1.2 第1课时 等腰三角形的性质与等边三角形的性质-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.A2.B3.B4.20° 5.解：∠BAC=95°，∠B=25°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.∠CAD=75°， .∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°. 6.C7.B 8.两直线平行，同位角相等BDAB=DE SAS全等三角形的对应角相等同位 角相等，两直线平行 9.B10.45°11.50° 12.解：(1)添加条件：∠BAC=∠EDA.理由如下：在△ABC和△DEA中， AB=DE, ∠BAC=∠EDA,.△ABC≌△DEA(SAS).(2)由(1)知△ABC≌△DEA,∴.∠ACB AC=DA, =∠DAE.∴.∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠BAC=180°-∠B=-70..∠BAE= ∠DAE+∠BAC+∠CAD=135°. 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.:∠BPC=90°， .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.：∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= ∠ACB-∠PCB,∴·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O =号∠A+45.【解析】由题意，易得∠A+∠ACP=∠P+∠ABP,·∠ACP-∠ABP =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A+∠ACO-∠OBA. :B0,C0分别平分∠ABP,∠ACP,∴∠OBA=号∠ABP,∠AC0=号∠ACP.∴∠O =∠A+号∠ACP-合∠ABP=∠A+号(90°-∠A)=2∠A+45. 第2课时三角形内角和定理的推论 1.D2.ACE3.C4.D5.C6.B7.B8.120°9.80° 10.解：(1)，∠A=30°，∠ABC=70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.：CE是∠BCD 的平分线，∴∠BCE=号∠BCD=50.(2):∠BCE=50,∠ABC=70,∠BEC= ∠ABC-∠BCE=20°.'DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°. 11.C12.C13.合格 14.(1)解：∠B=35°，∠E=25°，.∠DCE=∠B+∠E=60°.CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE=60°.∴.∠CAE=180°-∠ACE-∠E=95°.(2)证明：由(1)知 ∠ACE=∠DCE.:∠DCE=∠B+∠E,∴.∠ACE=∠B+∠E.∴，∠BAC=∠E+ ∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E. 15.解：(1)①130°②∠1+∠2=70°+∠a(2)∠1=70°+∠2十∠a.理由如下：∠1 =∠C+∠CFD,∠CFD=∠2+∠a,∴∠1=70°+∠2+∠a.(3)答案 不唯一，如图，∠1十∠2=430°-∠a.理由如下：连接CP.:∠1= ∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE,∴∠1+∠2=∠DCP+ ∠DPC+∠ECP+∠CPE=∠ACB+360°-∠a=70°+360°-∠a= 430°-∠a. 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型 【回归教材·一题一课】 母题：解：∠A=40°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°.：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,∴∠PBC= 号∠ABC,∠PCB=号∠ACB.∴∠BPC=180°-（∠PBC 一1 +∠PCB)=180°-2（∠ABC+∠ACB)=110. 【延伸问】解：∠A=n°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°.，BP,CP分别平 分∠ABC,∠ACB,∠PBC=∠ABC,∠PCB=号∠ACB.“∠BPC=180 (∠PBC+∠PCB)=180-2(∠ABC+∠ACB)=90+Z 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0,C0分别平 分∠ABC,∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=∠ACD=5:∠0 ∠DC0-∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：：B0,C0分别平分∠ABC, ∠ACD,∠CB0=∠ABC,∠DC0=号∠ACD.·∠0=∠DC0-∠CB0= (∠ACD-∠ABC=∠A. 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，∴.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°.∠EAB+ ∠FBA=360°-（∠CAB十∠CBA)=250°.：AD,BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAB=是∠EAB,∠DBA=∠FBA.÷∠DAB+∠DBA=是（∠EAB+ ∠FBA)=125°..∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=55°.(2）由题意，得∠CAB+ ∠CBA=180°-∠C..∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+∠C. :AD,BD是△ABC的外角平分线，∠DAB=名∠EAB,∠DBA=7∠FBA ·∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=90+专∠C∠D=180°-（∠DAB+ ∠DBA)=90°-2∠C 第3课时多边形的内角和 1.C2.A3.205°4.1260°5.C6.D7.1440°8.A9.A10.5或6或7 11.解：(1)1140°÷180°=6…60°，则边数是6十1十2=9..小强是在求九边形的内角 和.(2)少加的那个内角的度数是180°-60°=120°. 第4课时多边形的外角和 1.C2.C3.D4.A5.80° 6.解：设多边形的相邻的外角为x.由题意，得4x十30°+x=180°，解得x=30°..n= 8-12. 7.C8.D9.180 10.解：(1)：所经过的路线正好构成一个每个外角都是20°的正多边形，∴正多边形的 边数为360°÷20°=18..淇淇一共走了18×10=180(m).(2)根据题意，得这个多边形 的内角和是(18-2)×180°=2880°. 专题特训求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M.:∠BOM是△ABO的外角，∠BOM=∠BAO +∠B①，：∠COM是△AOC的外角，∴.∠COM=∠CAO+∠C②.①+②，得∠BOM +∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.(2)140° (3)解法一：解：设AB,CD交于点O.:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴∠COB=180°- ∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.同(1)，易得∠AED=∠A+∠D+ ∠AOD=28°+12°+70°=110°.解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC= ∠ABC+∠BCD=64°+46°=110°.，∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴∠DAE+∠ADE =(∠DAB+∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE) =110°.(4)解：如图，连接AD.同(1)，得∠F+∠2+∠3=∠DEF③，∠1+∠4+∠C= ∠ABC④.③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+ 100°=230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°. —2 人 A3E0130 4 1002B D 2.180°【变式题1360°【变式题2】540 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1.B2.C3.C4.25 5.证明：：AB=AC,AD是△ABC的角平分线，.∠B=∠C,AD⊥BC.AF⊥AD, .AF∥BC..∠1=∠B,∠C=∠2..∠1=∠2. 6.D7.D8.5 9.解：△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°.BD是AC边上的高，.∠DBC= 合∠ABC=0.:DE=BD,÷∠E=∠DBC=30.∠BDE=1s0-∠E-∠DC =120° 10.B11.C12.75° 13.解：(1)：△ABC为等边三角形，∴.∠BAC=60°.AD=AE,AC⊥DE,∴AC平分 ∠DAE.∴∠DAC=∠DAE=40∠BAD=∠BAC-∠DAC=20.(2):AD= AE,∠ADE=号(180-∠DAE)=50.:△ABC为等边三角形，∠B=60 ∠ADC=∠BAD+∠B=80°.∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=30°. 14.解：(1)，△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和 AB=BC, △BCN中，∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS).'.∠BAM=∠CBN. BM=CN, ∴.∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°.(2)成立.证明如下： :△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和△BCN中， AB=BC, ∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS)..∠M=∠N.:∠QAN=∠CAM, BM=CN, ∴.∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.A3.A 4.证明：AB=AC,∴∠C=∠B=30°.，∠DAB=45°，.∠ADC=∠B+∠DAB= 75°..∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75°.∴.∠DAC=∠ADC..CD=AC.∴.△ACD 是等腰三角形 5.证明：BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.,∠ACB=90°，CE⊥AB,∠CBD+ ∠CDB=90°，∠ABD+∠BME=9O°.∴.∠CDB=∠BME.∠BME=∠CMD, ∠CDB=∠CMD..CM=CD.∴△CDM是等腰三角形. 6.A7.a与b不平行过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.证明：假设∠B,∠C都是直角或钝角，则∠B≥90°，∠C≥90°.∴.∠B+∠C≥90°+ 90°=180°.∠A十∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理相矛盾，.假设不成 立.∴等腰三角形的底角都是锐角. 9.B10.D11.212.80 13.(1)证明：BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD.DE∥BC,.∠CBD =∠EDB.∠EBD=∠EDB.BE=DE.△BDE是等腰三角形.(2)解：CD=DE. 理由如下：AB=AC,.∠C=∠ABC.DE∥BC,.∠ADE=∠C,∠AED= ∠ABC.∴∠ADE=∠AED.∴.AD=AE.AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)知 一 32 等腰三角形 第1课时 等腰三角形与等边三角形的性质 ①分点训练 。夯实基础 知识点2等边三角形的性质 知识点个等腰三角形的性质 6.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC 1.若等腰三角形的顶角是120°，则该等腰三角 上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( ) 形底角的度数是 A.25 A.20° B.30° C.35° D.40° B.60° C.85° 2.情境题日常生活)如图，衣架可以近似看成等 D.95 腰三角形ABC,其中AB=AC,AD⊥BC于 7.如图，AD是等边三角形ABC的中线，下列 点D.若BC=44cm,则BD的长为 ( 结论错误的是 () A.44 cm A.∠B=60° B.∠BAD=30° B.40 cm D.AD=BC C.22 cm C.∠ADB=909 D.20 cm 3.(西藏中考)如图，△ABC为等腰三角形，AB= AC,D是BC延长线上的一点，∠ACD= B D B (第7题图) (第8题图) 110°，则∠A的度数为 A.70° 8.如图，在等边三角形ABC中，CD平分∠ACB. B.55° C.40° D.35° 若AC=10cm,则BD的长为cm 9.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上 的高，延长BC至点E,使DE=BD.求 D ∠BDE的度数、 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，AB=AC.若D是BC的 中点，∠C=65°，则∠CAD的度数为 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC 的角平分线，AF⊥AD,垂足为A.求证： ∠1=∠2. 9数学八年级下册北师大版 B综合运用 。提升能力 C创新拓展 ⊙发展素养 10.如图，直线L∥m,等边三角形ABC的两个顶 14.逻辑推理类比探究（教材P21习题T4变式） 点B,C分别落在直线L,m上.若∠ABE= 如图①，△ABC是等边三角形，M是线段 21°，则∠ACD的度数是 BC上一点，N是线段AC上一点，BM= A.45 E CN,直线BN与AM相交于点Q. B.39° (1)求∠BQM的度数. C.29° D (2)如图②，若M,N两点分别在线段BC, D.21° CA的延长线上，其他条件不变，(1)中 11.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D 的结论是否仍然成立？若成立，请加以 是边BC上的一点.下列条件不能说明AD 证明；若不成立，请说明理由， 是△ABC的角平分线的是 () A.∠ADB=∠ADCB.BD=CD C.BC=2AD D.S△ABD=S△AcD 图① 图② (第11题图) (第12题图) 12.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°， BD=BC,则∠1的度数是 13.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上 一点，以AD为边作等腰三角形ADE,使 AD=AE.若AC⊥DE于点F,∠DAE=80°. (1)求∠BAD的度数； (2)求∠FDC的度数. 第一章三角形的证明及其应用 10