课时分层评价21 复数的三角表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价21　*复数的三角表示 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.将复数4化成代数形式，正确的是(　　) A.4 B.－4 C.4i D.－4i 答案：D 解析：4＝4[0＋i(－1)]＝－4i.故选D. 2.复数z＝cos ＋isin 的一个辐角是(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：B 解析：由辐角的定义，知复数z＝cos ＋isin .故选B. 3.(cos ＋isin )×4(cos ＋isin )＝(　　) A.4 B.－4 C.4i D.－4i 答案：C 解析：×4 ＝4 ＝4＝4i，故选C. 4.在复平面内点P对应的复数z1＝2＋i，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数z2的虚部为(　　) A.－ B.＋1 C.i D.(＋1)i 答案：B 解析：设P点对应的向量为，向量绕坐标原点O逆时针旋转，对应的复数为(2＋i)·＝(2＋i)＝＋i，所以点Q对应的复数z2的虚部为＋1.故选B. 5.设复数z的共轭复数是，且｜z｜＝1.又复数z对应的点为Z，A(－1，0)与B(0，1)为定点，则函数f(z)＝｜(z＋1)(－i)｜取最大值时在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 答案：D 解析：因为｜z｜＝1，所以设z＝cos θ＋isin θ(θ为辐角)， 所以(z＋1)(－i)＝(cos θ＋1＋isin θ)(cos θ－isin θ－i) ＝cos2θ－isin θcos θ－icos θ＋cos θ－isin θ－i＋isin θcos θ＋sin2θ＋sin θ ＝(cos θ＋sin θ＋1)－i(cos θ＋sin θ＋1). 所以f(z)＝ ＝ . 当sin＝1时，f(z)取最大值，故当θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时，f(z)取最大值，此时z＝＋i，＝－i，则Z，. 所以｜A｜2＝＋＝2＋， 所以｜B｜2＝＋＝2＋，｜AB｜2＝(－1－0)2＋(0－1)2＝2， 所以｜A｜＝｜B｜，且｜A｜2＋｜B｜2≠｜AB｜2， 所以该图形为等腰三角形.故选D. 6.复数z＝3的模是　　　　. 答案：3 解析：复数z＝3是三角形式，故z的模是3. 7.复数z＝－＋i化成三角形式为　　　　　　　. 答案：2 解析：如图，r＝2，cos θ＝－，θ＝，－＋i＝2. 8.欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，对表示的复数z，则｜z｜等于　　　　；等于　　　　. 答案：1　－i 解析：由欧拉公式eix＝cos x＋isin x， 可得＝cos π＋isin π＝－－i， 所以｜z｜＝＝1，＝＝－i. 9.(15分)计算4÷［2(cos ＋isin )］. 解：4÷ ＝2 ＝2＝2i. 10.(15分)已知复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝1，且z1＋z2＝＋i，求z1·z2的值. 解：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.则(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i. 由题意得方程组 此方法运算量非常大，涉及四次方的计算并且不易求解.如果利用复数的三角形式的向量表示就可以快速解决. 方法二：设在复平面上，z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为，，.由向量的平行四边形法则得▱OA1AA2. 因为z1＋z2＝＋i＝cos ＋isin ，｜z1｜＝｜z2｜， 所以∠A1OA＝∠AOA2＝，复数z1或z2应与x轴正半轴重合，则另一个辐角为π. 设z1＝1，则z2＝cos π＋isin π＝－＋i，则z1·z2＝－＋i. (11、12每小题5分，共10分) 11.(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成：z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A.｜z2｜＝｜z｜2 B.当r＝1，θ＝时，z3＝1 C.当r＝1，θ＝时，＝－i D.当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数 答案：AC 解析：对于A选项，z＝r(cos θ＋isin θ)，则z2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，可得｜z2｜＝｜r2(cos 2θ＋isin 2θ)｜＝r2，｜z｜2＝｜r(cos θ＋isin θ)｜2＝r2，A选项正确；对于B选项，当r＝1，θ＝时，z3＝(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，B选项错误；对于C选项，当r＝1，θ＝时，z＝cos ＋isin ＝＋i，则＝－i，C选项正确；对于D选项，zn＝(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ＝cos ＋isin ，取n＝4，则n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1不是纯虚数，D选项错误.故选AC. 12.已知复数z满足｜z｜＝1，则｜z－4－3i｜的最大值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：C 解析：由｜z｜＝1可设：z＝cos θ＋isin θ， 所以z－4－3i＝(cos θ－4)＋(sin θ－3)i， 所以｜z－4－3i｜＝ ＝ ＝(其中tan φ＝)， 所以当sin (θ＋φ)＝－1时，｜z－4－3i｜max＝＝6.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $