精品解析：浙江省杭州市萧山区湘湖未来学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

2024 学年第二学期湘湖未来学校独立训练九年级数学学科 一．选择题（关注：学数有邻每小题3分，共30分）（共10小题） 1. 在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析四种几何体的主视图和俯视图，找出主视图和俯视图相同的几何体即可． 【详解】解：A、主视图与俯视图都是正方形，故本选项符合题意； B、主视图是两个拼在一起的矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意； C、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意； D、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 2. 大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ） A. 平移变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 位似变换 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 3. 已知＝，则的值为（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣ D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用已知表示出 ，的值，进而代入计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 4. 如图，分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列表得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：列表如下： 2 3 2 4 6 3 6 9 由表可得：所有可能的结果数有4种，积为6的情况数有2种， ∴旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是； 故选A 【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解随机事件的概率，熟悉列表法是解本题的关键． 5. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为 可设其解析式为 抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同 抛物线的解析式为． 故选：D． 6. 如图，点A，点B，点C在 上，连接．若，，则的长为（　　） A. π B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，在优弧 上取一点E，连接，由圆内接四边形的性质得到，则由圆周角定理可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，在优弧 上取一点E，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 7. 如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出的值．本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正边形的一个内角， 则， 解得． 故选：D． 8. 如图， 是以 为直径的半圆的一条弦，且，，设的面积为，阴影部分面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理等，掌握扇形面积公式、圆周角定理及三角函数是本题的关键． 连接 、，过点 作于点 ，设 的半径为，根据圆周角定理和三角函数将的面积用和表示出来，根据与同底等高得，从而得，利用扇形的面积公式用和将扇形的面积表示出来，进而计算即可． 【详解】解：连接 、，过点 作于点 ，设 的半径为． ， ， ，， ， ，， ； ， 与同底等高， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，在 中，， 于 ， 为 的内切圆，设 的半径为， 的长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出 的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 为 中、、 的角平分线交点，过点 分别作垂线交 、 、 于点 、 、 ， ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 10. 设函数（a是实数），当时，对应的函数值分别为r，s，t，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】先把x=1，2，3分别代入函数解析式用a出r，s，t，进而用a表示出，再根据不等式的性质和反比例函数的图象和性质依次验证四个选项即可． 【详解】解：把x=1代入得． 把x=2代入得． 把x=3代入得． ∴． 当时． ∴． ∴． ∴，即． 故A不符合题意． 当时． ∴． 把x=-1代入反比例函数中得y=-2． ∴． ∴，即． 故B不符合题意． 当时． ∴． ∴． ∴，即． 故C不符合题意． 当时． ∴． 把x=-1代入反比例函数中得y=-2，把x=-2代入反比例函数中得y=-1． ∴． ∴，即． 故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查求函数值，不等式的性质，反比例函数的图象和性质，综合应用这些知识点是解题关键． 二．填空题（关注：学数有邻每小题3分，共18分）（共6小题） 11. 已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据题意可得，代入数值求解即可． 【详解】解： 线段是线段的比例中项，， （负值舍去） 故答案为： ． 12. 如图，将 绕点 逆时针旋转得到，若点恰好落在 上，则_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理；解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，AB是 的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是 的切线，C为切点，若，，则PC=______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 ，由，设圆的半径为，证明 ，再求解 ，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接 ， PC是 的切线， ， 而， ， 设圆的半径为， 则， ， ， ， 解得： ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，求解是解本题的关键． 14. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以 为圆心，为半径的圆弧，是的弦 中点，， 在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当 ，时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，垂径定理和勾股定理；连接 ，根据垂径定理，知，设圆的半径为根据勾股定理求出，计算求出答案． 【详解】解：连接 ，如图： 是的弦 中点，， ， ， ， 共线， ， ， 设圆的半径为，则， 在中，根据勾股定理， 得， 即， 解得， ， ∴ 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与 轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为__． 【答案】4 【解析】 【分析】当时，先解方程得抛物线与 轴的交点坐标为，，则抛物线与 轴的交点之间的距离为3，根据题意四个交点中每相邻两点间的距离都相等，即每相邻两点间的距离都为1，于是得到平移后的抛物线与 轴的交点坐标为，，利用交点式写出平移后的抛物线解析式为，即，接着利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，从而得到的值． 【详解】解：当时，， 解得，， 抛物线与 轴的交点坐标为，，如图， 抛物线与 轴的交点之间的距离为， 二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与 轴有两个交点，这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 每相邻两点间的距离都为1， 平移后的抛物线与 轴的交点坐标为，，如图， 平移后的抛物线解析式为， 即， 抛物线向上平移个单位所得的抛物线解析式为， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数，，是常数，与 轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 16. 如图，在矩形纸片 中，点E在边 上（不与点B，点C重合），连接 ，将沿直线 折叠，使得点B落在点F处，若，，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键． 连接交 于点 ，证明出，进而证明出，可得，由，可设，用表示出，利用，得到，即可求出答案． 【详解】解：连接交 于点 ，如图， ∵由折叠得到， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， ∴可设， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（关注：学数有邻8小题，共72分）（共8小题，满分70分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案． 【详解】解： ． 18. 由小正方形组成的5×5的网格中， 的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作 边上的中线 ； （2）若点E是 上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 【答案】（1）见解析 （2），图见解析； 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中线、无刻度直尺作图等知识． （1）根据网格的特点找到 的中点D，连接 即可； （2）根据网格的特点得到，，证明，得到，则，即可证明点E即为所求． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求， 【小问2详解】 如图，点E即为所求， 连接 ， 由网格可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形 的两条对角线交于 点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【解析】 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 20. 某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎． （1）若小丽和小红在“ ．快乐农场”、“ ．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用 ， ，表示） （2）小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200 发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139 种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949 ①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）． ②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 【答案】（1） （2）①；②大约能有粒种子发芽 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． （2）①当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解；②用2000乘以①中得到的发芽率即可得解． 【小问1详解】 解：画树状图为： 共有种等可能出现的结果，其中她们选到相同社团的情况有 种， 故她们选到相同社团的概率为； 【小问2详解】 解：①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为； ②（粒）， 故大约能有粒种子发芽． 21. 如图，在矩形 中，，以点A为圆心，线段 的长为半径画弧，与 边交于点E，连接 ，过点D作于点F． （1）求证：． （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质定理证明即可解决问题； （2）过点B作，垂足为G，证明，求出，设，在 和中，利用勾股定理列出方程，求出x值，可得，进一步利用勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：连接 ， ∵四边形 是矩形， ∴， ，， 由作图可知： ， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 如图，过点B作，垂足为G， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在 和中， ，即， 解得： ，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握相应定理，找到线段之间的关系． 22. 如图，重庆市实验中学校为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．张明的无人机放飞到距离地面米的P点，测得斜坡A地的俯角为15°，斜坡B地的俯角为60°，斜坡 的斜面坡度为． （1）求斜坡A地到B地的距离； （2）下课前，老师要求同学们在A地集合，张明对无人机P发出回收指令以后，然后他迅速从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡AC与水平地面夹角为53°，张明上坡的跑步速度为6m/s，无人机的速度为20m/s，在张明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由．（，，，，，结果精确到0.1） 【答案】（1）斜坡A地到B地的距离为200米 （2） 是，理由如下： 在中，， ∴， 在 中，， ∴张明跑到A地时需要秒； ∵ 为等腰直角三角形，， ∴， ∴无人机到达A地时需要秒， ∵， ∴张明跑到A地时，无人机已经回到A地． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点 作 ，过点 作，解直角三角形求出 的长，根据坡度求出，进而推出 为等腰直角三角形，得到即可； （2）分别求出的长，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【小问1详解】 解：过点 作 ，过点 作， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵斜坡 的斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 为等腰直角三角形， ∴； 故斜坡A地到B地的距离为200米； 【小问2详解】 略 23. 已知二次函数（b为常数）． （1）若该函数图象的顶点为，求证：； （2）若点，在该二次函数图象上，且满足，当时，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1） 证明： 二次函数图象的顶点坐标为， ，， ； （2） ，理由如下： 解方程组，得， ， ，， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，解一元一次不等式组，求得、的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由顶点坐标公式可得，，即可证； （2）解方程组求得，由，得到，，然后根据二次函数的性质即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图1，已知锐角 内接于 ，P为 的内心，连结 并延长分别交 ， 于点D，E，连结． （1）求证：． （2）若，试求的值． （3）若将条件“锐角 内接于 ”改为“内接于 ， 为直径”，如图2．过点P作于点F，设的外接圆半径为R，，试问的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：设, ∵P为 的内心， ∴是 的角平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设,根据三角形的内心可得，即，然后根据角的和差及等量代换即可解答； （2）先证明可得，再证明可得，进而得到，最后证明并利用相似三角形的性质即可解答； （3）如图：过P作于G，作于H，过E作于N，作交 延长线于M，连接， 为 的直径，易证四边形为正方形，即；再证、，进而说明为等腰直角三角形；再通过解直角三角形以及全等三角形的判定与性质可得，最后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：, 又∵， ∴， ∴,即， ∵, ∴,即， ∴, 又∵,， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过P作于G，作于H，过E作于N，作交 延长线于M，连接， 为 的直径， ∴,， ∴四边形为矩形， 由内心的性质可得：， ∴四边形为正方形，即， 又∵, ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形的等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 学年第二学期湘湖未来学校独立训练九年级数学学科 一．选择题（关注：学数有邻每小题3分，共30分）（共10小题） 1. 在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ） A. 平移变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 位似变换 3. 已知＝，则的值为（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣ D. 4. 如图，分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，点B，点C在 上，连接．若，，则的长为（　　） A. π B. C. D. 7. 如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，是以 为直径的半圆的一条弦，且，，设的面积为，阴影部分面积为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 中，， 于 ， 为 的内切圆，设 的半径为， 的长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数（a是实数），当时，对应的函数值分别为r，s，t，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二．填空题（关注：学数有邻每小题3分，共18分）（共6小题） 11. 已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ______． 12. 如图，将 绕点 逆时针旋转得到，若点恰好落在 上，则_____． 13. 如图，AB是 的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是 的切线，C为切点，若，，则PC=______． 14. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以 为圆心，为半径的圆弧，是的弦 中点，， 在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当 ，时，______． 15. 已知二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为__． 16. 如图，在矩形纸片 中，点E在边 上（不与点B，点C重合），连接 ，将沿直线 折叠，使得点B落在点F处，若，，则_______________． 三．解答题（关注：学数有邻8小题，共72分）（共8小题，满分70分） 17. 计算：． 18. 由小正方形组成的5×5的网格中， 的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作 边上的中线 ； （2）若点E是 上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 19. 在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形 的两条对角线交于 点，若 （填序号） 求证：． 20. 某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎． （1）若小丽和小红在“ ．快乐农场”、“ ．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用 ， ，表示） （2）小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200 发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139 种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949 ①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）． ②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 21. 如图，在矩形 中，，以点A为圆心，线段 的长为半径画弧，与 边交于点E，连接 ，过点D作于点F． （1）求证：． （2）连接，若，，求线段的长． 22. 如图，重庆市实验中学校为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．张明的无人机放飞到距离地面米的P点，测得斜坡A地的俯角为15°，斜坡B地的俯角为60°，斜坡 的斜面坡度为． （1）求斜坡A地到B地的距离； （2）下课前，老师要求同学们在A地集合，张明对无人机P发出回收指令以后，然后他迅速从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡AC与水平地面夹角为53°，张明上坡的跑步速度为6m/s，无人机的速度为20m/s，在张明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由．（，，，，，结果精确到0.1） 23. 已知二次函数（b为常数）． （1）若该函数图象的顶点为，求证：； （2）若点，在该二次函数图象上，且满足，当时，比较，的大小，并说明理由． 24. 如图1，已知锐角 内接于 ，P为 的内心，连结并延长分别交 ， 于点D，E，连结． （1）求证：． （2）若，试求的值． （3）若将条件“锐角 内接于 ”改为“内接于 ， 为直径”，如图2．过点P作于点F，设的外接圆半径为R，，试问的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $