第四章 因式分解 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】 2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

六/a十1=3·解得a-2,点P的坐标为(2,1).@由题意，得A'(m,3),0(m,0).B b=1. 0),C(2,3),.OB=|m-3|,A'C=|m-2l.0B=2A'C,.1m-3=2m-2|,解得m= 1或m=子(2)-1.5<n≤-1.【解析】由题意，得g(3,),C(2,3+n),则 1<3十m≤2解得-1.5≤n≤-1. -n≤3十n, 25.(1)证明：由旋转的性质，得∠EDF=60°，DF=DE,△DEF为等边三角形..DF= (DF-=EF, EF,∠FDE=∠DFE=FED=6O°.在△DBF和△EBF中，BF=BF,∴.△DBF≌△EBF BD=BE, (SSS.∴∠DFB=∠EFB-∠DFE-30,LDBF-∠EBF-∠ABC-60.∴∠FDB =180°-∠DFB-∠DBF=90°.BF=2BD.(2)解：补图如图所示，BF=BD+BE.证明如 下：延长DB到点G,使得BG=BE,连接EG.∠ABC=120°，.∠GBE=180°一∠ABC= 60°..△GBE为等边三角形.∴∠BEG=∠G=60°，BE=EG=BG.由(1)知∠FED=60°， DE=FE,∴.∠FED=∠BEG..∠FED+∠BED=∠BEG+∠BED,即∠FEB=∠DEG DE=FE, 在△DEG和△FEB中，∠DEG=∠FEB,∴.△DEG≌△FEB(SAS).∴.DG=BF.DG= EG=EB, BD+BG=BD+BE,.'.BF=BD+BE. 阶段质量评估（二）[期中] 1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.C9.C10.B11.C12.C 13.(0,-4)14.x<415.3 16.122【点拨】易得MM=CM+CM=√C+CM=√2CM,当CMLAB时，CM 5 的长最小，线段MM的长最小. 17.解：(1)去括号，得2x-12十4≤3x-5.移项、合并同类项，得-x≤3.系数化为1，得x≥ 一3.将不等式的解集在数轴上表示如图所示. 内432101234为 (2)油题意，得点Q的坐标为(2a十5，a一8.：点Q在第四象限2十520”解得-号 3a-8<0, <axt 18.解：，∠A=90°，∠C=20°，∠ABC=90°-∠C=70°.，∠A=90°，DA⊥BA.,DE ⊥BC,DE=DA,·BD平分∠ABC,∠DEB=90.∴∠DBE=∠DBA=2∠ABC=35. ∴.∠BDE=90°-∠DBE=55° 19.解：(1)如图，△ABC即为所求.(2)如图，△A2B2C2即为所求.点C2的坐标为（一3，一4）. 12345x 20.证明：：CE平分∠BCD,.∠BCE=∠DCE.:∠AEC=∠B十∠BCE,∠ACE= ∠DCE+∠ACD,∠B=∠ACD,.∠AEC=∠ACE.∴.AE=AC..CF=EF,.AF⊥CE. 21.解：(1)：BA=BC,∠ABC=90°，∴∠A=∠ACB=45°.由旋转的性质，得∠BCE=∠A =45°，.∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°.(2)：BC=BA=2√2，∠ABC=90°，∴.AC= 一34 VBA+BC=4.:CD=3AD,AD=AC=1,CD=AC=3.由旋转的性质，得CE AD=1.在Rt△DCE中，DE=√CE+CD=√I0. 2.解：解不等式2x十>0，得>-2.解不等式3江-k<6,得x<生5(1)：该不等式组 的解集为一2<<3，：十6=3，解得=3.(2)：不等式组只有2个正整数解，“正整数解 3 为1,22<生5≤3，解得0<k<3. 23.(1)解：“AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=2(180°-∠BAC)=30.BD=BE, ∴∠BDE=∠BED=号(180°-∠B)=75.:AD是边BC上的中线AD⊥BC .∠ADB=90°.∴.∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°.(2)证明：，MF垂直平分CD,.DF= CF.∴.∠FDC=∠C=30°..∠AFD=∠C+∠FDC=60°.由(1)知AD⊥BC,∠ADC= 90°..∠ADF=∠ADC-∠FDC=60..∠DAF=180°-∠AFD-∠ADF=60°. .△ADF是等边三角形. 24.解：1)20x(70-20d）(2)根据题意，得20x≥2(700-20)，解得≥9.答：至少应 接温水9。(3)①y=100-2z②：饮水最佳温度是35℃~38℃（包括35℃与38℃）， 100-2x≥35， “100-2x≤38，解得31≤x≤32.5x的取值范围是31<x≤32.5 25.解：(I)BM=CE(2)BE=CE+√3AE.理由如下：在BE上截取BF=CE,连接AF,过 点A作AP⊥EF于点P.:AB=AC,BF=CE,∠ABD=∠ACE,.△ABF≌△ACE (SAS).∴.AF=AE,∠BAF=∠CAE.∴.∠CAE+∠DAF=∠BAF+∠DAF,即∠EAF= ∠BAC=120.·∠AEP=∠AFE=号(180°-∠EAF)=30.AP=2AE.·在Rt △APE中，PE=VAE-AP-号AE.:AE=AE,APLEF,EF=2PE=5AE.BE =BF+EF=CE+√3AE.(3)CE的长为3-√3或3+√3.【解析】在射线BD上截取BF,使 BF=CE,连接AF.分两种情况讨论：①当点D在线段AC上时，如答图①.由(2)得∠AFE =30°.：AN=1,.易得FN=NE=√3.在Rt△ABN中，BN=√AB2-ANz=3,∴.CE= BF=BN一FN=3-√3.②当点D在CA的延长线上时，如答图②.，BE≠CE,点E在点 B,D之间.易得△AEF为等腰三角形，∠EAF=120°，FN=NE=√3，BN=3,.CE=BF= BN+FN=3十√3.综上所述，CE的长为3-√3或3十√3. B 答图① 答图② 第四章质量评估 1.D2.D3.B4.D5.D6.B7.A8.A9.A10.C11.B12.C 13.3x2yz14.a(a-3)215.28016.10 17.解：(1)原式=-3n(2m2-4mn+1).(2)原式=(17.32-7.32)2=102=100. 18.解：答案不唯一，如选择a2+b2,3a2-4ab,则(a2+b)+(3a2-4ab)=a2+b+3a2-4ab =4a2-4ab+b..4a2-4ab+i=(2a-b)2. 19.解：(1)①(2)原式=9a2(x-y)-4b2(x-y)=(x-y)(9a2-4b)=(x-y)(3a+ 2b)(3a-2b). 20.解：原式=x(y十x)(y-x)-x(y-x)2=x(y-x)[(y十x)-(y-x)]=2x2(y-x).当x =2,y=√3+2时，原式=2×22×(W3+2-2)=8√5. 21.解：：甲看错了a的值，分解的结果是(x十1)(x十9)=x2+10x十9，.b=9.,乙看错了 b的值，分解的结果是(x-2)(x-4)=x2-6x十8.∴a=-6..这个多项式是x2-6x十9. x2-6x十9=(x-3)2. 22.解：(1)剩余部分的面积为(a2-4b)cm2.(2)当a=14.5,b=2.75时，a2-4b=(a+ 26)(a-2b)=(14.5+2×2.75)(14.5-2×2.75)=20×9=180..剩余部分的面积为180cm2. 35 23.解：(1)原式=a4+4a2十4-4a2=(a2+2)2-4a2=(a2+2a+2)(a2-2a十2).(2)原式= x4-18x2y2+81y4-25x2y2=(x2-9y2)2-25.x2y2=(x2-9y2+5xy)(x2-9y2-5.xy). 24.解：(1)a3-3a2+6a-18=a2(a-3)+6(a-3)=(a-3)(a2+6).(2)a2+4ab+4b+2a 十4b+1=(a十2b)2+2(a+2b)+1=(a十2b+1)2.由题意，得2[(a+3b)+(a十b)]=16,即 a+2b=4,.原式=(4+1)2=25. 25.解：(1)4(2)-2x2-4x+3=-2(x2+2x)+3=-2(x2+2x+1-1)+3=-2(x+1)2 +2+3=-2(x+1)2+5.(x+1)2≥0，.-2(x+1)2≤0.∴.-2(x十1)2+5≤5..当x= -1时，-2(x+1)2+5有最大值，最大值是5.(3)，a2+26+c2-2ab十4b-6c十13=0， .(a2-2ab+b)+(b+4b+4)+(c2-6c+9)=0.∴.(a-b)2+(b+2)2+(c-3)2=0.(a -b)2≥0，(b+2)2≥0，(c-3)2≥0，.a-b=0,b+2=0,c-3=0,解得a=b=-2,c=3..a +b+c=-2-2+3=-1. 第五章质量评估 1.A2.A3.B4.D5.C6.D7.A8.D9.C10.A11.A12.D 13.5142z+315.216.22 17.解：1)原式=4，+5.2二4=3+3-2.2二2=-2x-6.(2)2x十y-3 2-x3-x 2-x 3-x =02+y=8照武-2=2z52-2+,号 4x2-y2 18,解：由题意，得，2十3=方程的两边都乘x一2，得1十3(x一2)=-2-1，解这个 方程，得x=1.经检验，x=1是原分式方程的根..x=1. 19.解：(1)二括号前面是“一”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号(2)原式= [告]*名·分 1 1 1 1 20.，、、厂（a十2b)（02十2i·。+)2三o0·2b一a a-2b a-2b (a+b)= 十ba-02b-a=6-a.28a-2+V-b=0,a=2,b=1.A=88 a-2b (a+b)2a+b 1-2_1-2)2-12=-3+22. √2+1(wW2+1)(w2-1) 21.解：设“致远号”的行驶速度为xm/s.根据题意，得0.8十x 00台解得3,2经检 验，x=3.2是所列方程的根，且符合题意.答：“致远号”的行驶速度为3.2m/s. 22.解：(1)方程两边都乘x-2,得5+3(x-2)=一1.解这个方程，得x=0.经检验，x=0是 原方程的根.(2)设“？”为m.方程两边都乘x一2，得m十3(x一2)=一1.，x=2是原分式方 程的增根，∴.把x=2代入上面的等式，得m十3×(2一2)=一1，解这个方程，得m=一1. ∴.原分式方程中“？”代表的数是一1. 23.解：(1)>(2)乙款礼盒每千克苹果的价格更合算，理由如下：设包装盒的质量为mkg, 其中0<m<5,则甲款礼盒每千克苹果的价格为写”n元，乙款礼盒每千克幸果的价格为 0元，”n09n 50m 50100-5010-m）-100c5-m号5=m0=m0<m<5,品50m (5-m)(10-m) >0,(6-m10-m)>0“6m500>0.“写0n>0nZ款礼盒每千克率果 50m 的价格更合算. 24,解，设每套B湿号的“文房四宝“的标价为x元，根据题意，得90829+30 x 40,解得x=100.经检验，x=100是所列方程的根，且符合题意.答：每套B型号的“文房四 宝”的标价为100元.(2)打折后每套A型号的“文房四宝”的售价为(1+30%)×100×0.9 =117(元)，打折后每套B型号的“文房四宝”的售价为100×0.8=80（元）.设该校买了y套 A型号的“文房四宝”.根据题意，得(117一67)y十(80一50)(100一y)≥3800，解得y≥40. 答：该校至少买了40套A型号的“文房四宝”. 25解：a)是，A+B=昌+待-号+”-+ (x+3)2 2x二2)=2，A与B互为“和整分式”，“和整数值”k=2.(2)①由题意，得C+D=3, x-2 小要+8P-(3要)心-)=-2江4②由@知P=-2江-…D 36第四章质量评估 (时间：120分钟满分：150分)》 宝 一 、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项， 其中只有一个选项正确) 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 敏 答案 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 A.a(x-y)=ax-ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.m2-n2=(m+n)(m-n) 2.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式m-1后得(m 1)( ),则括号中的内容是 A.m+1 B.2m C.m-1 D.m+2 3.将多项式一18xy十81x2十y因式分解的结果是 A.(9x+y)2 B.(9x-y)2 C.(x+9y)2 D.(x-9y)2 4.下列多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是 A.a2b2-1 B.4-0.25a C.-a2+1 D.-a2-b2 5.如果x2一4x+a2可以用完全平方公式因式分解，那么a的值是 A.4 B.2 C.士4 D.±2 6.下列因式分解正确的是 A.-a+a3=-a(1+a2) B.-a2+4b2=(2b+a)(2b-a) C.a2-4=(a-2)2 D.2a-4b+2=2(a-2b) 7.已知x,y满足 z+3y=1则r-9y的值为 x-3y=5, A.-5 B.4 C.5 D.25 8.如果二次三项式x2十ax-一1可因式分解为(x一2)(x+b),那么 a十b的值为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 9.对于任意整数m,多项式(4m十5)2-9都能 A.被8整除 B.被m整除 C.被(m一1)整除 D.被(2m一1)整除 10.将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同 一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图①可得等式： x2+(p十q)x十pg=(x十p)(x十q).将若干张图②所示的卡片 进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2因式分解为( ) 31 X A.(a+b)(2a+b) px B.(a+b)(3a+b) C.(a+b)(a+2b) pq D.(a+b)(a+3b) 图① 图② 11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足ac十a=bc十b,则 △ABC的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 12.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信 息：x-1,a一b,3,x2十1，a,x十1分别对应下列六个字：中，爱， 我，数，学，一，现将3a(x2一1)一3b(x2一1)因式分解，结果呈现 的密码信息可能是 () A.我爱学B.爱一中 C.我爱一中 D.一中数学 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.多项式3x2y3x十9x3y3之一6x4yz2的公因式是 14.因式分解：a3-6a2+9a= 15.已知长方形的长为a,宽为b,周长为28，面积为20，则ab+ab 的值为 16.已知a+b=3,则a2-a十b2一b+2ab+4的值为 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)(1)因式分解：一6mn十12mn2-3n; (2)利用因式分解进行简便计算：17.322一17.32×14.64+7.322 18.(本题满分10分)在4ab十3b2,a2十b2,3a2一4ab这三个整式中， 任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解. —32 19.(本题满分10分)小华同学分解因式9a(x-y)+4b2(y-x)的 过程如下，请认真阅读，并解答下列问题. 解：原式=9a2(x-y)+4b2(x-y)① =(x-y)(9a2+4b2)② =(x-y)(3a+2b)2.③ (1)以上解答过程从第 步开始出现错误；（填序号） (2)请你写出正确的解答过程. 20.(本题满分10分)先因式分解，再代入求值：x(y十x)(y一x) x(x一y)2,其中x=2,y=√3+2. 21.（本题满分10分)在分解因式x2十ax十b时，甲看错了a的值， 分解的结果是(x十1)(x十9)；乙看错了b的值，分解的结果是 (x一2)(x一4)，求x2十ax十b分解因式正确的结果. 一 33— 22.(本题满分10分)如图，在一个边长为acm的正方形木板上挖 掉四个边长为bcm()的小正方形. (1)试用含a,b的式子表示出剩余部分的面积； (2)当a=14.5,b=2.75时，请利用因式分解求剩余部分的 面积. 23.（本题满分12分)阅读下列解题过程： 分解因式：x4十64. 解：原式=x4+16x2+64-16x2 =（x2+8)2-16.x2 =(x2+4x+8)(x2-4x十8). 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)a4+4; (2)x4-43x2y2+81y4. -34 24.(本题满分12分)将x2一xy+xz一yz因式分解 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解：原式=(x2一xy)+（xz一yz) =x(x-y)+z(x-y) =(x-y)(x十). 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法解答下列问题： (1)请用分组分解法将a3-3a2+6a-18因式分解， (2)如图①，小长方形的长为a、宽为b,用5个图①中的小长方 形按照图②的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大 长方形ABCD的周长为16.根据以上信息，先将多项式a2十 4ab十4b2+2a+4b+1因式分解，再求值 ■b 图① 图② 一 35 25.(本题满分12分)我们把多项式a2十2ab+b2及a2一2ab+b叫 作完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如 下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减 去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法 是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能 分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或 求代数式最大值、最小值等问题， 例如，x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=（x+1)2-4=(x+1十 2)(x+1-2)=(x+3)(x-1); 2x2+4x-6=2(x2+2x+1)-8=2(x十1)2-8，则当x=-1 时，2x2十4x一6有最小值，最小值是一8. 根据材料用配方法解答下列问题： (1)若多项式x2一4x十k是一个完全平方式，则常数k的值为 (2)当x为何值时，多项式一2x2一4x十3有最大值？并求出这 个最大值 (3)已知a2+2b2+c2一2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的值. —36