专题7.3 组合（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题7.3 组合 教学目标 1.理解组合的概念，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题． 2.能利用计数原理推导组合数公式，能运用组合数公式进行计算． 3.能运用组合知识分析简单的实际问题，提高分析解决问题的能力． 4.在结合具体情境教学组合的过程中，发展数学建模素养；在解决具体的组合问题的过程中，提升数学运算素养． 教学重难点 1.重点 理解组合的意义，明确组合与排列的联系与区别，理解排列数A与组合数C之间的联系；组合数性质的应用． 2.难点 用构造法证明组合数的性质；运用组合知识解决问题. 知识点01 组合的定义 组合的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注：①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 【即学即练】 1．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（  ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【解析】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 2．从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（  ） A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 【答案】B 【分析】根据排列的定义，是否与顺序相关是确定一个问题是否为排列问题的关键，据此逐项判断即可． 【解析】对于①，两数的和与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，两数的商与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，因为椭圆的焦点在x轴上，故与取的两数顺序无关，故③是组合问题； 对于④，取得两数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，取得两数与顺序有关，故⑤是排列问题； 所以，②④⑤与两数的顺序有关，为排列问题. 故选：B. 知识点02 组合数与组合数公式 1.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 2.组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 【即学即练】 1．计算（  ） A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B 【分析】根据排列数和组合数运算法则计算即可 【解析】． 故选：B． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)70；(2)253 【分析】（1）运用组合公式进行计算； （2）运用组合公式进行计算. 【解析】（1）； （2）． 知识点03 组合数的性质 性质1： 注：这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. 性质2： 注：这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法，由分类加法计数原理可得：. 【即学即练】 1．计算的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质化简得解. 【解析】 . 故选：C. 2．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】设集合，从集合中的个不同元素中任取个元素的组合数可分为三类： 都不取的， 都取的和 只取其中一个的，相加结合组合数的定义即可证明. 【解析】证明：设集合 ． 从集合中的个不同元素中任取个元素的组合数为 ． 满足条件的组合数分成三类： 一类为 都不取的，有 ； 一类为 都取的，有 ； 一类为 只取其中一个的，有 ． 由加法原理知： ． 题型01 组合问题的判断 【典例1】（多选）下列问题中是组合问题的是（  ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2024个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】ABC 【分析】选项A、B、C中都与顺序无关，利用组合问题的定义判断即可. 【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题； 因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题； 因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题； 因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题. 故选：ABC, 排列与组合的联系与区别： 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 【变式1】从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（  ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 【答案】B 【分析】根据组合的定义，CD与顺序有关，A存在等，不合要求，B选项，满足组合的定义. 【解析】因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺序有关， 所以C，D中问题不是组合问题． 因为加法与乘法满足交换律，取出的两个数与顺序无关， 但是由于，等， 所以相加问题不是组合问题，只有相乘问题是组合问题． 故选：B． 【变式2】下列四个问题属于组合问题的是（  ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据组合的定义即可判别 【解析】 A. 从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 题型02 组合数的计算 【典例1】（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由组合数性质得，进一步根据组合数与排列数的关系即可得解. 【解析】. 故选：A. 1.记组合数公式，均为正整数），明确题干中n（总体元素数）、k（选取元素数），利用简化计算。 2.代入n、k值，通过阶乘性质约分（如），分步计算分子分母后相除，或直接用组合数性质简化，得最终结果。 【变式1】计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【解析】， ，， 因此. 故选：B. 【变式2】（ ） A．960 B．480 C．160 D．80 【答案】B 【分析】直接计算得到答案. 【解析】. 故选：B 【变式3】计算的值是_________ 【答案】61 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【解析】， ，, 因此. 故答案为：61. 题型03 组合数的性质及应用 【典例1】（多选）下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用组合数的性质可判断AB，利用组合数的计算公式可判断 【解析】解：对于A，由组合数的性质可知，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误． 故选： 1.识别性质： 递推性：； 对称性：； 2.代入化简：按性质合并或转化表达式； 3.求解结论：等式两边对应相等，得出结果. 套用示例：；→. 【变式1】的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用代换和组合数的性质计算即可 【解析】因为，， ， 故选：C. 【变式2】若，则（  ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【解析】由，得，解得， 所以 . 故选：B. 【变式3】若，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 【解析】因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确. 故选：B 【变式4】（多选）下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是（  ）． A． B． C． D．是一个常数 【答案】BD 【分析】由排列数公式判断AB，由组合数的性质化简判断C，根据组合数的性质得，然后代入计算判断D. 【解析】由排列数公式知A不正确， ，B正确， 由组合数的性质可知，，故C不正确， D选项中，n应该满足，且，，解得， 因此，D正确． 故选：BD． 【变式5】若，则的值为 ． 【答案】34 【分析】先由组合数的性质求解，再由组合数的性质化简求解即可. 【解析】因为，所以或（舍去），解得， 所以 ． 故答案为：． 题型04 利用组合数公式证明 【典例1】（多选）已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB选项，利用排列和组合的性质得到BC正确；C选项，可举出反例；D选项，利用组合数公式得到. 【解析】A选项，由组合数性质得，A正确； B选项，由组合数计算公式得，B正确； C选项，不妨设，则， 显然，C错误； D选项，，D正确. 故选：ABD 1.确定证明等式/不等式两端的组合数表达式，用公式转化为阶乘形式，标注n≥m≥0整数的前提，可借助等性质简化。 2.对一端或两端同步化简，利用阶乘性质（如）约分、展开，通过代数变形推导至两端相等，或结合组合数定义论证不等式成立。 【变式1】（多选）关于排列组合数，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用排列组合数公式展开化简，结合选项辨析即可. 【解析】，，故A正确； ，故B正确； ，而，故C错误，D正确； 故选：ABD 【变式2】（多选）已知m，且，则下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【解析】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 【变式3】（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【解析】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 【变式4】规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【答案】(1)3060;(2)答案见解析;(3)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据组合数的推广公式计算即得； （2）对于①，只需举反例即可排除；对于②，可根据组合数的推广公式推理计算证明； （3）对于①，利用组合数的推广公式化简计算即可证明；对于②，将问题分成，和三种情况，分别计算推理即可证明. 【解析】（1） ． （2）性质①不能推广，例如当时有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数． 证明：当时，有， 当时， ． （3）①因， 而， 所以． ②当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以 ， 因为时，，所以，即时，． 综上，当，m是正整数时，． 题型05 利用组合数解不等式与方程问题 【典例1】（1）已知，则（  ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【分析】根据组合数的性质 建立方程解得的值，利用组合数的计算公式，可得答案. 【解析】由，则或，解得或， 所以. 故选：B. （2）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【解析】不等式化为：，整理得，解得，而， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 1.用组合数公式替换表达式，结合等性质化简，转化为普通代数方程/不等式，标注n≥k≥0且为整数的约束。 2.解代数式得初步解，再根据组合数定义（如n、k为整数且n≥k）剔除无效解，最终确定符合条件的正整数解或解集。 【变式1】已知，则（  ） A．2 B．5 C．2或5 D．2或6 【答案】C 【分析】根据组合数的性质可得或，解方程即可. 【解析】由， 可得或， 解得或5. 故选：C. 【变式2】若 为正整数，则不等式 的解集是 【答案】 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【解析】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】已知x、y满足组合数方程，则xy的最大值是 【答案】128 【分析】由组合数公式的性质得，或，从而根据二次函数的性质以及基本不等式即可求解． 【解析】解：，满足组合数方程， ，或， ，， 或，即． 综上，当时，取最大值128． 故答案为：128 【变式4】解下列方程或不等式： (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，利用组合数的性质，得到，求得或，结合，即可求得的值. （2）由不等式，求得，结合且，即可得到答案. 【解析】（1）解：由组合数的性质，可得，且， 即，则， 整理得，解得或， 又因为，即，所以. （2）解：由不等式， 可得， 化简得，解得， 又因为且，所以， 所以原不等式的解集是. 题型06 有限制条件的组合问题 【典例1】中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（  ） A．60 B．66 C．72 D．80 【答案】C 【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解. 【解析】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法， 若甲乙在同一实验舱的种数有种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有种. 故选：C. 1.明确约束类型（如“必选某元素”“不选某元素”“至少选k个”），按约束拆分问题为互斥类别（如含必选元素/不含某元素），确保不重不漏。 2.必选元素先固定再选剩余，不选元素剔除后计算，“至少/至多”类用直接分类或间接排除法，算每类组合数后求和，得总组合数。 【变式1】某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（  ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 【答案】C 【分析】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况求解即可；方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数.就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数. 【解析】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况， 根据分类加法计数原理，选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数为. 方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数，就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数，即． 故选：C 【变式2】将2个同样的红球、2个同样的黑球和2个同样的白球放入下列6个格子中，要求同样颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有（  ）种. A．30 B．20 C．35 D．40 【答案】A 【分析】先确定黑球和红球的摆放方式，再结合组合数的性质求解放球方法，最后再求和即可. 【解析】若使同样颜色的球不相邻，则先放黑球和红球， 若黑球和红球的摆放位置是红红黑黑， 则白球只能放在两个红球和两个黑球中间，共1种放法， 若黑球和红球的摆放位置是黑黑红红， 则白球只能放在两个红球和两个黑球中间，共1种放法， 若黑球和红球的摆放位置是红黑红黑， 则会出现5个空，而再放两个白球，则有种放法， 若黑球和红球的摆放位置是黑红黑红， 则会出现5个空，而再放两个白球，则有种放法， 若黑球和红球的摆放位置是红黑黑红，则在黑黑之间必须放1个白球， 则剩下的白球可以在4个位置中选1个，有种放法， 若黑球和红球的摆放位置是黑红红黑，则在红红之间必须放1个白球， 则剩下的白球可以在4个位置中选1个，有种放法， 综上，共有种不同的放法，故A正确. 故选：A. 【变式3】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（  ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【解析】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 【变式4】从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用组合进行计数，可求结果； （2）先计算出选出的三人都是男生、都是女生的选法数，然后利用选法总数减去都是男生、都是女生的选法数可求结果； （3）根据分步乘法计数原理，结合组合数和排列数的计算，可求解出结果. 【解析】（1）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动， 其方法数为种； （2）若选的三人都是男生，有种选法， 若选的三人都是女生，有种选法， 所以既有男生又有女生的选法有种； （3）根据题意，分步进行分析： ①从名男志愿者和名女志愿者中选出男女，选择方法数共有种， ②安排选出的人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，有种情况， 故不同选派方法数为种． 题型07 代数中的组合计数问题 【典例1】用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（  ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【答案】A 【分析】对个位数字分四种情况讨论，按照分类加法计数原理及组合数公式计算可得. 【解析】若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 综上可得一共有个. 故选：A. 1.剖析代数情境（如多项式项数、方程解），提取核心元素（如变量、系数）与约束（如非负整数解、项的次数），转化为组合模型（如选元素分组）。 2.适配模型选方法（如隔板法解方程解、组合数算项数），含约束时分类或间接排除，计算每类组合数后求和，得计数结果。 【变式1】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（  ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 【答案】B 【分析】分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求出结果. 【解析】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字， 十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字， 为使个位上的数字小于十位上的数字， 当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况； 当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字， 较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有. 故满足题意的两位数共有个. 故选：B 【变式2】从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（  ） A．36 B．54 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用分步计数原理与插空法即可求解. 【解析】根据题意，完成这件事可分三部： 第一步，选数字，有种； 第二步，将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种； 第三步，安排这三个数字在三个位置上，且相邻数位上的数字不同， 即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字取插空，则有种排序方法； 由分步计数原理可得这样的四位数共有个. 故选：D. 【变式3】每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，而，进而结合组合知识求解即可. 【解析】由题意，，设，而， 则从这11个整数中任取3个不同的数，按照从小到大的顺序安排给， 故满足条件的个数为. 故选：C. 【变式4】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【答案】(1)144；(2)162 【分析】（1）结合排列数和组合数的应用，利用分步乘法原理求解即可； （2）结合排列数和组合数的应用，利用分类加法原理求解即可. 【解析】（1）第一步，从1．3．5这3个奇数中选择1个放在个位，有种； 第二步，从余下的除0外的4个数中选择1个放在千位上，有种； 第三步，从剩下的4个数中选择2个放在百位和土位，有种． 由分步乘法计数原理可得，共有个满足条件的四位数． （2）第一类，在千位和百位不变的情况下，十位可以是4或者5，共有6个； 第二类，在千位不变的情况下，需要百位大于1，则从2，4，5这3个数中任选1个，有种， 再从剩下的4个数中任选2个放在十位和个位，有种，故共有个； 第三类，千位是4或5，有种，再从余下的5个数中选出3个放在百位、十位和个位上，有种，则共有个． 由分类加法计数原理可得，满足条件的四位数有个． 题型08 几何中的组合计数问题 【典例1】在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（  ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【解析】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 【变式1】从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【解析】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 【变式2】如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（  ）个． A．75 B．111 C．102 D．120 【答案】C 【分析】由题意转化为条件为从竖线中选出两条，横线中选出两条组成图形，按照矩形的边不在上和在上两种情况讨论，利用分步乘法和组合的知识求解即可. 【解析】由题意，要组成矩形应从竖线中选两条、横线中选两条，可分两种情况： 当矩形的边不在上时，共有个， 当矩形的边在上时，共有个， 所以图中矩形总计有个. 故选：C. 【变式3】由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有________种    【答案】60 【分析】根据题意，要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，利用组合数的计算公式，即可求解. 【解析】根据题意，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点， 要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步， 则爬行的路径共有：不同的路径. 故答案为：60. 题型09 分组分配问题 【典例1】将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【答案】(1)15； (2)90； (3)60； (4)60； (5)360 【分析】（1）利用平均分组法求解即可； （2）利用平均分组分配求解即可； （3）利用不平均分组法求解即可； （4）利用不平均分组分配求解即可； （5）利用不平均分组，结合排列数公式求解即可； 【解析】（1）本题是平均分组无归属问题，则共有种分法． （2）本题是平均分组有归属问题，则共有种分法． （3）本题是不平均分组问题，则共有种分法． （4）本题是不平均分组有归属且归属确定问题，将球按照分成3堆， 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 分组分配问题: (1)分析：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【变式1】某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（  ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 【答案】D 【分析】依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可. 【解析】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”. 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为； 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为. 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故选：D. 【变式2】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（  ） A．150 B．240 C．390 D．1440 【答案】C 【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果. 【解析】因为或 所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中 （1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法： 各放1个，2个，2个的方法有种. 各放3个，1个，1个的方法有种. （2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有 种. 综上，总的放球方法数为种. 故选：C 【变式3】某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有__________种 【答案】150 【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【解析】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故答案为：150 【变式4】学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得； （2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法； （3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区. 【解析】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法． 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法． 所以志愿者中有教师的选调方法为：种． （2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法． （3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，种分配方法； 则共有种分配方法. 题型10 其它组合计数问题 【典例1】现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】(1); (2); (3) 【分析】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解析】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 1.明确组合类型（如环形组合、重复元素组合）及核心约束（如环形无首尾、部分元素相同），区分与典型组合的差异，避免方法套用错误。 2.环形组合用，重复元素用对应公式；含混合约束先处理特殊，分步或分类计算后汇总，结合场景验证结果合理性。 【变式1】运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（  ） A．72 B．96 C．114 D．124 【答案】C 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【解析】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故选：C. 【变式2】某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（  ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【解析】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 【变式3】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 【变式4】如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种． 【答案】448 【分析】分和两种情况，讨论向左和向右的次数，再结合组合数公式，即可求解. 【解析】因为，所以或． 当时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次，后6次向右跳跃6次， 所以有（种）跳跃方法； 当时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向左跳跃4次，向右跳跃2次， 所以有（种）跳跃方法． 综上所述，满足的跳跃方法有（种）． 故答案为： 【变式5】将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)256(种);(2)24(种);(3)144(种);(4)12(种) 【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可； （2）根据排列的定义求解即可； （3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解； （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解. 【解析】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法. （2）这是全排列问题，共有(种)放法. （3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个 盒子，有种投放方法，故共有(种)放法. （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法， 所以共有(种)放法. （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球， 余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有(种)放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有(种)放法. 1．下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可. 【解析】对A选项，，A错误； 对B选项，左边=，B错误； 对C选项，方法一：，方法二：，C正确； 对D选项，，故D错误. 故选：C. 2．若，则的值为（  ） A．12 B．5 C．12或5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据组合数的性质列出方程求解即可. 【解析】由组合数的性质可得，解得， 又， 所以或， 解得（舍去）或. 故选：B 3．使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合数公式可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围，即可得解. 【解析】在中，为正整数，，在中，为正整数，， 因为，则有，即，解得， 因此有，为正整数，所以的取值可以是或或． 故选：D． 4．对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（  ） A．97个 B．91个 C．84个 D．75个 【答案】C 【分析】在中任取3个数，其大小关系确定，故只需任取3个即可，结合组合数运算求解. 【解析】在中任取3个数，其大小关系确定，所以“渐升数”共有个. 故选：C. 5．某单位在5月1日——5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率计算公式求概率. 【解析】每天安排一名员工值班，都有4种安排方案，根据分步乘法计数原理，5天假期的安排方案共有：种. 若每位员工至少值一天班，则必定有1人值了2天班，可从4人中选1人，从5天中选2天进行安排，安排方案为：；剩余3天，3人每人1天，安排方案为.结合分步乘法计数原理，每位员工至少值一天班的安排方法有：. 所以每位员工至少值一天班的概率是：. 故选：A 6．大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数每个比1大的正整数要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数不为素数能唯一地写成其中是素数，是正整数，，，将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（ ） A．6 B．13 C．19 D．60 【答案】B 【分析】根据题意，得出从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，分三种情况，结合排列数和组合数的公式，即可求解. 【解析】根据自然数的标准分解式可得， 故从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况： ①选取3个2，可以组成1个三位数； ②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成个不同的三位数； ③选取2，3，5，可以组成个不同的三位数， 所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成个不同的三位数． 故选：B. 7．（多选）下列结论正确的是（ ） A．若，则正整数的值是 B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据组合数性质即可求解；对于B，根据排列数的计算性质即可求解；对于C，根据组合数的性质即可求解；对于D，根据组合数的性质即可求解. 【解析】对于A，因为， 所以或， 即或，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由组合数公式可知，故C正确； 对于D，，， ， ，故D错误． 故选：BC． 8．（多选）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（  ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 【答案】ABD 【分析】根据题意，由排列组合公式，结合分步计数原理以及分类计数原理和间接法，依次分析选项，即可得答案． 【解析】根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品， 则合格品的取法有种，不合格品的取法有种， 则恰好有1件是不合格品的取法有种取法；则正确， 若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况， ①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法， ②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种取法， 则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，正确； 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，用间接法分析： 在100件产品中任选3件，有种取法，其中全部为合格品的取法有种， 则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种取法，正确； 若抽出的3件产品中至多有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有种取法， 其中有2件为不合格品的抽法有种， 则至多有1件是不合格品的抽法有有种，错误； 故选：． 9.（多选）已知，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数，组合数的计算公式逐项判断即可. 【解析】对A：因为．故A正确； 对B：根据组合数公式得， ， 所以．故B正确； 对C：， 而， 显然此时，．故C错误； 对D：， 而，所以．故D正确. 故选：ABD 10．计算的值为____________ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质化简得解. 【解析】 . 故答案为： 11．一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有___________种 【答案】75 【解析】由题意知：小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，共有以下四种情形： 一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况； 二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，1次向负方向飞行，且每次飞行两个单位，共有种情况； 三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行每次飞行一个单位，2次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况； 四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有种情况； 故而共有种情况， 故答案为：75 12．某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有__________种 【答案】120 【分析】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，然后由分类加法原理可求得结果. 【解析】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，则有种方法 另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，则种方法， 由分类加法原理可知共有种不同的分组方法. 故答案为：120 13．（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得. （2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解. （3）利用组合数的性质化简求解. 【解析】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 14．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】(1)504;(2)360;(3)1140种 【分析】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【解析】（1）依题得，共有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 组合 教学目标 1.理解组合的概念，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题． 2.能利用计数原理推导组合数公式，能运用组合数公式进行计算． 3.能运用组合知识分析简单的实际问题，提高分析解决问题的能力． 4.在结合具体情境教学组合的过程中，发展数学建模素养；在解决具体的组合问题的过程中，提升数学运算素养． 教学重难点 1.重点 理解组合的意义，明确组合与排列的联系与区别，理解排列数A与组合数C之间的联系；组合数性质的应用． 2.难点 用构造法证明组合数的性质；运用组合知识解决问题. 知识点01 组合的定义 组合的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注：①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 【即学即练】 1．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（  ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 2．从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（  ） A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 知识点02 组合数与组合数公式 1.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 2.组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 【即学即练】 1．计算（  ） A．252 B．126 C．84 D．63 2．计算： (1)； (2)． 知识点03 组合数的性质 性质1： 注：这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. 性质2： 注：这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法，由分类加法计数原理可得：. 【即学即练】 1．计算的值为（  ） A． B． C． D． 2．求证： ． 题型01 组合问题的判断 【典例1】（多选）下列问题中是组合问题的是（  ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2024个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 排列与组合的联系与区别： 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 【变式1】从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（  ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 【变式2】下列四个问题属于组合问题的是（  ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 题型02 组合数的计算 【典例1】（  ） A． B． C． D． 1.记组合数公式，均为正整数），明确题干中n（总体元素数）、k（选取元素数），利用简化计算。 2.代入n、k值，通过阶乘性质约分（如），分步计算分子分母后相除，或直接用组合数性质简化，得最终结果。 【变式1】计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【变式2】（ ） A．960 B．480 C．160 D．80 【变式3】计算的值是_________ 题型03 组合数的性质及应用 【典例1】（多选）下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 1.识别性质： 递推性：； 对称性：； 2.代入化简：按性质合并或转化表达式； 3.求解结论：等式两边对应相等，得出结果. 套用示例：；→. 【变式1】的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若，则（  ） A．28 B．56 C．112 D．120 【变式3】若，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】（多选）下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是（  ）． A． B． C． D．是一个常数 【变式5】若，则的值为 ． 题型04 利用组合数公式证明 【典例1】（多选）已知，且，则（  ） A． B． C． D． 1.确定证明等式/不等式两端的组合数表达式，用公式转化为阶乘形式，标注n≥m≥0整数的前提，可借助等性质简化。 2.对一端或两端同步化简，利用阶乘性质（如）约分、展开，通过代数变形推导至两端相等，或结合组合数定义论证不等式成立。 【变式1】（多选）关于排列组合数，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知m，且，则下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【变式4】规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 题型05 利用组合数解不等式与方程问题 【典例1】（1）已知，则（  ） A．7 B．21 C．35 D．42 （2）不等式的解集为 ． 1.用组合数公式替换表达式，结合等性质化简，转化为普通代数方程/不等式，标注n≥k≥0且为整数的约束。 2.解代数式得初步解，再根据组合数定义（如n、k为整数且n≥k）剔除无效解，最终确定符合条件的正整数解或解集。 【变式1】已知，则（  ） A．2 B．5 C．2或5 D．2或6 【变式2】若 为正整数，则不等式 的解集是 【变式3】已知x、y满足组合数方程，则xy的最大值是 【变式4】解下列方程或不等式： (1)； (2). 题型06 有限制条件的组合问题 【典例1】中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（  ） A．60 B．66 C．72 D．80 1.明确约束类型（如“必选某元素”“不选某元素”“至少选k个”），按约束拆分问题为互斥类别（如含必选元素/不含某元素），确保不重不漏。 2.必选元素先固定再选剩余，不选元素剔除后计算，“至少/至多”类用直接分类或间接排除法，算每类组合数后求和，得总组合数。 【变式1】某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（  ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 【变式2】将2个同样的红球、2个同样的黑球和2个同样的白球放入下列6个格子中，要求同样颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有（  ）种. A．30 B．20 C．35 D．40 【变式3】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（  ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【变式4】从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 题型07 代数中的组合计数问题 【典例1】用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（  ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 1.剖析代数情境（如多项式项数、方程解），提取核心元素（如变量、系数）与约束（如非负整数解、项的次数），转化为组合模型（如选元素分组）。 2.适配模型选方法（如隔板法解方程解、组合数算项数），含约束时分类或间接排除，计算每类组合数后求和，得计数结果。 【变式1】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（  ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 【变式2】从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（  ） A．36 B．54 C．60 D．72 【变式3】每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的个数为（  ） A． B． C． D． 【变式4】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 题型08 几何中的组合计数问题 【典例1】在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（  ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式1】从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（  ）个． A．75 B．111 C．102 D．120 【变式3】由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有________种    题型09 分组分配问题 【典例1】将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 分组分配问题: (1)分析：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【变式1】某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（  ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 【变式2】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（  ） A．150 B．240 C．390 D．1440 【变式3】某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有__________种 【变式4】学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 题型10 其它组合计数问题 【典例1】现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 1.明确组合类型（如环形组合、重复元素组合）及核心约束（如环形无首尾、部分元素相同），区分与典型组合的差异，避免方法套用错误。 2.环形组合用，重复元素用对应公式；含混合约束先处理特殊，分步或分类计算后汇总，结合场景验证结果合理性。 【变式1】运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（  ） A．72 B．96 C．114 D．124 【变式2】某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（  ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【变式3】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【变式4】如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种． 【变式5】将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 1．下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（  ） A．12 B．5 C．12或5 D．3或5 3．使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（  ） A． B． C． D． 4．对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（  ） A．97个 B．91个 C．84个 D．75个 5．某单位在5月1日——5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是（   ） A． B． C． D． 6．大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数每个比1大的正整数要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数不为素数能唯一地写成其中是素数，是正整数，，，将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（ ） A．6 B．13 C．19 D．60 7．（多选）下列结论正确的是（ ） A．若，则正整数的值是 B． C． D． 8．（多选）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（  ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 9.（多选）已知，，，，则（  ） A． B． C． D． 10．计算的值为____________ 11．一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有___________种 12．某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有__________种 13．（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 14．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $