暑假专题训练：直角三角形北师大版2025-2026学年八年级数学下册

**基本信息** 聚焦直角三角形核心知识，通过概念辨析、性质应用、实际情境及综合问题，系统覆盖勾股定理、逆定理及相关应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择2、6、填空13|勾股数判断、逆定理应用|从概念内涵到外延辨析| |性质应用|选择3、11、解答18|角平分线、互余关系|性质推导到几何证明| |实际应用|选择1、4、5、7、9、10、填空15|最短路径、测量问题|数学建模解决现实问题| |综合解答|解答22|动点形成等腰三角形|知识综合与分类讨论|

北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：直角三角形 一、选择题 1.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米 B.6米 C.9米 D.10米 2.有下列说法： ①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形； ②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数． 其中错误的有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A.135° B.150° C.120 D.110° 4.民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米 B.1.2米 C.1.25米 D.1.5米 5.如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（　　） A.30m B.40m C.50m D.60m 6.若3，4，a为勾股数，则a的值为（　　） A. B.5 C.5或7 D.5或 7.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升3cm至点C，则橡皮筋被拉长了（　　） A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 8.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米．新的取水点H与原取水点B相距1.5千米，则新建后比原来少走的路程为______千米．（　　） A.1.5 B.1 C.0.5 D.0.2 9.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm 10.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　） A.20cm B.24cm C.12cm D.14cm 11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，过点A作AB的垂线交BC于点D，DE平分∠ADB交AB于点E．若DE＝4，则AC的长为（　　） A.3 B.4 C. D. 12.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A，B，O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（　　） A.9 B.7 C.5 D.3 二、填空题 13.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　     　． 14.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为                        ． 15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 16.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　          　． 17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”． （1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 　      　； （2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是 　            　． 三、解答题 18.已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C=90°，∠1=∠2．求证：GD∥AC． 19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形． 20.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 21.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 22.如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts． （1）出发3s后，求PQ的长； （2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：直角三角形（参考答案） 一、选择题 1.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米 B.6米 C.9米 D.10米 【答案】C 【解析】由题意可知，∠ACB＝90°， ∵AB＝15米，BC＝12米， ∴AC＝（米）， 故选：C． 2.有下列说法： ①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形； ②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数． 其中错误的有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】A 【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82＝12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②因勾股数必须都是整数，故②说法错误； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c有可能是勾股数，故③说法错误． 故选：A． 3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A.135° B.150° C.120 D.110° 【答案】A 【解析】∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC， ∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA， ∴∠FAB+∠FBA＝ (∠CAB+∠CBA)＝45°， ∴∠AFB=180°-45°=135°． 故选：A． 4.民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米 B.1.2米 C.1.25米 D.1.5米 【答案】A 【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米）， 在Rt△ADE中，由勾股定理得到， AD＝＝＝1.0（米）， 故选：A． 5.如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（　　） A.30m B.40m C.50m D.60m 【答案】C 【解析】根据题意得：∠APB＝180°﹣30°﹣60°＝90°， AP＝3×10＝30（m），BP＝4×10＝40（m）， ∴AB==50(m)， 即10s后他们之间的距离为50m． 故选：C． 6.若3，4，a为勾股数，则a的值为（　　） A. B.5 C.5或7 D.5或 【答案】B 【解析】∵3,4,a为勾股数， ∴当a最大时，此时a＝＝5， 当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数， 故选：B． 7.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升3cm至点C，则橡皮筋被拉长了（　　） A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 【答案】C 【解析】Rt△ACP中，AP＝AB＝4cm，CP＝3cm； 根据勾股定理，得AC＝＝5（cm）； ∴AC+BC﹣AB＝2AC﹣AB＝10﹣8＝2（cm）； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故选：C． 8.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米．新的取水点H与原取水点B相距1.5千米，则新建后比原来少走的路程为______千米．（　　） A.1.5 B.1 C.0.5 D.0.2 【答案】C 【解析】∵AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米， ∴AC2＝（）2＝5，CH2+AH2＝4+1＝5， ∴AC2＝CH2+AH2， ∴△ACH是直角三角形，∠AHC＝90°， ∴BC＝＝＝2.5（千米）， 故2.5﹣2＝0.5（千米）． 故选：C． 9.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm 【答案】C 【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点， ∵AB＝12，BC＝18＝9， ∴装饰带的长度＝2AC＝2×＝30（cm）， 故选：C． 10.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　） A.20cm B.24cm C.12cm D.14cm 【答案】B 【解析】如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半， 作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm， 延长BG，过A'作A'D⊥BG于D， ∵AE＝A'E＝DG＝4cm， ∴BD＝16cm， Rt△A'DB中，由勾股定理得A'D＝＝12（cm）， ∴则该圆柱底面周长为24cm． 故选：B． 11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，过点A作AB的垂线交BC于点D，DE平分∠ADB交AB于点E．若DE＝4，则AC的长为（　　） A.3 B.4 C. D. 【答案】D 【解析】过点A作AG⊥BC于点G， ∵∠C＝45°， ∴∠GAC＝∠C＝45°， ∴GA＝GC， ∴AC=GA； ∵∠B＝30°，∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝60°，∠GAD＝30°， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE＝30°， ∵DE＝4， ∴AE= =2， ∴AD=， ∴GD=， ∴AG=， ∴AC=GA， 故选：D． 12.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A，B，O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（　　） A.9 B.7 C.5 D.3 【答案】A 【解析】如图，分别以OA，OB，AB为边作与Rt△ABO全等的三角形各有3个，则所有符合条件的三角形个数为9，故选A． 二、填空题 13.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　     　． 【答案】15 【解析】设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+82＝172， 解得x＝15， ②172+82＝x2， 解得x＝（不合题意，舍去）， 故答案为：15． 14.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为                        ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 【答案】10 【解析】如图，设大树高为AB＝10米， 小树高为CD＝4米， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米）， 在Rt△AEC中，AC＝＝10（米）， 故答案为：10． 16.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　          　． 【答案】（15，112，113） 【解析】由勾股数组（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，即（13，84，61）， 第7组勾股数中间的数为7×（15+1）＝112，即（15，112，113）， 故答案为（15，112，113）． 17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”． （1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 　      　； （2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是 　            　． 【答案】（1）2024 （2）8190或4536或4563 【解析】（1）∵22+22＝8，8≠20， ∴2022不是“勾股和数”； ∵22+32＝13，13≠20， ∴2023不是“勾股和数”； ∵22+42＝20， ∴2024是“勾股和数”． （2）∵M为“勾股和数”， ∴10a+b＝c2+d2， ∴0＜c2+d2＜100， ∵c+d＝9， ∴＝为整数， ∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数， ∴cd为3的倍数． 又c≠0， ∴①c＝9，d＝0，此时M＝8190； ②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563． 即M的值为8190或4536或4563． 故答案为：8190或4536或4563． 三、解答题 18.已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C=90°，∠1=∠2．求证：GD∥AC． 【答案】证明 ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC（三角形高线的定义）， ∴∠ADC=90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠C=90°（直角三角形两个锐角互余）， 又∵∠2+∠C=90°（已知）， ∴∠2=∠3（同角的余角相等）， 又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1=∠3（等量代换）， ∴GD∥AC（内错角相等，两直线平行）． 19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】证明 ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE=DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B=∠C；∴△ABC为等腰三角形． 20.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 【答案】解 条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F， 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB=∠DAC， ∵EF∥AD， ∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC， ∴∠AGF=∠F． 21.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 【答案】解 （1）∵DE∥BC， ∴∠1=∠2， ∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴CD∥FG， ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB． （2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴FG∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2， ∴DE∥BC． 22.如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts． （1）出发3s后，求PQ的长； （2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【答案】解 （1）当t＝3时，则AP＝3cm，BQ＝2t＝6 cm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm）， 在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）． （2）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16， ∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t， 当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t，解得t＝， ∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形． （3）易知AC=20cm，①当CQ＝BQ时，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10cm， ∴BC+CQ＝22cm， ∴t＝22÷2＝11秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示， 则BC+CQ＝24， ∴t＝24÷2＝12秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示， 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE＝， ∴CE＝＝＝， ∴CQ＝2CE＝14.4cm， ∴BC+CQ＝26.4 cm， ∴t＝26.4÷2＝13.2秒． 综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $