专题01 数与式、方程与不等式（复习讲义）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式、方程与不等式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：实数的混合运算 题型二：无理数的估值 题型三：科学记数法 题型四：整式的混合运算 题型五：幂的混合运算 题型六：乘法公式 题型七：分式运算 题型八：二次根式的混合运算（含特殊角三角函数值） 必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 知识5 二次根式的运算 命题预测 考点二 方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：由实际问题抽象出方程（组） 题型二：一元二次方程的解法、根与系数关系 题型三：一元一次不等式（组） 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识2 解二元一次方程（组） 知识3 解分式方程 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 命题预测 命题 透视 命题形式：结合2021-2025年天津中考数学真题考情，本专题属于数与代数核心模块，近五年考查分值稳定在20-28分，占全卷总分120分的17%-23%，是基础得分与中档题提分的关键板块，命题遵循“基础稳扎、情境创新、综合渗透”的天津特色。 考情目标拆解：1. 基础目标：精准掌握实数运算、整式因式分解、分式化简、二次根式运算等核心技能，确保选择、填空基础题（第1-9题）零失误，对应天津卷“送分题”板块。 2. 能力目标：熟练运用一元一次不等式组解法、一元二次方程判别式与韦达定理、分式方程实际应用，攻克解答题第19题（不等式组）、第22题（方程实际应用）中档题。 3. 素养目标：结合天津本地情境（如五大道文旅、天津港数据、传统数学典籍），实现数与式、方程与不等式的跨模块综合应用，适配天津卷“数学建模+文化渗透”命题趋势。 命题内容： 1）数与式：侧重运算工具性，常与几何、函数结合，新定义运算、规律探究为创新考法。 2）方程与不等式：侧重实际应用与综合建模，方案设计、参数讨论、整数解问题为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念与运算 T1：实数的运算 T3：无理数估值 T5：科学记数法 T1：实数的运算 T3：无理数估值 T5：科学记数法 T1：实数的运算 T2：无理数估值 T5：科学记数法 T1：实数的运算 T3：科学记数法 T6：无理数估值 T1：实数的运算 T3：科学记数法 T6：无理数估值 整式的运算与化简求值 T14：整式运算 T15：乘法公式 T14：幂的混合运算 T15：乘法公式 T14：幂的混合运算 T15：乘法公式 T13：幂的混合运算 T14：乘法公式 T13：整式运算 T14：乘法公式 分式 T7：异分母分式加减运算 T7：同分母分式加减运算 T9：异分母分式加减运算 T7：同分母分式加减运算 T9：同分母分式加减运算 二次根式的混合运算（含特殊角三角函数值） T6：二次根式混合运算 T6：二次根式混合运算 T6：二次根式混合运算 T2：特殊角三角函数值 T2：特殊角三角函数值 一元一次方程与二元一次方程组 T8：由实际问题抽象出方程（组） T9：由实际问题抽象出方程（组） T7：解二元一次方程组 一元二次方程及其应用 T9：根与系数关系 T9：解一元二次方程 一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） 命题预测 1. 考情预测 · 数与式： · 基础题：侧重运算准确性，零指数幂、负指数幂、二次根式化简为必考点。 · 中档题：新定义运算、规律探究、整体代入为创新方向，与几何、函数结合更紧密。 · 工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。 · 方程与不等式： · 核心考点：一元二次方程的判别式与韦达定理、不等式组的整数解与参数、分式方程的实际应用。 · 综合趋势：方程（组）+ 不等式 + 一次函数的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力。 · 情境创新：以 “传统文化、科技发展、社会热点” 为背景，考查数学应用。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。 · 突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。 · 强化综合：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。 · 关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。 考点一 数与式 题型一 实数的混合运算 四则运算 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数. 实数的乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 实数的除法法则 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．（2023·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键． 3．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键； 根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数解答即可； 【详解】 解：原式 ， 故答案为：D． 4．（2022·天津·中考真题）计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（   ） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【答案】A 【分析】直接根据同号两数相加的法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式=﹣（2+3）=﹣5 故选：A 【点睛】本题考查有理数的加法． 5．（2021·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B．2 C． D．15 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法法则运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，属于基础题，运算过程中注意符号即可． 题型二 无理数的估值 平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 1．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 3．（2024·天津·中考真题）估算 的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，根据题意得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴的值在3和4之间， 故选：C． 4．（2023·天津·中考真题）估计的值应在 （） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】由于4＜6＜9，于是，从而有． 【详解】解：∵4＜6＜9， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 5．（2022·天津·中考真题）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】根据得到，问题得解． 【详解】解：， ，即在5和6之间． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法确定的整数部分是解本题的关键． 6．（2021·天津·中考真题）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴估计的值在2和3之间， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 题型三 科学记数法 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将数据用科学记数法表示应为． 故选：B． 2．（2024·天津·中考真题）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据800000用科学记数法表示应为． 故选：C． 3．（2023·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到人次，将数据用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）将290000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用科学记数法的表示方式表示即可． 【详解】解：． 故选：B 【点睛】此题考查科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n与小数点移动的位数相同．解题关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（2021·天津·中考真题）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：141178=1.41178×105， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值． 题型四 整式的混合运算 1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 3.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 4.去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； 5.添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（2021·天津·中考真题）计算的结果等于_____． 【答案】 【分析】根据合并同类项的性质计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式加减的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项的性质，从而完成求解． 题型五 幂的混合运算 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 1．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2023·天津·中考真题）计算的结果为________． 【答案】 【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 3．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键． 题型六 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 2．（2024·天津·中考真题）计算的结果为___． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 3．（2023·天津·中考真题）计算的结果为________． 【答案】1 【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理． 【详解】解： 故答案为：1 【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________． 【答案】18 【分析】根据平方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键． 5．（2021·天津·中考真题）计算的结果等于_____． 【答案】9 【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可． 【详解】． 故答案为9． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键． 题型七 分式运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 2．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 3．（2023·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算． 4．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则． 5．（2021·天津·中考真题）计算的结果是（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】原式， ． 故选A． 【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题的关键． 题型八 二次根式的混合运算（含特殊角三角函数值） 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 3．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可． 【详解】解 ：， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 知识1 实数的混合运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 知识2 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数________即 幂的乘方 底数不变，指数________，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别________，再把所得的积________，即 同底数幂的除法 底数不变，指数________，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识5 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2024·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·天津南开·三模）下列各数中，介于2和3之间的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题的关键；依次对各无理数估计即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴，故不符合题意； B、∵， ∴，故符合题意； C、∵， ∴，故不符合题意； D、∵， ∴，故不符合题意； 故选：B． 3．（2025·天津河东·二模）若整数a满足，则a的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：∵，， ． 故选：C． 4．（2025·天津河西·一模）估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即估计的值在5和6之间． 故选：D． 5．（2025·天津和平·一模）估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．7和8之间 D．9和10之间 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的估算，掌握常见整数的立方值是解题的关键． 因为，，所以的值在4和5之间，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 的值在4和5之间， 故选：A． 6．（2025·天津红桥·三模）将数据2680000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 7．（2025·天津河北·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的加减运算法则计算即可求解，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 8．（2025·天津南开·三模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了异分母分式的减法，关键是通分化为同分母分式的减法，最后约分化简即可；把两个分母通分化为同分母分式，再把分子相减即可． 【详解】解：， 故选：D． 9．（2025·天津滨海新区·一模）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的运算，掌握常见特殊角的三角函数值成为解题的关键． 将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 10．（2025·天津河北·一模）的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了涉及特殊角的三角函数值的计算，二次根式的乘法计算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．分别代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 11．（2025·天津河东·二模）计算的结果为________． 【答案】18 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用平方差公式进行二次根式的乘法运算即可. 【详解】解：， 故答案为： 12．（2025·天津河西·一模）计算的结果为______． 【答案】23 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．运用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：23． 13．（2025·天津南开·三模）计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的运算，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 14．（2025·天津南开·二模）计算的结果为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减．先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（2025·天津和平·三模）计算的结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（2025·天津红桥·一模）计算的结果等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式的计算，直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解；， 故答案为：． 考点二 方程与不等式 题型一 由实际问题抽象出方程（组） 常见的应用题型和等量关系 题型 核心等量关系 和差倍问题 较大数 = 较小数 + 差；总量 = 倍数 × 倍量 行程问题 ①相遇：路程和=总路程；②追及：路程差=初始距离；③匀速：路程=速度×时间 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间；②总工作量=各部分工作量之和（常把总工作量设为1） 利润问题 ①利润=售价-成本；②利润率=；③售价=标价×折扣 配套问题 配套的两种物品数量比等于配套比（例：1个螺栓配2个螺母，则螺栓数×2 =螺母数） 1．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 2．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 题型二 一元二次方程的解法、根与系数关系 前提条件：一元二次方程有实数根Δ≥ 0; ； 1．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 2．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将进行因式分解，，计算出答案． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 题型三 一元一次不等式（组） 解一元一次不等式组(3步核心，“先独后公，数形结合”) 核心原则：先解每个不等式，再找解集公共部分，最后表示(数轴+代数形式)具体步骤 1.解单个不等式：按一元一次不等式解题步骤，分别求出组内每个不等式的解集； 2.找公共部分： 方法1(数轴法，推荐，不易错)：将每个不等式的解集画在同一数轴上，数轴上重叠的区域即为不等式组的解集； 方法2(口诀法)：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了； 3.定最终解集：用代数形式写出公共部分，如需整数解/正整数解，从解集中筛选符合条件的数即可。 1．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【详解】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 2．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 3．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 4．（2022·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果； （2）通过移项直接求出结果； （3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可； （4）根据数轴得出原不等式组的解集． 【详解】（1）解：移项得： 解得： 故答案为：； （2）移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）所以原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 5．（2021·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为___________． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤和不等式组的解集在数轴上的表示方法即可解答． 【详解】（Ⅰ）解不等式，得：． 故答案为：； （Ⅱ）解不等式，得：． 故答案为：； （Ⅲ）在数轴上表示为： ； （Ⅳ）原不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键． 知识1 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 知识2 解二元一次方程（组） 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 知识3 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 1．（2025·天津红桥·二模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握二元一次方程中，两根、有如下关系：成为解题的关键． 由根与系数的关系可得，将展开为，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故选A． 2．（2025·天津滨海新区·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后再运用分式的加减运算法则计算，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 3．（2025·天津滨海新区·二模）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．设李三公家的店有个房间，来了位客人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设李三公家的店有个房间，来了位客人， 若每间住人，则余下人无房可住，则， 若每间住人，则余下一间无人住，则， ， 故选：C． 4．（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键；根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：A． 5．（2025·天津西青·一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用．设共有人，物品价格是钱，根据“如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设共有人，物品价格是钱，根据题意得： ， 故选：A． 6．（2025·天津河东·二模）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可； （3）在数轴上表示出不等式组的解集即可； （4）写出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：， 故答案为：； （2）解：， 移项得，， 合并得，， 故答案为：； （3）解：将两个不等式的解集在数轴上表示为： （4）解：所以，不等式组的解集为：， 故答案为：． 7．（2025·天津河西·一模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式解集，掌握解一元一次不等式的步骤，正确求解是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后合并同类项利用不等式性质即可作答； （2）先去分母，再移项，合并同类项，再利用不等式性质即可作答； （3）画出数轴并表示（1）和（2）中得解集即可； （4）将（3）数轴中重合区域表示即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：， ， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：由（1）（2）可得：数轴表示为： （4）解：由（3）可得，原不等式组的解集为． 8．（2025·天津西青·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集： （1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）根据（1）（2）所求在数轴上表示不等式组的解集即可； （4）根据（3）所求即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴解不等式①，得， 故答案为：； （2）解： ， ∴解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：数轴表示如下所示： （4）解：由数轴可知，原不等式组的解集为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式、方程与不等式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：实数的混合运算 题型二：无理数的估值 题型三：科学记数法 题型四：整式的混合运算 题型五：幂的混合运算 题型六：乘法公式 题型七：分式运算 题型八：二次根式的混合运算（含特殊角三角函数值） 必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 知识5 二次根式的运算 命题预测 考点二 方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：由实际问题抽象出方程（组） 题型二：一元二次方程的解法、根与系数关系 题型三：一元一次不等式（组） 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识2 解二元一次方程（组） 知识3 解分式方程 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 命题预测 命题 透视 命题形式：结合2021-2025年天津中考数学真题考情，本专题属于数与代数核心模块，近五年考查分值稳定在20-28分，占全卷总分120分的17%-23%，是基础得分与中档题提分的关键板块，命题遵循“基础稳扎、情境创新、综合渗透”的天津特色。 考情目标拆解：1. 基础目标：精准掌握实数运算、整式因式分解、分式化简、二次根式运算等核心技能，确保选择、填空基础题（第1-9题）零失误，对应天津卷“送分题”板块。 2. 能力目标：熟练运用一元一次不等式组解法、一元二次方程判别式与韦达定理、分式方程实际应用，攻克解答题第19题（不等式组）、第22题（方程实际应用）中档题。 3. 素养目标：结合天津本地情境（如五大道文旅、天津港数据、传统数学典籍），实现数与式、方程与不等式的跨模块综合应用，适配天津卷“数学建模+文化渗透”命题趋势。 命题内容： 1）数与式：侧重运算工具性，常与几何、函数结合，新定义运算、规律探究为创新考法。 2）方程与不等式：侧重实际应用与综合建模，方案设计、参数讨论、整数解问题为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念与运算 T1：实数的运算 T3：无理数估值 T5：科学记数法 T1：实数的运算 T3：无理数估值 T5：科学记数法 T1：实数的运算 T2：无理数估值 T5：科学记数法 T1：实数的运算 T3：科学记数法 T6：无理数估值 T1：实数的运算 T3：科学记数法 T6：无理数估值 整式的运算与化简求值 T14：整式运算 T15：乘法公式 T14：幂的混合运算 T15：乘法公式 T14：幂的混合运算 T15：乘法公式 T13：幂的混合运算 T14：乘法公式 T13：整式运算 T14：乘法公式 分式 T7：异分母分式加减运算 T7：同分母分式加减运算 T9：异分母分式加减运算 T7：同分母分式加减运算 T9：同分母分式加减运算 二次根式的混合运算（含特殊角三角函数值） T6：二次根式混合运算 T6：二次根式混合运算 T6：二次根式混合运算 T2：特殊角三角函数值 T2：特殊角三角函数值 一元一次方程与二元一次方程组 T8：由实际问题抽象出方程（组） T9：由实际问题抽象出方程（组） T7：解二元一次方程组 一元二次方程及其应用 T9：根与系数关系 T9：解一元二次方程 一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） T19：解一元一次不等式（组） 命题预测 1. 考情预测 · 数与式： · 基础题：侧重运算准确性，零指数幂、负指数幂、二次根式化简为必考点。 · 中档题：新定义运算、规律探究、整体代入为创新方向，与几何、函数结合更紧密。 · 工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。 · 方程与不等式： · 核心考点：一元二次方程的判别式与韦达定理、不等式组的整数解与参数、分式方程的实际应用。 · 综合趋势：方程（组）+ 不等式 + 一次函数的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力。 · 情境创新：以 “传统文化、科技发展、社会热点” 为背景，考查数学应用。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。 · 突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。 · 强化综合：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。 · 关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。 考点一 数与式 题型一 实数的混合运算 四则运算 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数. 实数的乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 实数的除法法则 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 2．（2023·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 4．（2022·天津·中考真题）计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（   ） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 5．（2021·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B．2 C． D．15 题型二 无理数的估值 平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 1．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．（2024·天津·中考真题）估算 的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．（2023·天津·中考真题）估计的值应在 （） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（2022·天津·中考真题）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 6．（2021·天津·中考真题）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 题型三 科学记数法 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到人次，将数据用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·中考真题）将290000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·中考真题）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 题型四 整式的混合运算 1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 3.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 4.去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； 5.添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 2．（2021·天津·中考真题）计算的结果等于_____． 题型五 幂的混合运算 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 1．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 2．（2023·天津·中考真题）计算的结果为________． 3．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________． 题型六 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 2．（2024·天津·中考真题）计算的结果为___． 3．（2023·天津·中考真题）计算的结果为________． 4．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________． 5．（2021·天津·中考真题）计算的结果等于_____． 题型七 分式运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 2．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 5．（2021·天津·中考真题）计算的结果是（    ） A．3 B． C．1 D． 题型八 二次根式的混合运算（含特殊角三角函数值） 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 知识1 实数的混合运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 知识2 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数________即 幂的乘方 底数不变，指数________，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别________，再把所得的积________，即 同底数幂的除法 底数不变，指数________，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识5 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2024·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 2．（2025·天津南开·三模）下列各数中，介于2和3之间的数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津河东·二模）若整数a满足，则a的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·天津河西·一模）估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．（2025·天津和平·一模）估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．7和8之间 D．9和10之间 6．（2025·天津红桥·三模）将数据2680000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津河北·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津南开·三模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津滨海新区·一模）的值等于（    ） A． B． C． D． 10．（2025·天津河北·一模）的值等于（　　） A． B． C． D． 11．（2025·天津河东·二模）计算的结果为________． 12．（2025·天津河西·一模）计算的结果为______． 13．（2025·天津南开·三模）计算的结果为______． 14．（2025·天津南开·二模）计算的结果为_______． 15．（2025·天津和平·三模）计算的结果为_______． 16．（2025·天津红桥·一模）计算的结果等于______． 考点二 方程与不等式 题型一 由实际问题抽象出方程（组） 常见的应用题型和等量关系 题型 核心等量关系 和差倍问题 较大数 = 较小数 + 差；总量 = 倍数 × 倍量 行程问题 ①相遇：路程和=总路程；②追及：路程差=初始距离；③匀速：路程=速度×时间 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间；②总工作量=各部分工作量之和（常把总工作量设为1） 利润问题 ①利润=售价-成本；②利润率=；③售价=标价×折扣 配套问题 配套的两种物品数量比等于配套比（例：1个螺栓配2个螺母，则螺栓数×2 =螺母数） 1．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的解法、根与系数关系 前提条件：一元二次方程有实数根Δ≥ 0; ； 1．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 题型三 一元一次不等式（组） 解一元一次不等式组(3步核心，“先独后公，数形结合”) 核心原则：先解每个不等式，再找解集公共部分，最后表示(数轴+代数形式)具体步骤 1.解单个不等式：按一元一次不等式解题步骤，分别求出组内每个不等式的解集； 2.找公共部分： 方法1(数轴法，推荐，不易错)：将每个不等式的解集画在同一数轴上，数轴上重叠的区域即为不等式组的解集； 方法2(口诀法)：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了； 3.定最终解集：用代数形式写出公共部分，如需整数解/正整数解，从解集中筛选符合条件的数即可。 1．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 2．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 3．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 4．（2022·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 5．（2021·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为___________． 知识1 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 知识2 解二元一次方程（组） 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 知识3 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 1．（2025·天津红桥·二模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 2．（2025·天津滨海新区·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津滨海新区·二模）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·天津西青·一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津河东·二模）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 7．（2025·天津河西·一模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 8．（2025·天津西青·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $