专题01 正余弦定理解三角形（6大题型专项训练）数学人教B版必修第四册

专题01 正余弦定理解三角形（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正弦定理解三角形 1 题型二、余弦定理解三角形 9 题型三、正、余弦定理结合解三角形（重点） 19 题型四、三角形解的个数问题（难点） 30 题型五、三角形形状判断问题 37 题型六、三角形中的恒等式与不等式证明 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正弦定理解三角形 1．在中，，则（    ） A． B． C． D．或 2．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 5．设中，，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 8．（多选）在 中，．若，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 9．在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 10．在中，已知，，，则______. 11．在中，，是边上一点，且，若，则________． 12．在中，，，，则此三角形的最短边的长度是___________. 13．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，，求a，b和B． 14．设的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. 15．在中，角为锐角，． (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，且，求的值． 16．在中，角的对边分别为. (1)求； (2)若的最长边长度为4，求最短边的长度. 17．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 题型二、余弦定理解三角形 1．在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 4．在中，角所对的边分别为．若，则 =（   ） A． B． C． D． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 8．在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 9．已知钝角三角形中，角的对边分别为，若，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 11．在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 13．在中，内角，的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C． D． 14．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 15．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．的三边之比为，则最大角的余弦值为__________，较大锐角的角平分线分三角形的面积比是__________． 17．在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)证明：． 18．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 题型三、正、余弦定理结合解三角形（重点） 1．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（   ） A． B． C． D． 8．已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 9．在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 11．在△中，内角所对的边分别为，且 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 12．在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．在中，，则（   ） A． B． C． D． 14．在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 15．在中，分别为角的对边，已知，则（   ） A．5 B．8 C． D． 16．在中，内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C． D． 17．在中，内角的对边分别为，已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.则（    ） A． B． C． D． 19．在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型四、三角形解的个数问题（难点） 1．的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 3．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（    ） A．①④ B．②③ C．④⑤ D．②④⑤ 7．在中角所对的边分别为，若，，，则（     ） A．当时， B．当时，有两个解 C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解 8．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 9．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 10．中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（    ） A．①只有一个解，②有两个解 B．①有两个解，②只有一个解 C．①②都只有一个解 D．①②都有两个解 12．在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．命题：“若与满足：，则．已知是真命题，则的值不可以是（    ） A． B．2 C．3 D．4 14．命题：“若与满足：，则”．已知命题是真命题，则的值不可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 15．下列命题不正确的是（    ） A．若非零向量，，满足，，则 B．向量，共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得成立 C．在中，，，，则该三角形不存在 D．若，，为锐角，则实数m的取值范围是 题型五、三角形形状判断问题 1．在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 2．在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 3．在 中， 若， 则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则三角形为锐角三角形 5．已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 6．中，“”是“是以为的直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D．是钝角三角形 8．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 9．记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 10．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 11．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰三角形 D．对任意，都有 12．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 13．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 14．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 15．（多选）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则（   ） A．为锐角三角形 B． C．若，则 D． 16．（多选）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论中正确的是（     ） A．，，则的外接圆半径是4 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则为直角三角形 D． 17．（多选）设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（ ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 18．在中，已知，则的形状为______ 19．在中，若，则一定是______三角形． 20．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是________（填上所有正确的序号） ①若，，则一定是等边三角形 ②若，则一定是钝角三角形 ③若，则一定是等腰三角形 ④若，则一定是直角三角形 题型六、三角形中的恒等式与不等式证明 1．在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ）. A． B． C．或 D．或 5．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 7．在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 9．在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.求证：. 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 11．在中， 角的对边分别为， 若． (1)求证： ； (2)对， 请你给出一个的值， 使不等式成立或不成立，并证明你的结论． 12．在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 13．已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 1．的内角所对的边分别是，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 3．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B．2 C．2 D．的最大值为 4．（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（湖南常德市2025-2026学年下学期高三年级模拟考试（二模）数学试卷）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A． B． C． D．3 6．（25-26高三上·辽宁·期中）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 7．在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（    ） A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形 8．下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（多选）已知不是直角三角形，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的最小值为4 C．若，则 D． 10．已知的三边长，三内角为．求证：． 11．已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 12．在锐角中，所对边分别为，满足且.    (1)求； (2)若点为的垂心，，，则求线段的长度. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 正余弦定理解三角形（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正弦定理解三角形 1 题型二、余弦定理解三角形 9 题型三、正、余弦定理结合解三角形（重点） 19 题型四、三角形解的个数问题（难点） 30 题型五、三角形形状判断问题 37 题型六、三角形中的恒等式与不等式证明 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正弦定理解三角形 1．在中，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理，可得， 又，故或. 2．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以. 又因为中，，由正弦定理得， 所以. 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 故选：C 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B. 5．设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 6．在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 又，所以，则， 又，，所以，所以，则， 又，解得， 所以， 即的最短边与最长边之比为. 故选：C 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以，所以. 将及，代入余弦定理 可得，即，解得， 因为是三角形的边长，所以. 故选：A 8．（多选）在 中，．若，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】AD 【详解】由，可得， 因为，可得， 整理得，所以或， 当时，因为，所以， 又因为，所以，可得； 当时，． 故选：AD. 9．在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 【答案】 【详解】由正弦定理可得，则. 10．在中，已知，，，则______. 【答案】 【详解】由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 11．在中，，是边上一点，且，若，则________． 【答案】/0.5 【详解】不妨设， 则，由题知， 又因为, 所以 ， 即有， 整理得，解得或（舍）， 所以． 故答案： 12．在中，，，，则此三角形的最短边的长度是___________. 【答案】/ 【详解】在中，，，，故为最短边， 又，由正弦定理，得，解得. 故答案为：. 13．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，，求a，b和B． 【答案】，， 【详解】因为，，，所以． 由，得． 由，得． 14．设的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为在的内， 所以 则， 可得， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. （2）因为，所以. 由（1）可知， 则. 如图，设， 则. 在中，，即， 在中，由正弦定理得， 可得 ， 又因为，所以， 又，故， 即， 可得，即， 故，故为锐角， 又，为锐角，则， 所以的值为. 15．在中，角为锐角，． (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），又， ， ，                  ， ，                    ， ，又为锐角，. （2），，                  在中，，① 在中，， ，② 由①和②，得，                  ，又， ， ， . 16．在中，角的对边分别为. (1)求； (2)若的最长边长度为4，求最短边的长度. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得 又 代入整理得，且， 结合，计算可知或1（舍去） 故. （2）由（1）知：，即是钝角， 故最长边为，由题意得， 因为，所以， 则， 所以最小角为，最短边为， 由正弦定理得，则，解得. 17．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 【答案】(1) (2)或2 【详解】（1）由，得． 因为， 所以转化为， 所以． 因为，所以．因为，所以． （2）由正弦定理，得． 所以或． ①当时，由，得，所以； ②当时，由，得， 所以． 综上可得或2． 题型二、余弦定理解三角形 1．在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可得 ，故． 2．在中，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得． 故选：A. 3．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，因此，而，， 由余弦定理得， 所以. 4．在中，角所对的边分别为．若，则 =（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得. 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，. 6．在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 7．已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【详解】在矩形，，为中点，为靠近的三等分点，则， 如图所示， 则，，， 在中，利用余弦定理可得，， . 故选：C. 8．在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 9．已知钝角三角形中，角的对边分别为，若，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角. 由余弦定理得， ∴，解得. 又中，两边之和大于第三边，即，∴. 综上，实数k的取值范围是，故D正确. 故选：D 10．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【详解】， . 故选:B 11．在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题可知最大边长与最小边长不相等，故最大角大于，最小角小于， ∴第三边即为a，且，， ， . 故选：C． 12．中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 故选：C． 13．在中，内角，的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理，得； 由，得. 所以，所以. 因为，所以. 故选：C. 14．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以，又， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：A. 15．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为， 所以，即在方向上的投影长度为1， 设的中点为E，则，连接DE，DA，DC，DB， 所以，所以， 则, 当B、D、C三点共线时取等号， 故选：A 16．的三边之比为，则最大角的余弦值为__________，较大锐角的角平分线分三角形的面积比是__________． 【答案】 （或） 【详解】不妨设，，，则最大角为， 且． 因为，故为钝角，则为较大锐角．设的平分线交于， 设的面积为，的面积为， 则． 故答案为：；（或） 17．在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，整理，得. 在中，由余弦定理，得. 把代入上式，得， 因为，所以. 在中，由正弦定理，得 （2）在中，由余弦定理，得 因为，所以. 18．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得． 由，得． 由余弦定理，，，， 代入并整理得，故． （2）在中，已知，，， 则由余弦定理的推论得． 因为，所以为直角三角形，则， 即，解得． 题型三、正、余弦定理结合解三角形（重点） 1．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由余弦定理得， 又，所以，所以， 所以由正弦定理得． 2．在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，根据正弦定理，得，即：， 代入，得：，所以， 所以由余弦定理得： ， 故选：D . 3．中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 由正弦定理得，故A正确. 故选：A. 4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由正弦定理得， 又，由余弦定理得， . 故选：A. 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，由正余弦定理得， 即，化简得 故选：A 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由正弦定理知，，所以，. 所以，又，所以. 在中，. 因为为的中点，所以. 在中，. 在中，. 7．已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A： 因为，则， 由正弦定理：，所以 ， 只有当（即，不可能）时，故A错误； 选项B：因为，所以， 又因为，所以，即， 化简可得：， 若，则，即； 若，则，，，，， 此时，也成立，故B正确； 选项C：因为，则， 所以，只有当时才相等，故C错误； 选项D：因为，由正弦定理可得，D错误. 8．已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ， 则 ， ； 由正弦定理可得 （ 为 外接圆半径）， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. 9．在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理， 代入， ， 因此. 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以. 11．在△中，内角所对的边分别为，且 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得：， 又， 即， 所以， 故选：D 12．在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知及余弦定理，得，即. 由正弦定理，得，则， 即，即， 所以，或,即或（舍去）. 因为角A，B，C都为锐角，则，且，所以. 故选：B 13．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得，，即， 所以. 故选：A. 14．在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ， 由正弦定理得：， 由余弦定理，， 又为三角形内角，所以. 故选：D 15．在中，分别为角的对边，已知，则（   ） A．5 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得，， 因为， 所以，即， 即， 在，，， 所以，所以，即， 所以，即，解得或（舍）， 故选：A. 16．在中，内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 由，得，则， 所以，且， 由 ， 得 ， 所以 ， 所以， 故选：B． 17．在中，内角的对边分别为，已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由及正弦定理得，即，则， 令，由，得，由余弦定理得 ，由，得，因此， 整理得，解得，所以的取值范围为. 故选：C 18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及正弦定理可得，， 由及余弦定理可得， 所以，所以，故， 又，故，所以，所以， 所以. 故选：D 19．在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以由正弦定理， 得，所以. 因为，所以. 所以，即. 又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以. 所以，所以. 由余弦定理， 得，解得. 因为，所以. 题型四、三角形解的个数问题（难点） 1．的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理有，即，即有两解， 因为，所以，从而，解得. 故选：C. 2．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 3．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为， 在中，设，则，得， 于是，解得，，． 由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动， 故，可得， 故选：B． 4．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 故选：C 5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三角形中，，如图， 当有两解时，， 即，即. 故选：A. 6．在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（    ） A．①④ B．②③ C．④⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【详解】    根据已知，，可知三角形边上的高， 所以要使得存在且唯一确定的解，则或， 故有②④⑤满足， 故选：D. 7．在中角所对的边分别为，若，，，则（     ） A．当时， B．当时，有两个解 C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解 【答案】C 【详解】因为，，， 所以由正弦定理，即， 当时，又，所以或，故A错误； 当时，又，此时无解，故B、D错误； 当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确； 故选：C 8．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，因为，所以，故A错误； B选项，因为，所以， 且，所以，所以或，故有两解，故错误； C选项，，故C错误； D选项，因为，所以，有唯一解，故D正确. 故选：D. 9．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 10．中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】判断充分性， 由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立.   判断必要性， 若有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，.   所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立.   则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（    ） A．①只有一个解，②有两个解 B．①有两个解，②只有一个解 C．①②都只有一个解 D．①②都有两个解 【答案】A 【详解】对于①：由正弦定理可知， 因为，所以，则①只有一个解； 对于②：由正弦定理可知， 且，则有两解，因此②有两个解； 故选：A 12．在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 由题意可知：关于A的方程：在有两解， 在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，    因为它们有两个不同的交点，所以，所以. 故选：C. 13．命题：“若与满足：，则．已知是真命题，则的值不可以是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为是真命题，所以有唯一解， 由正弦定理可知，， 当时，，，角有唯一解，即有唯一解； 当时，，，角有两解，即有两解； 当时，，，角有唯一解，即有唯一解； 当时，，角无解，即无解； 所以的值可以是,2,4，的值不可以是3. 故选：C. 14．命题：“若与满足：，则”．已知命题是真命题，则的值不可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】 在中，由已知可得，. 又，所以为锐角. 由正弦定理可得，， 所以，. 要使命题是真命题，则有唯一满足条件的解. 若，则，显然有唯一满足条件的解； 若，则，满足； 若，且，即， 即，此时有两解满足条件，此时命题是假命题； 当时，此时有，有唯一解，满足； 当时，此时有，显然无解，不满足. 综上所述，当或时，命题是真命题. 故选：D. 15．下列命题不正确的是（    ） A．若非零向量，，满足，，则 B．向量，共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得成立 C．在中，，，，则该三角形不存在 D．若，，为锐角，则实数m的取值范围是 【答案】B 【详解】若，则共线，，则共线，由于，，是非零向量，则共线，于是，故A正确； 若向量为零向量，为非零向量，则，共线时，不存在实数，使得成立，故B不正确； 在中，，，，由正弦定理得，解得，所以该三角形不存在，故C正确； 若，，又不同时成立， 则， 又为锐角，则，解得， 当共线时，根据共线的充要条件：，得，说明时两个向量不可能共线，于是，故D正确． 故选:B. 题型五、三角形形状判断问题 1．在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】A 【详解】， 则， 即， 则，由，则，故， 即的形状为直角三角形. 故选：A. 2．在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 3．在 中， 若， 则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为， 由有， 利用正弦定理有：，即， 由余弦定理有，所以是钝角三角形， 故选：C. 4．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则三角形为锐角三角形 【答案】B 【详解】A：由，错； B：由，则，又，则，对； C：对于钝角三角形，若，此时，错； D：由，则，故， 所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错. 故选：B 5．已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 6．中，“”是“是以为的直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即，则或， 因此是以为顶角的等腰三角形或以为直角的直角三角形， 所以“”是“是以为的直角三角形”的必要不充分条件. 故选：B 7．已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D．是钝角三角形 【答案】B 【详解】由题意有：， 所以， 所以，即，故A正确； 由，所以或，而，即， 由，又， 又因为，所以，即，所以是钝角三角形，故D正确，B错误； 又，所以，故C正确； 故选：B. 8．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】， ，即， 由正弦定理及余弦定理得，， ∵，∴， 又，，整理得， 因为，，所以， 所以，为等腰三角形． 故选：C． 9．记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 10．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 11．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰三角形 D．对任意，都有 【答案】B 【详解】对于A，由，根据正弦定理得，则，故A正确； 对于B，由，根据正弦定理得， 则，则或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由，根据正弦定理得， 则，即．所以为等腰三角形，故C正确； 对于D，由，则， 因为函数在上单调递减，则， 即，故D正确． 故选：B． 12．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 13．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 14．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 15．（多选）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则（   ） A．为锐角三角形 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【详解】由正弦定理可得，且，则，故C正确； 由，可得是锐角, 当时，由，则，显然不合题意， ，由，解得，故A错误，B正确； 因为, 可得 ， 由，则，可得， 令，则，可得， 由，则代入可得最大值为，代入可得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 16．（多选）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论中正确的是（     ） A．，，则的外接圆半径是4 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则为直角三角形 D． 【答案】BD 【详解】对于A，设的外接圆半径是R，因为，， 所以由正弦定理得：，解得，故A错误； 对于B，因为，所以由余弦定理得：， 所以C为钝角，所以一定是钝角三角形，故B正确； 对于C，由，由正弦定理得，所以， 因为A，，所以或，故C错误； 对于D，若为锐角三角形或直角三角形，有； 若为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，， 所以，故D正确． 故选：BD. 17．（多选）设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（ ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A中，由，可得， 所以，即， 可得，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形，所以A正确； 对于B中，因为，所以， 即，所以，即，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为， 所以， 即，即， 因为，所以或，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，所以C错误； 对于D中，因为， 整理可得，所以的形状一定是直角三角形，所以D正确. 故选：AD. 18．在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 19．在中，若，则一定是______三角形． 【答案】等边 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，即．故为等边三角形． 故答案为：等边. 20．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是________（填上所有正确的序号） ①若，，则一定是等边三角形 ②若，则一定是钝角三角形 ③若，则一定是等腰三角形 ④若，则一定是直角三角形 【答案】①②④ 【详解】对于①，由余弦定理可得：， 又因为，所以， 即一定是等边三角形，故①正确； 对于②，由平方关系可得：， 再由正弦定理角化边得：， 根据余弦定理有：，所以， 即一定是钝角三角形，故②正确； 对于③，由正弦定理边化角得：， 再根据三角形内角和定理可知， 代入后可得： 利用两角和正弦公式可得：， 整理得：， 所以有或，即或， 则是等腰三角形或直角三角形，故③错误； 对于④，由利用正弦定理得：， 利用和差化积公式得：， 因为，所以， 即上式可约分得：， 因为，所以， 即一定是直角三角形，故④正确， 故选：①②④. 题型六、三角形中的恒等式与不等式证明 1．在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若该三角形有两个解，则，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 3．在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若这个三角形有两组解， 则， 因为，，所以. 故选：D． 4．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ）. A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理得，又因为，，， 所以，解得，又因为，所以， 又，所以或. 故选：D. 5．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 6．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 7．在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 8．（多选）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，可得，由，可得以下情况：①若，即，这与是非等腰三角形矛盾，不符合题意； ②若，即，此时，所以A正确； ③若，若，则，所以B正确， 若，则； ④若，即，此时，所以C正确， 由，可得，即，不符合题意， 或，即，此时，所以D不正确. 故选：ABC. 9．在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】由余弦定理得 ，， 得， 即， 变形得， 由正弦定理，得，， 即. 则等式成立. 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，，故， 又，可得，则，， 则. （2）由知： ， 所以，即， 又，则，即， 所以，而，则， 综上，. 11．在中， 角的对边分别为， 若． (1)求证： ； (2)对， 请你给出一个的值， 使不等式成立或不成立，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)；证明见解析 【详解】（1）由且得 （2）当时， 不等式成立， 即有． 证明如下： 由余弦定理有 由 （1） 知， 所以， 即． 或当时， 不等式成立， 即有． 证明如下： 由正弦定理有 (其中是外接圆的半径) 由 （1） 知． 而， 所以， 又， 所以， 即． 或， 而由余弦定理 由 （1） 知 ， 所以， 即． 或当时， 不等式不成立， 即不成立． 证明如下： 取， 则有， 由于故,因此 所以， 即． 说明此时不成立 12．在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）如图．在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以， 所以． （2）因为， 所，所以． 由可知，均为锐角． 由（1）知，． 设，则，． 由，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以． 13．已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 1．的内角所对的边分别是，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以有， 即，所以， 所以， 所以或（此时，故舍去）， 所以， 故选：C. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又， ，整理得： ， ， ， ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，为钝角， ，， ，， ，即， ，，解得：， ， ， ． 3．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B．2 C．2 D．的最大值为 【答案】D 【详解】由，得， ，所以， 对于A，由，得，所以为钝角，故A错误； 对于B，由，得，即，故B错误； 对于C，由，结合正弦定理可得， 所以，即得， 因为为钝角，为锐角，两边除以，得，故C错误； 对于D，由，即，， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 5．（湖南常德市2025-2026学年下学期高三年级模拟考试（二模）数学试卷）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】，化简得， 再由正弦定理，得， 又， 代入得，整理得． 又，为的内角，则，即． 因为为的平分线，所以，， 在中，．① 又， ∴， 则， 化简得， 又，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去）， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴． 6．（25-26高三上·辽宁·期中）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即，得， 点满足，则， 在与中，，， 所以，则，即，所以，且； 在中，由余弦定理得， 因为，所以，所以，， 在中，由正弦定理得， 化简得，解得． 故选：C． 7．在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（    ） A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】，又， 所以，解得，因为，所以. 又，由，可得，， 则， 如图所示，在边、上分别取点、，使，， 以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，，，且， ，，，又， ，且，，即， 又，是等边三角形. 故选：D. 8．下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①， 由得， 所以， 中最多只有一个钝角，中最多只有一个负数， 因此，从而均为锐角，①正确； ②若，则由正弦定理得，从而，而三角形中，所以或,所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，②错； ③若，由正弦定理得， 即，在中，，故恒成立， 因此，条件对任意三角形都成立，不能据此判断是等腰三角形，故③错误； ④若，则， 又由知为锐角，所以或， 即或，则不一定是直角三角形，④错，因此正确的命题有1个， 故选：A. 9．（多选）已知不是直角三角形，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的最小值为4 C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】由，则，故， ，A对； 由， 又不是直角三角形，则一正一负或同正， 若一正一负，显然，此时，最小值不为4； 若同正，则，故， 当且仅当时取等号，显然等号不能成立，故， 综上，的最小值不为4，B错； 由， 而，即，由，则， 所以，C对； 由， 则 ，且，， 所以，左侧等号在时取得，右侧等号在时取得， 若，则，即，所以，D对. 故选：ACD 10．已知的三边长，三内角为．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】由，则只需证：． 先证， 只需证：， 即证：， 即：①， 设，则，同理． ①式成立， 再证． 只需证：， 即证：．② ②式成立． 综上，结论得证. 11．已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， 由数量积几何意义可得：， 同理得. 则 ； （2）证明：设三角形外接圆半径为R， ，. 因，所以. 同理，所以， 又，，. 则. 故  ① ∵点O为三角形ABC的外心，， ，， 同理，. 则. 代入上式①中，结合，可得： ， 所以，原命题得证 12．在锐角中，所对边分别为，满足且.    (1)求； (2)若点为的垂心，，，则求线段的长度. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是锐角三角形， . （2）点为的垂心， 连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于， ，， 在中，，， ， 在中，，，， 在中，，， .    1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $