第一章 三角形的证明及其应用 专题特训利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线&专题特训等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】-【精英新课堂·三点分层作业】 2025-2026学年八年级下册数学（北师大版

参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.A2.B3.B4.20° 5.解：∠BAC=95°，∠B=25°，.∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.：∠CAD=75°， .∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°. 6.B7.B 8.两直线平行，同位角相等BDAB=DE SAS全等三角形的对应角相等同位角相 等，两直线平行 9.B10.45°11.50° 12.解：(1)添加条件：∠BAC=∠EDA.理由如下：在△ABC和△DEA中， AB=DE, ∠BAC=∠EDA,.△ABC≌△DEA(SAS).(2)由(1)知△ABC≌△DEA,∴.∠ACB= AC=DA, ∠DAE.∴.∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠BAC=18O°-∠B=70°..∠BAE=∠DAE+ ∠BAC+∠CAD=135°. 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.,∠BPC=90°， ∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP=∠ACB- ∠PCB,∴·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC+∠ACB)- (∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90=90-∠A.(3)解：①30②∠0=号∠A+45.【解 析】由题意，易得∠A十∠ACP=∠P+∠ABP,·∠ACP-∠ABP=90°-∠A.同理可得 ∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A+∠ACO-∠OBA.:BO,CO分别平分 ∠ABP,∠ACP,∠OBA=∠ABP,∠AC0-∠ACP.∠0=∠A+号∠ACP- 号∠ABP=∠A+合(90°-∠A)=合∠A+45. 第2课时三角形内角和定理的推论 1.D2.ACE3.C4.D5.C6.B7.B8.120°9.80° 10.解：(1)∠A=30°，∠ABC=70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.，CE是∠BCD的 平分线，∠BCE=合∠BCD=50.(2):∠BCE=50,∠ABC=70°，∴∠BEC=∠ABC- ∠BCE=20°.DF∥CE,∴.∠F=∠BEC=20. 11.C12.C13.22.5° 14.(1)解：∠B=35°，∠E=25°，.∠DCE=∠B+∠E=60°.：CE平分∠ACD, ∠ACE=∠DCE=60°..∠CAE=180°-∠ACE-∠E=95°.(2)证明：由(1)知∠ACE= ∠DCE.I∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E.∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+ ∠B+∠E=∠B+2∠E. 15.解：(1)①130°②∠1+∠2=70°+∠a(2)∠1=70°+∠2+∠a.理由 如下：'∠1=∠C+∠CFD,∠CFD=∠2+∠a,∴∠1=70°+∠2+∠a (3)答案不唯一，如图，∠1十∠2=430°-∠a.理由如下：连接CP.∠1 ∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE,∴.∠I+∠2=∠DCP+∠DPC+ ∠ECP+∠CPE=∠ACB+360°-∠a=70°+360°-∠a=430°-∠a. 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 母题：解：∠A=40°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°.BP,CP分别平分∠ABC, ∠ACB,∴∠PBC=Z∠ABC,∠PCB=∠ACB.∠BPC=180-(∠PBC+∠PCB)- 180°-号（∠ABC+∠ACB)=10 【延伸问】解：：∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°.：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,∠PBC=∠ABC,∠PCB-∠ACB.÷∠BPC=18O-(∠PBC+ ∠PCB)=180°-2（∠ABC+∠ACB)=90+2. 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴.∠ACD=180°-∠ACB=110°.：BO,CO分别平分 一1 ∠ABC,∠ACD,∠CB0=∠ABC=30,∠DG0=∠ACD=55.∴∠0=∠D00- ∠CB0-25.(2②)∠0-合∠A理由如下：B0,C0分别平分∠ABC,∠ACD,∠CB0 ∠ABC,∠DC0=合∠ACD.&∠0=∠D0-∠CB0=合（∠ACD-∠ABC)= 3∠A 【变式题2】獬：(1)∠C=70°，∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°.∴.∠EAB+∠FBA =360°-（∠CAB+∠CBA)=250°.：AD,BD是△ABC的外角平分线，∴.∠DAB= ∠EAB,∠DBA=合∠FBA.∠DAB+∠DBA=合（∠EAB+∠PBA)=125.:∠D =180°-（∠DAB+∠DBA)=55°.(2）由题意，得∠CAB+∠CBA=180°-∠C..∠EAB +∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+∠C.:AD,BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAB=∠EAB,∠DBA=∠FBA.∴∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)= 90+2∠C.∠D=180-(∠DAB+∠DBA)=90-∠C 第3课时多边形的内角和 1.C2.A3.205°4.1260°5.C6.D7.1440°8.A9.A10.5或6或7 11.解：(1)1140°÷180°=6…60°，则边数是6+1十2=9..小强是在求九边形的内角和. (2)少加的那个内角的度数是180°-60°=120°. 第4课时多边形的外角和 1.C2.C3.D4.A5.809 6解：设多边形的相邻的外角为x由题意，得红十3十一180解得一30a警-12 7.C8.D9.180 10.解：(1)：所经过的路线正好构成一个每个外角都是20°的正多边形，正多边形的边数 为360°÷20°=18.∴.淇淇一共走了18×10=180(m).(2)根据题意，得这个多边形的内角和 是(18-2)×180°=2880°. 专题特训求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(I)证明：连接AO并延长至点M.:∠BOM是△ABO的外角，.∠BOM=∠BAO十∠B ①，：∠COM是△AOC的外角，∴∠COM=∠CAO+∠C②.①+②，得∠BOM+∠COM =∠BAO+∠B+∠CAO十∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.(2)140°(3)解法一：解： 设AB,CD交于点O.:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴∠COB=180°-∠ABC-∠BCD= 70°.∴∠AOD=∠C0B=70°.同(1)，易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD=28°+12°+70°= 110°.解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC=∠ABC十∠BCD=64°十46°= 110°.·∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴.∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE- ∠CDE=70°..∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°.(4）解：如图，连接AD.同(1)，得∠F+ ∠2+∠3=∠DEF③，∠1十∠4+∠C=∠ABC④.③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1十∠4+∠C= ∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°. 9 A3E0130° 4 1002B D 2.180°【变式题1】360°【变式题2】540° 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1.C2.C3.C4.25° 5.解：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=(180-∠BAC)=30.BD=AB, ∠BAD=∠BDA=号180°-∠B)=75.:∠ADC=180-∠BDA=105. 6.D7.D8.5 一2 9.解：，△ABC是等边三角形，，.∠ABC=60°.，·BD是AC边上的高，.∠DBC= 号∠ABC=30.DE=BD,∠E=∠DBC=30.·∠BDE=180-∠E-∠DBC =120°. 10.B11.C12.75° 13.解：(1)△ABC为等边三角形，.∠BAC=60°.AD=AE,AC⊥DE,AC平分 ∠DAE.∠DAC=∠DAE=40.∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=20.(2):AD=AE, ∠ADE=2180°-∠DAE)=50.:△ABC为等边三角形，∠B=60:∠ADC= ∠BAD+∠B=80°.∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=30°. 14.解：(1)，△ABC是等边三角形，∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和 (AB-BC, △BCN中，∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS).∴.∠BAM=∠CBN..∠BQM BM-CN, =∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°.(2)成立.证明如下：'△ABC是等 边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和△BCN中， AB=BC, ∠ABM=∠BCN,∴，△ABM≌△BCN(SAS).∴.∠M=∠N.∠QAN=∠CAM, BM=CN, ∴.∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.A3.A 4.证明：AB=AC,.∠C=∠B=30°.∠DAB=45°，∠ADC=∠B+∠DAB=75 ∴.∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75.∠DAC=∠ADC.∴.CD=AC.△ACD是等腰三 角形. 5.证明：BD平分∠ABC,.∠CBD=∠ABD.,∠ACB=90°，CE⊥AB,.∠CBD+ ∠CDB=9O°，∠ABD+∠BME=9O°.∴.∠CDB=∠BME.,∠BME=∠CMD,∴.∠CDB =∠CMD.∴.CM=CD.∴△CDM是等腰三角形. 6.A7.a与b不平行过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.证明：假设∠B,∠C都是直角或钝角，则∠B≥90°，∠C≥90°..∠B十∠C≥90°十90°= 180°..∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理相矛盾，∴.假设不成立..等腰三 角形的底角都是锐角. 9.B10.D11.212.80 13.(I)证明：，BD是△ABC的角平分线，∠CBD=∠EBD.DE∥BC,∴.∠CBD= ∠EDB.∴·∠EBD=∠EDB..BE=DE.△BDE是等腰三角形.(2)解：CD=DE.理由如 下：'AB=AC,∴∠C=∠ABC.:DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC.∴∠ADE =∠AED.AD=AE.AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)知BE=DE,∴.CD=DE. 14.证明：(1)，AD⊥BC,∴∠BDA=∠CDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD= 90°.AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∴∠B=∠C..AB=AC.(2)延长AD到点E, (DA=DE, 使DE=DA,连接CE.在△ADB和△EDC中，∠ADB=∠EDC,∴.△ADB≌△EDC BD-CD, (SAS)..∠BAD=∠E,AB=CE.,AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD.∴∠E= ∠CAD.AC=CE.AB=AC. 专题特训利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 1.证明：过点A作AF⊥BC于点F.AB=AC,AD=AE,∴.BF=CF,DF=EF.∴.BF DF=CF-EF.∴.BD=CE. 2.证明：连接BD.:△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.D是AC的中点， ÷∠DBE=7∠ABC=30.:CE=CD∠CDE=∠E.:∠ACB=∠E+∠CDE=6o, ∠E=30°=∠DBE..BD=DE.DF⊥BE,BF=EF 3.证明：过点A作AE⊥BC于点E,∴∠AEB=90°.∴∠BAE+∠B=90°.：CD⊥AB, ∴∠DCB+∠B=90°.∴∠DCB=∠BAE.AB=AC,∴∠BAC=2∠BAE.∴.∠BAC= 2∠DCB. 4.2【变式题】D 5.证明：连接BC.:D是AB的中点，AD=BD.CD⊥AB,∴∠CDA=∠CDB=90°.又 3 ,CD=CD,.△ACD≌△BCD(SAS).,.AC=BC.同理可证BC=AB,∴.AC=AB. 专题特训等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 1.102.103.94°【变式题1】50或65°【变式题2150°或65°或80°4.号或号 5.100°或115°或130°6.34°或28或22°7.75°或15°8.35°或55°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.∠BCE=∠B(答案不唯一)3.55 4.证明：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.:AD1AB, AE⊥AC,∴∠BAD=∠CAE=90°..∠ADB=∠AEC=60°.∴.∠EAD=180°-∠ADB- ∠AEC=60°.∠ADE=∠AED=∠EAD..△ADE是等边三角形. 5.B6.C7.5 8.解：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.AD⊥AB, ∴.∠BAD=90°..BD=2AD=12,∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°.∴∠CAD=∠C..CD =AD=6...BC=BD+CD=18. 9.D10.C11.212.√3-1 13.解：(1)：△ABC为等边三角形，∴∠B=60°.：DE∥AB,∠EDF=∠B=60°.，EF ⊥DE,∴∠DEF=90°.∴.∠F=90°-∠EDF=30°.(2)：△ABC为等边三角形，∠A= ∠B=∠ACB=60°.DE∥AB,.∠DEC=∠A=60°，∠EDC=∠B=60°.∠DEC= ∠EDC=∠ECD..△CDE为等边三角形.∴.DE=CD=2.由(I)知∠F=30°，∠DEF= 90°，∴.DF=2DE=4. 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形，∠B=60°.：DQ⊥AB,RQ⊥BC,∴∠B+∠BQD =∠BQD+∠PQR=90°..∠PQR=∠B=60°.同理可得∠PRQ=60°，∴.∠P=180°- ∠PQR-∠PRQ=60°=∠PQR=∠PRQ..△PQR是等边三角形.(2)解：2.4(3)解： ,△ABC是等边三角形..∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等边三角形，∴.DQ= DR.又∠BDQ=∠ARD=90°，.△BDQ≌△ARD(AAS)..BD=AR.:∠ADR=90°- ∠A=30,AD=2AR=2BD.∴AB=BD+AD=3BD=4cm.BD=专cm 专题特训利用平行线巧构等腰三角形解题【通性通法】 1.D2.A3.22 4.(1)证明：，BF,CF分别平分∠ABC,∠ACG,∴.∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG ,DF∥BC,.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG.∴.∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC. ∴.BD=DF,CE=EF.(2)解：BD-CE=DE 5.解：(I)△ODE是等边三角形.理由如下：，△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB= 60°.，OD∥AB,OE∥AC,∴.∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°.，.∠DOE= 180°-∠ODE-∠OED=60°.∴∠ODE=∠OED=∠DOE=60°.∴.△ODE是等边三角形. (2)BO平分∠ABC,OD∥AB,.∠ABO=∠DBO,∠ABO=∠DOB..∠DOB= ∠DBO..BD=OD.同理可证CE=OE,.△ODE的周长为OD十DE十OE=BD十DE十 CE=BC=10. 6.证法一：证明：·AC=BC,∴.∠A=∠B.,DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B. ∴∠CDM=∠M.'CD=CE,∴.∠CDE=∠CED.:'∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED= 180°，∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°..DELDM.DM∥AB,∴.DE⊥AB. 证法二：证明：：CD=CE,∴∠CDE=∠CED.,BN∥DE,∴∠N=∠CDE,∠CBN= ∠CED.∴∠N=∠CBN.:AC=BC,∴.∠A=∠ABC.,'∠A+∠ABC+∠CBN+∠N= 180°，∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN=90°..BN⊥AB.BN∥DE,∴.DE⊥AB. 7.(1)证明：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=60°.E是AB的中点，AE= BE,CE平分∠ACR.∠BCE=合∠ACB=30,:CE=DE∠D=∠BCE=30. ∴∠BED=∠ABC-∠D=30°=∠D.∴BD=BE.BD=AE.(2)解：成立.理由如下：过 点E作EF∥BC,交AC于点F.:△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°. ∴∠DBE=180°-∠ABC=120°.，EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB= 60°，∠CEF=∠ECD.∴.△AEF是等边三角形，∠EFC=180°-∠AFE=120°=∠DBE. AE=EF.:CE=DE,.∠ECD=∠D.∴.∠D=∠CEF.在△DEB和△ECF中， ∠D=∠CEF, ∠DBE=∠EFC,∴.△DEB≌△ECF(AAS)..BD=EF..BD=AE DE-EC, 4 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.A3.84.D5.D 6.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=902-602=4500,在△BCD中，BC+CD2=302 十602=4500，∴.BC2+CD2=BD2..△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°..BC⊥CD. .该车符合安全标准. 7.C 8.解：(1)逆命题：如果a=b,那么a2=b.原命题是假命题，逆命题是真命题.(2)逆命题：如 果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角.原命题是真命题，逆命题是假命题 (3)逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积 相等的三角形原命题是假命题，逆命题是真命题 9.D10.B11.12 12.解：(1)是.理由如下：在△BCH中，CH+BH=2.25,BC=2.25,∴.CH+BH= BC.∴.△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°.∴.CH是从村庄C到河边的最短路线. (2)设AC=AB=xkm,则AH=(x一0.9)km.在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC=AH +CH2,即x2=(x-0.9)2+1.22,解得x=1.25..原来的路线AC的长为1.25km. 13.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角 三角形.逆命题是真命题，证明过程如下：已知：如图，△ABC的 两条角平分线AD,BE交于点O,且∠AOE=45°.求证：△ABC 是直角三角形.证明：，AD是∠CAB的平分线，BE是∠ABC 的平分线，·∠0AB=合∠CAB,∠0BA=合∠ABC ∠OAB+∠OBA=(ZCAB+∠ABC.:∠AOE=∠OAB+∠OBA=45,∴∠CAB 十∠ABC=90°.∴.△ABC是直角三角形. 14.8 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.40° 4.证明：(1)，BE⊥AC,DF⊥AC,∠AEB=∠CFD=90°.，AF=CE,.AF-EF=CE- EF,即AE=CF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， AB=CD:R△ABE≌R△CDF(HL). AE=CF, (2),△ABE≌△CDF,.∠A=∠C..AB∥CD 5.D 6.解：(1)二(2)：∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和△EOC f∠BDO=∠CEO, 中，∠DOB=∠EOC,∴.△DOB2△EOC(AAS).'.OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO OB=OC, OA=OA,:.R△ADO2R△AEO(HL).∠1=∠2. 中，{OD=OE, 7.C8.79.5或10 10.(I)证明：AM⊥BC,DN⊥BC,∠AMB=∠DNC=90°.BN=CM,.BN+MN=CM +MN,即BM=CN.又，AB=DC,∴.Rt△ABM≌Rt△DCN(HL).(2)解：由(I)知Rt△ABM ≌Rt△DCN,.AM=DN..∠AMO=∠DNO=90°，∠AOM=∠DON,∴.△AOM≌△DON (AAS.0M=ON.'BN=CM=4,OM=合MN=合(BC-BN-C0=4 f∠B=∠D, 11.解：(1)在△ABC和△EDC中，BC=DC, ∴.△ABC≌△EDC(ASA)..AB= ∠ACB=∠ECD, DE.∴.D,E两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.(2)在过点B且与AB垂直的方向上 取一点C,用测角仪测得∠ACB=∠BCD,且点D在AB的延长线上，那么B,D两点间的距 ∠ABC=∠DBC, 离就是路灯A,B之间的距离.理由如下：在△ABC与△DBC中，BC=BC, ∠ACB=∠DCB, .△ABC≌△DBC(ASA)..AB=BD. 专题特训共顶点的等腰三角形一手拉手模型 1.证明：.BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.∴.∠ABC=180°一 -5 ∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE. N∠BAC=∠BDE,·∠ABC=∠DBE..∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD BA=BC, =∠CBE.在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,.△ABD≌△CBE(SAS).∴.∠BAD BD=BE, =∠BCE. 2.(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE =6O°.∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：由(I)知△ABD≌△ACE,∴.BD=CE AD=AE, =3.△ADE是等边三角形，.DE=AE=2.∴.BE=BD十DE=5. 3.证明：(1)△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC,AD=AE.∠BAC= ∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.在△ABE和 AB=AC, △ACD中，∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS).(2)由(1)知△ABE≌△ACD, AE-AD, ∠B=∠ACD.∠BAC=90°，∴.∠B+∠ACB=90°..∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD =90°..CD⊥BE. 4.证明：，△ABC和△CDE都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60, ∴.∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°，∠ACD=∠BCE=120°.在△ACD和△BCE中， CA=CB, ∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS).∴.∠DAC=∠EBC.在△ACM和△BCN中， CD=CE, ∠MAC=∠NBC, CA=CB, .△ACM≌△BCN(ASA).∴.CM=CN.:∠MCN=60°， ∠ACM=∠BCN=60°， ∴.△CMN是等边三角形. 5.解：(1)①120°②AE=BD(2)①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB= ∠DCE=9O°，∴.CA=CB,CE=CD,∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ACE= ∠BCD.∴.∠CDE=∠CED=45°.∴∠CDB=180°-∠CDE=135.在△ACE和△BCD中， CE=CD, ∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌△BCD(SAS).∴.∠CEA=∠CDB=135°.∴.∠AEB= CA=CB, ∠CEA一∠CED=90°.②CM+AE=BM.理由如下：，CM为△DCE中DE边上的高， ∴.∠CMD=90°.∴∠DCM=90°-∠CDE=45°..∠CDE=∠DCM.∴.CM=DM.由①知 △ACE≌△BCD,∴.AE=BD.∴.CM+AE=DM+BD=BM. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.D2.C3.C【变式题D 4.解：DE是BC的垂直平分线，∴.DE⊥BC,BE=EC,CD=BD.∴Rt△CED≌Rt△BED (HL).∴∠C=∠DBE.·BD是∠ABC的平分线，.∠ABE=2∠DBE=2∠C.∠A= 90°，∴.∠C+∠ABC=90°，即∠C+2∠C=90°.∴∠C=30°. 5.D6.2 7.证明：AD垂直平分BC,∴.BD=CD,AB=AC.AB+BD=DE,AC+CD=DE ,DE=CD十CE,∴AC=CE.∴点C在线段AE的垂直平分线上. 8.c941og 11.(1)证明：EF垂直平分AC,AE=CE.AD⊥BC,BD=DE,∴.AD垂直平分BE. .AB=AE.∴.AB=CE.(2)解：△ABC的周长为32cm,.AB+BC+AC=32cm,AC= 12 em..AB+BC-20cmAB-CE,BD-DE,.CD-DE+CE-(AB+-10m (BE=BE, 12.证明：：ED⊥AB,∴∠EDB=∠ECB=90°.在Rt△BDE和Rt△BCE中， BD=BC, .Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).∴.ED=EC.∴点E在线段CD的垂直平分线上，：BD= BC,点B在线段CD的垂直平分线上.∴BE垂直平分CD. 6专题特训 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 类型个利用等腰三角形的“三线合一”作辅 类型2逆用“三线合一”构造等腰三角形 助线 方法点拨：如图，在△ABC中，有下列条件： 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在边 :①AD平分∠BAC;②AD⊥BC;③AD为 BC上，且AD=AE.求证：BD=CE.(利用 BC边上的中线，知其中任意两个，易证 D 等腰三角形“三线合一”证明) △ABD≌△ACD,进而可得△ABC为等腰三角形. 简言之：三角形一边上的“两线合一”，必等腰 注：此结论在小题里可直接用，解大题时需要写出推 理过程，直接用会扣步骤分 C 4.如图，在△ABC中，AB<BC,BP平分∠ABC, AP⊥BP于点P,连接PC.若△ABC的面积 为4，则△BPC的面积为 2.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中 D 点，延长BC至点E,使CE=CD,连接DE, B∈ DF⊥BC于点F,求证：BF=EF (第4题图) (变式题图) 【变式题】如图，在△ABC中，CD平分 ∠ACB,BD⊥CD于点D,∠ABD=∠A.若 BD=1,BC=3,则AC的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD⊥ AB,BE⊥AC,CD与BE交于点F.求证： AC=AB. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点 D.求证：∠BAC=2∠DCB. 第一章三角形的证明及其应用 13 专题特训 等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 类型个腰或底指向不明求等腰三角形的腰 6.有一张三角形纸片ABC,∠A=68°，D是 长问题 AC边上的点，沿BD将三角形纸片ABC剪 1.(2025·宿迁中考)若等腰三角形的两边长 开后，发现所得两部分均为等腰三角形，则 为2cm和4cm,则该等腰三角形的周长为 ∠C的度数为 cm. 2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角 思维呈现：分三种情况讨论： 形的周长分成9和15两部分，则等腰三角形 ①若AB=BD,BD=CD,如图①； 的腰长为 ②若AB=AD,BD=CD,如图②； 类型2腰或底（顶角或底角）指向不明求角 ③若AD=BD,BD=CD,如图③ 的度数问题 易错点拨：由三角形的内角和，易知等腰三角形的底角 只可能为锐角， 图① 图② 图③ 3.若等腰三角形的一个内角为94°，则它的顶 角的度数为 类型3当三角形形状不确定时需分类讨论 【变式题1】等腰三角形的一个内角为50°，则这 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 个等腰三角形的底角的度数为 60°，则底角的度数为 【变式题2】在等腰三角形ABC中，∠A 8.已知等腰三角形两腰上的高所在直线的夹 50°，则∠B的度数为 角中较小角的度数为70°，则该三角形的底 思维呈现： 角的度数为 △ABC (∠A为顶角→∠B为底角 为等腰 类型④与等腰三角形的个数有关的问题 讨论 ∠B为底角 ∠A为底角 9.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD 三角形 ∠B为顶角 平分∠ACB,DE∥AC,则图中等腰三角形的 4.新趋势新定义定义：等腰三角形的顶角与其 一个底角的度数的比值k称为这个等腰三 个数为 角形的“特征值”.在等腰三角形ABC中，若 A.2 B.3 ∠A=40°，则它的“特征值”k为 C.4 D.5 5.(2025·遵义期中)如图，已知∠ABC=50°， P是射线BC上的一个动点，若△ABP为等 腰三角形，则∠APC的度数为 (第9题图) (第10题图) 10.如图，在3×3的正方形网格中，点A,B在格 思维呈现： 点上.若点C也在格点上，且△ABC是等腰三 △ABP AP=BP→∠B=∠BAP 角形，则符合条件的点C的个数为( ) 为等腰 AB=BP'→∠BAP'=∠AP'B A.1 B.2 三角形 AB=AP→∠B=∠AP"B C.3 D.4 14 数学八年级下册北师大版