和B（k，m）都在抛物线上进行解题． 10. 如图，在中， ，将绕点A顺时针旋转得到 ，点B，C的对应点分别为点D，E，的延长线与边相交于点F，连接．若 ， ，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质得出， ，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，求出即可． 【详解】解：连接交于G，如图所示： 根据旋转可得：， ， ∴， 在 中，由勾股定理得：， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和 个白球（除颜色不同外，其余都相同）．若从中任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查已知概率求数量、解分式方程．根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是白球的概率为， ， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：4． 13. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁 ，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在 中，利用勾股定理可求出 的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交 于点E．若，求弧的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，利用等腰三角形的性质证明 ，进而利用平行线的性质和等腰三角形的性质求出的度数，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 15. 已知实数，满足，则 的最大值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知等式，可用表示出 ．再利用二次函数的性质可求得其最大值． 【详解】解：， ， ， 当时， 有最大值4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，用表示出 是解题的关键，注意函数性质的应用． 16. 如图，已知是的直径，弦 于点E， ．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），交于点M，与的延长线相交于点F，设．①则_______，（用含的代数式表示）；②当时，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接、，根据垂径定理得到、，根据圆周角定理得到、，利用计算即可；根据列方程求出的值，进而得到，则 ，设的半径为，则、，根据勾股定理求出的值，从而求出的值． 【详解】解：①如图，连接、， 是的直径，弦 于点E， ，， 、， 在中，， ∴， ， ， ， ； ②， 由①知、 ， ， 即， 解得， ， ， 设的半径为，则、， ， 在 中，由勾股定理得：， ， ． 三、全面答一答（本题有8个小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】； 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式= =； 当x=时， 原式= =3+1- =-． 【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：两边同乘去分母， 得， 则 检验：把代入中，， 是分式方程的解． 19. 如图，在正方形中，对角线 上有一点P，连接，． （1）求证：． （2）将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， 为对角线 、 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到、，证得，根据全等三角形的性质得到； （2）设交于点M，由全等三角形的性质结合等腰三角形的性质易得到，进而得到，从而求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点M， 、， ， ， ， ， 、， ， ． 20. 学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“ ”这组的百分比 _____； （3）抽取的 名学生测试成绩的中位数是_____分，其中“ ”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89． （4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率． 【答案】（1） 补全频数直方图如下： ； （2） （3）84.5分 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与直方图的联系，画树状图或列表求概率，解题的关键是： （1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“ ”这组的频数，从而补全频数直方图； （2）用“ ”这组的频数除以样本容量即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解： 人， 人， 补全频数直方图略 【小问2详解】 解： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵ 分的人数已有 人，“ ”组有12人， ∴中位数在“ ”这组， 又“ ”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89， ∴第25和26名的成绩分别是84分，85分， ∴中位数是 分； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种可能结果，其中甲被选中的有6种， ∴甲被选中的概率． 21. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为，点C的坐标为． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式． （2）求点D的坐标，并直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）， （2）；或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为，令求出点D的坐标，结合一次函数和反比例函数的性质求出时x的取值范围． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为； 一次函数过点A，C，点A的坐标为，点C的坐标为， ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 令， 解得：，， ， 当时，自变量x的取值范围是或． 22. 如图，点均在上，连接 ，且经过圆心，延长交的切线于点，切点是． （1）求证： ； （2）若 ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴ ， ∴ ， 又∵是的切线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质和圆周角定理及推论，相似三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到 ， ，即可得到 ，然后根据圆周角定理的推论得到 ，即可得到结论； （2）根据两角相等得到 ，再根据对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ∴，即， 解得， ∴． 23. 二次函数的图象经过点，点． （1）若 ，求抛物线的顶点坐标； （2）若存在实数 ，使得，且，求的取值范围； （3）当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把 代入抛物线的解析式，化成的形式，求解即可； （2）根据图象过点的意义，确定对应的函数值，再代入，化简，结合，求解即可； （3）先得到当时，的最小值是，再分和确定函数的最大值，结合的最大值与的最小值的和为，列等式解方程求解即可． 【小问1详解】 解：若 ，则， 顶点坐标； 【小问2详解】 解：把代入得，， 把代入得，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：对称轴为， 当时，随着的值增大，的值先减小再增大， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 当时，的最小值是， 若，即的最大值是， ． 解得，（舍去）， 若，即的最大值是， ， 解得，（舍去）， 综上，的值是或． 24. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H． （1）当AB＜AD时， ①求证：BE＝CD， ②猜想∠BDF的度数，并说明理由． （2）若时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①利用矩形ABCD的性质证明 再证明从而可得结论； ②如图，连结BF，证明 可得 再证明从而可得答案； （2）分两种情况讨论，当时，如图，延长交的延长线于 过作于 证明 可得 由再表示 再利用正切的定义可得答案，当 时，同理可得答案. 【小问1详解】 证明：① 矩形ABCD， AE平分∠BAD， ②如图，连结BF， 由（1）得： 则 【小问2详解】 当时，如图，延长交的延长线于 过作于 则 而 同理： 即 当 时，如图，记交交于点 过作于 同理： 即 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建全等三角形与等腰直角三角形是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高桥初中教育集团2025学年第二学期3月素养调研 九年级数学试题卷 请同学们注意： 1、考试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3、考试结束后，只需上交答题卷． 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的． 1. 用科学记数法表示的数 的原数是（ ） A. B. C. D. 2. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（    ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 8. 已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点为A（m，k）．且另有一点B（k，m）也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. m＞k B. m＜k C. a（m﹣k）＜0 D. a（m﹣k）＞0 10. 如图，在中， ，将绕点A顺时针旋转得到 ，点B，C的对应点分别为点D，E，的延长线与边相交于点F，连接．若 ， ，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：____________． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（除颜色不同外，其余都相同）．若从中任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 13. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁 ，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 14. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E．若，求弧的长为_______． 15. 已知实数，满足，则 的最大值为______. 16. 如图，已知是的直径，弦 于点E， ．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），交于点M，与的延长线相交于点F，设．①则_______，（用含的代数式表示）；②当时，则_______． 三、全面答一答（本题有8个小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. 先化简，再求值：，其中 ． 18. 解分式方程： 19. 如图，在正方形中，对角线上有一点P，连接，． （1）求证：． （2）将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数． 20. 学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“ ”这组的百分比 _____； （3）抽取的名学生测试成绩的中位数是_____分，其中“ ”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89． （4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率． 21. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为，点C的坐标为． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式． （2）求点D的坐标，并直接写出当时x的取值范围． 22. 如图，点均在上，连接 ，且经过圆心，延长交的切线于点，切点是． （1）求证： ； （2）若 ，求的长． 23. 二次函数的图象经过点，点． （1）若 ，求抛物线的顶点坐标； （2）若存在实数 ，使得，且，求的取值范围； （3）当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值． 24. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H． （1）当AB＜AD时， ①求证：BE＝CD， ②猜想∠BDF的度数，并说明理由． （2）若时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $