专题8.3 离散型随机变量的数字特征（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题8.3 离散型随机变量的数字特征 教学目标 1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值(数学期望)、方差及标准差的概念和意义． 2．能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)、方差和标准差，并能解决一些实际问题． 3.在对离散型随机变量的均值、方差及标准差意义理解的过程中，发展数学抽象素养． 4．通过对离散型随机变量的均值、方差及标准差的计算及在决策中的应用，发展数学运算及数据分析素养． 教学重难点 1.重点 离散型随机变量的均值方差及标准差的理解及应用． 2.难点 利用均值、方差解决实际问题. 知识点01 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值： (1)定义： 一般地，离散型随机变量X的概率分布如下： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 其中，pi≥0,i＝1,2,…，n,p1＋p2＋…＋pn＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ.即 E(X)＝x1p1＋x2p2＋ … ＋xnpn. 数学期望(均值)是随机变量的一个重要数字特征，它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．均值在实际生活中有着广泛的应用，如通过均值进行估计、比较均值选择方案等 (2)对离散型随机变量(期望)的理解： 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2.离散型随机变量的均值的性质： 如果X是一个离散型随机变量，将X进行平移(X＋b)或伸缩(aX)后，其均值会发生变化． 设X的概率分布如下表： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 根据随机变量均值的定义， E(X＋b)＝(x1＋b)p1＋(x2＋b)p2＋ … ＋(xn＋b)pn ＝(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn) ＋b(p1＋p2＋…＋pn) ＝E(X)＋b. 类似地，可以证明E(aX)＝aE(X)． 一般地，有下面的结论： E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b；当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；当b=0时，E(aX)=aE(X). 【即学即练】 1．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（  ） A．m B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】先根据分布列的性质求得，然后根据期望公式求解即可. 【解析】由，得， 所以． 故选：D. 2．小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式求解即可. （2）结合组合数及对立事件概率公式，根据独立事件乘法概率公式求解即可. （3）求出及随机变量的取值，利用条件概率分别求出对应的概率，进而求解分布列，代入数学期望公式求解即可. 【解析】（1）表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （2）表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （3）表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． 知识点02 离散型随机变量的方差与标准差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义： 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义: 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 3．两点分布的均值与方差 如果随机变量X～两点分布： X 0 1 P 1－p p 那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 所以方差D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)． 【即学即练】 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（  ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【解析】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 2．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【答案】分布列见解析，， 【分析】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【解析】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 题型01 求离散型随机变量的均值 【典例1】在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据古典概型概率公式计算； （2）的可能值为，计算出概率后得分布列，根据期望公式计算出期望. 【解析】（1）甲选4个专业的方法数是，至少填报3个电子信息类专业方法数为， 所以甲至少填报3个电子信息类专业的概率为 （2）由题意的可能值为， ，，，， 所以的分布列是 0 1 2 3 . 求离散型随机变量ξ的均值的步骤: (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 【变式1】某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的所有可能取值为，0，2，根据组合数及古典概型求出相应概率，列出分布列，根据期望公式求解即可. 【解析】的所有可能取值为，0，2， 所以， ， ， 则的分布列为： 0 2 所以. 故选：B. 【变式2】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望为（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由题意利用离散型随机变量求出，再由期望公式计算可得. 【解析】的可能取值为2，4， ， 所以. 故选：C. 【变式3】一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望 . 【答案】 【分析】依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【解析】依题意的可能取值为、、、， 所以，，， ， 所以. 故答案为： 【变式4】拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲､乙两队进行一场拔河比赛，已知每局比赛甲队胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求甲队获得本场比赛胜利的概率； (2)记为本场比赛结束时比赛的局数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) ；(2)分布列见解析，. 【分析】（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局，再利用相互独立事件同时发生的概率计算即可得答案； （2）由题意可知可取：，分别求出其概率，即可解出答案. 【解析】（1）甲队获得本场比赛胜利分：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局，则甲队获得本场比赛胜利的概率 . （2）由题意知可取：， 当时，甲队胜的概率为： ，乙队胜的概率为，则 , 当时，， 所以的分布列为： 数学期望. 题型02 均值的性质 【典例1】若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（  ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【解析】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 【变式1】已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（  ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用概率之和等于1求出的值，再由数学期望公式求出，最后根据数学期望的性质求得即可. 【解析】由题意，，解得， 则， 故. 故选：B. 【变式2】随机变量的分布列为，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【解析】由题意可得，， 则. 故选：C. 【变式3】已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用均值和方差的性质求解. 【详解】因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 故选：B. 【变式4】已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝_________ X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故答案为：． 题型03 利用离散型随机变量的均值求参数 【典例1】已知随机变量的分布列如下表，若，则（  ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质及期望公式即可求解. 【解析】由离散型随机变量分布列的性质及期望公式可知：，解得. 故选：A. 1.确定随机变量X的所有可能取值x₁,x₂,…,xₙ，其中概率含待求参数（如p）。写出各取值对应概率P(X=xᵢ)（含参数），确保概率和为1（可用于验证）。根据均值公式列出E(X)=ΣxᵢP(X=xᵢ)的表达式，代入已知E(X)值。 2.整理含参数的均值方程，解方程得参数候选值。若为特殊分布，直接列方程求解。关键验证：参数需使所有概率满足0≤P(X=xᵢ)≤1且和为1，剔除不合理值。最终确定符合条件的参数值。 【变式1】已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（  ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解． 【解析】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B. 【变式2】若随机变量X的分布列如表所示，且，则（  ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【分析】由对应的概率之和为1，可求得，再由数学期望的定义可求得，由此可得的值. 【解析】由随机变量的分布列的性质可知，， 由数学期望的定义可得， 所以. 故选：B. 【变式3】(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则（  ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62 【答案】ABC 【分析】由对应的概率之和为1，可求得，再由数学期望的定义可求得，由此可得. 【解析】由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1， 且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得b＝0.4，a＝7. ∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1， E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52， 故选：ABC. 【变式4】若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解． 【解析】因为，所以随机变量的值只能为， 所以，解得或， ∴． 故答案为：1． 【变式5】某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为. (1)求的分布列与期望. (2)为了让顾客获得更多积分，商家决定，当（）时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参与该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，20；(2)，且. 【分析】（1）利用古典概型，计算得到对应概率，构建分布列，再计算可得 （2）先算出，再根据的定义，分与、、的大小关系讨论，计算并解不等式，确定范围. 【解析】（1）， ， ， 所以的分布列为 10 20 30 . （2）. 当时， . 当时， . 当时，， 令，解得，即当时，. 当时，. 综上，的取值范围为，且. 题型04 求离散型随机变量的方差与标准差 【典例1】甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求和； (2)求的标准差. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）分析，两种情况下的胜负关系，再根据概率的公式求解即可； （2）根据题意可得可能的取值为，再求解的概率，进而根据均值和方差的公式求解即可 【解析】（1）：甲胜乙，甲胜丙，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜. ； ：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜. . （2）根据题意可得可能的取值为. ：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜； 甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜； 乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜； 乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜； . ， ，所以标准差为. 求离散型随机变量ξ的方差的步骤: (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 【变式1】已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列求期望与方差即可得解. 【解析】设，则可得分布列如下表; 0 1 2 根据期望公式得：， 解得， 所以根据方差公式得：， 即标准差为， 故选：C. 【变式2】设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（  ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解析】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 【变式3】（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则下列结论可能正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先求的分布列，利用数学期望公式得即可判断AB，利用方差公式得进而判断CD. 【解析】随机变量可能的取值为2，3． ． ． 故的分布列为： 2 3 故， 因为，故，故A正确，B错误． 而， 令，因为， 故，此时， 必成立，故C错误，D正确． 故选：AD． 【变式4】在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据题设分析，对应事件为从3黑2红中取出2个球，应用古典概型的概率求法求概率； （2）由题意的可能值为，并求出对应概率值，写出分布列，依次求出期望和方差，即可得. 【解析】（1）由题意，取球放球结束后袋子里白球的个数为2，即从3黑2红中取出2个球， 所以所求概率为； （2）由题设，的可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 1 2 3 则，故. 题型05 方差的性质及其应用 【典例1】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（  ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【分析】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【解析】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 方差的有关性质: 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 【变式1】已知离散型随机变量的方差为1，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据方差的性质即可求解. 【解析】因为离散型随机变量的方差为1，所以. 故选：D. 【变式2】已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（  ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【解析】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 【变式3】（多选）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【解析】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：ABC 【变式4】（多选）已知随机变量X的分布列为，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质求，结合期望和方差的定义求，，再由期望的性质求，方差的性质求，，由此可判断结论. 【解析】因为随机变量的分布列为，，， 所以，所以，故A正确； 所以，故B正确； ，故C错误； 由方差的定义可得 所以，故D正确. 故选：ABD. 题型06 求两点分布的均值与方差 【典例1】已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【解析】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 【变式1】随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【解析】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 【变式2】若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【解析】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【变式3】若随机变量的分布列为 0 1 其中，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用两点分布的期望和方差的公式即可求解. 【解析】依题意，可知服从两点分布， 又，则， 所以，. 故选：D. 【变式4】（多选）离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（  ） 2024 2025 A． B．服从两点分布 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质，可得判定A正确；根据二点分布的定义，可判定B错误；根据分布列的期望和方差的计算公式，可判定C、D正确. 【解析】对于A中，由分布列的性质，则满足，所以A正确； 对于B中，根据二点分布知，随机变量的取值为和，所以B不正确； 对于C中，由期望的公式，可得， 因为，所以，即，所以C正确； 对于D中，由方差的公式，可得 ，即，所以D正确. 故选：ACD. 题型07 离散型随机变量的均值与方差的综合应用 【典例1】商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 (1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； (2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； (3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3) 【分析】（1）从表中找出所有月份中苹果价格指数大于150的事件个数即可得；（2）得到随机变量的所有可能取值后计算相应概率，即可得其分布列，再借助期望公式计算即可得其数学期望；（3）结合两点分布的方差公式与方差定义可得、、，即可得解. 【解析】（1）设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件， 由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150， 所以； （2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， ， ， ， ； 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以的数学期望为； （3）2024年1~4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年5~8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年9~12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则， 故， 即、、中最大. 【变式1】已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（  ） A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【解析】由题意： . 所以. 所以. 故选：D. 【变式2】（多选）设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（  ） 0 1 2 A．的值最大 B． C．随着的增大而减小 D．当时， 【答案】BCD 【分析】令，判断、的大小，即可判断选项A、B；由题推导出 , 从而 随着 的增大而减小判定选项C; 取 将其代入, 直接利用均值和方差的定义求解即可得出D正确. 【解析】当时，，，故A错误； , 故B正确； 随着 的增大而减小, 故 C 正确; 当 时, 0 1 2 ， ，故D正确. 故选: BCD. 【变式3】开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）根据表中数据，结合古典概型概率公式即可得解； （2）利用古典概型概率公式求出各取值的概率，然后可得分布列，再由期望公式可得； （3）利用方差公式计算出即可得解. 【解析】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人， 所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为. （2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由题知，的可能取值为， 且，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （3）因为，， ， 所以， 所以 ， 由（2）可得 . 即. 题型08 决策问题 【典例1】在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【答案】(1) (2)选择停止比赛，拿到奖金的期望更高 【分析】（1）由相互独立事件、互斥事件的概率计算可得答案； （2）计算出停止比赛甲拿到奖金的期望、再继续比赛一局甲拿到奖金的期望可得答案. 【解析】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜， 所以甲在第3局中获胜的概率 ； （2）方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为（万元）． 方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前三局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率．     再继续比赛，第4局甲获胜的概率 ， 第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（万元）． 因为，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高． 计算两个随机变量的期望、方差，比大小即可. 【变式1】甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品件，表示甲机床生产件产品中的次品数，表示乙机床生产件产品中的次品数，经过一段时间的考查，，的分布列分别如表一，表二所示．据此判断（  ） 表一 表二 A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 【答案】B 【分析】由分布列计算可得，，进而得到，，根据方差大小可得结论. 【解析】由分布列可求甲的次品数期望为，乙的次品数期望为， ， ， ，，乙比甲质量好. 故选：B. 【变式2】（多选）某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（  ） 表1 甲每股收益的分布列 收益元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C．此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D．此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小 【答案】BC 【分析】应用期望、方差公式求甲乙的期望和方差判断A、B；根据所得期望，求收益的期望之和判断C；设投资甲元，投资乙元，结合所得方差得到关于m的二次函数，判断对称轴是否为5000，即可判断D. 【解析】A：，，错误； B：， ，正确； C：因为，所以总期望元，正确； D：设投资甲元，投资乙元， 方差和， 对称轴，错误. 故选：BC 【变式3】甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【解析】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，      . （2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是. 1．不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的所有可能取值后，计算其对应概率，结合期望公式计算即可. 【解析】选取次数的所有可能取值为1，2，3，4， 则，，，， 故选取次数的数学期望. 故选：B. 2．已知随机变量的分布列为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【解析】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 3．已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（  ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【解析】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 4．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示． 年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31 人数 1 1 2 1 3 4 1 12 该公司雇员年薪的标准差约为（  ） A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元） 【答案】B 【分析】先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可． 【解析】年薪的平均数为万元， 所以该公司雇员年薪的方差约为， 所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）． 故选：B. 5．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（  ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【解析】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则 ，， 所以 ，． 故选：A. 6．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【解析】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D. 7．（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（  ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解析】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 8．