第六章立体几何初步章末综合质量检测（能力提升）-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章《立体几何初步》章末综合质量检测（能力提升） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B C C B D D BC BD ACD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法正确的是（ ） A. 用斜二测画法画水平放置的平行四边形，其直观图仍是平行四边形 B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C. 任一平面截圆柱，其截面都是圆 D. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【解析】A 对于A，用斜二测画法画水平放置的平行四边形时，直观图中的平行关系不变， 所以其直观图仍是平行四边形，故A正确； 对于B，如图所示的多面体，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形， 但是这个多面体不是棱柱；故B错误； 对于C，用任一平行于圆柱上下底面的平面去截圆柱，其截面才是圆，故C错误； 对于D，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 所有的侧棱延长后必须交于同一点的才是棱台，故D错误. 2. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【解析】C 设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为， 则，，所以， 所以， 所以该圆锥的体积为. 3. 已知为一条直线，为两个不重合的平面，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】B 若，则或与相交； 若，则α内必存在一条直线m平行于l，则，则， 所以当，“”是“”的必要不充分条件. 4. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为四边形为正方形，且边长为2. 所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径. 所以半球表面积为：. 5. 如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【解析】C 根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， . 6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 在正四棱台中，，，令上下底面中心分别为、，连接，如图， 则棱台的高为，由，解得， 在直角梯形中，， 取中点，连接，有，则平面，平面，所以， 所以，， 又平面，则是与平面所成的角， 所以，即四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为. 7. 水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，连接，， 则由题意等腰梯形全等于等腰梯形， 则． 取的中点，连接，因为，所以， 则， ． 因为，，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又，，平面， 所以平面，所以平面，同理可证平面， 所以多面体的体积． 8. 已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】D设三棱锥外接球的半径为， 则，所以球的半径为， 则球的两条弦的中点为， 则， 即弦分别是以为球心，半径为3和2的球的切线， 且弦在以为球心，半径为2的球的外部， 的最大距离为，最小距离为， 当三点共线时，分别取最大值与最小值， 故的伴随球半径分别为， 半径为时，的伴随球的体积为， 当半径为时，的伴随球的体积． ∴的伴随球的表面积的取值范围是． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题,其中正确命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【解析】BC ，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 若，，则，，相交或异面，故A不正确； 若，，则，故B正确； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D不正确. 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（    ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【解析】BD 在中，，则圆锥的母线长，半径. 对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A错误； 对于选项B：由圆的几何性质可知，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，可得， 即，当且仅当时，等号成立， 则三棱锥体积为：， 即三棱锥体积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：因为，故， 当点与点重合时，；当点与点重合时，， 又因为点与、不重合，则， 又，可得，故选项C错误； 对于选项D：因为，，， 由可得. 又，所以为等边三角形，则. 将以为轴旋转到与共面， 得到，则为等边三角形，. 如图，当、、三点共线时，取最小值. 因为，， 所以， ，故选项D正确. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，点是棱上的一点，则下列说法正确的是（　　） A. 存在点，使得平面 B. 二面角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 的周长的最小值为 【解析】ACD 对于A，当点是棱的中点时，平面，因为在正方形中， 点是棱的中点，点是棱的中点，所以． 在正方体中，平面，又平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连接，，， 在中，，， 所以，． 在中，，， 所以，， 所以是二面角的平面角． 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为，故B错误； 对于C，设三棱锥的内切球半径为， ， 又，又 ， 解得，所以三棱锥的内切球的体积为，故C正确； 对于D，将平面沿展开到与平面共面， 此时当，，三点共线时，取得最小值， 所以，又， 所以的周长的最小值为，故D正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，为的直观图，且的面积为，则中最长的边长为_________． 【解析】设， 由题意可得，则， 所以， 所以在中，， 由，所以，即中最长的边长为. 13. 将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为_________． 【解析】四个球的球心间的线段长度都是，所以球心构成正四面体，如图 点在平面的射影为底面三角形的中心，，， 所以上面一个球的球心到桌面的距离为. 14. 三棱锥中，平面，，，，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________． 【解析】由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为， 如图所示，则，且的最大值是， 所以，所以的最小值是，即到的距离为， 所以，因为，在中可得，即可得, 取的外接圆圆心为，作， 所以，解得，所以, 取为的中点，所以， 由勾股定理得， 所以三棱锥的外接球的表面积是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【解析】（1）取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面平面， ∴平面. （2）∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴. 16. 如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 【解析】（1）由题意可知：∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面. （2）因为为正方形，则， 因为，则， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面，所以平面平面. 17. 如图，直三棱柱，，分别是，的中点， （1）求证：平面； （2）若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【解析】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 19. 球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高．球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积．和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底．当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”．如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为． （1）类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； （2）在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； （3）已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围． 【解析】（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，依题意得球冠面积为， 所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为. （2）设圆锥半径为，则， 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，即， 消去，得， 整理得，而，所以. （3）设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为， 则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件， 当顶点圆锥底面圆周上时，，得， 当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”， 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上， 即，且，又，所以. ( 第 1 页 共 19 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《立体几何初步》章末综合质量检测（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法正确的是（ ） A. 用斜二测画法画水平放置的平行四边形，其直观图仍是平行四边形 B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C. 任一平面截圆柱，其截面都是圆 D. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 2. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3. 已知为一条直线，为两个不重合的平面，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题,其中正确命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（    ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，点是棱上的一点，则下列说法正确的是（　　） A. 存在点，使得平面 B. 二面角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 的周长的最小值为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，为的直观图，且的面积为，则中最长的边长为_________． 13. 将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为_________． 14. 三棱锥中，平面，，，，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 16. 如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 17. 如图，直三棱柱，，分别是，的中点， （1）求证：平面； （2）若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 19. 球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高．球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积．和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底．当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”．如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为． （1）类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； （2）在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； （3）已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围． 【解析】（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，依题意得球冠面积为， 所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为. （2）设圆锥半径为，则， 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，即， 消去，得， 整理得，而，所以. （3）设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为， 则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件， 当顶点圆锥底面圆周上时，，得， 当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”， 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上， 即，且，又，所以. 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