八年级数学下册《勾股定理》期中复习高频考点核心知识清单（含pdf可直接打印）

勾股定理 知识清单 一、核心复习知识（必背） 1. 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 公式：（， 为斜边）。 适用条件：必须是直角三角形。 公式变形： ￮ 已知直角边 → 斜边： ￮ 已知斜边 、直角边 → 另一直角边： 几何意义：以两直角边为边长的正方形面积和 = 以斜边为边长的正方形面积。 2. 勾股定理的逆定理 内容：若三角形三边 满足 ，则此三角形为直角三角形，最长边 对的角为直角。 判定步骤： a. 排序，确定最长边 b. 验证：短边平方和 = 最长边平方？ 拓展： ￮ → 锐角三角形 ￮ → 钝角三角形 3. 勾股数 定义：满足 的三个正整数。 必背勾股数：3,4,5、5,12,13、7,24,25、8,15,17 性质：若 是勾股数，则 也是勾股数（ 为正整数）。 注意：小数、分数、无理数都不是勾股数。 4. 常用辅助线与思想 作高法：非直角三角形 → 作高 → 构造直角三角形。 方程思想：折叠、芦苇、折断问题，设 列勾股方程。 展开思想：立体图形最短路径 → 展开为平面 → 勾股计算。 5. 期中解题万能口诀 见直角，用勾股，知二求一边；证直角，用逆定理，先排最长边 折叠题，找相等，设元列方程；立体图，展平面，连线算最短 实际题，画 Rt△，设 x 列方程；弦图题，看面积，大 = 小 + 4× 三角 二、高频考点 + 典例 + 解题技巧 考点 1 勾股定理直接计算 如图， 则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．首先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，故选：B． 【解题技巧】认准直角，直接套公式 。 【易错点拨】必须先确认谁是直角、谁是斜边。 考点 2 勾股定理逆定理（判定直角三角形） 以下列各组数为三边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A．，6， B．1， C．10，24，26 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； C．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【解题技巧】1.排序；2.验证：短 ²+ 短 ²= 长 ²？ 【易错点拨】不排序直接算是最常见错误。 考点 3 赵爽弦图（面积证明） 我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8，故选：B． 【解题技巧】大正方形面积 = 斜边 ²；小正方形边长 = 长直角边 − 短直角边 【易错点拨】把小正方形边长当成直角边。 考点 4 网格中求线段长、判断直角 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴．故选：B． 【解题技巧】构造直角三角形 → 数格子 → 算边长 → 逆定理判定。 【易错点拨】数格子多 1 或少 1导致计算错误。 考点 5 折叠问题（期中必考） 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，，解得，故选：A． 解题步骤（万能法）：1.标相等：，；2.算 → ；3.设 ，则 ；4.在 中：；5.解得 【易错点拨】找不到折叠后新的直角三角形。 考点 6 梯子滑动问题 一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为米，若梯子顶端沿墙下滑米，则梯子底端将向外滑动 米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．首先利用勾股定理得出的长，进而求出的长，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 故， 梯子顶端沿墙下滑米， ，，， ， 故答案为：． 【解题技巧】梯子长度不变，两次分别用勾股定理。 【易错点拨】误以为下滑距离 = 滑动距离。 考点 7 芦苇 / 折断问题（方程模型） 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺， 尺，尺 在中，，解得，即芦苇长13尺， 水深为（尺），故答案为：12． 【解题技巧】设水深 → 斜边 → 列方程。 【易错点拨】不会设未知数列方程。 考点 8 立体图形最短路径 农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴．故选：D． 【解题技巧】侧面展开 → 作对称点 → 连线 → 勾股计算。 【易错点拨】不会展开圆柱，不会用对称。 三、高频易错点 + 具体典例 易错点 1 不指明直角，直接默认斜边 例 在 中，，则 。 答案：5 或 错解：只写 5 点拨：题目未说哪个角是直角， 可斜可直。 易错点 2 勾股数必须是正整数 例 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 答案：A 错解：C 点拨：分类讨论：，是直角边． 若a为直角边，则解得， 勾股数需为整数，故不符合题意，舍去； 若a为斜边，则，解得； 故答案为：A． 点拨：勾股数 = 满足勾股关系 + 全是正整数。 易错点 3 折叠题找不到新直角三角形 例 如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ． 答案： 详解：由折叠的性质可知，，，，， 设，则， 在中，，，解得：，即， ，，即， ，， 又，， ，，故答案为：，． 点拨：折叠题一定有新直角三角形，重点找折痕与边交点。 易错点 4 忘记 “斜边最长” 例 直角三角形两边为 3 和 5，则第三边为 。 答案：4 或 点拨：5 可能是直角边，也可能是斜边，必须分类。 五、复习建议 1.先背熟：定理 + 逆定理 + 勾股数 + 公式变形 2.重点突破：折叠、梯子、方程、最短路径 3.每道题先问：哪里是直角？谁是斜边？ 4.错题整理：分类讨论、折叠、网格、方程四类 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理 知识清单 一、核心复习知识（必背） 1.勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 公式：a2+b2=c2(LC=90°，c为斜边)。 适用条件：必须是直角三角形。 公式变形： 。己知直角边a、b→斜边：c=Va2+b2 。已知斜边c、直角边a→另一直角边：b=Vc2-a2 几何意义：以两直角边为边长的正方形面积和=以斜边为边长的正方形面积。 2.勾股定理的逆定理 内容：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2,则此三角形为直角三角形，最长边c对的角为直角。 判定步骤： a.排序，确定最长边 b.验证：短边平方和=最长边平方？ 拓展： 。a2+b2>c2→锐角三角形 。a2+b2<c2→钝角三角形 3.勾股数 定义：满足a2+b2=c2的三个正整数。 必背勾股数：3,4,5、5,12,13、7,24,25、8,15,17 性质：若(a,b,c)是勾股数，则(ka,kb,kc)也是勾股数(k为正整数)。 注意：小数、分数、无理数都不是勾股数。 4.常用辅助线与思想 作高法：非直角三角形→作高→构造直角三角形。 方程思想：折叠、芦苇、折断问题，设x列勾股方程。 展开思想：立体图形最短路径→展开为平面→勾股计算。 5.期中解题万能口诀 见直角，用勾股，知二求一边；证直角，用逆定理，先排最长边 折叠题，找相等，设元列方程立体图，展平面，连线算最短 实际题，画Rt△，设x列方程；弦图题，看面积，大=小+4×三角 二、高颜考点+典例+解题技巧 考点1勾股定理直接计算 如图，∠A=∠DBC=90°，AD=3,AB=4,BC=12,则CD的长为() D A.5 B.13 C.17 D.19 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理：熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键.首先根据勾股 定理求出BD2,再根据勾股定理求出CD的长即可， 【详解】解：，∠A=90°，∴.BD2=AB2+AD2=42+32=25, ,∠DBC=90°，.CD=VBD2+BCZ=√25+122=13，故选：B. 【解题技巧】认准直角，直接套公式c=√a2+b2。 【易错点拨】必须先确认谁是直角、谁是斜边。 考点2勾股定理逆定理（判定直角三角形） 以下列各组数为三边的三角形，不是直角三角形的是() A.2.5,6,6.5 B.1,2.4,2.5 C.10,24,26 D.0.9,1.2,1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可. 【详解】解：A.2.52+62=652,能构成直角三角形，故本选项不符合题意： B.12+2.42≠2.5，不能构成直角三角形，故本选项符合题意： C.102+242=262,能构成直角三角形，故本选项不符合题意： D.0.92+1.22=1.52,能构成直角三角形，故本选项不符合题意： 故选：B 【解题技巧】1排序；2.验证：短24短2=长2？ 【易错点拨】不排序直接算是最常见错误。 考点3赵爽弦图（面积证明） 我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”.如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，己知Rt△ ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为() A.2V2 B.8 C.20 D.25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出AF+BF=8 AF2+BF2=36,根据完全平方公式变形可求出2AF·BF=28,(AF-BF)2=8,即可求解。 【详解】解：，Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6， ∴.AF+BF=14-6=8,AF2+BF2=62=36, ∴.2AF·BF=(AF+BF)2-(AF2+BF2)=82-36=28 ..(AF-BF)2=AF2 +BF2 -2AF.BF =8, 由题意知：AE=BF, ∴.EF2=(AF-AE)2=8, ∴，正方形EFGH的面积为8，故选：B. 【解题技巧】大正方形面积=斜边？；小正方形边长=长直角边一短直角边 【易错点拨】把小正方形边长当成直角边。 考点4网格中求线段长、判断直角 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的 度数是() A.40° B.45° C.50° D.60 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理 及其逆定理判定△ABC是等腰直角三角形成为解题的关键， 如图：连接BC,先运用勾股定理求出△ABC的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出△ABC是等腰直角 三角形，进而得出∠BAC的度数即可. 【详解】解：如图：连接BC, :每个小正方形的边长都是1， .AC2=12+32=10,BC2=12+32=10,AB2=22+42=20, 10+10=20, .'.AC2+CB2 AB2,AC2 CB2, ∴.△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠BAC=45°.故选：B. 【解题技巧】构造直角三角形→数格子→算边长一→逆定理判定。 【易错点拨】数格子多1或少1导致计算错误。 考点5折叠问题（期中必考） 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合， AE为折痕，则EB的长为() B--- A.3 B.2.5 C.1.5 D.1 【答案】A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可. 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键. 【详解】解：根据折叠可得EB=EB,AB=AB=6, 设EB=EB'=X,则EC=8-x, 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8, .AC=√AB2+BCZ=10, ∴.BC=AC-AB=10-6=4, 在Rt△EB'C中，由勾股定理得，x2+42=(8-x)2,解得x=3,故选：A, 解题步骤（万能法）：1.标相等：BE=EB',AB=6;2.算AC=10→B'C=4:3.设BE=x,则EC= 8-x;4.在Rt△EB'C中：x2+42=(8-x)2;5.解得x=3 【易错点拨】找不到折叠后新的直角三角形。 考点6梯子滑动问题 一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为0.7米，若梯子顶端沿墙下滑0.4 米，则梯子底端将向外滑动米。 【答案】0.8 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，首先利用勾股定理得出BO的 长，进而求出CO的长，即可求出答案 【详解】解：由题意可得：AB=2.5m,AO=0.7m, 故B0=√2.52-0.72=2.4m, 梯子顶端沿墙下滑0.4米， .D0=2m,CD=2.5m,∴.C0=1.5m, .AC=C0-A0=1.5-0.7=0.8m, D Tw A 故答案为：0.8. 【解题技巧】梯子长度不变，两次分别用勾股定理。 【易错点拨】误以为下滑距离=滑动距离。 考点7芦苇/折断问题（方程模型） 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐.问水深，葭长 各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水 面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为尺. A 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知EB'的长 为10尺，则B'C=5尺，设出AB=AB=x尺，表示出水深AC,在Rt△ACB中，根据勾股定理建立方程， 是解题的关键， 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB=x尺，则AC=(x-)尺， B B C G BE=10尺，∴.B'C=5尺 在Rt△ACB中，52+(x-1)=x2,解得x=13,即芦苇长13尺， .水深为13-1=12（尺），故答案为：12. 【解题技巧】设水深x→斜边x+1→列方程。 【易错点拨】不会设未知数列方程。 考点8立体图形最短路径 农民麦子大丰收，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为15cm,高为10cm的圆柱粮仓模型（如图所 示).现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方 (从点A到点C,B为AC的中点)，则装饰带的长度最短为() B A.10v5cm B.5√10cm C.20v√5cm D.10v10cm 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键.根据圆柱的侧面 展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出， 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为AC的长， 则AD=2×15cm=30cm,CD=10cn ∴.AC=√AD2+CD2=V302+102=10V10(c).故选：D 【解题技巧】侧面展开→作对称点→连线→勾股计算。 【易错点拨】不会展开圆柱，不会用对称。 三、高频易错点+具体典例 易错点1不指明直角，直接默认斜边 例在Rt△ABC中，a=3,b=4,则C=一。 答案：5或V7 错解：只写5 点拨：题目未说哪个角是直角，c可斜可直。 易错点2勾股数必须是正整数 例若5，a,12是一组勾股数，则a的值为() A.13 B.V119 C.V119或13 D.11 答案：A 错解：C 点拨：分类讨论：5<12，·5是直角边 若a为直角边，则52+a2=122解得a=V119, 勾股数需为整数，故a=V119不符合题意，舍去： 若a为斜边，则52+122=a2,解得a=13;故答案为：A. 点拨：勾股数=满足勾股关系+全是正整数。 易错点3折叠题找不到新直角三角形 例如图，已知长方形ABCD中，AB=3,BC=5,若把长方形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点 D落在点G处，则CF=,△AEF的面积· B 管案：号甜 详解：由折叠的性质可知，AF=CF,∠C=∠FAG=90°，CD=AG,∠D=∠G=90°， 设AF=CF=x,则BF=BC-CF=5-x, 在RteABF中，AB+BF2=AF，3+(5-x=X,解得：x气，即CF=7 ∠BAD=90°，∠BAD-∠EAF=∠FAG-∠EAF,即∠BAF=∠GAE, .AB=CD,.AB=AG, 又∠B=∠D=90°，△ABF≌△AGE(ASA), ·AE=AF=CF=7 25 点拨：折叠题一定有新直角三角形，重点找折痕与边交点。 易错点4忘记“斜边最长” 例直角三角形两边为3和5，则第三边为。 答案：4或V34 点拨：5可能是直角边，也可能是斜边，必须分类。 五、复习建议 1.先背熟：定理+逆定理+勾股数+公式变形 2重点突破：折叠、梯子、方程、最短路径 3每道题先问：哪里是直角？推是斜边？ 4错题整理：分类讨论、折叠、网格、方程四类 勾股定理 知识清单 一、核心复习知识（必背） 1. 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 公式：（， 为斜边）。 适用条件：必须是直角三角形。 公式变形： ￮ 已知直角边 → 斜边： ￮ 已知斜边 、直角边 → 另一直角边： 几何意义：以两直角边为边长的正方形面积和 = 以斜边为边长的正方形面积。 2. 勾股定理的逆定理 内容：若三角形三边 满足 ，则此三角形为直角三角形，最长边 对的角为直角。 判定步骤： a. 排序，确定最长边 b. 验证：短边平方和 = 最长边平方？ 拓展： ￮ → 锐角三角形 ￮ → 钝角三角形 3. 勾股数 定义：满足 的三个正整数。 必背勾股数：3,4,5、5,12,13、7,24,25、8,15,17 性质：若 是勾股数，则 也是勾股数（ 为正整数）。 注意：小数、分数、无理数都不是勾股数。 4. 常用辅助线与思想 作高法：非直角三角形 → 作高 → 构造直角三角形。 方程思想：折叠、芦苇、折断问题，设 列勾股方程。 展开思想：立体图形最短路径 → 展开为平面 → 勾股计算。 5. 期中解题万能口诀 见直角，用勾股，知二求一边；证直角，用逆定理，先排最长边 折叠题，找相等，设元列方程；立体图，展平面，连线算最短 实际题，画 Rt△，设 x 列方程；弦图题，看面积，大 = 小 + 4× 三角 二、高频考点 + 典例 + 解题技巧 考点 1 勾股定理直接计算 如图， 则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 考点 2 勾股定理逆定理（判定直角三角形） 以下列各组数为三边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A．，6， B．1， C．10，24，26 D． 考点 3 赵爽弦图（面积证明） 我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 考点 4 网格中求线段长、判断直角 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点 5 折叠问题（期中必考） 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 考点 6 梯子滑动问题 一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为米，若梯子顶端沿墙下滑米，则梯子底端将向外滑动 米． 考点 7 芦苇 / 折断问题（方程模型） 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 考点 8 立体图形最短路径 农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 三、高频易错点 + 具体典例 易错点 1 不指明直角，直接默认斜边 例 在 中，，则 。 答案：5 或 错解：只写 5 点拨：题目未说哪个角是直角， 可斜可直。 易错点 2 勾股数必须是正整数 例 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 答案：A 错解：C 点拨：分类讨论：，是直角边． 若a为直角边，则解得， 勾股数需为整数，故不符合题意，舍去； 若a为斜边，则，解得； 故答案为：A． 点拨：勾股数 = 满足勾股关系 + 全是正整数。 易错点 3 折叠题找不到新直角三角形 例 如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ． 答案： 详解：由折叠的性质可知，，，，， 设，则， 在中，，，解得：，即， ，，即， ，， 又，， ，，故答案为：，． 点拨：折叠题一定有新直角三角形，重点找折痕与边交点。 易错点 4 忘记 “斜边最长” 例 直角三角形两边为 3 和 5，则第三边为 。 答案：4 或 点拨：5 可能是直角边，也可能是斜边，必须分类。 五、复习建议 1.先背熟：定理 + 逆定理 + 勾股数 + 公式变形 2.重点突破：折叠、梯子、方程、最短路径 3.每道题先问：哪里是直角？谁是斜边？ 4.错题整理：分类讨论、折叠、网格、方程四类 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理 知识清单 一、核心复习知识（必背） 1.勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 公式：a2+b2=c2(LC=90°，c为斜边)。 适用条件：必须是直角三角形。 公式变形： 。己知直角边a、b→斜边：c=Va2+b2 。已知斜边c、直角边a→另一直角边：b=Vc2-a2 几何意义：以两直角边为边长的正方形面积和=以斜边为边长的正方形面积。 2.勾股定理的逆定理 内容：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2,则此三角形为直角三角形，最长边c对的角为直角。 判定步骤： a.排序，确定最长边 b.验证：短边平方和=最长边平方？ 拓展： 。a2+b2>c2→锐角三角形 。a2+b2<c2→钝角三角形 3.勾股数 定义：满足a2+b2=c2的三个正整数。 必背勾股数：3,4,5、5,12,13、7,24,25、8,15,17 性质：若(a,b,c)是勾股数，则(ka,kb,kc)也是勾股数(k为正整数)。 注意：小数、分数、无理数都不是勾股数。 4.常用辅助线与思想 作高法：非直角三角形→作高→构造直角三角形。 方程思想：折叠、芦苇、折断问题，设x列勾股方程。 展开思想：立体图形最短路径→展开为平面→勾股计算。 5.期中解题万能口诀 见直角，用勾股，知二求一边；证直角，用逆定理，先排最长边 折叠题，找相等，设元列方程立体图，展平面，连线算最短 实际题，画Rt△，设x列方程；弦图题，看面积，大=小+4×三角 二、高颜考点+典例+解题技巧 考点1勾股定理直接计算 如图，∠A=∠DBC=90°，AD=3,AB=4,BC=12,则CD的长为() D A.5 B.13 C.17 D.19 考点2勾股定理逆定理（判定直角三角形） 以下列各组数为三边的三角形，不是直角三角形的是() A.2.5,6,6.5 B.1,2.4,2.5 C.10,24,26 D.0.9,1.2,1.5 考点3赵爽弦图（面积证明) 我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”，如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知t△ ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为() A.2V2 B.8 C.20 D.25 考点4网格中求线段长、判断直角 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的 度数是() B A.40° B.45° C.50° D.60° 考点5折叠问题（期中必考） 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合， AE为折痕，则EB的长为() A.3 B.2.5 C.1.5 D.1 考点6梯子滑动问题 一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为0.7米，若梯子顶端沿墙下滑0.4 米，则梯子底端将向外滑动米。 考点7芦苇/折断问题（方程模型） 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐.问水深，葭长 各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水 面部分C为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为尺. A 考点8立体图形最短路径 农民麦子大丰收，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为15cm,高为10cm的圆柱粮仓模型（如图所 示).现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方 (从点A到点C,B为AC的中点)，则装饰带的长度最短为() B A.10v5cm B.5v10cm C.205cm D.10v10cm 三、高频易错点+具体典例 易错点1不指明直角，直接默认斜边 例在Rt△ABC中，a=3,b=4,则c=-。 答案：5或√7 错解：只写5 点拨：题目未说哪个角是直角，c可斜可直。 易错点2勾股数必须是正整数 例若5，a,12是一组勾股数，则a的值为() A.13 B.V119 C.V119或13 D.11 答案：A 错解：C 点拨：分类讨论：5<12，∴5是直角边. 若a为直角边，则52+a2=122解得a=V119, 勾股数需为整数，故a=V119不符合题意，舍去： 若a为斜边，则52+122=a2,解得a=13:故答案为：A. 点拨：勾股数=满足勾股关系+全是正整数。 易错点3折叠题找不到新直角三角形 例如图，己知长方形ABCD中，AB=3,BC=5,若把长方形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点 D落在点G处，则CF=一，△AEF的面积一， D 详解：由折叠的性质可知，AF=CF,∠C=∠FAG=90°，CD=AG,∠D=∠G=90°， 设AF=CF=x,则BF=BC-CF=5-x, 在RtABF中，AB+BPAP,3+5-,解得：X7,即CF=7 ∠BAD=90°，.∠BAD-∠EAF=∠FAG-∠EAF,即∠BAF=∠GAE, AB=CD,..AB=AG, 又：∠B=∠D=90°，△ABF≌△AGE(ASA), A-0r-行8如加n=分好0故管案为：了沿 「25 点拨：折叠题一定有新直角三角形，重点找折痕与边交点。 易错点4忘记“斜边最长” 例直角三角形两边为3和5，则第三边为。 答案：4或V34 点拨：5可能是直角边，也可能是斜边，必须分类。 五、复习建议 1先背熟：定理+逆定理+勾股数+公式变形 2重点突破：折叠、梯子、方程、最短路径 3每道题先问：哪里是直角？准是斜边？ 4.错题整理：分类讨论、折叠、网格、方程四类