（多选）已知随机变量，的分布列如下，则（  ） 1 2 1 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用期望和方差的性质逐项计算后可判断ABC的正误，求出的分布列后计算其期望后可判断D的正误. 【解析】，， ，， 所以，，， 法1：由的分布可得的分布列如下： 0 ， 法2： 故选：CD． 9.（多选）某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断出，，服从二项分布，再利用二项分布的期望公式和方差公式分别求出期望和方差，最后逐个选项判断即可. 【解析】对于A，由题意得事件：“甲射击一次，命中目标”，， 事件：“乙射击一次，命中目标”，， 则，， 由二项分布的期望公式得，， 则，， 即，故A正确， 对于B，由二项分布的方差公式得，， 则，， 则不一定相等，故B错误， 对于C，由题意得假定甲、乙互不影响， 则，相互独立，由独立事件概率公式得， 则，由二项分布的期望公式得， 由二项分布的方差公式得， 由已知得，得到，故C正确， 对于D，由已知得， ，则，故D错误. 故选：AC 10．设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为___________ 【答案】 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【解析】由题设，可得， 且，可得， 所以，则. 故答案为： 11．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(束)的统计(如表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是 元． X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 【答案】706 【分析】先求得节日期间这种鲜花需求量的均值，再由利润Y＝3.4X－450，利用均值的性质求解. 【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)． 设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450， 所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 故答案为：706 12．若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为 ；的最大值为 【答案】 /0.25 / 【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合二次函数的最值问题和均值不等式即可求解. 【解析】由题意可得随机变量的所有可能取值为0，1， 并且，， 所以，， 所以当时取得最大值； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为， 故答案为：； 13．若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： (1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； (2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析; (2)， 【分析】（1）根据给定条件，求出X的所有可能取值及对应的概率，再列出分布列即得. （2）利用（1）的分布列计算数学期望和方差即可. 【解析】（1）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， ，或， ，或， ，或， ，或， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）由（1）可得， . 14．某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1); (2)答案见解析; (3)游客选择网上购票更划算 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【解析】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 离散型随机变量的数字特征 教学目标 1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值(数学期望)、方差及标准差的概念和意义． 2．能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)、方差和标准差，并能解决一些实际问题． 3.在对离散型随机变量的均值、方差及标准差意义理解的过程中，发展数学抽象素养． 4．通过对离散型随机变量的均值、方差及标准差的计算及在决策中的应用，发展数学运算及数据分析素养． 教学重难点 1.重点 离散型随机变量的均值方差及标准差的理解及应用． 2.难点 利用均值、方差解决实际问题. 知识点01 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值： (1)定义： 一般地，离散型随机变量X的概率分布如下： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 其中，pi≥0,i＝1,2,…，n,p1＋p2＋…＋pn＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ.即 E(X)＝x1p1＋x2p2＋ … ＋xnpn. 数学期望(均值)是随机变量的一个重要数字特征，它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．均值在实际生活中有着广泛的应用，如通过均值进行估计、比较均值选择方案等 (2)对离散型随机变量(期望)的理解： 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2.离散型随机变量的均值的性质： 如果X是一个离散型随机变量，将X进行平移(X＋b)或伸缩(aX)后，其均值会发生变化． 设X的概率分布如下表： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 根据随机变量均值的定义， E(X＋b)＝(x1＋b)p1＋(x2＋b)p2＋ … ＋(xn＋b)pn ＝(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn) ＋b(p1＋p2＋…＋pn) ＝E(X)＋b. 类似地，可以证明E(aX)＝aE(X)． 一般地，有下面的结论： E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b；当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；当b=0时，E(aX)=aE(X). 【即学即练】 1．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（  ） A．m B．2 C．1 D． 2．小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 知识点02 离散型随机变量的方差与标准差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义： 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义: 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 3．两点分布的均值与方差 如果随机变量X～两点分布： X 0 1 P 1－p p 那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 所以方差D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)． 【即学即练】 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（  ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 2．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 题型01 求离散型随机变量的均值 【典例1】在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 求离散型随机变量ξ的均值的步骤: (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 【变式1】某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望为（  ） A． B． C． D．3 【变式3】一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望 . 【变式4】拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲､乙两队进行一场拔河比赛，已知每局比赛甲队胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求甲队获得本场比赛胜利的概率； (2)记为本场比赛结束时比赛的局数，求的分布列及数学期望. 题型02 均值的性质 【典例1】若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（  ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 【变式1】已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（  ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【变式2】随机变量的分布列为，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝_________ X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 题型03 利用离散型随机变量的均值求参数 【典例1】已知随机变量的分布列如下表，若，则（  ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 1.确定随机变量X的所有可能取值x₁,x₂,…,xₙ，其中概率含待求参数（如p）。写出各取值对应概率P(X=xᵢ)（含参数），确保概率和为1（可用于验证）。根据均值公式列出E(X)=ΣxᵢP(X=xᵢ)的表达式，代入已知E(X)值。 2.整理含参数的均值方程，解方程得参数候选值。若为特殊分布，直接列方程求解。关键验证：参数需使所有概率满足0≤P(X=xᵢ)≤1且和为1，剔除不合理值。最终确定符合条件的参数值。 【变式1】已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（  ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【变式2】若随机变量X的分布列如表所示，且，则（  ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【变式3】(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则（  ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62 【变式4】若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为 ． 【变式5】某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为. (1)求的分布列与期望. (2)为了让顾客获得更多积分，商家决定，当（）时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参与该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围. 题型04 求离散型随机变量的方差与标准差 【典例1】甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求和； (2)求的标准差. 求离散型随机变量ξ的方差的步骤: (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 【变式1】已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（  ） A． B． C． D． 【变式2】设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（  ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【变式3】（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则下列结论可能正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式4】在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 题型05 方差的性质及其应用 【典例1】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（  ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 方差的有关性质: 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 【变式1】已知离散型随机变量的方差为1，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（  ） 0 2 A． B． C． D． 【变式3】（多选）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）已知随机变量X的分布列为，，，则（  ） A． B． C． D． 题型06 求两点分布的均值与方差 【典例1】已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 【变式1】随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】若随机变量的分布列为 0 1 其中，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】（多选）离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（  ） 2024 2025 A． B．服从两点分布 C． D． 题型07 离散型随机变量的均值与方差的综合应用 【典例1】商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 (1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； (2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； (3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 【变式1】已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（  ） A． B．5 C．7 D．21 【变式2】（多选）设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（  ） 0 1 2 A．的值最大 B． C．随着的增大而减小 D．当时， 【变式3】开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 题型08 决策问题 【典例1】在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 计算两个随机变量的期望、方差，比大小即可. 【变式1】甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品件，表示甲机床生产件产品中的次品数，表示乙机床生产件产品中的次品数，经过一段时间的考查，，的分布列分别如表一，表二所示．据此判断（  ） 表一 表二 A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 【变式2】（多选）某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（  ） 表1 甲每股收益的分布列 收益元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C．此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D．此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小 【变式3】甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 1．不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（  ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列为，则（  ） A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（  ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 4．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示． 年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31 人数 1 1 2 1 3 4 1 12 该公司雇员年薪的标准差约为（  ） A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元） 5．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（  ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 6．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（  ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 8．（多选）已知随机变量，的分布列如下，则（  ） 1 2 1 A． B． C． D． 9.（多选）某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（  ） A． B． C． D． 10．设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为___________ 11．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(束)的统计(如表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是 元． X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 12．若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为 ；的最大值为 13．若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： (1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； (2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 14．某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $