第六章立体几何初步单元测试（A卷）-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

( 第六章 立体几何初步（ A 卷） ) 分值：150 分 时间：120分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，硬山式屋顶是其中一种类型，其造型的最大特点是简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分（如图1）.某硬山式屋顶可近似看成直三棱柱（如图2），其中，到平面的距离为，为，则可估算该硬山式屋顶的体积为(      ) A. B. C. D. 2．已知平面,且,,则直线a,b的关系为(   ) A.一定平行 B.一定异面 C.不可能相交 D.相交、平行或异面都有可能 3．已知圆锥的母线长为2,轴截面面积为,则圆锥的侧面积为(      ) A. B.或 C. D.或 4．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为(      ) A. B. C. D. 5．设，为两个平面，m，n为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若n与，所成的角相等，则其中所有真命题的编号是(   ). A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 6．已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是(   ). A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 7．已知正三棱台的上底边长为,下底边长为,侧棱长为5,则该正三棱台的体积为(      ) A. B.63 C. D.21 8．用一个宽、长的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为(      ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形的对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列结论成立的是(      ) A.平面PCD B.平面PDA C.平面PBA D.平面PBC 10．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，G，H分别在线段DC，DA上，且满足，，，则下列说法正确的是(      ) A.当时，四边形EFGH是矩形 B.当时，四边形EFGH是梯形 C.当时，四边形EFGH是空间四边形 D.当时，直线EH，FG，BD相交于一点 11．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当平面EFGH时，下面结论正确的是(      ) A.E，F，G，H一定是各边的中点 B.G，H一定是CD，DA的中点 C.，且 D.四边形EFGH是平行四边形或梯形 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，在三棱锥中，，.过点A作截面AEF，则周长的最小值为____________________. 13．的三边，，.点D，E，F分别是线段AB，BC，CA的中点，沿DF，EF，ED将，，折起，使得A，B，C重合于点P，则四面体的体积为____________________. 14．已知一个直四棱柱的底面是菱形，底面面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）的面积分别为5和6，那么它的表面积为____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15．（13分）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图. 16．（15分）一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为，高为，圆锥的高为，画出此几何体的直观图. 17．（15分）如图，，，M，N，P分别为线段AC，CB，BD的中点，且M，N，P三点不共线.求证：平面平面. 18．（17分）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.求证： （1）平面PBC； （2）平面PAB. 19．（17分）如图所示，在三棱柱中，D是棱的中点，E是棱AB的中点，证明：平面. 参考答案 1．答案：B 解析：过C作于D，则，又，，所以该三棱柱的体积.故选B. 2．答案：C 解析：由平面,且,可知直线a,b没有公共点, 故它们一定不相交,即可能是平行或异面. 故选：C. 3．答案：D 解析：已知圆锥的母线长,设圆锥的底面半径为r,高为h, 由已知得 解得或, 由于圆锥的侧面积为：, 所以,或, 故选：D. 4．答案：D 解析：在中，设其外接圆半径为r， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理， 代入解得， 因此外接球表面积. 5．答案：A 解析：命题①，由，，得或， 若，，，则，命题①正确； 在正方体中，如图1所示， 取平面为平面，平面为平面， 则为直线m，若n是，则，但n不垂直于且n不垂直于，命题②错误； 若n是，则n与平面，所成角相等，但m不垂直于n，命题④错误； 命题③，如图2，过n作平面交于直线a，作平面交平面于直线b， 由，，得，同理可得. 则，由，，得，又，， 所以，所以，命题③正确，故选A. 6．答案：C 解析：对于A，若，，则或n与相交或，A不正确； 对于B，若，，则或，B不正确； 对于C，过m作平面使，则， 由得，所以，C正确； 对于D，若，，则，D不正确，故选C. 7．答案：C 解析：如图所示,,O分别是上,下底面的中心,连接,,, 在平面内作于E, 因为正三棱台的上底边长为,下底边长为, 所以上底面面积为, 上底面三角形外接圆半径为, 下底面面积为, 下底面三角形外接圆半径为, 于是该正三棱台的高为, 因此该正三棱台的体积为, 故选：C. 8．答案：B 解析：用一个宽、长的矩形卷一个圆柱，此圆柱的侧面积即为矩形的面积.故选B. 9．答案：AB 解析：因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O为BD的中点， 在中，因为点M是PB的中点， 所以OM是的中位线，所以， 因为平面，平面PCD， 所以平面PCD，故A正确； 因为平面，平面PDA， 所以平面PDA，故B正确； 因为，平面，平面PBC， 所以OM与平面PBA，平面PBC相交，故C、D错误.故选AB. 10．答案：BC 解析：对于A，在中，因为E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF是的中位线，所以且， 当时，H，G分别为DA，DC的中点， 所以HG是的中位线，所以且， 所以，所以四边形EFCH是平行四边形， 又E，H分别为AB，AD的中点，所以EH是的中位线，所以， 又， 只有当时，，平行四边形EFGH为矩形， 所以四边形EFGH不一定是矩形，故A错误； 对于B，当时，，所以，且， 由A可知，因为，所以四边形EFGH是梯形，故B正确； 对于C，当时，EF不平行于HG， 又因为平面，平面ADC， 所以HG，EF是异面直线，所以四边形EFGH是空间四边形，故C正确； 对于D，不妨设直线EH，FG，BD相交于一点O， 因为，平面，平面ADC， 所以平面ADC， 又因为直线EH，FG相交于点O， 所以平面EHGF， 因为平面平面，所以，所以可得，与题意相矛盾，故D错误. 故选BC. 11．答案：CD 解析：因为平面平面，平面，平面BCD， 所以，同理，. 所以，且，且，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形. 故选CD. 12．答案： 解析：沿着侧棱VA把正三棱锥展开在一个平面内，如图，则的长度即为的周长的最小值. 由题意可得.在中，由勾股定理得. 13．答案： 解析：因为四面体的对棱等长，所以该四面体的每一组对棱可作为一个矩形的两条对角线，从而把四面体补形成长方体，如图.易知，，.设，，，则有解得所以.所以四面体的体积. 14．答案： 解析：设直四棱柱底面菱形的对角线的长分别为a，b（），高为h.因为底面面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）的面积分别为5和6，所以解得所以直四棱柱的底面菱形的边长为.所以直四棱柱的表面积为. 15．答案：图见解析 解析：（1）如图（1），作x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使，. （2）以O为中点，在x轴上取线段EF，使得，在y轴上取线段GH，使得， 再过点G，H分别作，，，，且使得线段AB的中点为G，线段CD的中点为H，连接AD，BC， 这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图. （3）在z轴上截取线段，过点作，，使，建立坐标系，在中仿照（2）的步骤画出上底面的直观图. （4）连接，，，，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图，如图（2）. 16．答案：图见解析 解析：（1）画轴.如图（1），画Ox轴、Oy轴、Oz轴，使，. （2）画圆柱的两底面.以点O为中点，在x轴上截取，选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面的直观图.在z轴上截取，过点分别作，，类比圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面. （3）画圆锥的顶点.在z轴上截取. （4）成图.连接，，，，整理得到此几何体的直观图，如图（2）. 17．答案：证明见解析 解析：证明：，P分别为BC，BD的中点，， 又，，， 设平面， 平面，，， ，N分别为CA，CB的中点， ，， ，，， 平面，，，， 平面平面. 18．答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析：证明：（1）因为平面，平面ABCD，平面平面，所以， 又平面，平面PBC， 所以平面PBC. （2）取PA的中点F，连接EF，BF，易得，且， 由（1）知，又， 所以，则四边形BCEF为平行四边形，则， 又平面，平面PAB，所以平面PAB. 19．答案：证明见解析 解析：证明：如图，取的中点，连接. 是棱AB的中点， ，. 是棱的中点， ， 又，且， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 数学·A卷 第 13 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $