专题03 计数原理与概率统计（期中真题汇编，山东专用）高二数学下学期

专题03 计数原理与概率统计 4大高频考点概览 考点01计数原理与二项式定理 考点02随机变量及其分布 考点03概率 考点04 统计案例 地 城 考点01 计数原理与二项式定理 一、解答题 1．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知的展开式中第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项． 2．（24-25高二下·山东济宁·期中）从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 3．（24-25高二下·山东泰安·期中）在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值. 4．（24-25高二下·山东济南·期中）已知的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数成等差数列． (1)求的值． (2)记，求被4除的余数． 5．（24-25高二下·山东济宁·期中）有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答） (1)可以有空盒子的方法共有多少种？ (2)1号盒子不放球的方法共有多少种？ (3)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？ (4)若每个盒子放一个小球，小球编号与盒子编号均不相同，有多少种不同的放法？ 6．（22-23高二下·山东泰安·期中）在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； (2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 7．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知，设 (1)求的值； (2)求的展开式中的系数． 8．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知二项式，且满足. (1)求值，并求二项式系数最大的项； (2)求二项展开式中含项的系数； 10．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，，且．求： (1)m的值； (2)的值； (3)的值． 11．（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 12．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知（），若所有项的二项式系数和等于1024. (1)求； (2)求展开式中系数最大的项. 13．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知 (1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数； (2)若，且，求． 地 城 考点02 随机变量及其分布 一、解答题 1．（24-25高二下·山东临沂·期中）将标记为A、B、C、D、E、F的6封信放入甲乙丙丁四个信箱中，要求每个信箱都不空． (1)求甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； (2)在A信件放入甲信箱的前提下，求B信件不放入甲信箱的概率． 2．（24-25高二下·山东烟台·期中）某快递配送中心处理包裹的两个关键流程为第一步的分拣任务和第二步的装车任务，由于设备效率波动，两流程的独自耗时分别为随机变量X和Y（单位：小时），假设两个流程互不影响，且，，，． (1)在分拣时间大于装车时间（即）的条件下，求两项任务完成时间的概率； (2)若按照流程，允许分拣和装车任务并行处理，但需要额外的等待时间，此时完成时间为，求并行处理两项任务的完成时间的期望．（指a，b中较大的一个） 3．（24-25高二下·山东烟台·期中）分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 4．（24-25高二下·山东临沂·期中）有一种摸奖游戏，在一个口袋中有红球4个，黑球2个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记1分，摸到黑球记分.抽奖人从中一次摸1个球，摸3个球为一次抽奖，总分记为X，若，则获奖. (1)若每次取出后不放回，求获奖的概率； (2)若每次取出后放回，求的分布列和数学期望. 5．（24-25高二下·山东烟台·期中）为保障公众健康、提升监管效能，某市监管部门开展了食品安全专项治理行动，行动中，监管部门对某品牌饼干随机抽取了100件产品，检测其防腐剂含量x（单位：mg/kg），并统计绘制了如图频率分布直方图， (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若从样本中防腐剂含量不低于100mg/kg的产品中按照等比例随机抽样的方法抽取7件产品，再从这7件产品中随机抽取4件产品进行检测，求这4件产品中防腐剂含量在区间内的件数Y的期望和方差． 6．（24-25高二下·山东潍坊·期中）某种微生物群体可以通过自身繁殖的方式不断生存下来，且每个个体繁殖后自身消亡．假设开始时有一个该微生物个体，称为第0代，经过一次繁殖后产生第1代，第1代经过一次繁殖后产生第2代，…，每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为1和2的概率均为，假设每个个体繁殖过程相互独立，记随机变量为繁殖产生的第代的个体总数． (1)若，求的分布列和期望； (2)证明：； (3)定义：的条件下，随机变量的期望称为条件期望，记作，且．求．参考公式： 7．（24-25高二下·山东聊城·期中）在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品． (1)从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率； (2)从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列． 8．（24-25高二下·山东青岛·期中）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如图的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望： (2)每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”.以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数的均值和方差. 9．（24-25高二下·山东泰安·期中）在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. (1)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 10．（24-25高二下·山东临沂·期中）某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀. (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望. 11．（24-25高二下·山东济宁·期中）某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离（单位：km）可能取值为：20、30、32、36，它们发生的概率依次是：、、、． (1)求的均值和方差； (2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3km时，补贴5元；若出差距离超过3km时，则超过3km的部分按照每超出1km（不足1km的也按1km计算）补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差． 地 城 考点03 概率 一、解答题 1．（24-25高二下·山东济南·期中）已知两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选袋的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率． (2)求在一轮中乙摸出红球的概率． (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）某人工智能公司招聘高级技术人员一名，经初选，有10名应届毕业生进入最后面试环节，其中A高校和B高校各有4名，C校2名，10名面试者随机抽取1，2，…，10号的面试序号． (1)若来自A高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自B高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自C高校的2名毕业生的面试序号分别为，． （ⅰ）求概率，； （ⅱ）随机变量，求的均值． (2)经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的得分各不相等，现该公司的人事部门设计了以下面试录用规则：，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者．证明：面试得分第一、第二的两名毕业生之一被录用的概率小于0.59． 3．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． (1)从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； (2)先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 4．（23-24高二下·山东滨州·期中）已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． (1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； (2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 地 城 考点04 统计案例 一、解答题 1．（24-25高二下·山东青岛·期中）为了解某地初中学生阅读时长与学业成绩的关系，从该地区初中学生中随机抽取部分学生，得到日均阅读时长与学业成绩的数据如下表所示：       时间（小时）成绩 优秀 4 44 42 3 2 不优秀 134 142 140 40 24 (1)从样本中学业成绩优秀且阅读时间在区的学生当中随机抽取3名学生进行调查，X表示3名学生中阅读时长在人数，求X的分布列和期望； (2)根据小概率值的独立性检验，分析学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时是否有关？（运算结果四舍五入保留到小数点后两位小数） （附：，其中， 2．（江西省景德镇市2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 3．（24-25高二下·山东德州·期中）某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广. (1)该公司从管理层到基层员工中随机抽取了120名进行调研，现将120名员工的学历划分为“高学历”和“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据： 支持 不支持 合计 高学历 30 低学历 40 合计 60 120 请将列联表补充完整并回答：是否有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关？ (2)通过对该公司2015年至2024年每年的研发投入（单位：百万元）与年利润增量y（单位：百万元）的数据进行分析得到回归模型为：，且有. 请求出该模型中关于的回归方程并预测投资金额为6百万元时的年利润增量．参考公式及参考数据，其中，临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 . 4．（24-25高二下·山东青岛·期中）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比.请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．， 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 5．（24-25高二下·山东威海·期中）为了研究高二学生每天整理数学错题的情况，学校在高二级部学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学成绩与整理数学错题情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 每天都整理数学错题人数 55 20 75 不是每天都整理数学错题人数 30 45 75 合计 85 65 150 (1)依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与每天整理数学错题有关？ (2)从调查的不是每天都整理数学错题的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 6．（24-25高二下·山东潍坊·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 7．（24-25高二下·山东烟台·期中）近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 计数原理与概率统计 4大高频考点概览 考点01计数原理与二项式定理 考点02随机变量及其分布 考点03概率 考点04 统计案例 地 城 考点01 计数原理与二项式定理 一、解答题 1．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知的展开式中第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）写出展开式的通项，依题意，即可得解； （2）令，且，求出，再代入计算可得. 【详解】（1）二项式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以，解得； （2）二项式的通项为（且）， 令，解得或或或或， 所以展开式的有理项有，， ，，， 即展开式中的有理项为，，，，共5项. 2．（24-25高二下·山东济宁·期中）从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【答案】(1)2880 (2)91 (3)120 【分析】（1）利用插空法可得答案； （2）男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法，第二种情况是甲乙选人选法，求和可得答案； （3）利用间接法可得答案. 【详解】（1）先安排4名女生，出现5个空位，再安排5名男生， 所以参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有 种方法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，包含两种情况， 第一种甲和乙都在内的选法有种， 第二种情况，甲乙选人，有种选法， 则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （3）如果人中必须既有男生又有女生，先从所有人中选人， 去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法. 3．（24-25高二下·山东泰安·期中）在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】(1)60 (2)5 【分析】（1）利用二项展开式的通项计算可得结果； （2）由通项得出含有常数项时，再结合其范围可得当时，取最小值5. 【详解】（1）当时，展开式的通项为 令，解得 所以展开式中含项的系数为 （2）展开式的通项， 由于展开式含有常数项，可得 即，又 即当时，取最小值5，此时展开式含有常数项， 因此最小的正整数的值为5. 4．（24-25高二下·山东济南·期中）已知的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数成等差数列． (1)求的值． (2)记，求被4除的余数． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据三项的二项式系数成等差，列出方程，求解检验即可； （2）将拆成，运用二项式定理展开整理后，易得被4除的余数. 【详解】（1）依题意，，即，解得或，因，故； （2）由（1）可得，则， 由， 易得，故能被4整除， 则可得被4除的余数为1. 5．（24-25高二下·山东济宁·期中）有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答） (1)可以有空盒子的方法共有多少种？ (2)1号盒子不放球的方法共有多少种？ (3)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？ (4)若每个盒子放一个小球，小球编号与盒子编号均不相同，有多少种不同的放法？ 【答案】(1)256 (2)81 (3)144 (4)9 【分析】（1）可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，分步乘法即可求解； （2）1号盒子不放球，每个球有3种放法分步乘法即可求解； （3）分析题意并用用捆绑法即可求解. （4）小球编号与盒子编号均不相同，用组合数求解即可. 【详解】（1）可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法共种； （2）1号盒子不放球的方法共有种； （3）恰有一个空盒子，说明另外三个盒子都有球， 而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，先将四盒中选一个作为空盒， 再将四球中选出两球绑在一起，再排列共种； （4）小球编号与盒子编号均不相同，首先可以从2，3，4号球中任选其一放入1号盒子中，有种选择， 然后1号球可以放入2，3，4号盒子中的其中一个盒子中，有种选择， 最后剩下的两个球不能放入同编号的盒子中，有且只有1种选择， 故满足题意的有种不同的放法. 6．（22-23高二下·山东泰安·期中）在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； (2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 【答案】(1)120 (2)96 【分析】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，然后利用两个计数原理和排列组合数即可求解； （2）利用分类加法计数原理和排列组合的相关知识即可进行求解. 【详解】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 第1次抽到的是正品有种抽法；第2次抽到的是次品有种抽法；第3次抽到的是正品有种抽法； 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有种抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法； 综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法. （2）由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况： ①4次抽到的均为正品，共有种抽法； ②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有种抽法. 所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种. 7．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知，设 (1)求的值； (2)求的展开式中的系数． 【答案】(1)8 (2)40 【分析】（1）已知，利用排列数和组合数公式化简，最后求解关于的方程得出的值． （2）先根据（1）求出的，将式子变形为．接着分别写出与展开式的通项．要得到项，需满足即，找出满足条件的、组合，算出对应系数并相加，得到的系数． 【详解】（1）由已知，得，，解得：. （2）因为，所以， 展开式的通项为：，， 展开式的通项为：， 当，时，的系数为； 当，时，的系数为； 当，时，的系数为； 当，时，的系数为， 所以展开式中的系数为． 8．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，可求得的值； （2）令，可求出的值，再与（1）中的等式作差，可求得的值； （3）分析可知当为奇数时，；当为偶数时，，可得出，即可得解； （4）在题干等式的两边同时求导，再令，可求得的值. 【详解】（1）令，得①. （2）令，得②， 由①②，得， 所以. （3）因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以. （4）， 两边分别求导，得， 令，得. 9．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知二项式，且满足. (1)求值，并求二项式系数最大的项； (2)求二项展开式中含项的系数； 【答案】(1)， (2)7 【分析】（1）利用已知条件求出，再由通项可得答案； （2）利用通项公式求出，可得答案. 【详解】（1）因为，即，整理得， 解得或（舍去），故. 所以展开式的通项 为（且）， 则，故二项式系数的最大项为第项，为； （2）令，解得， 所以， 所以二项展开式中含项的系数为. 10．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，，且．求： (1)m的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的展开式的通项公式，然后求出其的一次项和二次项，再由列方程可求出的值； （2）利用赋值法，分别令和可求得结果； （3）对两边求导，然后令可求得答案. 【详解】（1）的展开式的通项公式为， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以，解得． （2）令，得， 令，得， 所以． （3）对两边分别求导，得 ， 令，得． 11．（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得； （2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法； （3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区. 【详解】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法． 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法． 所以志愿者中有教师的选调方法为：种． （2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法． （3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，种分配方法； 则共有种分配方法. 12．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知（），若所有项的二项式系数和等于1024. (1)求； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式系数和的公式求得，再利用赋值法求得要求式子的值. （2）求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】（1）由题意可知，故， 令，则， 令，则， 令，则， 两式相加可得 （2）二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 13．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知 (1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式系数的最大项求出，再利用通项计算可得； （2）写出展开式的通项，即可得到展开式系数的正负情况，再令计算可得. 【详解】（1）由于的二项展开式中第项的二项式系数为且最大（唯一），可得， 所以展开式的通项为（且）， 所以当时，故展开式中的系数为； （2）若， 则展开式的通项为（且）， 当为奇数时，即的偶次项系数为负，当为偶数时，即的奇次项系数为正， 所以， 又， 故． 地 城 考点02 随机变量及其分布 一、解答题 1．（24-25高二下·山东临沂·期中）将标记为A、B、C、D、E、F的6封信放入甲乙丙丁四个信箱中，要求每个信箱都不空． (1)求甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； (2)在A信件放入甲信箱的前提下，求B信件不放入甲信箱的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）X的所有可能取值为1，2，3，当时，四个信箱的放法有1,2,2,1和1,3,1,1两种放法，利用排列组合的知识可求得当时的放法总数，同理可求得当时的放法总数，由此可求得甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望； （2）在A信件放入甲邮箱的前提下，记甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，，由（1）同理可计算得到，，，在A信件放入甲邮箱的前提下，B信件没放入甲邮箱，甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，，由（1）同理可计算得到，，，由条件概率的定义可知在A信件放入甲信箱的前提下，B信件不放入甲信箱的概率. 【详解】（1）X的所有可能取值为1，2，3， 当时，四个信箱的放法有1,2,2,1和1,3,1,1两种放法： ①6封信里选1封放入甲信箱，再选2封放入乙信箱，再选2封放入丙信箱，二者平均分配需要倍缩， 最后1封放入丁信箱，后三个信箱为全排列， ②6封信里选1封放入甲信箱，再选3封放入乙信箱，最后2封各1封放入丙丁信箱，后三个信箱为全排列， 所以当时，放法总数为， 同理可得当时，放入甲邮箱中两封信的放法总数， 当时，放入甲邮箱中三封信的放法总数， 因此，， ， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 数学期望． （2）在A信件放入甲邮箱的前提下，记甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，， 由（1）同理可得， 在A信件放入甲邮箱的前提下，B信件没放入甲邮箱，甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，， 由（1）同理可得， 所以B信件不放入甲邮箱中的概率为． 2．（24-25高二下·山东烟台·期中）某快递配送中心处理包裹的两个关键流程为第一步的分拣任务和第二步的装车任务，由于设备效率波动，两流程的独自耗时分别为随机变量X和Y（单位：小时），假设两个流程互不影响，且，，，． (1)在分拣时间大于装车时间（即）的条件下，求两项任务完成时间的概率； (2)若按照流程，允许分拣和装车任务并行处理，但需要额外的等待时间，此时完成时间为，求并行处理两项任务的完成时间的期望．（指a，b中较大的一个） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意列举所有结果，计算对应概率，再根据条件概率计算即可； （2）由题意列举所有结果，计算对应概率即可得到分布列，计算即可得到期望. 【详解】（1）由题知，的所有组合有，，， ，，， 所以， 所以； （2）并行处理任务，则任务的完成时间的可能情况有： ，此时，； ，此时，； ，此时，； ，此时，； 所以并行处理任务的完成时间的分布列为： 2.3 3.5 4.5 4.7 P 所以． 3．（24-25高二下·山东烟台·期中）分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 【答案】(1) (2) (3)方案A更优 【分析】（1）由题意可得随机变量服从二项分布，利用其概率公式建立方程，可得答案； （2）由题意可得随机变量服从二项分布，利用其概率公式建立不等式组，可得答案； （3）根据二项分布的数学期望计算，可得答案. 【详解】（1）设3个节点中处理任务成功的节点个数为，则， 所以．即恰好有2个节点成功处理任务的概率为． （2）由（1）知，60个节点中处理任务成功的节点个数， 若每次处理任务成功的节点数为时概率最大，则， 解得，因为，所以． （3）若采用方案A，则每个任务至少有一个节点处理成功的概率， 所以处理任务成功数， 则处理任务成功的节点数的期望． 所以利润的期望． 若采用方案B：则处理任务成功数，则处理任务成功的节点数的期望， 所以利润的期望． 因为，所以方案A更优． 4．（24-25高二下·山东临沂·期中）有一种摸奖游戏，在一个口袋中有红球4个，黑球2个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记1分，摸到黑球记分.抽奖人从中一次摸1个球，摸3个球为一次抽奖，总分记为X，若，则获奖. (1)若每次取出后不放回，求获奖的概率； (2)若每次取出后放回，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，则顾客在3次摸球中，至少要摸到2个红球， 故 （2）每次取出后放回，则每一次摸球中，摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为， 可取， 的分布列为 3 1 -1 -3 数学期望 5．（24-25高二下·山东烟台·期中）为保障公众健康、提升监管效能，某市监管部门开展了食品安全专项治理行动，行动中，监管部门对某品牌饼干随机抽取了100件产品，检测其防腐剂含量x（单位：mg/kg），并统计绘制了如图频率分布直方图， (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若从样本中防腐剂含量不低于100mg/kg的产品中按照等比例随机抽样的方法抽取7件产品，再从这7件产品中随机抽取4件产品进行检测，求这4件产品中防腐剂含量在区间内的件数Y的期望和方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由各组的频率和为1列方程可求出a的值； （2）根据比例抽样的方法结合频率分布直方图求出在区间和内抽取的数量，则可得随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出Y的期望和方差． 【详解】（1）由题知，，解得． （2）由题知，样本中防腐剂含量在区间与内的比例为4：3， 所以按照等比例抽样的方法抽取的7件产品中，在区间内的应抽取4件，在区间内的应抽取3件． 所以随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以， ． 6．（24-25高二下·山东潍坊·期中）某种微生物群体可以通过自身繁殖的方式不断生存下来，且每个个体繁殖后自身消亡．假设开始时有一个该微生物个体，称为第0代，经过一次繁殖后产生第1代，第1代经过一次繁殖后产生第2代，…，每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为1和2的概率均为，假设每个个体繁殖过程相互独立，记随机变量为繁殖产生的第代的个体总数． (1)若，求的分布列和期望； (2)证明：； (3)定义：的条件下，随机变量的期望称为条件期望，记作，且．求．参考公式： 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为3； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）分析得的所有可能取值为2，3，4，再写出其分布列，计算其期望即可； （2）记事件表示＂第代繁殖为两个微生物＂，再根据互斥事件的加法公式计算即可； （3）分析出的可能取值为，再利用条件期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意得，的所有可能取值为2，3，4， ， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 . （2）由题意可知，事件表示在前代繁殖过程中只有一次繁殖为2个微生物个体， 且之前与之后都繁殖为1个微生物个体， 记事件表示＂第代繁殖为两个微生物＂（即第代开始为2个微生物）， 则两两互斥， 且， 而， 因此 ， 所以． （3）在的条件下，的可能取值为， 则， ， 故由条件期望公式可得 . 7．（24-25高二下·山东聊城·期中）在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品． (1)从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率； (2)从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列． 【详解】（1）记事件A为“第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券”， 则由题意得． （2）X的可能取值为0，1，2，3． ；； ；． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 8．（24-25高二下·山东青岛·期中）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如图的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望： (2)每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”.以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析， (2)， 【分析】（1）由已知可得9名学生中位于的有人，位于的有人，由服从超几何分布即可求解； （2）由已知可得，根据二项分布的均值和期望公式求解即可. 【详解】（1）因为体育活动时间位于和的频率分别为和， 所以抽取的9名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 故，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （2）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： ， 则， ，. 9．（24-25高二下·山东泰安·期中）在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. (1)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为， 取到小球的个数 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 （2）若每次抽取后都不放回，取到小球的个数服从超几何分布 ∴的分布列为 0 1 2 3 10．（24-25高二下·山东临沂·期中）某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀. (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先根据频率和为1，求出的值.再利用频率取估计概率即可. （2）先明确13名同学的构成，再利用超几何分布，写出的概率分布，并求其期望. 【详解】（1）依题意，得， 解得， 则不低于90分的人数为， 成绩在内的，即优秀的人数为； 故这名学生成绩是优秀的概率为. （2）成绩在内的有人； 成绩在内的有人； 成绩在内的有20人； 故采用等比例分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人， 在内的有5人，在内的有2人， 所以由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故. 11．（24-25高二下·山东济宁·期中）某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离（单位：km）可能取值为：20、30、32、36，它们发生的概率依次是：、、、． (1)求的均值和方差； (2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3km时，补贴5元；若出差距离超过3km时，则超过3km的部分按照每超出1km（不足1km的也按1km计算）补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差． 【答案】(1)，； (2)均值为元，方差为 【分析】（1）根据分布列的性质求出，再根据期望、方差公式计算可得； （2）设此销售员3月份出差一次油费补贴为元，则，然后利用期望、方差的性质计算可得. 【详解】（1）由题意，得，解得． 所以的分布列如下： 所以， ； （2）设此销售员3月份出差一次油费补贴为元， 则， 所以， ． 故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为元，方差为． 地 城 考点03 概率 一、解答题 1．（24-25高二下·山东济南·期中）已知两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选袋的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率． (2)求在一轮中乙摸出红球的概率． (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意乙的观点,理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率公式即可求解， （2）根据古典概型的概率公式，结合排列组合可得A袋中白球的个数为6，红球的个数为3，即可利用全概率公式求解， （3）根据独立重复试验的概率公式，得概率，构造函数，利用导数求解单调性得最值即可求解. 【详解】（1）设C=“乙摸出的是红球”，D=“甲从A袋中摸球”，E=“乙从B袋中摸球”. 由全概率公式知，乙从B袋中摸球的概率为 ， 所以在一轮中，乙从B袋中摸出红球的概率为 . （2）设A袋中白球的个数为， 由已知可得，可得， 因为且，因此， 所以A袋中白球的个数为6，红球的个数为3. 所以，从A袋中摸出红球的概率是. 在一轮中，乙摸出红球的概率为 . （3）3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为 ， 设，则， 令，解得. 则当时，，单调递增，当时，，单调递减. 所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点. 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）某人工智能公司招聘高级技术人员一名，经初选，有10名应届毕业生进入最后面试环节，其中A高校和B高校各有4名，C校2名，10名面试者随机抽取1，2，…，10号的面试序号． (1)若来自A高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自B高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自C高校的2名毕业生的面试序号分别为，． （ⅰ）求概率，； （ⅱ）随机变量，求的均值． (2)经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的得分各不相等，现该公司的人事部门设计了以下面试录用规则：，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者．证明：面试得分第一、第二的两名毕业生之一被录用的概率小于0.59． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）（ⅰ）根据题意，直接求解，即可； （ⅱ）先求得的取值，再根据期望计算公式，直接计算即可； （2）分别计算录用面试第一名和第二名的概率，即可证明. 【详解】（1）（i）从10个面试序号中选4个给B高校的毕业生，总的选法有种， 若，则从1到7号中选3个给B高校的其他3名毕业生，选法有种， 则， 从6个面试序号中选2个给C高校的毕业生，剩下4个给A高校的毕业生，总的选法有种， 若，则这6个面试序号中，最大，安排在，，，前后的空位中， 选法有种， 则时，选法有10种， 则. （ii）的可能取值为，则， 所以 （2）①第一种情况，录用了面试得分第一的人. 若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位， 其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为： . ②第二种情况，录用了面试得分第二的人. 若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列， 这种情况的概率为. 若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位， 同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为： . 综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为： 3．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． (1)从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； (2)先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）结合组合学知识及古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得的所有取值为，进而求解即可. （3）分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可. 【详解】（1）由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为. （2）由题意，的所有取值为， 则，， ， 则的分布列为： 0 1 2 （3）从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为， 故从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为， 故从乙箱中摸到红球的概率为； 综上所述：摸到红球的概率为. 4．（23-24高二下·山东滨州·期中）已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． (1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； (2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 【答案】(1)，，； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出第一次摸到第1，2，3号球的概率，结合已知条件，利用全概率公式及条件概率公式依次计算即得. （2）①求出第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率；②利用全概率公式推理即得. 【详解】（1）设第一次摸到球的事件为，第二次摸到的是3号球的事件为， 第二次在第号袋子里摸到的是3号球的事件为，， ， 于是， 所以第二次摸到的是3号球，它来自1号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自2号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自3号袋子的概率. （2）①依题意，，即第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率， 所以. ②由定义及全概率公式知， ， 所以. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 地 城 考点04 统计案例 一、解答题 1．（24-25高二下·山东青岛·期中）为了解某地初中学生阅读时长与学业成绩的关系，从该地区初中学生中随机抽取部分学生，得到日均阅读时长与学业成绩的数据如下表所示：       时间（小时）成绩 优秀 4 44 42 3 2 不优秀 134 142 140 40 24 (1)从样本中学业成绩优秀且阅读时间在区的学生当中随机抽取3名学生进行调查，X表示3名学生中阅读时长在人数，求X的分布列和期望； (2)根据小概率值的独立性检验，分析学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时是否有关？（运算结果四舍五入保留到小数点后两位小数） （附：，其中， 【答案】(1)分布列见解析， (2)无关 【分析】（1）根据题意可得X的所有取值为，进而求解即可； （2）作出列联表，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由题意，X的所有取值为， 则，，， 则X的分布列为 X 1 2 3 所以. （2）由题列联表如下： 其它 合计 优秀 45 50 95 不优秀 180 300 480 合计 225 350 575 则， 所以学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时无关. 2．（江西省景德镇市2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得 ，故有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 3．（24-25高二下·山东德州·期中）某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广. (1)该公司从管理层到基层员工中随机抽取了120名进行调研，现将120名员工的学历划分为“高学历”和“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据： 支持 不支持 合计 高学历 30 低学历 40 合计 60 120 请将列联表补充完整并回答：是否有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关？ (2)通过对该公司2015年至2024年每年的研发投入（单位：百万元）与年利润增量y（单位：百万元）的数据进行分析得到回归模型为：，且有. 请求出该模型中关于的回归方程并预测投资金额为6百万元时的年利润增量．参考公式及参考数据，其中，临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 . 【答案】(1)列联表见解析，没有 (2)，（百万元） 【分析】（1）首先完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）首先求出，，即可求出，，从而求出回归直线方程，再代入计算可得. 【详解】（1）由题完成列联表得： 支持 不支持 合计 高学历 30 20 50 低学历 30 40 70 合计 60 60 120 由表中的数据可得， 所以没有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关． （2）由， 所以，， 所以， 则， 所以关于的回归方程，当时，， 所以当投资金额为6百万元时年利润增量的预测值为（百万元）. 4．（24-25高二下·山东青岛·期中）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比.请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．， 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， (2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 5．（24-25高二下·山东威海·期中）为了研究高二学生每天整理数学错题的情况，学校在高二级部学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学成绩与整理数学错题情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 每天都整理数学错题人数 55 20 75 不是每天都整理数学错题人数 30 45 75 合计 85 65 150 (1)依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与每天整理数学错题有关？ (2)从调查的不是每天都整理数学错题的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与每天整理数学错题有关． （2）由于＂不是每天都整理数学错题＂的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为，所以采用分层抽样的10人中，成绩优秀的有4人，成绩不优秀的有6人， 可知的取值范围是， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 6．（24-25高二下·山东潍坊·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 【答案】(1)更适宜作为回归模型，理由见解析 (2)（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析 【分析】（1）从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得，结合数据和公式求出剩余电量y与使用时间t的回归方程； （ⅱ）在（i）基础上，令得，故会报警提示. 【详解】（1）更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化， 减小速度越来越慢， 呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得， 由于， 故， ， 即，故， （ⅱ）会报警提示，理由如下： 中，令得 ， 故会报警提示. 7．（24-25高二下·山东烟台·期中）近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 【答案】(1)认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联 (2)① ；②答案见解析 【分析】（1）根据计算公式计算即可得出结论； （2）①由题意转化为前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户，利用独立事件同时发生的乘法公式求解；②分别求出对应取值的概率，据此计算对应取值的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用频率与用户满意度之间无关联． 根据表中数据，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联． （2）（1）由题知，样本中DeepSeek高满意度用户的频率为， 设事件“恰好第4次抽取后停止抽取”， 需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户， 则． 即恰好第4次抽取后停止的概率为． （2）由题知，样本中学生的高满意度用户频率为，教师的高满意度用户频率为． 又，，， ，，， 的所有可能取值为0，1，2， 则 ， ． 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 P 41 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $